Es ist praktisch schwierig, einen solchen Wert zu finden Mit, bei welchem (b-a)f(c) wäre genau gleich. Um einen genaueren Wert zu erhalten, wird der Bereich eines krummlinigen Trapezes unterteilt n Rechtecke gleicher Höhe y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 und Stiftungen.

Wenn wir die Flächen von Rechtecken zusammenfassen, die die Fläche eines krummlinigen Trapezes mit einem Nachteil abdecken, ist die Funktion nicht abnehmend, dann wird anstelle der Formel die Formel verwendet

Wenn im Überschuss, dann

Werte werden aus Gleichheiten gefunden. Diese Formeln werden aufgerufen Rechteckformeln und geben Sie ein ungefähres Ergebnis an. Mit der Erhöhung n das Ergebnis wird genauer.

Beispiel 1 . Berechnen Sie aus der Formel der Rechtecke

Wir teilen das Integrationsintervall in 5 Teile. Dann . Mit einem Taschenrechner oder einer Tabelle finden wir die Werte des Integranden (mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen):

Nach der Rechteckformel (mit Nachteil)

Andererseits nach der Newton-Leibniz-Formel

Lassen Sie uns den relativen Berechnungsfehler mit der Rechteckformel finden:

Berechnung von Integralen durch Trapezformeln. Fehlerschätzung:

Die geometrische Bedeutung der folgenden Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen besteht darin, die Fläche eines ungefähr gleich großen "geradlinigen" Trapezes zu finden.

Lassen Sie es notwendig sein, die Fläche zu berechnen A 1 AmBB 1 krummliniges Trapez, ausgedrückt durch die Formel .

Lassen Sie uns den Bogen ersetzen AmB Akkord AB und anstelle der Fläche eines krummlinigen Trapezes A 1 AmBB 1 Berechnen Sie die Fläche des Trapezes A 1 ABB 1: , wo A.A. 1 und BB 1 - die Basis des Trapezes und A 1 V 1 ist seine Höhe.

Bezeichnen f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. trapezförmige Höhe A 1 B 1 \u003d b-a, Quadrat . Folglich, oder

Diese sog kleine Trapezformel.

Jekaterinburg

Berechnung eines bestimmten Integrals

Einführung

Die Aufgabe der numerischen Integration von Funktionen besteht darin, den ungefähren Wert eines bestimmten Integrals zu berechnen:

basierend auf einer Reihe von Werten des Integranden. ( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Formeln zur numerischen Berechnung eines einzelnen Integrals heißen Quadraturformeln, Doppel- und mehr Vielfach-Kubatur.

Die übliche Technik zum Konstruieren von Quadraturformeln besteht darin, den Integranden f(x) auf einem Segment durch eine Interpolations- oder Annäherungsfunktion g(x) einer relativ einfachen Form zu ersetzen, beispielsweise ein Polynom, gefolgt von einer analytischen Integration. Dies führt zur Präsentation

Vernachlässigt man den Restterm R[f], erhält man die Näherungsformel

Bezeichne mit y i = f(x i) den Wert des Integranden an verschiedenen Punkten

Als Näherungsfunktion g(x) betrachten wir ein Interpolationspolynom on

Formel (1) ergibt

In Formel (2) sind die Mengen (

Zusammenfassen.

2. In Quadraturformeln vom Interpolationstyp kann der Restterm R n [f] als der Wert eines bestimmten Differentialoperators auf der Funktion f(x) dargestellt werden. Zum

3. Für Polynome bis einschließlich Ordnung n ist die Quadraturformel (2) exakt, d.h.

Betrachten Sie Sonderfälle der Formeln (2) und (3): die Methode der Rechtecke, Trapeze, Parabeln (Simpson-Methode). Die Namen dieser Methoden sind auf die geometrische Interpretation der entsprechenden Formeln zurückzuführen.

Rechteck-Methode

Das bestimmte Integral der Funktion der Funktion f(x):

Das durch Formel (4) dargestellte Verfahren wird als Left-Box-Verfahren bezeichnet, und das durch Formel (5) dargestellte Verfahren wird als Right-Box-Verfahren bezeichnet:

Um ein bestimmtes Integral mit der Methode der mittleren Rechtecke zu finden, wird die durch die Linien a und b begrenzte Fläche in n Rechtecke mit derselben Basis h unterteilt, deren Höhen die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit sind die Mittelpunkte der Rechtecke (h/2). Das Integral ist numerisch gleich der Summe der Flächen von n Rechtecken (Abbildung 3).

n ist die Anzahl der Partitionen des Segments.

Trapezverfahren

Um ein bestimmtes Integral mit der Trapezmethode zu finden, wird die Fläche eines krummlinigen Trapezes ebenfalls in n rechteckige Trapeze mit Höhen h und Basen y 1, y 2, y 3,..y n unterteilt, wobei n die Anzahl der ist rechteckiges Trapez. Das Integral ist numerisch gleich der Summe der Flächen rechteckiger Trapeze (Abbildung 4).

n ist die Anzahl der Partitionen

Der Fehler der Trapezformel wird durch die Zahl geschätzt

Der Fehler der Trapezformel mit Wachstum

Simpson-Formel

Wenn für jedes Segmentpaar

Heute lernen wir eine weitere Methode der numerischen Integration kennen, die Trapezmethode. Mit ihrer Hilfe berechnen wir bestimmte Integrale mit einer bestimmten Genauigkeit. In dem Artikel beschreiben wir das Wesen der Trapezmethode, analysieren, wie die Formel abgeleitet wird, vergleichen die Trapezmethode mit der Rechteckmethode und schreiben die Schätzung des absoluten Fehlers der Methode auf. Wir werden jeden der Abschnitte mit Beispielen für ein tieferes Verständnis des Materials illustrieren.

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Angenommen, wir müssten näherungsweise das bestimmte Integral ∫ a b f (x) d x berechnen, dessen Integrand y = f (x) auf der Strecke [ a ; b] . Dazu teilen wir das Segment [ a ; b ] in mehrere gleiche Intervalle der Länge h mit Punkten a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Lassen Sie uns den Teilungsschritt finden: h = b - a n . Wir definieren Knoten aus der Gleichheit x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Betrachten Sie bei elementaren Intervallen den Integranden x i - 1 ; x ich , ich = 1 , 2 , . . , n .

Mit einer unendlichen Vergrößerung von n reduzieren wir alle Fälle auf die vier einfachsten Möglichkeiten:

Segmente x i - 1 auswählen; x ich , ich = 1 , 2 , . . . , n . Lassen Sie uns die Funktion y = f (x) in jedem der Graphen durch ein gerades Liniensegment ersetzen, das durch die Punkte mit den Koordinaten x i - 1 verläuft; f x i - 1 und x i ; f x ich . Wir markieren sie in den Abbildungen blau.

Nehmen wir den Ausdruck f (x i - 1) + f (x i) 2 h als Näherungswert des Integrals ∫ x i - 1 x if (x) d x . Diese. nimm ∫ x ich - 1 x ich f (x) d x ≈ f (x ich - 1) + f (x ich) 2 h .

Mal sehen, warum die numerische Integrationsmethode, die wir untersuchen, Trapezmethode genannt wird. Dazu müssen wir herausfinden, was die geschriebene ungefähre Gleichheit aus geometrischer Sicht bedeutet.

Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, multiplizieren Sie die Halbsummen seiner Grundflächen mit der Höhe. Im ersten Fall ist die Fläche eines krummlinigen Trapezes ungefähr gleich einem Trapez mit Basen f (x i - 1) , f (x i) Höhe h . Im vierten der von uns betrachteten Fälle ist das gegebene Integral ∫ x i - 1 x f (x) d x ungefähr gleich der Fläche eines Trapezes mit Basen - f (x i - 1) , - f (x i) und Höhe h, die mit dem Vorzeichen „-“ zu übernehmen ist. Um den ungefähren Wert des bestimmten Integrals ∫ x i - 1 x i f (x) d x im zweiten und dritten der betrachteten Fälle zu berechnen, müssen wir die Differenz zwischen den Flächen der roten und blauen Regionen finden, mit denen wir markiert haben Schraffur in der Abbildung unten.

Fassen wir zusammen. Das Wesen der Trapezmethode ist wie folgt: Wir können das bestimmte Integral ∫ a b f (x) d x als Summe von Integralen der Form ∫ x i - 1 x i f (x) d x auf jedem Elementarsegment und in der anschließenden ungefähren Änderung ∫ darstellen x ich - 1 x ich f (x) d x ≈ f (x ich - 1) + f (x ich) 2 h.

Trapezformel

Erinnere dich an die fünfte Eigenschaft des bestimmten Integrals: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Um die Formel der Trapezmethode zu erhalten, ersetzen Sie anstelle der Integrale ∫ x i - 1 x i f (x) d x ihre Näherungswerte: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ ich = 1 n f (x ich - 1) + f (x ich) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x ich - 1 x ich f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ ich = 1 n - 1 f (x ich) + f (x n)

Bestimmung 1

Trapezformel:∫ x ich - 1 x ich f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ ich = 1 n - 1 f (x ich) + f (x n)

Abschätzung des absoluten Fehlers der Trapezmethode

Schätzen wir den absoluten Fehler des Trapezverfahrens wie folgt ab:

Bestimmung 2

δ n ≤ m ein x x ∈ [ ein ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m ein x x ∈ [ ein ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Eine grafische Darstellung des Trapezverfahrens ist in der Abbildung dargestellt:

Berechnungsbeispiele

Analysieren wir Beispiele für die Verwendung der Trapezmethode zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale. Wir werden besonderes Augenmerk auf zwei Arten von Aufgaben legen:

• Berechnung eines bestimmten Integrals nach der Trapezmethode für eine gegebene Anzahl von Partitionen des Segments n;
• Finden eines ungefähren Werts eines bestimmten Integrals mit einer bestimmten Genauigkeit.

Bei gegebenem n müssen alle Zwischenrechnungen mit ausreichend hoher Genauigkeit durchgeführt werden. Die Genauigkeit der Berechnungen sollte umso höher sein, je größer n ist.

Wenn wir eine bestimmte Genauigkeit bei der Berechnung eines bestimmten Integrals haben, müssen alle Zwischenrechnungen um zwei oder mehr Größenordnungen genauer durchgeführt werden. Wenn die Genauigkeit beispielsweise auf 0,01 eingestellt ist, führen wir Zwischenberechnungen mit einer Genauigkeit von 0,0001 oder 0,00001 durch. Für große n müssen Zwischenrechnungen mit noch höherer Genauigkeit durchgeführt werden.

Nehmen wir die obige Regel als Beispiel. Dazu vergleichen wir die Werte eines bestimmten Integrals, das nach der Newton-Leibniz-Formel berechnet und nach der Trapezmethode erhalten wurde.

Also, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Beispiel 1

Mit der Trapezmethode berechnen wir das bestimmte Integral ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x für n gleich 10 .

Lösung

Die Formel für das Trapezverfahren lautet ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Um die Formel anzuwenden, müssen wir den Schritt h mit der Formel h = b - a n berechnen, die Knoten x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , berechnen Sie die Werte des Integranden f (x) = 7 x 2 + 1 .

Der Teilungsschritt wird wie folgt berechnet: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Zur Berechnung des Integranden an den Knoten x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n nehmen wir vier Nachkommastellen:

ich \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . ich = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Tragen wir die Ergebnisse der Berechnungen in die Tabelle ein:

Setzen Sie die erhaltenen Werte in die Formel der Trapezmethode ein: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Vergleichen wir unsere Ergebnisse mit den nach der Newton-Leibniz-Formel berechneten Ergebnissen. Die empfangenen Werte stimmen bis auf Hundertstel überein.

Antworten:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Beispiel 2

Mit der Trapezmethode berechnen wir den Wert des bestimmten Integrals ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x mit einer Genauigkeit von 0 , 01 .

Lösung

Je nach Problemstellung ist a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .

Finde n , das gleich der Anzahl der Teilungspunkte des Integrationssegments ist, indem du die Ungleichung zum Schätzen des absoluten Fehlers δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Wir werden es folgendermaßen machen: Wir werden die Werte n finden, für die die Ungleichung m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Bei gegebenem n gibt uns die Trapezformel einen ungefähren Wert eines bestimmten Integrals mit einer bestimmten Genauigkeit.

Lassen Sie uns zuerst den größten Wert des Moduls der zweiten Ableitung der Funktion auf dem Intervall [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Die zweite Ableitungsfunktion ist eine quadratische Parabel f ​​"" (x) = x 2 . Wir wissen von seinen Eigenschaften, dass es positiv ist und auf dem Segment zunimmt [1; 2]. Dabei gilt m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

In dem gegebenen Beispiel ist der Prozess des Findens von m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) stellte sich als ziemlich einfach heraus. In komplexen Fällen können Sie sich für Berechnungen auf den größten und kleinsten Wert der Funktion beziehen. Nachdem wir dieses Beispiel betrachtet haben, stellen wir eine alternative Methode vor, um m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Setzen wir den erhaltenen Wert in die Ungleichung m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 .01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 .7735

Die Anzahl der Elementarintervalle, in die das Integrationssegment unterteilt wird, n ist eine natürliche Zahl. Nehmen wir für das Berechnungsverhalten an, dass n gleich sechs ist. Ein solcher Wert von n ermöglicht es uns, die angegebene Genauigkeit der Trapezmethode mit einem Minimum an Berechnungen zu erreichen.

Lassen Sie uns den Schritt berechnen: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Finde Knoten x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n ermitteln wir die Werte des Integranden an diesen Knoten:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833

Wir schreiben die Berechnungsergebnisse in Form einer Tabelle:

Wir setzen die erhaltenen Ergebnisse in die Trapezformel ein:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Zum Vergleich berechnen wir das ursprüngliche Integral mit der Newton-Leibniz-Formel:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Wie Sie sehen können, haben wir die erhaltene Genauigkeit der Berechnungen erreicht.

Antwort: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Bei komplexen Integranden ist es nicht immer einfach, die Zahl n aus der Ungleichung zum Schätzen des absoluten Fehlers zu finden. In diesem Fall wäre das folgende Verfahren geeignet.

Bezeichnen wir den ungefähren Wert des bestimmten Integrals, der durch die Trapezmethode für n Knoten erhalten wurde, als I n . Wählen wir eine beliebige Zahl n . Unter Verwendung der Formel der Trapezmethode berechnen wir das Anfangsintegral mit einer einfachen (n = 10) und doppelten (n = 20) Anzahl von Knoten und finden den absoluten Wert der Differenz zwischen den beiden erhaltenen Näherungswerten I 20 - ich 10 .

Wenn der Absolutwert der Differenz zwischen den beiden erhaltenen Näherungswerten kleiner als die erforderliche Genauigkeit I 20 - I 10 ist< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Wenn der Betrag der Differenz zwischen den beiden erhaltenen Näherungswerten größer als die erforderliche Genauigkeit ist, müssen die Schritte mit der doppelten Anzahl von Knoten (n = 40) wiederholt werden.

Diese Methode erfordert viele Berechnungen, daher ist es ratsam, Computertechnologie zu verwenden, um Zeit zu sparen.

Lassen Sie uns das Problem mit dem obigen Algorithmus lösen. Um Zeit zu sparen, verzichten wir auf Zwischenrechnungen nach der Trapezmethode.

Beispiel 3

Das bestimmte Integral ∫ 0 2 x e x d x muss nach der Trapezmethode mit einer Genauigkeit von 0 001 berechnet werden.

Lösung

Nehmen wir n gleich 10 und 20 . Nach der Trapezformel erhalten wir I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 – I 10 = 8, 4066906 – 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0,001, was weitere Berechnungen erfordert.

Nehmen wir n gleich 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0,001, was ebenfalls weitere Berechnungen erfordert.

Nehmen wir n gleich 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 – I 40 = 8,3901585 – 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, was eine weitere Verdopplung der Knotenzahl erfordert.

Nehmen wir n gleich 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Sie können einen ungefähren Wert des ursprünglichen Integrals erhalten, indem Sie I 160 = 8 , 3893317 auf Tausendstel runden: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Zum Vergleich berechnen wir das ursprüngliche bestimmte Integral mit der Newton-Leibniz-Formel: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Die erforderliche Genauigkeit wurde erreicht.

Antwort: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Fehler

Zwischenrechnungen zur Bestimmung des Wertes eines bestimmten Integrals werden meist näherungsweise durchgeführt. Dies bedeutet, dass sich der Rechenfehler mit zunehmendem n zu akkumulieren beginnt.

Vergleichen wir die Schätzungen der absoluten Fehler der Trapezmethode und der Methode der mittleren Rechtecke:

δ n ≤ m ein x x ∈ [ ein ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m ein x x ∈ [ ein ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ ein ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m ein x x ∈ [ ein ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Die Methode der Rechtecke für gegebenes n ergibt bei gleichem Rechenaufwand den halben Fehler. Dies macht das Verfahren in Fällen vorzuziehen, in denen die Werte der Funktion in den mittleren Segmenten von Elementarsegmenten bekannt sind.

In den Fällen, in denen die integrierbaren Funktionen nicht analytisch, sondern als Wertemenge an den Knoten angegeben werden, können wir die Trapezmethode verwenden.

Wenn wir die Genauigkeit der Trapezmethode und der Methode der rechten und linken Rechtecke vergleichen, übertrifft die erste Methode die zweite in der Genauigkeit des Ergebnisses.

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Trapezverfahren ist eines der numerischen Integrationsverfahren. Es ermöglicht Ihnen, bestimmte Integrale mit einem vorgegebenen Genauigkeitsgrad zu berechnen.

Zunächst beschreiben wir das Wesen der Trapezmethode und leiten die Trapezformel ab. Als nächstes schreiben wir eine Schätzung des absoluten Fehlers der Methode und analysieren im Detail die Lösung typischer Beispiele. Vergleichen wir abschließend die Methode der Trapeze mit der Methode der Rechtecke.

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Die Essenz der Trapezmethode.

Stellen wir uns folgende Aufgabe: Wir wollen näherungsweise das bestimmte Integral berechnen, wobei der Integrand y=f(x) auf dem Intervall stetig ist.

Lassen Sie uns das Segment in n gleiche Intervalle der Länge h mit Punkten teilen. In diesem Fall wird der Partitionsschritt gefunden, da die Knoten aus der Gleichheit bestimmt werden.

Betrachten Sie den Integranden auf elementaren Intervallen .

Vier Fälle sind möglich (die Abbildung zeigt den einfachsten, auf den sich alles reduziert, wenn n unendlich wächst):

Auf jedem Segment Lassen Sie uns die Funktion y=f(x) durch ein Liniensegment ersetzen, das durch die Punkte mit den Koordinaten und verläuft. Wir stellen sie in der Abbildung mit blauen Linien dar:

Als ungefähren Wert des Integrals nehmen wir den Ausdruck , das heißt, nehmen wir .

Lassen Sie uns herausfinden, was die geschriebene ungefähre Gleichheit im geometrischen Sinne bedeutet. Dadurch wird verständlich, warum das betrachtete Verfahren der numerischen Integration als Trapezverfahren bezeichnet wird.

Wir wissen, dass sich die Fläche eines Trapezes als Produkt der halben Summe der Basen mal der Höhe ergibt. Daher ist im ersten Fall die Fläche eines krummlinigen Trapezes ungefähr gleich der Fläche eines Trapezes mit Basen und Höhe h, im letzteren Fall ist das bestimmte Integral ungefähr gleich der Fläche des Trapezes mit Basen und Höhe h mit Minuszeichen. Im zweiten und dritten Fall ist der ungefähre Wert des bestimmten Integrals gleich der Differenz zwischen den Bereichen der roten und blauen Bereiche, die in der folgenden Abbildung gezeigt werden.

Damit sind wir angekommen die Essenz der Trapezmethode, die darin besteht, ein bestimmtes Integral als Summe von Integralen der Form auf jedem elementaren Intervall und in der anschließenden ungefähren Ersetzung darzustellen .

Trapezformel.

Aufgrund der fünften Eigenschaft des bestimmten Integrals .

Wenn wir ihre Näherungswerte anstelle von Integralen ersetzen, erhalten wir:

Abschätzung des absoluten Fehlers der Trapezmethode.

Absoluter Fehler der Trapezmethode bewertet als
.

Grafische Darstellung des Trapezverfahrens.

Lassen Sie uns bringen Grafische Darstellung des Trapezverfahrens:

Beispiele zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale nach dem Trapezverfahren.

Analysieren wir anhand von Beispielen die Anwendung der Trapezmethode bei der näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale.

Grundsätzlich gibt es zwei Arten von Aufgaben:

• oder das bestimmte Integral nach der Trapezmethode für eine gegebene Anzahl von Partitionen der Strecke n berechnen,
• oder einen ungefähren Wert eines bestimmten Integrals mit der erforderlichen Genauigkeit finden.

Zu beachten ist, dass bei gegebenem n Zwischenrechnungen mit ausreichender Genauigkeit durchgeführt werden sollten und je grösser n, desto genauer die Berechnungen sein sollten.

Wenn es erforderlich ist, ein bestimmtes Integral mit einer bestimmten Genauigkeit zu berechnen, z. B. bis zu 0,01 , dann empfehlen wir, Zwischenberechnungen um zwei oder drei Größenordnungen genauer durchzuführen, dh bis zu 0,0001 - 0,00001 . Wird die angegebene Genauigkeit bei großem n erreicht, sollten Zwischenrechnungen mit noch höherer Genauigkeit durchgeführt werden.

Nehmen wir zum Beispiel ein bestimmtes Integral, dessen Wert wir mit der Newton-Leibniz-Formel berechnen können, um dieses Ergebnis mit einem Näherungswert zu vergleichen, den wir mit der Trapezmethode erhalten haben.

So, .

Beispiel.

Berechnen Sie das bestimmte Integral mit der Trapezmethode für n = 10 .

Lösung.

Die Formel für die Trapezmethode lautet . Das heißt, um es anzuwenden, reicht es uns aus, den Schritt h mit der Formel zu berechnen , die Knoten zu bestimmen und die entsprechenden Werte des Integranden zu berechnen .

Lassen Sie uns den Partitionsschritt berechnen: .

Wir definieren die Knoten und berechnen die Werte des Integranden in ihnen (wir nehmen vier Dezimalstellen):

Der Einfachheit halber werden die Berechnungsergebnisse in Form einer Tabelle dargestellt:

Wir setzen sie in die Formel der Trapezmethode ein:

Der erhaltene Wert stimmt bis auf Hundertstel mit dem nach der Newton-Leibniz-Formel berechneten Wert überein.

Beispiel.

Bestimmtes Integral berechnen Trapezverfahren mit einer Genauigkeit von 0,01 .

Lösung.

Was erhalten wir aus der Bedingung: a = 1; b=2; .

In diesem Fall finden wir zunächst die Anzahl der Teilungspunkte des Integrationssegments, also n. Wir können dies tun, indem wir die Ungleichung verwenden, um den absoluten Fehler zu schätzen . Wenn wir also n finden, für das die Ungleichung gilt , dann liefert uns die Trapezformel für gegebenes n einen ungefähren Wert eines bestimmten Integrals mit der erforderlichen Genauigkeit.

Lassen Sie uns zuerst den größten Wert des Moduls der zweiten Ableitung der Funktion auf dem Intervall finden.

Die zweite Ableitung der Funktion ist eine quadratische Parabel, wir wissen von ihren Eigenschaften, dass sie positiv ist und daher auf dem Segment wächst . Wie Sie sehen können, ist der Prozess des Findens in unserem Beispiel recht einfach. Für komplexere Fälle siehe den Abschnitt. Wenn es sehr schwer zu finden ist, geben wir nach diesem Beispiel eine alternative Vorgehensweise an.

Kommen wir zurück zu unserer Ungleichheit und ersetzen Sie den resultierenden Wert darin:

Als n ist eine natürliche Zahl (n ist die Anzahl der elementaren Intervalle, in die das Integrationssegment unterteilt ist), dann können wir n = 6, 7, 8, ... nehmen. Nehmen wir n = 6 . Dadurch können wir die erforderliche Genauigkeit der Trapezmethode mit einem Minimum an Berechnungen erreichen (obwohl es für unseren Fall mit n = 10 bequemer ist, manuelle Berechnungen durchzuführen).

So, n gefunden, gehen Sie nun wie im vorigen Beispiel vor.

Schritt berechnen: .

Finden Sie die Gitterknoten und die Werte des Integranden an ihnen:

Tragen wir die Ergebnisse der Berechnungen in die Tabelle ein:

Wir setzen die erhaltenen Ergebnisse in die Trapezformel ein:

Wir berechnen das ursprüngliche Integral mit der Newton-Leibniz-Formel, um die Werte zu vergleichen:

Daher wird die erforderliche Genauigkeit erreicht.

Es sei darauf hingewiesen, dass das Auffinden der Zahl n aus der Ungleichung zum Schätzen des absoluten Fehlers kein sehr einfaches Verfahren ist, insbesondere für komplexe Integranden. Daher ist es logisch, auf die folgende Methode zurückzugreifen.

Der ungefähre Wert des bestimmten Integrals, der durch das Trapezverfahren für n Knoten erhalten wird, wird mit bezeichnet.

Wählen Sie eine beliebige Zahl n , zum Beispiel n = 10 . Mit der Formel der Trapezmethode berechnen wir das Anfangsintegral für n = 10 und für die doppelte Knotenzahl, also für n = 20. Wir finden den Absolutwert der Differenz zwischen den beiden erhaltenen Näherungswerten. Wenn es weniger als die erforderliche Genauigkeit ist , dann stoppen wir die Berechnungen und nehmen den Wert als Näherungswert des bestimmten Integrals, nachdem wir ihn zuvor auf die erforderliche Genauigkeitsordnung gerundet haben. Andernfalls verdoppeln wir die Anzahl der Knoten (wir nehmen n = 40 ) und wiederholen die Schritte.

Lehr- und Erziehungsaufgaben:

• didaktischer Zweck. Einführung in die Methoden der näherungsweisen Berechnung eines bestimmten Integrals.
• Bildungsziel. Das Thema dieser Lektion ist von großem praktischen und pädagogischen Wert. Die einfachste Herangehensweise an die Idee der numerischen Integration basiert auf der Definition eines bestimmten Integrals als Grenzwert ganzzahliger Summen. Wenn wir zum Beispiel eine ausreichend kleine Partition des Segments [ a; b] und bilde daraus eine ganzzahlige Summe, dann kann ihr Wert näherungsweise als Wert des entsprechenden Integrals genommen werden. Gleichzeitig ist es wichtig, Berechnungen mit Computertechnologie schnell und korrekt durchzuführen.

Grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten. Näherungsverfahren zur Berechnung eines bestimmten Integrals mit den Formeln von Rechtecken und Trapezen verstehen.

Den Unterricht sicherstellen

• Handzettel. Aufgabenkarten für selbstständiges Arbeiten.
• ÜNB. Multiprojektor, PC, Laptops.
• TCO-Ausrüstung. Präsentationen: "Geometrische Bedeutung der Ableitung", "Methode der Rechtecke", "Methode der Trapeze". (Präsentation kann beim Autor ausgeliehen werden).
• Computerwerkzeuge: PC, Mikrorechner.
• Richtlinien

Klassentyp. Integriertes Praktikum.

Motivation der kognitiven Aktivität von Studenten. Sehr oft muss man bestimmte Integrale berechnen, für die es unmöglich ist, eine Stammfunktion zu finden. In diesem Fall werden Näherungsverfahren zur Berechnung bestimmter Integrale verwendet. Manchmal wird die Näherungsmethode auch zum "Bilden" von Integralen verwendet, wenn die Berechnung nach der Newton-Leibniz-Formel nicht rational ist. Die Idee einer ungefähren Berechnung des Integrals besteht darin, dass die Kurve durch eine neue Kurve ersetzt wird, die ihr ausreichend „nah“ ist. Je nach Wahl einer neuen Kurve kann die eine oder andere Näherungs-Integrationsformel verwendet werden.

Unterrichtsablauf.

1. Rechteckformel.
2. Trapezformel.
3. Lösung von Übungen.

Unterrichtsplan

1. Wiederholung von Grundkenntnissen der Schüler.

Wiederholen Sie mit den Schülern: die grundlegenden Integrationsformeln, die Essenz der studierten Integrationsmethoden, die geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals.

1. Durchführung praktischer Arbeiten.

Die Lösung vieler technischer Probleme reduziert sich auf die Berechnung bestimmter Integrale, deren genaue Angabe schwierig ist, langwierige Berechnungen erfordert und in der Praxis nicht immer gerechtfertigt ist. Hier reicht ihr ungefährer Wert völlig aus.

Angenommen, es ist zum Beispiel notwendig, die Fläche zu berechnen, die durch eine Linie begrenzt ist, deren Gleichung unbekannt ist. In diesem Fall können Sie diese Linie durch eine einfachere ersetzen, deren Gleichung bekannt ist. Die so erhaltene Fläche des krummlinigen Trapezes wird als Näherungswert des gewünschten Integrals genommen.

Die einfachste Näherungsmethode ist die Methode der Rechtecke. Geometrisch gesehen ist die Idee hinter der Methode zur Berechnung des bestimmten Integrals mit der Formel der Rechtecke die Fläche eines krummlinigen Trapezes A B C D wird durch die Summe der Flächen von Rechtecken ersetzt, deren eine Seite , und die andere ist .

Wenn wir die Flächen der Rechtecke zusammenfassen, die die Fläche eines krummlinigen Trapezes mit einem Nachteil darstellen [Abbildung 1], dann erhalten wir die Formel:

[Bild 1]

dann erhalten wir die formel:

Wenn im Überfluss

[Figur 2],

dann

Werte y 0 , y 1 ,..., y n aus Gleichheiten gefunden , k = 0, 1 ..., n.Diese Formeln werden aufgerufen Rechteckformeln und ungefähre Ergebnisse geben. Mit der Erhöhung n das Ergebnis wird genauer.

Um den ungefähren Wert des Integrals zu finden, benötigen Sie also:

Um den Berechnungsfehler zu finden, müssen Sie die Formeln verwenden:

Beispiel 1 Berechnen Sie nach der Formel der Rechtecke. Finden Sie die absoluten und relativen Fehler von Berechnungen.

Teilen wir das Segment [ a, b] in mehrere (zB 6) gleiche Teile. Dann ein = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Nach Formel (1):

Um den relativen Fehler von Berechnungen zu berechnen, ist es notwendig, den genauen Wert des Integrals zu finden:

Die Berechnungen haben lange gedauert und wir haben eine ziemlich grobe Rundung bekommen. Um dieses Integral mit einer kleineren Näherung zu berechnen, können Sie die technischen Möglichkeiten des Computers nutzen.

Um ein bestimmtes Integral nach der Methode der Rechtecke zu finden, müssen die Werte des Integranden eingegeben werden f(x) zu einem Excel-Arbeitsblatt im Bereich X mit einem bestimmten Schritt X= 0,1.

1. Kompilieren einer Datentabelle (X und f(x)). X f(x). Streit, und in Zelle B1 - das Wort Funktion2 2,1 ). Nachdem wir den Zellenblock A2:A3 ausgewählt haben, erhalten wir alle Werte des Arguments durch automatische Vervollständigung (wir erweitern die untere rechte Ecke des Blocks bis zur Zelle A32 auf den Wert x=5).
2. Als nächstes führen wir die Werte des Integranden ein. In Zelle B2 müssen Sie ihre Gleichung schreiben. Dazu muss der Tabellencursor in die Zelle B2 gestellt und die Formel über die Tastatur eingegeben werden =A2^2(für englisches Tastaturlayout). Drücken Sie die Taste Eintreten. In Zelle B2 erscheint 4 . Jetzt müssen Sie die Funktion aus Zelle B2 kopieren. Kopieren Sie diese Formel mit Autocomplete in den Bereich B2:B32.
   Als Ergebnis sollte eine Datentabelle zum Auffinden des Integrals erhalten werden.
3. Nun steht in Zelle B33 ein ungefährer Wert des Integrals. Geben Sie dazu in Zelle B33 die Formel ein = 0,1*, Rufen Sie dann den Funktionsassistenten auf (indem Sie auf die Schaltfläche Funktion einfügen in der Symbolleiste klicken (f(x)). Wählen Sie im angezeigten Dialogfeld „Funktionsassistent – ​​Schritt 1 von 2“ auf der linken Seite im Feld „Kategorie“ die Option „Mathematik“ aus. Rechts im Funktionsfeld - die Summenfunktion. Wir drücken den Knopf OK. Das Dialogfeld „Summe“ wird angezeigt. Geben Sie mit der Maus den Summenbereich B2:B31 in das Arbeitsfeld ein. Wir drücken den Knopf OK. In Zelle B33 erscheint ein ungefährer Wert des gewünschten Integrals mit einem Nachteil ( 37,955 ) .

Vergleicht man den erhaltenen Näherungswert mit dem wahren Wert des Integrals ( 39 ) ist ersichtlich, dass der Approximationsfehler der Methode der Rechtecke in diesem Fall gleich ist

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Beispiel 2 Berechnen Sie mit der Methode der Rechtecke mit einem bestimmten Schritt X = 0,05.

Vergleichen des erhaltenen Näherungswerts mit dem wahren Wert des Integrals , ist ersichtlich, dass der Approximationsfehler des Rechteckverfahrens in diesem Fall gleich ist

Die Trapezmethode liefert normalerweise einen genaueren Integralwert als die Rechteckmethode. Das krummlinige Trapez wird durch die Summe mehrerer Trapeze ersetzt und der ungefähre Wert des bestimmten Integrals wird als Summe der Flächen der Trapeze gefunden

[Bild3]

Beispiel 3 Trapez finden Schritt für Schritt X = 0,1.

1. Öffnen Sie ein leeres Arbeitsblatt.
2. Kompilieren einer Datentabelle (X und f(x)). Lassen Sie die erste Spalte die Werte sein X, und die zweiten entsprechenden Indikatoren f(x). Geben Sie dazu in Zelle A1 das Wort ein Streit, und in Zelle B1 - das Wort Funktion. In Zelle A2 wird der erste Wert des Arguments eingegeben - die linke Grenze des Bereichs ( 0 ). In Zelle A3 wird der zweite Wert des Arguments eingetragen - der linke Rand des Bereichs plus der Konstruktionsschritt ( 0,1 ). Nachdem wir den Zellenblock A2:A3 ausgewählt haben, erhalten wir alle Werte des Arguments durch automatische Vervollständigung (wir strecken uns über die untere rechte Ecke des Blocks bis zur Zelle A33 bis zum Wert x=3,1).
3. Als nächstes führen wir die Werte des Integranden ein. In Zelle B2 müssen Sie ihre Gleichung schreiben (im Beispiel eines Sinus). Dazu muss der Tabellencursor in die Zelle B2 gestellt werden. Es sollte einen Sinuswert geben, der dem Wert des Arguments in Zelle A2 entspricht. Um den Wert des Sinus zu erhalten, verwenden wir eine spezielle Funktion: Klicken Sie auf die Schaltfläche Funktion einfügen in der Symbolleiste f(x). Wählen Sie im angezeigten Dialogfeld „Funktionsassistent – ​​Schritt 1 von 2“ auf der linken Seite im Feld „Kategorie“ die Option „Mathematik“ aus. Rechts im Feld Funktion - eine Funktion SÜNDE. Wir drücken den Knopf OK. Ein Dialogfeld wird angezeigt SÜNDE. Bewegen Sie den Mauszeiger über das graue Feld des Fensters und bewegen Sie bei gedrückter linker Maustaste das Feld nach rechts, um die Datenspalte zu öffnen ( ABER). Geben Sie den Wert des Sinus-Arguments an, indem Sie auf Zelle A2 klicken. Wir drücken den Knopf OK. In Zelle B2 erscheint 0. Jetzt müssen Sie die Funktion aus Zelle B2 kopieren. Kopieren Sie diese Formel automatisch in den Bereich B2:B33. Als Ergebnis sollte eine Datentabelle zum Auffinden des Integrals erhalten werden.
4. Nun kann in Zelle B34 mit der Trapezmethode ein Näherungswert des Integrals ermittelt werden. Geben Sie dazu in Zelle B34 die Formel ein \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, Rufen Sie dann den Funktionsassistenten auf (indem Sie auf die Schaltfläche Funktion einfügen in der Symbolleiste klicken (f(x)). Wählen Sie im angezeigten Dialogfeld „Funktionsassistent – ​​Schritt 1 von 2“ auf der linken Seite im Feld „Kategorie“ die Option „Mathematik“ aus. Rechts im Funktionsfeld - die Summenfunktion. Wir drücken den Knopf OK. Das Dialogfeld „Summe“ wird angezeigt. Geben Sie mit der Maus den Summenbereich B3:B32 in das Arbeitsfeld ein. Wir drücken den Knopf OK Noch einmal OK. In Zelle B34 erscheint ein ungefährer Wert des gesuchten Integrals mit einem Nachteil ( 1,997 ) .

Vergleicht man den erhaltenen Näherungswert mit dem wahren Wert des Integrals, so sieht man, dass der Näherungsfehler der Rechteckmethode in diesem Fall für die Praxis durchaus akzeptabel ist.

1. Lösung von Übungen.