Die gleichen Formeln sind richtig: \[(\large(S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv))\]
von einem Punkt in eine Richtung mit Geschwindigkeiten \(v_1>v_2\) .

Wenn dann \(l\) die Länge des Kreises ist, ist \(t_1\) die Zeit, nach der sie zum ersten Mal am selben Punkt sind, dann:

Das heißt, für \(t_1\) legt der erste Körper eine Strecke \(l\) zurück, die größer ist als der zweite Körper.

Wenn \(t_n\) die Zeit ist, nach der sie am selben Punkt sein werden, \(n\) -tes Mal, dann gilt die folgende Formel: \[(\large(t_n=n\cdot t_1))\]

\(\blacktriangleright\) Lassen Sie zwei Körper in Bewegung geraten von verschiedenen Punkten in die gleiche Richtung mit Geschwindigkeiten \(v_1>v_2\) .

Dann lässt sich das Problem leicht auf den vorherigen Fall reduzieren: Sie müssen zuerst die Zeit \(t_1\) finden, nach der sie zum ersten Mal am selben Punkt sind.
Wenn im Moment des Beginns der Bewegung der Abstand zwischen ihnen \(\buildrel\smile\over(A_1A_2)=s\), dann:

Aufgabe 1 #2677

Aufgabenebene: EGE einfacher

Zwei Athleten starten in gleicher Richtung von diametral gegenüberliegenden Punkten der Kreisbahn. Sie laufen mit unterschiedlichen inkonstanten Geschwindigkeiten. Es ist bekannt, dass die Athleten in dem Moment, in dem sie zum ersten Mal aufholten, das Training abbrachen. Wie viele Runden ist der Athlet mehr mit einer höheren Durchschnittsgeschwindigkeit gelaufen als der andere Athlet?

Nennen wir zuerst den Athleten mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit. Zunächst musste der erste Athlet eine halbe Runde laufen, um den Startpunkt des zweiten Athleten zu erreichen. Danach musste er so viel laufen, wie der zweite Athlet lief (grob gesagt, nachdem der erste Athlet einen halben Kreis gelaufen war, musste er vor dem Meeting jeden Meter der Bahn laufen, den der zweite Athlet lief, und so oft wie der zweite Athlet lief diesen Meter ).

Somit lief der erste Athlet \(0,5\) Runden mehr.

Antwort: 0,5

Aufgabe 2 #2115

Aufgabenebene: EGE einfacher

Die Katze Murzik läuft um den Hund Sharik herum. Die Geschwindigkeiten von Murzik und Sharik sind konstant. Es ist bekannt, dass Murzik \(1,5\) mal schneller läuft als Sharik und in \(10\) Minuten laufen sie insgesamt zwei Runden. In wie vielen Minuten läuft Sharik eine Runde?

Da Murzik \(1,5\) mal schneller läuft als Sharik, laufen Murzik und Sharik in \(10\) Minuten zusammen die gleiche Strecke, die Sharik in \(10\cdot (1 + 1,5 ) = 25\) Minuten laufen würde . Daher läuft Sharik zwei Runden in \(25\) Minuten, dann läuft eine Runde Ball in \(12,5\) Minuten

Antwort: 12.5

Aufgabe 3 #823

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Von Punkt A der Kreisbahn eines fernen Planeten flogen zwei Meteoriten gleichzeitig in die gleiche Richtung. Die Geschwindigkeit des ersten Meteoriten ist 10.000 km/h höher als die Geschwindigkeit des zweiten. Es ist bekannt, dass sie sich zum ersten Mal nach der Abreise nach 8 Stunden trafen. Berechne die Länge der Umlaufbahn in Kilometern.

In dem Moment, in dem sie sich zum ersten Mal trafen, entspricht die Differenz der zurückgelegten Entfernungen der Länge der Umlaufbahn.

In 8 Stunden betrug die Differenz \(8 \cdot 10000 = 80000\) km.

Antwort: 80000

Aufgabe 4 #821

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Der Dieb, der die Handtasche gestohlen hat, flüchtet auf einer Kreisstraße vom Besitzer der Handtasche. Die Geschwindigkeit des Diebes ist 0,5 km/h höher als die Geschwindigkeit des Besitzers der Handtasche, der ihm nachläuft. Nach wie vielen Stunden wird der Dieb die Besitzerin der Handtasche zum zweiten Mal einholen, wenn die Länge der Straße, auf der sie verlaufen, 300 Meter beträgt (nehmen Sie an, dass er sie nach dem Diebstahl der Handtasche zum ersten Mal eingeholt hat). ?

Erster Weg:

Der Dieb wird den Besitzer der Handtasche zum zweiten Mal in dem Moment einholen, in dem die Distanz, die er zurücklegt, 600 Meter länger wird als die Distanz, die der Besitzer der Handtasche laufen wird (ab dem Moment des Diebstahls).

Da seine Geschwindigkeit \(0,5 \) km / h mehr beträgt, läuft er in einer Stunde 500 Meter mehr, dann in \ (1: 5 \u003d 0,2\) Stunden läuft er \ (500: 5 \u003d 100 \) Meter mehr. Er wird 600 Meter mehr in \(1 + 0,2 \u003d 1,2\) Stunden laufen.

Zweiter Weg:

Sei also \(v\) km/h die Geschwindigkeit des Besitzers der Handtasche
\ (v + 0,5 \) km / h - die Geschwindigkeit des Diebes.
Sei \(t\) h die Zeit, nach der der Dieb den Besitzer der Handtasche dann zum zweiten Mal einholt
\(v\cdot t\) - die Strecke, die der Besitzer der Handtasche in \(t\) h laufen wird,
\((v + 0,5)\cdot t\) ist die Strecke, die der Dieb in \(t\) Stunden zurücklegt.
Der Dieb wird die Herrin der Handtasche zum zweiten Mal in dem Moment einholen, in dem er genau 2 Runden mehr läuft als sie (dh \ (600 \) m \u003d \ (0,6 \) km). \[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5\cdot t = 0,6,\] woher \(t = 1,2\) h.

Antwort: 1.2

Aufgabe 5 #822

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig vom selben Punkt der Rundstrecke in unterschiedliche Richtungen. Die Geschwindigkeit des ersten Motorradfahrers ist doppelt so hoch wie die des zweiten. Eine Stunde nach dem Start trafen sie sich zum dritten Mal (man bedenke, dass sie sich das erste Mal nach dem Start trafen). Finden Sie die Geschwindigkeit des ersten Motorradfahrers, wenn die Strecke 40 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Als sich die Motorradfahrer zum dritten Mal trafen, betrug ihre Gesamtstrecke \(3 \cdot 40 = 120\) km.

Da die Geschwindigkeit des ersten 2-mal größer ist als die Geschwindigkeit des zweiten, hat er von 120 km einen Teil 2-mal größer zurückgelegt als der zweite, also 80 km.

Da sie sich zum dritten Mal in einer Stunde trafen, legte der erste in einer Stunde 80 km zurück. Seine Geschwindigkeit beträgt 80 km/h.

Antwort: 80

Aufgabe 6 #824

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Zwei Läufer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer kreisförmigen Bahn, deren Länge 400 Meter beträgt. Nach wie vielen Minuten holen die Läufer das erste Mal auf, wenn der erste Läufer in einer Stunde 1 Kilometer mehr läuft als der zweite?

In einer Stunde läuft der erste Läufer 1000 Meter mehr als der zweite, was bedeutet, dass er in \ (60: 10 \u003d 6 \) Minuten 100 Meter mehr läuft.

Der Startabstand zwischen den Läufern beträgt 200 Meter. Sie gleichen aus, wenn der erste Läufer 200 Meter mehr läuft als der zweite.

Dies geschieht in \(2 \cdot 6 = 12\) Minuten.

Antwort: 12

Aufgabe 7 #825

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Ein Tourist verließ die Stadt M auf einer 220 Kilometer langen Ringstraße, und 55 Minuten später verließ ein Autofahrer die Stadt M nach ihm. 5 Minuten nach Abfahrt holte er den Touristen zum ersten Mal ein und 4 Stunden später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Touristen. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Erster Weg:

Nach dem ersten Treffen holte der Autofahrer den Touristen (zum zweiten Mal) nach 4 Stunden ein. Zum Zeitpunkt des zweiten Treffens fuhr der Autofahrer mehr im Kreis als der Tourist (dh \ (220 \) km).

Da der Autofahrer während dieser 4 Stunden den Touristen um \(220\) km überholt hat, ist die Geschwindigkeit des Autofahrers \(220: 4 \u003d 55\) km / h höher als die Geschwindigkeit des Touristen.

Lassen Sie jetzt die Geschwindigkeit des Touristen \ (v \) km / h, dann schaffte er es vor dem ersten Treffen zu passieren \ der Fahrer hat bestanden \[(v + 55)\dfrac(5)(60) = \dfrac(v + 55)(12)\ \text(km).\] Dann ist \[\dfrac(v + 55)(12) = v,\] woraus wir \(v = 5\) km/h finden.

Zweiter Weg:

Sei \(v\) km/h die Geschwindigkeit des Touristen.
Sei \(w\) km/h die Geschwindigkeit des Autofahrers. Seit \(55\) Minuten \(+ 5\) Minuten \(= 1\) Stunden also
\(v\cdot 1\) km - die Entfernung, die der Tourist vor dem ersten Treffen zurückgelegt hat. Seit \(5\) Minuten \(= \dfrac(1)(12)\) Stunden also
\(w\cdot \dfrac(1)(12)\) km ist die Strecke, die der Autofahrer vor dem ersten Treffen zurückgelegt hat. Die Entfernungen, die sie vor dem ersten Treffen zurückgelegt haben, sind: \ In den nächsten 4 Stunden fuhr der Autofahrer mehr als der Tourist im Kreis (on \(220\) \ \

Wenn in der Übung Werte verwendet werden, die sich auf die Entfernung beziehen (Geschwindigkeit, Kreislänge), können sie gelöst werden, indem sie auf eine Bewegung in einer geraden Linie reduziert werden.

\

Die größte Schwierigkeit für Schüler in Moskau und anderen Städten bereiten, wie die Praxis zeigt, Aufgaben zur kreisförmigen Bewegung in der Einheitlichen Staatsprüfung, bei der die Suche nach einer Antwort mit der Verwendung eines Winkels verbunden ist. Zur Lösung der Übung kann der Umfang als Teil eines Kreises angegeben werden.

Sie können diese und andere algebraische Formeln im Abschnitt "Theoretische Referenz" wiederholen. Um zu lernen, wie man sie in der Praxis anwendet, lösen Sie die Aufgaben zu diesem Thema im "Katalog".

Bewegungsaufgaben auf einer Kreisbahn. Bewegungsaufgaben auf einer Kreisbahn.
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Variante 1.


was 14 km entspricht. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer aufholen
zum ersten Mal, wenn die Geschwindigkeit eines von ihnen 21 km/h höher ist als die Geschwindigkeit
Ein weiterer?
Von einem Punkt der Rundstrecke, deren Länge 14 km beträgt,

Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 80 km/h und 40 Minuten danach
Geschwindigkeit

Ein Radfahrer verließ Punkt A der Kreisbahn. 30 Minuten später er
ist noch nicht zu Punkt A zurückgekehrt und ist ihm von Punkt A aus gefolgt
Motorradfahrer. 10 Minuten nach Abfahrt holte er auf
Radfahrer zum ersten Mal, und 30 Minuten später eingeholt
ihn zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Länge der Strecke ist
ist gleich 30 km. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Zwei Rennfahrer fahren Rennen. Sie müssen 60 Runden fahren
Ringstraße mit einer Länge von 3 km. Beide Fahrer starteten
zur gleichen Zeit, und der Erste kam 10 Minuten früher als der Zweite ins Ziel.

der erste Fahrer den zweiten zum ersten Mal in einer Runde nach 15 Minuten überholt hat?
Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.


eine Stunde, wenn einer von ihnen noch 1 km vor dem Ende des ersten hatte
Runde wurde ihm gesagt, dass der zweite Läufer die erste Runde von 20 Minuten absolvierte

km/h ist kleiner als die Geschwindigkeit der Sekunde.




Spuren in Metern, wenn der zweite Körper nach 36 zu Punkt A zurückkehrt
Minuten nach der Sitzung.
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Option 2.
Zwei Fahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung ab
zwei diametral gegenüberliegende Punkte der Kreisbahn, Länge
was 16 km entspricht. Nach wie vielen Minuten die Motorradfahrer
zum ersten Mal ausgleichen, wenn die Geschwindigkeit eines von ihnen 10 km/h beträgt
mehr Geschwindigkeit als die anderen?

Zwei Autos starten gleichzeitig in die gleiche Richtung.
Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 101 km/h und 20 Minuten danach
Start war er eine Runde vor dem zweiten Auto. Finden

Ein Radfahrer verließ Punkt A des Rundkurses und nach 50 Minuten
Der Motorradfahrer folgte ihm. 5 Minuten nach dem Absenden
leniya Er holte den Radfahrer zum ersten Mal ein und nach weiteren 30 Minuten
holte ihn dann ein zweites Mal ein. Finden Sie die Geschwindigkeit
Motorradfahrer, wenn die Länge der Strecke 50 km beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Zwei Rennfahrer fahren Rennen. 68 Runden müssen sie fahren
Ringstraße mit einer Länge von 6 km. Beide Fahrer starteten
zur gleichen Zeit, und der Erste kam früher als der Zweite ins Ziel
15 Minuten. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fahrers, wenn
Es ist bekannt, dass der erste Fahrer den zweiten zum ersten Mal um eine Runde überholt hat
nach 60 minuten? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Zwei Läufer starteten gleichzeitig in die gleiche Richtung von derselben
die gleiche Stelle auf der Rundbahn in einem Mehrrundenlauf. Später
eine Stunde, wenn einer von ihnen noch 3 km vor dem Ende des ersten hatte

zurück. Finden Sie die Geschwindigkeit des ersten Läufers heraus, falls bekannt
5 km/h weniger als die Geschwindigkeit des zweiten.
Ab Punkt A der Kreisbahn einheitlich



Wege in Metern, wenn der zweite Körper nach 20 zu Punkt A zurückkehrt
Minuten nach der Sitzung.

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Möglichkeit 3.
Zwei Fahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung ab
zwei diametral gegenüberliegende Punkte der Kreisbahn, Länge
was 20 km entspricht. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer aufholen
zum ersten Mal, wenn die Geschwindigkeit eines von ihnen 15 km/h höher ist als die Geschwindigkeit
Ein weiterer?
Von einem Punkt der Rundstrecke, deren Länge 8 km beträgt,
Zwei Autos starten gleichzeitig in die gleiche Richtung.
Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 114 km/h und 20 Minuten danach

zweites Auto. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Der Motorradfahrer folgte ihm. 8 Minuten danach
Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, und nach weiteren 21
eine Minute später holte ihn das ein zweites Mal ein. Finden Sie die Geschwindigkeit
Motorradfahrer, wenn die Länge der Strecke 35 km beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Zwei Rennfahrer fahren Rennen. Sie müssen 94 Runden fahren
Ringstraße mit einer Länge von 7,5 km. Beide Fahrer starteten
zur gleichen Zeit, und der Erste kam 18 Minuten früher als der Zweite ins Ziel.
Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fahrers, falls bekannt
der erste Fahrer den zweiten zum ersten Mal in 50 Minuten um eine Runde überholt hat?
Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Zwei Läufer starteten gleichzeitig in die gleiche Richtung von derselben
die gleiche Stelle auf der Rundbahn in einem Mehrrundenlauf. Später
eine Stunde, wenn einer von ihnen noch 4 km vor dem Ende des ersten hatte
Runde wurde ihm gesagt, dass der zweite Läufer die erste Runde von 6 Minuten absolvierte
zurück. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des ersten Läufers, wenn bekannt ist, dass sie 6 beträgt
km/h ist kleiner als die Geschwindigkeit der Sekunde.
Ab Punkt A der Kreisbahn einheitlich
zwei Körper bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen. Der erste Körper zu
im Moment ihres Treffens geht 300 Meter mehr als das zweite, und
kehrt 5 Minuten nach der Besprechung zu Punkt A zurück. Finden Sie die Länge
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Möglichkeit 4.
Zwei Fahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung ab
zwei diametral gegenüberliegende Punkte der Kreisbahn, Länge
was 40 km entspricht. Nach wie vielen Minuten die Motorradfahrer
zum ersten Mal ausgleichen, wenn die Geschwindigkeit eines von ihnen 25 km/h beträgt
mehr Geschwindigkeit als die anderen?
Von einem Punkt der Rundstrecke, deren Länge 12 km beträgt,
Zwei Autos starten gleichzeitig in die gleiche Richtung.
Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 106 km/h und 48 Minuten danach
Start war er eine Runde vor dem zweiten Auto. Finden
die Geschwindigkeit des zweiten Autos. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Ein Radfahrer verließ Punkt A des Rundkurses und nach 40 Minuten
Der Motorradfahrer folgte ihm. 10 Minuten danach
Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, und nach weiteren 36
Minuten später holte ihn ein zweites Mal ein. Finden Sie die Geschwindigkeit
Motorradfahrer, wenn die Länge der Strecke 36 km beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
Zwei Fahrer müssen 85 Runden auf der Ringstrecke fahren
8 Kilometer lang. Beide Fahrer starteten gleichzeitig und weiter
Das erste Ziel kam 17 Minuten früher als das zweite. Was war
die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fahrers, wenn bekannt ist, dass der erste Fahrer
zum ersten Mal in 48 Minuten den Zweiten im Kreis überholt? Antworte in
km/h
Zwei Läufer starteten gleichzeitig in die gleiche Richtung von derselben
die gleiche Stelle auf der Rundbahn in einem Mehrrundenlauf. Später
eine Stunde, wenn einer von ihnen noch 7 km vor dem Ende des ersten hatte
Runde wurde ihm gesagt, dass der zweite Läufer die erste Runde 3 Minuten lang gelaufen sei
zurück. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des ersten Läufers, wenn bekannt ist, dass sie 8 beträgt
km/h ist kleiner als die Geschwindigkeit der Sekunde.
Ab Punkt A der Kreisbahn einheitlich
zwei Körper bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen. Bis sie
Beim Treffen legt der erste Körper 200 m mehr zurück als der zweite, und
kehrt 25 Minuten nach der Besprechung zu Punkt A zurück. Finden Sie die Länge

Shinkarev Egor Alexandrowitsch

Sammlung von Problemen

Nicht standardmäßige Aufgaben für die Bewegung

Wissenschaftliche Leiterin des Projekts Kudryavtseva Natalia Nikolaevna

Die Sammlung enthält detaillierte Lösungen zu Problemen, die bedingt den folgenden Gruppen zugeordnet sind: Kreisbewegung, Bewegung ausgedehnter Körper und Aufgaben zur selbständigen Lösung werden vorgeschlagen. Mit dieser Aufgabensammlung können Fähigkeiten zur Lösung derartiger Probleme in Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung und Olympiaden in Mathematik entwickelt werden. Die Sammlung kann für Schüler der Klassen 8-11 und Lehrer nützlich sein, um die Konsolidierung und Wiederholung von Aufgaben für die Bewegung sowohl im Klassenzimmer als auch bei außerschulischen Aktivitäten zu organisieren.

Abakan 2017

Einleitung ________________________________________________________3

Kapitel 1

§ 1.1. Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in eine Richtung, gleichzeitig von einem Punkt aus

§ 1.2. Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in eine Richtung, gleichzeitig von diametral gegenüberliegenden Punkten _____________________________6

§ 1.3. Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in eine Richtung, zu verschiedenen Zeiten von einem Punkt aus.………….7

§ 1.4. Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in entgegengesetzte Richtungen, gleichzeitig von einem Punkt aus.………………..8

Kapitel 2

§ 2.1. Probleme bei der Bewegung zweier ausgedehnter Körper in einer Richtung

§ 2.2. Probleme bei der Bewegung zweier ausgedehnter Körper aufeinander zu

§ 2.3. Probleme bei der Bewegung eines ausgedehnten Körpers relativ zu einem anderen festen Körper

§ 2.4. Probleme bei der Bewegung eines ausgedehnten Körpers relativ zu einem festen Punkt

§ 2.5. Probleme über die Bewegung eines ausgedehnten Körpers und einen Punkt hin

§ 2.6 Aufgaben zur Bewegung eines gestreckten Körpers und eines Punktes in eine Richtung ______

Einführung

In der Praxis gibt es viele interessante Bewegungsaufgaben. Bei verschiedenen Olympiaden und Abschlussprüfungen werden unterhaltsame Probleme geboten. Diese Sammlung enthält nur Probleme, die bedingt in folgende Gruppen eingeteilt werden: Probleme für die Bewegung im Kreis, Probleme für die Bewegung ausgedehnter Körper.

In jeder Gruppe werden Untergruppen unterschieden, die sich in der Lösung unterscheiden.

Diese Problemsammlung enthält Sammlungen von Problemen jeder Art mit Antworten. Die Sammlung enthält detaillierte Lösungen zu Problemen jeder Art und bietet Aufgaben zur eigenständigen Lösung. Mit dieser Aufgabensammlung können Fähigkeiten zur Lösung derartiger Probleme in Vorbereitung auf OGE, Einheitliches Staatsexamen und Mathematikolympiaden entwickelt werden. Die Sammlung kann für Schüler der Klassen 8-11 und Lehrer für die Organisation der Konsolidierung und Wiederholung von Bewegungsaufgaben sowohl im Klassenzimmer als auch bei außerschulischen Aktivitäten nützlich sein.

Kapitel 1

Aufgaben zur Bewegung im Kreis

§1.1 Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in eine Richtung, gleichzeitig von einem Punkt aus

Eine Aufgabe: Von einem Punkt der Rundstrecke, deren Länge 14 km beträgt, starteten zwei Autos gleichzeitig in die gleiche Richtung. Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 80 km/h, und 40 Minuten nach dem Start war es dem zweiten Auto eine Runde voraus. Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Lösung:

Geschwindigkeit

Zeit

Distanz

1. Auto

80 km/h

80*=km

2. Auto

X km/h

x ⋅ km

Da wir wissen, dass das erste Auto in 2/3 Stunden um den Kreis gefahren ist, also 14 km mehr als das zweite, werden wir eine Gleichung aufstellen.

X ⋅ +14;

2x = 160 – 14 ⋅ 3;

x=59 .

Antwort: 59 km/h

1. Bei einem Rennen über mehrere Runden starteten zwei Läufer zur gleichen Zeit in die gleiche Richtung von der gleichen Stelle auf der Rennstrecke. Eine Stunde später, als einer von ihnen noch 1 km vor dem Ende der ersten Runde übrig hatte, wurde ihm mitgeteilt, dass der zweite Läufer die erste Runde vor 20 Minuten beendet hatte. Finden Sie die Geschwindigkeit des ersten Läufers, wenn bekannt ist, dass sie 8 km/h geringer ist als die Geschwindigkeit des zweiten.(13)( )

2. Zwei Rennfahrer fahren Rennen. Sie müssen 60 Runden auf einer 3 km langen Ringstraße fahren. Beide Fahrer starteten gleichzeitig und der Erste kam 10 Minuten früher als der Zweite ins Ziel. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fahrers, wenn bekannt ist, dass der erste Fahrer den zweiten zum ersten Mal in 15 Minuten um eine Runde überholt hat? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an. (108) ( )

3. Zwei Fahrer müssen 85 Runden auf der 8 km langen Ringstrecke fahren. Beide Fahrer starteten gleichzeitig und der Erste kam 17 Minuten früher als der Zweite ins Ziel. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fahrers, wenn bekannt ist, dass der erste Fahrer den zweiten zum ersten Mal in 48 Minuten um eine Runde überholt hat? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

(150)( )

4. Zwei Fahrer müssen 68 Runden entlang einer 6 km langen Ringstrecke fahren. Beide Fahrer starteten gleichzeitig und der Erste kam 15 Minuten früher als der Zweite ins Ziel. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fahrers, wenn bekannt ist, dass der erste Fahrer den zweiten zum ersten Mal in 60 Minuten um eine Runde überholt hat? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

(96 )( )

5. Zwei Punkte, die sich entlang eines Kreises in die gleiche Richtung bewegen, treffen sich alle 12 Minuten, wobei der erste den Kreis 10 s schneller umrundet als der zweite. Welchen Teil des Kreises deckt jeder Punkt in 1 s ab? (1/80 und 1/90 des Kreises)( )

§1.2. Aufgaben für die Bewegung im Kreis, in eine Richtung, gleichzeitig von diametral gegenüberliegenden Punkten

Eine Aufgabe: Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer kreisförmigen Strecke, deren Länge 14 km beträgt. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer das erste Mal aufholen, wenn der eine 21 km/h schneller ist als der andere?

Lösung:

Geschwindigkeit

Zeit

Distanz

1 Motorradfahrer

X km/h

th

x km

Zweiter Motorradfahrer

X + 21 km/h

th

(x+21)tkm

Lassen Sie die Motorradfahrer gleich lange unterwegs sein, gleich t

Std. Damit die Motorradfahrer aufholen, müssen die Motorradfahrer den anfänglichen Abstand, der der halben Streckenlänge entspricht, also 14:2 = 7 km, schneller überwinden. Daher ist die vom zweiten Motorradfahrer zurückgelegte Strecke 7 km länger als die vom ersten zurückgelegte Strecke:

(x+21)t – xt=7;

21t=7

t=h

Motorradfahrer werden also nach t= Stunden oder nach 20 Minuten aufholen.

Lassen Sie uns eine andere Lösung geben

Ein schneller Motorradfahrer bewegt sich mit einer relativ langsamen Geschwindigkeit von 21 km/h und muss die 7 km zwischen ihnen überwinden. Daher wird er eine Drittelstunde brauchen.

Antwort: 20 Minuten

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

6.Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer kreisförmigen Strecke, deren Länge 22 km beträgt. In wie vielen Minuten holen die Motorradfahrer das erste Mal auf, wenn die Geschwindigkeit des einen um 20 km/h höher ist als die des anderen? (33)

7. Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer kreisförmigen Strecke, deren Länge 5 km beträgt. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer das erste Mal aufholen, wenn die Geschwindigkeit des einen 5 km/h höher ist als die des anderen? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

8 . Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer kreisförmigen Strecke, deren Länge 14 km beträgt. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer das erste Mal aufholen, wenn der eine 21 km/h schneller ist als der andere? (zwanzig)

9 . Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer kreisförmigen Strecke, deren Länge 27 km beträgt. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer das erste Mal aufholen, wenn der eine 27 km/h schneller ist als der andere? (dreißig)

10. Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in derselben Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten einer Kreisbahn, deren Länge 6 km beträgt. In wie vielen Minuten werden die Motorradfahrer das erste Mal aufholen, wenn der eine 9 km/h schneller ist als der andere? (zwanzig)

§1.3. Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in eine Richtung, zu unterschiedlichen Zeiten von einem Punkt aus

Eine Aufgabe: Ein Radfahrer verließ den Punkt A des Rundkurses, und nach 30 Minuten folgte ihm ein Motorradfahrer. 10 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, 30 Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Strecke 30 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Lösung:

Geschwindigkeit

Zeit

Distanz

1 Treffen

Radfahrer

X km/h

40min=h

Motorradfahrer

4X km/h

10 Minuten = Std

2 Treffen

Radfahrer

X km/h

Motorradfahrer

4X km/h

Bis zum ersten Überholvorgang hat der Motorradfahrer in 10 Minuten so viel zurückgelegt wie der Radfahrer in 40 Minuten, also ist seine Geschwindigkeit viermal höher. Wenn also die Geschwindigkeit des Radfahrers mit x km/h angenommen wird, dann beträgt die Geschwindigkeit des Motorradfahrers 4x km/h und die Annäherungsgeschwindigkeit 3x km/h.

Andererseits holte der Motorradfahrer den Radfahrer beim zweiten Mal in 30 Minuten ein, während dieser Zeit fuhr er 30 km mehr. Daher beträgt die Geschwindigkeit ihrer Konvergenz 60 km/h.

Also 3x=60 km/h, wobei die Geschwindigkeit des Fahrradfahrers 20 km/h und die Geschwindigkeit des Motorradfahrers 80 km/h beträgt.

Antwort: 80 km/h.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

11 . Aus AbsatzEin Radfahrer verließ die Rundstrecke und nach 10 Minuten folgte ihm ein Motorradfahrer. 2 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein und 3 Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Strecke 5 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an. (6) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm

12. Aus AbsatzEin Radfahrer verließ die Rundstrecke und nach 40 Minuten folgte ihm ein Motorradfahrer. 8 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, 36 Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Strecke 30 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an. (60) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

13. Ein Radfahrer verließ den Punkt „A“ der Rundstrecke, und nach 50 Minuten folgte ihm ein Motorradfahrer. 10 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, 18 Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Strecke 15 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.(60)

14. Ein Radfahrer verließ den Punkt „A“ der Rundstrecke, und nach 30 Minuten folgte ihm ein Motorradfahrer. 8 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein und 12 Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Strecke 15 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an (95)

15. Ein Radfahrer verließ den Punkt „A“ der Rundstrecke, und nach 40 Minuten folgte ihm ein Motorradfahrer. 10 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, 36 Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Strecke 36 km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.(75)

§1.4. Aufgaben zur Bewegung im Kreis, in entgegengesetzte Richtungen, gleichzeitig von einem Punkt aus

Z Hölle Ach 1: Auf dem Kreis nimmt man einen Punkt A. Zwei Körper verlassen gleichzeitig diesen Punkt und bewegen sich gleichmäßig auf dem gegebenen Kreis in entgegengesetzte Richtungen. Im Moment ihres Treffens stellte sich heraus, dass die erste Leiche 10 Meter weiter gereist war als die zweite. Außerdem erreichte der erste Körper Punkt A nach 9 Sekunden und der zweite - 16 Sekunden nach dem Treffen. Bestimmen Sie den Umfang in Metern.

Lösung:

Zeit

Distanz

1. Punkt

X km/h

th

x km

2. Punkt

ja km/h

th

Ytkm

Sei x die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich im Uhrzeigersinn bewegt, und y die Geschwindigkeit des anderen. Dann wird vor dem Treffen der erste Punkt die Distanz xt und der zweite die Distanz yt passieren.

Nachdem Sie den ersten Punkt zum Startpunkt getroffen haben, müssen Sie die gleiche Entfernung zurücklegen, die der zweite vor dem Treffen zurückgelegt hat, und der erste Punkt verbringt diese Zeit gleich 10 s, und der zweite muss dagegen gehen die Entfernung, die der erste vor dem Treffen zurückgelegt hat, und er verbringt dafür 16 p. Wir erhalten die folgenden Gleichheiten:

Xt = 16 Jahre

Yt=9x

Lassen Sie uns die Zeit der Bewegung von Punkten vor dem Treffen von t ausdrücken

t= =

Wo kommen wir hin

x=

Gemäß der Bedingung hat der erste Körper also 10 m mehr zurückgelegt als der zweite

16y-9x=10

Wir ersetzen eine der Unbekannten in dieser Gleichung:

16 j-12 j =10

Und wir finden Y=2.5 von wo x= .

Die Gesamtlänge des Kreises beträgt: 70

Antwort: Der Umfang beträgt 70 Meter.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

16. Zwei Körper, die sich auf einem 500 m langen Kreis mit konstanter Geschwindigkeit in unterschiedliche Richtungen bewegen, treffen alle 125 Sekunden aufeinander. Bei Bewegung in eine Richtung holt der erste Körper den zweiten alle 12,5 Sekunden ein. Finden Sie die Geschwindigkeit jedes Körpers. (22 und 18)

17. Von Punkt A der Kreisbahn aus beginnen zwei Körper gleichzeitig eine gleichförmige Bewegung in entgegengesetzte Richtungen. Bis sie sich treffen, legt der erste Körper 100 Meter mehr zurück als der zweite und kehrt 9 Minuten nach dem Treffen zu Punkt A zurück. Ermitteln Sie die Länge des Wegs in Metern, wenn der zweite Körper 16 Minuten nach dem Treffen zu Punkt A zurückkehrt. (700)

18. Zwei Körper, die sich entlang eines Kreises in die gleiche Richtung bewegen, treffen alle 112 Minuten aufeinander und bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen - alle 16 Minuten. Im zweiten Fall verringerte sich der Abstand zwischen den Körpern in 12 s von 40 m auf 26 m. Wie viele Meter pro Minute legt jeder Körper zurück und welchen Umfang hat er? (1120 m; 40 m/min, 30 m/min)

19. Unter 2.4

20. Unter 2.4

Kapitel 2

Probleme über die Bewegung ausgedehnter Körper

§2.1. Probleme bei der Bewegung zweier ausgedehnter Körper in einer Richtung

Eine Aufgabe: Auf dem Seeweg fahren zwei Trockenfrachtschiffe parallel in eine Richtung: Das erste ist 130 Meter lang, das zweite 120 Meter lang. Erstens bleibt der zweite Massengutfrachter hinter dem ersten zurück, und irgendwann beträgt die Entfernung vom Heck des ersten Massengutfrachters bis zum Bug des zweiten 600 Meter. 11 Minuten danach hinkt der erste Massengutfrachter dem zweiten hinterher, sodass der Abstand vom Heck des zweiten Massengutfrachters zum Bug des ersten 800 Meter beträgt. Wie viele Kilometer pro Stunde ist die Geschwindigkeit des ersten Frachtschiffs geringer als die Geschwindigkeit des zweiten? (http://www.ug.ru/method_article/519)

Lösung:

Zeit

Distanz

2 - 1

Xm/min

11min

600+130+120+800= 1650m

Die vom Bug 2 des Massengutfrachters zurückgelegte Entfernung ist gleich: die anfängliche Entfernung vom Bug 2 des Massengutfrachters zum Heck 1 (600) + die Länge 1 (130) + die Länge 2 (120) + die letzte Entfernung vom Bug 1 zum Heck 2 (800) = 1650 m

V = S: t

V = 1650: 11 = 150 m/min = 9 km/h

Antwort: 9 km/h

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

21. Personen- und Güterzüge fahren mit 80 km/h bzw. 50 km/h auf zwei parallel verlaufenden Gleisen in die gleiche Richtung. Die Länge eines Güterzuges beträgt 800 Meter. Berechne die Länge des Personenzugs, wenn die Zeit, die er benötigt, um den Güterzug zu passieren, 2 Minuten beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in Metern an. (200)

22. Auf dem Seeweg fahren zwei Trockenfrachtschiffe parallel in eine Richtung: Das erste ist 110 Meter lang, das zweite 70 Meter lang. Erstens bleibt der zweite Massengutfrachter hinter dem ersten zurück, und irgendwann beträgt die Entfernung vom Heck des ersten Massengutfrachters zum Bug des zweiten 200 Meter. 8 Minuten danach hinkt der erste Massengutfrachter dem zweiten hinterher, sodass der Abstand vom Heck des zweiten Massengutfrachters zum Bug des ersten 500 Meter beträgt. Um wie viele Kilometer pro Stunde ist die Geschwindigkeit des ersten Frachtschiffs geringer als die Geschwindigkeit des zweiten? (6.6)

( )

23. Auf dem Seeweg fahren zwei Lastkähne parallel in eine Richtung: der erste ist 70 Meter lang, der zweite 30 Meter lang. Erstens bleibt der zweite Kahn hinter dem ersten zurück, und irgendwann beträgt die Entfernung vom Heck des ersten Kahns bis zum Bug des zweiten 250 Meter. 14 Minuten später liegt der erste Kahn bereits hinter dem zweiten, so dass der Abstand vom Heck des zweiten Kahns bis zum Bug des ersten 350 Meter beträgt. Wie viele Kilometer pro Stunde ist die Geschwindigkeit des ersten Kahns geringer als die Geschwindigkeit des zweiten? (3)

( )

24. Auf dem Seeweg fahren zwei Lastkähne parallel in eine Richtung: der erste ist 60 Meter lang, der zweite 40 Meter lang. Erstens bleibt der zweite Kahn hinter dem ersten zurück, und irgendwann beträgt die Entfernung vom Heck des ersten Kahns bis zum Bug des zweiten 200 Meter. 18 Minuten später liegt der erste Kahn bereits hinter dem zweiten, so dass der Abstand vom Heck des zweiten Kahns bis zum Bug des ersten 300 Meter beträgt. Wie viele Kilometer pro Stunde ist die Geschwindigkeit des ersten Kahns geringer als die Geschwindigkeit des zweiten? (2.1)

( )

25 . Auf dem Seeweg fahren zwei Trockenfrachtschiffe parallel in eine Richtung: Das erste ist 120 Meter lang, das zweite 80 Meter lang. Erstens bleibt der zweite Massengutfrachter hinter dem ersten zurück, und irgendwann beträgt die Entfernung vom Heck des ersten Massengutfrachters bis zum Bug des zweiten 400 Meter. 12 Minuten danach hinkt der erste Massengutfrachter dem zweiten hinterher, sodass der Abstand vom Heck des zweiten Massengutfrachters zum Bug des ersten 600 Meter beträgt. Um wie viele Kilometer pro Stunde ist die Geschwindigkeit des ersten Frachtschiffs geringer als die Geschwindigkeit des zweiten? (6)

( )

§3

Aufgaben zur digitalen Erfassung einer Rufnummer

Aufgabe 1: Finden Sie die kleinste durch 11 teilbare vierstellige Zahl, deren Produkt ihrer Ziffern 12 ist.

Lösung:

Die Zahl muss ein Vielfaches von 11 sein, dh die Differenz zwischen den Ziffern an geraden Stellen und den Ziffern an ungeraden Stellen ist ein Vielfaches von 11, betrachten Sie den Fall, wenn ihre Differenz 0 ist. Beachten Sie, dass 0 nicht vorkommen sollte, seit wann multipliziert mit 0 erhalten wir 0 Da die Zahl die kleinste ist, nehmen wir die erste Ziffer 1. Die Zahl hat die Form 1bcd. Also 1 + c = b + d und c×b×d=12. Wenn wir außerdem 12 als Produkt von 3 Zahlen darstellen, erhalten wir 12 = 2 × 3 × 2, während 2 + 2 = 3 + 1 und wir erhalten 1232

Antwort: 1232

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

26. Finden Sie eine vierstellige Zahl, die ein Vielfaches von 22 ist und deren Ziffernprodukt 40 ist. Geben Sie eine solche Zahl in Ihrer Antwort an.

27. Finden Sie eine vierstellige Zahl, die ein Vielfaches von 22 ist und deren Ziffernprodukt 60 ist. Geben Sie eine solche Zahl in Ihrer Antwort an.

28. Finden Sie eine vierstellige Zahl, die ein Vielfaches von 18 ist und deren Produkt 24 ist. Geben Sie in Ihrer Antwort eine solche Zahl an.

29. Finden Sie eine vierstellige Zahl, die durch 33 teilbar ist, deren Ziffernprodukt 40 ist. Geben Sie in Ihrer Antwort eine solche Zahl an.

30. Finden Sie die kleinste durch 11 teilbare vierstellige Zahl, deren Produkt ihrer Ziffern 12 ist

Aufgabe 2: Finden Sie eine sechsstellige natürliche Zahl, die nur als 1 und 0 geschrieben wird und durch 24 teilbar ist.

Lösung:

Damit eine Zahl durch 24 teilbar ist, muss sie durch 3 und 8 teilbar sein.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden.

Die gewünschte Zahl wird nur mit Nullen und Einsen geschrieben, endet also mit 000. Die Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Da die letzten drei Stellen der Zahl Nullen sind, müssen es auch die ersten drei sein Einsen. Somit ist die einzige Zahl, die die Bedingung des Problems erfüllt, die Zahl 111.000.
Antwort: 111000

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

31. Finden Sie eine sechsstellige natürliche Zahl, die nur als 2 und 0 geschrieben wird und durch 120 teilbar ist. Geben Sie in Ihrer Antwort eine solche Zahl an.

32. Finden Sie eine sechsstellige natürliche Zahl, die nur als 1 und 5 geschrieben wird und durch 45 teilbar ist. Geben Sie in Ihrer Antwort eine solche Zahl an.

33. Finden Sie eine sechsstellige natürliche Zahl, die nur als 2 und 3 geschrieben wird und durch 6 teilbar ist.

34. Finden Sie eine sechsstellige natürliche Zahl, die nur als 7 und 3 geschrieben wird und durch 11 teilbar ist.

35. Finden Sie eine sechsstellige natürliche Zahl, die nur als 3, 4, 9 und 5 geschrieben wird und durch 9 teilbar ist.

36. Finden Sie die kleinste durch 36 teilbare natürliche Zahl, die alle 10 Ziffern enthält.

37. Finden Sie eine durch 47 teilbare sechsstellige natürliche Zahl, die nur mit den Zahlen 2, 8 und 0 geschrieben wird.

Aufgabe 3: Die Quersumme einer dreistelligen natürlichen Zahl A ist durch 12 teilbar. Die Quersumme der Zahl A + 6 ist ebenfalls durch 12 teilbar finde die kleinstmögliche Zahl A.

Lösung: Nennen wir der Einfachheit halber unsere Nummer abc. Jeder Buchstabe bezeichnet eine separate Ziffer der Zahl A: a - Hunderter, b - Zehner, c - Einheiten. Die Quersumme a + b + c muss durch 12 teilbar sein. Nehmen wir an, dass dies der Fall ist, und versuchen Sie, eine Zahl A + 6 so zu wählen, dass ihre Quersumme ebenfalls durch 12 teilbar ist. Beachten Sie, dass die Summe der Ziffern der Zahl A + 6 muss sich von der Summe der Ziffern der Zahl A um 12, 24, ... unterscheiden, sonst ist sie nicht durch 12 teilbar. Betrachten Sie alle möglichen Optionen:

Option 1. Wenn c<4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.

Option 2. Wenn c ≥ 4 und b<9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.

Option 3. Wenn c ≥ 4, b = 9, a<9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.

Option 4. Wenn c ≥ 4, b = 9, a = 9, dann ist die neue Zahl A + 6: A + 6 = 100(c - 4) Die Quersumme dieser Zahl ist: 1 + 0 + 0 + c - 4 \u003d c - 3 Die Summe der Ziffern der Zahl A mit a \u003d 9 und b \u003d 9 beträgt: 9 + 9 + c \u003d c + 18 Es stellt sich heraus, dass sich 2 dieser Zahlen unterscheiden um 21 (18 - (-3)). Diese Option funktioniert nicht. Die Ziffern von abc müssen also c ≥ 4, b = 9, a entsprechen< 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1

Antwort: 699

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

38. Die Quersumme einer natürlichen dreistelligen Zahl A ist durch 13 teilbar. Die Quersumme der Zahl A + 5 ist ebenfalls durch 13 teilbar. Finden Sie eine solche Zahl A.

39. Die Quersumme einer natürlichen dreistelligen Zahl A ist durch 12 teilbar. Die Quersumme der Zahl A + 6 ist ebenfalls durch 12 teilbar. Finden Sie die kleinste Zahl A, die die Bedingung A > 700 erfüllt.

40. Finden Sie eine dreistellige Zahl A, die alle folgenden Eigenschaften hat:

Die Quersumme von A ist durch 6 teilbar

Die Quersumme der Zahl A + 3 ist ebenfalls durch 6 teilbar

Zahl A ist größer als 350 und kleiner als 400

Geben Sie Ihre Antwort als eine solche Zahl an.

§vier

Aufgaben zum Durchstreichen und Addieren von Zahlen

Aufgabe 1: Streichen Sie in der Zahl 123456 drei Ziffern durch, sodass die resultierende Zahl durch 27 teilbar ist. Geben Sie die Zahl in Ihrer Antwort an.

Lösung:

Beginnen wir mit Zahlen, die mit der Zahl 1 beginnen, damit die Reihenfolge nicht verletzt wird:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Unter diesen Zahlen ist 135 durch 27 teilbar (13–8 5= –27)
Als nächstes überprüfen wir die Zahlen, die mit der Zahl 2 beginnen:
234, 235, 236, 245, 246, 256

Zahlen prüfen, die mit 3 beginnen:
345, 346, 356.
Keine Zahl ist durch 27 teilbar.
Kommen wir zu Zahlen, die mit der Zahl 4 beginnen.
456: nicht durch 27 teilbar.
So erhalten wir die Zahl 135

Antwort: 135

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

41. Streichen Sie in der Zahl 123456 drei Ziffern durch, sodass die resultierende Zahl durch 35 teilbar ist. Geben Sie die Zahl in Ihrer Antwort an.

42. Streichen Sie in der Zahl 123456 drei Ziffern durch, sodass die resultierende Zahl durch 5 teilbar ist. Geben Sie die Zahl in Ihrer Antwort an.

43. Streichen Sie in der Zahl 85417627 drei Ziffern so, dass die resultierende Zahl durch 18 teilbar ist. Geben Sie in Ihrer Antwort genau eine resultierende Zahl an.

44. Streichen Sie drei Ziffern in der Zahl 141565041, sodass die resultierende Zahl durch 30 teilbar ist. In der Antwort angeben genau eine resultierende Zahl.

45. Durchstreichen Die Zahl 181615121 ist dreistellig, sodass die resultierende Zahl durch 12 teilbar ist. Geben Sie in Ihrer Antwort eine solche Zahl an.

Aufgabe 2: Zur Zahl 26 addieren Sie links und rechts um die Zahl, sodass die resultierende Zahl ein Vielfaches von 45 ist.

Lösung:

Die Quersumme dieser Zahl muss durch 9 teilbar sein, die Zahl selbst muss durch 5 teilbar sein, also ist die letzte Ziffer 0 oder 5. und dann wählen wir die erste Ziffer.

1260 und 5265.

Antwort: 1260 oder 5262

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

46. ​​Fügen Sie der Zahl 374 links und rechts eine Ziffer hinzu, sodass die resultierende Zahl durch 45 teilbar ist.

47. Ordnen Sie links und rechts von 1022 eine Ziffer zu, sodass die resultierende sechsstellige Zahl durch 7, 8, 9 teilbar ist.

48. Fügen Sie links und rechts von der Zahl 15 eine Ziffer hinzu, sodass die resultierende Zahl durch 15 teilbar ist.

49. Fügen Sie zur Zahl 10 eine Ziffer nach links und eine Ziffer nach rechts hinzu, um eine Zahl zu erhalten, die ein Vielfaches von 72 ist.

50. Fügen Sie bei der Zahl 2012 zwei Ziffern rechts hinzu, sodass die resultierende sechsstellige Zahl durch 36 teilbar ist.

Antworten auf Aufgaben:

1. 1125

2. 1044

3. 1245

4. 3225

5. 4312

6. 6

7. 5

8. 3

9. 321 0

10. 3211

11. 11

12. 5

13. 1152

14. 1152

15. 2120

16. 20

17. 20

18. 10

19. 35

20. 10

21. 30

22. 24

23. 25

24. 24

25. 54

26. 1254

27. 2156

28. 3222

29. 2541

30. 1232

31. 222000

32. 111555

33. 333222

34. 377333

35. 333459

36. 1023457896

37. 282000

38. 899

39. 798

40. 369

41. 245

42. 12345

43. 54162

44. 115650

45. 181512

46. 43740

47. 910224

48. 1155

49. 4104

50. 420120

Literaturverzeichnis:

1) Schulwissen - Portal [Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: https://znanija.com/task/, kostenlos. - Titel vom Bildschirm.

2) Post. en- Portal [Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: https://answer.mail.ru/question/, kostenlos. - Titel vom Bildschirm.

3) VERWENDUNG: 4000 Aufgaben mit Antworten in Mathematik. Alle Aufgaben „Geschlossenes Segment“. Grund- und Profilstufen / I. V. Yashchenko, I. R. Vysotsky, A. V. Zabelin, P. I. Zakharov, S. L. Krupetsky, V. B. Nekrasov, M. A. Positselskaya, S. E Positselsky, E. A. Semenko, A. V. Semenov, V. A. Smirnov, N. A. Soprunova, A. V. Khachaturyan, I. A. Khovanskaya, S. A. Shestakov, D. E. Shnol; ed. I. W. Jaschtschenko. - M .: Verlag "Exam", 2015. - 686, p. (Reihe „Bank of USE-Aufgaben“)

4) Mathematiker - Portal [Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: http://mathematichka.ru/, kostenlos. - Titel vom Bildschirm.

5) Probleme der mathematischen Olympiaden / I. L. Babinskaya. - M.: Die Hauptausgabe der physikalischen und mathematischen Literatur des Nauka-Verlags, 1975. - 109, p.

6) Offene Bank von USE-Aufgaben in Mathematik – Portal [Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: http://base.mathege.ru/, kostenlos. - Titel vom Bildschirm.

7) Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE - Prüfungen für Personen - Portal [Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: http://worksbase.ru/, kostenlos. - Titel vom Bildschirm.

Demoversion der Aufnahmeprüfung
in die 8. mathematische Klasse des GBOU Lyceum Nr. 1535. Stufe 1
1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Lösung:

Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Bewegung eines Touristen von Stadt A nach Stadt B, und auf dem Weg machten sie Halt. Definieren:
a) In welcher Entfernung (in km) von der Stadt A hat der Tourist angehalten?
b) Wie hoch war die Geschwindigkeit (in km/h) des Touristen nach dem Halt?
c) Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit (in km/h) bewegte sich der Tourist von A nach B?

Lösung: a) Antwort: 9; b) 18-9=9, 7-5=2, also 9:2=4,5 km/h; c) 18:5 = 3,6 km/h.

3) Bringe das Polynom (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) in die Normalform/
Lösung: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 - p-16)=p3+3p2-16p-48-p3+p2+16p=4p2-48

4) Finden Sie die Wurzel der Ausdrucksgleichung: 8 15: x=4 17 2 6
Lösung:

5) Finden Sie unter Verwendung der Daten der Abbildung das Gradmaß des Winkels α


Lösung: 136°+44°=180°, also sind die Geraden parallel. Daher ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, also ∠α=180°-44°-56°=80°.

6) Was ist die Wurzel der Gleichung

Lösung: Multiplizieren Sie alle Terme mit 30, die Nenner werden kleiner:

7) Finden Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks:

Lösung:

8) Wenn eine der angrenzenden Seiten des Quadrats um 2 cm reduziert und die andere um 6 cm vergrößert wird, erhalten Sie ein Rechteck, dessen Fläche gleich der Fläche des Rechtecks ​​​​ist, das sich daraus ergibt ursprüngliches Quadrat, wenn eine seiner angrenzenden Seiten nicht geändert wird und die andere um 3 cm erhöht wird.Wie groß ist (in Quadratzentimetern) die Fläche des ursprünglichen Quadrats?
Lösung. Lassen x- Seite eines Quadrats. Machen wir eine Gleichung:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x 2 +4x-12=x 2 +3x;
x=12
Die Fläche des ursprünglichen Quadrats beträgt 12 12 = 144 cm 2 .

9) Setze die Formel auf eine lineare Funktion, deren Graph im Koordinatensystem 0xy durch den Punkt Т(209,908) geht und sich nicht mit dem Graphen der Gleichung 9x+3y=14 schneidet
Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um

Die Formel einer linearen Funktion in allgemeiner Form lautet y=kx+b. Wenn sich der Graph der erforderlichen Gleichung nicht mit dem Graphen der gegebenen Gleichung schneidet, dann ist k=-3. Daher 908=-3 209 + b, womit b=1535.
Die Formel der gewünschten linearen Funktion: y=-3x+1535

10) Es gibt ein Stück einer Legierung aus Kupfer und Zinn mit einer Gesamtmasse von 24 kg, die 45 % Kupfer enthält. Wie viel Kilogramm reines Zinn müssen diesem Legierungsstück hinzugefügt werden, damit die daraus resultierende neue Legierung 40 % Kupfer enthält?
Lösung. Wenn eine Legierung aus Kupfer und Zinn 45 % Kupfer enthält, dann enthält sie 55 % Zinn. Wenn die neue Legierung 40 % Kupfer enthält, dann enthält sie 60 % Zinn. Sei x die Anzahl kg Reinzinn, die der Legierung zugesetzt werden soll. Machen wir eine Gleichung:
0,55 24 + x = 0,6 (x+24)
x-0,6x=0,6 24- 0,55 24
0,4x=0,05 24
x=3
Antwort: 3 kg.
Tutorenhinweis Mathematik: Mehr zu Methoden zur Lösung von Legierungs- und Mischungsaufgaben können Sie im Artikel Vor- und Nachteile verschiedener Methoden zur Lösung von Legierungs- und Mischungsaufgaben nachlesen

11) Finden Sie gemäß der Abbildung, die die Graphen zweier linearer Funktionen und einer Parabel zeigt, die Abszisse des Punktes T.

Lösung. Die Gerade y=5x und die Parabel y=x 2 schneiden sich in zwei Punkten. Finden wir die Abszissen dieser Punkte mit der Gleichung 5x=x 2 . Also x 1 = 0; x2=5. Die Ordinate des Schnittpunktes ist also 25
Die Gerade, auf der der Punkt T liegt, geht durch die Punkte mit den Koordinaten (5;25) und (0;27). Die Geradengleichung in allgemeiner Form: y=kx+b. Setzt man statt x und y die Koordinaten der Geradenpunkte ein, erhält man ein Gleichungssystem:


Der Punkt T hat eine Ordinate gleich Null. Folglich

Antworten. 67.5.

12) Von Punkt A der Kreisbahn aus beginnen zwei Objekte gleichzeitig eine gleichförmige Bewegung in entgegengesetzte Richtungen. Bis sie sich treffen, legt das erste Objekt 100 Meter weiter zurück als das zweite und kehrt 9 Minuten nach dem Treffen zu Punkt A zurück. Finden Sie die Länge der Strecke in Metern, wenn das zweite Objekt 16 Minuten nach dem Treffen zu Punkt A zurückkehrt.
Notiz. Im Internet findet man Seiten, wo solche Probleme durch eine quadratische Gleichung gelöst werden. Inzwischen ist diese Arbeit für diejenigen gedacht, die in die 8. Klasse eintreten. Das heißt, dieses Problem zu lösen, indem man die quadratische Gleichung kennt, die in der 8. Klasse bestanden wird, ist falsch. Es besteht keine Notwendigkeit, das Programm der 8. Klasse anzuwenden, um ein Problem zu lösen, das sich an Schüler der siebten Klasse richtet. Unten ist eine Lösung, die keine quadratische Gleichung erfordert
Lösung. Sei t die Zeit, bis sich die Objekte treffen, v 1 - die Geschwindigkeit des ersten Objekts, v 2 - die Geschwindigkeit des zweiten Objekts.
Dann ist v 1 · t - v 2 · t = 100, da das erste Objekt zum Zeitpunkt des Treffens 100 m mehr zurückgelegt hat. Da v 2 t der Weg ist, den das erste Objekt nach dem Treffen passiert hat, v 1 seine Geschwindigkeit ist und es nach 9 Minuten zu Punkt A zurückgekehrt ist, können wir eine Gleichung aufstellen

Ähnlich
. Drei Gleichungen bilden ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Lassen Sie uns die 1. Gleichung durch die 2. teilen. Erhalten:

wo

Auf diese Weise,

Setzen wir diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein, erhalten wir t=12 min

Setzen wir den letzten Ausdruck und t=12 in die dritte Gleichung des Systems ein, erhalten wir:

von hier

Je nach Bedingung kann die Länge der Strecke in Metern ermittelt werden, indem der Weg des ersten Objekts zur Begegnung und der Weg des zweiten Objekts zur Begegnung addiert werden. Also

Antworten. 700 Meter

13) Ein gleichseitiges Dreieck MPL wird auf der Seite ML des Quadrats MNKL konstruiert, und der Punkt P befindet sich innerhalb des Quadrats. Ermitteln Sie das Gradmaß des Winkels LPK.
Lösung

Durch die Bedingung ML=PL=KL; Dreieck PLM ist gleichseitig, also sind alle Winkel 60°, also ∠PLK=30°. Also ∠LPK=(180°-30°) : 2=75°.

14) Factorize: (Lösungen werden sofort geschrieben)

Alexander Anatoljewitsch, Tutor für Mathematik. 8-968-423-9589. Ich habe eine erfolgreiche Erfahrung in der Vorbereitung von Schülern auf dieses Lyzeum, einschließlich der 8. Klasse der mathematischen Spezialisierung und Klassen anderer Spezialisierungen. Es ist wichtig für diejenigen, die sich darauf vorbereiten, das Lyzeum Nr. 1535 sowie andere Lyzeen zu besuchen, um zu verstehen, dass die tatsächlichen Optionen für Aufnahmeprüfungen etwas anders sind als die Demonstrationsprüfungen. Daher ist es notwendig, andere ähnliche Aufgaben lösen zu können.

Lösung Option 238 Larina Einheitliche Staatsprüfung 2018. Eine ausführliche Analyse der Aufgaben 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 von alexlarin.net. Alex Larin 238 Timings: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 twitter:https://twitter.com/mrMathlesson
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Aufgabenbeispiele: 1) Das Becken hat die Form eines rechteckigen Parallelepipeds. Seine Länge, Breite und Tiefe betragen 25 m, 12 m bzw. 2 m. Für die Auskleidung des Bodens und der Wände des Beckens wurde beschlossen, Fliesen zu einem Preis von 500 Rubel zu kaufen. pro Quadratmeter. Wie viele Rubel kostet der Kauf, wenn geplant ist, zusätzlich einen rechteckigen Weg mit einer Breite von 1 m aus derselben Fliese entlang des Beckenumfangs anzulegen? 2) Das Diagramm zeigt die Druckänderung in der Dampfturbine nach dem Start. Auf der Abszissenachse ist die Zeit in Minuten aufgetragen, auf der Ordinatenachse ist der Druck in Atmosphären aufgetragen. Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wie viele Minuten vom Start der Turbine bis zu dem Moment vergangen sind, an dem der Druck zum ersten Mal seinen Maximalwert erreicht hat. 3) Finden Sie den Bereich des Dreiecks ABC, wenn die Seite der Zelle 4 ist. 4) Es gibt 8 identische Paar Handschuhe auf der Theke, aber ein Paar hat eine unmerkliche Verbindung in beiden Handschuhen. Bei der Anprobe wurden alle Handschuhe gemischt. Der Verkäufer teilte alle Handschuhe nach dem Zufallsprinzip in 4 Gruppen zu je 4 Stück ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide defekten Handschuhe in derselben Gruppe sind? 5) Lösen Sie die Gleichung. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, geben Sie die kleinere der Wurzeln in Ihrer Antwort an. 6) Finde den spitzen Winkel zwischen den Winkelhalbierenden der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. 7) Die Abbildung zeigt einen Graphen y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-4; 10) . Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen y \ u003d f (x) ist parallel zur Linie y \u003d x oder fällt damit zusammen. 8) Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist dreimal geringer als die Seite der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene von der Basis der Pyramide Geben Sie die Antwort in Grad an 10) Nach Regen kann der Wasserspiegel im Brunnen steigen Der Junge bestimmt dies, indem er die Fallzeit t von kleinen Kieselsteinen in den Brunnen misst und mit der Formel h = rechnet 5 t. Vor dem Regen betrug die Fallzeit der Kiesel 1,4 s. Auf welche Mindesthöhe muss der Wasserspiegel nach dem Regen ansteigen, damit sich die gemessene Zeit um mehr als 0,2 s ändert? Die kreisförmige Bahn beginnt gleichzeitig mit der gleichförmigen Bewegung zweier Körper in entgegengesetzte Richtungen. Wenn sie sich treffen, legt der erste Körper 200 m mehr zurück als der zweite und kehrt 25 Minuten nach der Begegnung zu Punkt A zurück. Ermitteln Sie die Länge des Pfads in Metern, wenn der zweite Körper o kehrt 36 Minuten nach der Sitzung zu Punkt A zurück. 14) In der Dreieckspyramide ABCD sind alle Kanten gleich lang. Der Punkt P ist von den Eckpunkten A und D gleich weit entfernt, und es ist bekannt, dass PB = PC und die Linie PB senkrecht zur Höhe des Dreiecks ACD ist, das vom Eckpunkt D abgesenkt ist. a) Beweisen Sie, dass der Punkt P im Schnittpunkt der Höhen der Pyramide ABCD liegt. b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD, wenn bekannt ist, dass Link zur Originalquelle der Variante:
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