Zahlen in trigonometrischer Form.

De Moivre-Formel

Sei z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) und z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl lässt sich bequem verwenden, um die Operationen Multiplikation, Division, Potenzierung auf eine ganze Zahl und Ziehen einer Wurzel vom Grad n durchzuführen.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen In trigonometrischer Form werden ihre Module multipliziert und ihre Argumente addiert. Beim Teilen ihre Moduli werden dividiert und ihre Argumente subtrahiert.

Eine Konsequenz aus der Regel zur Multiplikation einer komplexen Zahl ist die Regel zur Potenzierung einer komplexen Zahl.

z = r(cos  + i sin ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Dieses Verhältnis heißt De Moivres Formel.

Beispiel 8.1 Finden Sie das Produkt und den Quotienten der Zahlen:

Und

Lösung

z1∙z2
∙

=

;

Beispiel 8.2 Schreiben Sie eine Zahl in trigonometrischer Form

∙
-i) 7 .

Lösung

Bezeichnen
und z 2 =
- ich.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl

Definition. WurzelNPotenz einer komplexen Zahl z (bezeichnet
) ist eine komplexe Zahl w mit w n = z. Wenn z = 0, dann
= 0.

Sei z  0, z = r(cos + isin). Bezeichnen wir w = (cos + sin), dann schreiben wir die Gleichung w n = z in der folgenden Form

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Daher  n = r,

 =

Also w k =
·
.

Unter diesen Werten gibt es genau n unterschiedliche Werte.

Daher ist k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Auf der komplexen Ebene sind diese Punkte die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks, das in einen Kreis mit einem Radius eingeschrieben ist
zentriert am Punkt O (Abbildung 12).

Abbildung 12

Beispiel 9.1 Finden Sie alle Werte
.

Lösung.

Lassen Sie uns diese Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Finden Sie seinen Modul und sein Argument.

w k =
, wobei k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Auf der komplexen Ebene sind diese Punkte die Eckpunkte eines Quadrats, das in einen Kreis mit Radius eingeschrieben ist
zentriert am Ursprung (Abbildung 13).

Abbildung 13 Abbildung 14

Beispiel 9.2 Finden Sie alle Werte
.

Lösung.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, wobei k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

Auf der komplexen Ebene sind diese Punkte die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks, das in einen Kreis mit einem Radius von 2 eingeschrieben ist, der im Punkt O (0; 0) zentriert ist – Abbildung 14.

§ 10 Die Exponentialform einer komplexen Zahl.

Euler-Formel

Bezeichnen
= cos  + isin  und
= cos  - isin  . Diese Verhältnisse werden aufgerufen Euler-Formeln .

Funktion
hat die üblichen Eigenschaften einer Exponentialfunktion:

Die komplexe Zahl z sei in der trigonometrischen Form z = r(cos + isin) geschrieben.

Mit der Euler-Formel können wir schreiben:

z = r
.

Dieser Eintrag heißt indikative Form komplexe Zahl. Damit erhalten wir die Regeln für Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen.

Wenn z 1 = r 1
und z 2 = r 2
?Das

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, wobei k = 0, 1, … , n – 1.

Beispiel 10.1 Schreiben Sie eine Zahl in algebraischer Form

z=
.

Lösung.

Beispiel 10.2 Lösen Sie die Gleichung z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Lösung.

Für alle komplexen Koeffizienten hat diese Gleichung zwei Wurzeln z 1 und z 1 (möglicherweise zusammenfallend). Diese Wurzeln können mit der gleichen Formel wie im realen Fall ermittelt werden. Als
nimmt zwei Werte an, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, dann hat diese Formel die Form:

Da –9 \u003d 9 e  i, dann die Werte
Zahlen werden sein:

Dann
Und
.

Lösung.

Die gewünschten Wurzeln der Gleichung sind die Werte
.

Für z = –1 gilt r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Übungen

9 Stellen Sie die Zahlen in Exponentialform dar:

10 Schreiben Sie die Zahl in exponentieller und algebraischer Form:

11 Schreiben Sie die Zahlen in algebraischer und geometrischer Form auf:

12 Gegebene Zahlen

Finden Sie, indem Sie sie in Exponentialform darstellen
.

13 Gehen Sie unter Verwendung der Exponentialform einer komplexen Zahl wie folgt vor:

A)
B)

V)
G)

Mit und natürliche Zahl N 2 .

Komplexe Zahl Z angerufen WurzelN– C, Wenn Z N = C.

Finden Sie alle Stammwerte N– Grad aus einer komplexen Zahl Mit. Lassen C=| C|·(cos Arg C+ ich· Sünde ArgMit), A Z = | Z|·(mitos Arg Z + ich· Sünde Arg Z) , Wo Z Wurzel N- Grad aus einer komplexen Zahl Mit. Dann muss es so sein = C = | C|·(cos Arg C+ ich· Sünde ArgMit). Daraus folgt daraus
Und N· Arg Z = ArgMit
Arg Z =
(k=0,1,…) . Somit, Z =
(cos
+ ich· Sünde
), (k=0,1,…) . Es ist leicht zu erkennen, dass jeder der Werte
, (k=0,1,…) von einem der entsprechenden Werte abweicht
,(k = 0,1,…, N-1) auf ein Vielfaches 2π. Deshalb , (k = 0,1,…, N-1) .

Beispiel.

Berechnen Sie die Wurzel von (-1).

, offensichtlich |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + ich· Sünde π )

, (k = 0, 1).

= ich

Grad mit beliebigem rationalen Exponenten

Nehmen Sie eine beliebige komplexe Zahl Mit. Wenn N natürliche Zahl also Mit N = | C| N ·(Mitos nArgmit +ich· Sünde nArgMit)(6). Diese Formel gilt auch in diesem Fall N = 0 (c≠0)
. Lassen N < 0 Und N Z Und c ≠ 0, Dann

Mit N =
(cos nArgMit+i sin nArgMit) = (cos nArgMit+ i sin nArgMit) . Somit gilt Formel (6) für alle N.

Nehmen wir eine rationale Zahl , Wo Q natürliche Zahl und R ist eine ganze Zahl.

Dann unten Grad C R Lasst uns die Zahl verstehen
.

Wir verstehen das ,

(k = 0, 1, …, Q-1). Diese Werte Q Stücke, wenn der Bruch nicht reduziert wird.

Vorlesung Nr. 3 Der Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen

Eine komplexwertige Funktion eines natürlichen Arguments wird aufgerufen Folge komplexer Zahlen und bezeichnet (Mit N ) oder Mit 1 , Mit 2 , ..., Mit N . Mit N = a N + B N · ich (N = 1,2, ...) komplexe Zahlen.

Mit 1 , Mit 2 , … - Mitglieder der Sequenz; Mit N - gemeinsames Mitglied

Komplexe Zahl Mit = A+ B· ich angerufen Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen (C N ) , Wo Mit N = a N + B N · ich (N = 1, 2, …) , wo für irgendjemanden

, das für alle N > N die Ungleichheit
. Eine Folge, die einen endlichen Grenzwert hat, heißt konvergierend Reihenfolge.

Satz.

Damit eine Folge komplexer Zahlen (mit N ) (Mit N = a N + B N · ich) konvergierte zu einer Zahl mit = A+ B· ich, ist für die Gleichheit notwendig und ausreichendlim A N = A, lim B N = B.

Nachweisen.

Wir werden den Satz anhand der folgenden offensichtlichen doppelten Ungleichung beweisen

, Wo Z = X + j· ich (2)

Notwendigkeit. Lassen lim(Mit N ) = mit. Zeigen wir, dass die Gleichheiten lim A N = A Und lim B N = B (3).

Offensichtlich (4)

Als
, Wann N → ∞ , dann folgt aus der linken Seite der Ungleichung (4).
Und
, Wann N → ∞ . daher gelten die Gleichungen (3). Der Bedarf ist nachgewiesen.

Angemessenheit. Es gelten nun die Gleichungen (3). Aus Gleichung (3) folgt das
Und
, Wann N → ∞ , daher wird es aufgrund der rechten Seite der Ungleichung (4) so ​​sein
, Wann N→∞ , Bedeutet lim(Mit N )=s. Die Ausreichendheit wurde nachgewiesen.

Die Frage nach der Konvergenz einer Folge komplexer Zahlen ist also äquivalent zur Konvergenz zweier Folgen reeller Zahlen, daher gelten alle grundlegenden Eigenschaften der Grenzen reeller Zahlenfolgen für Folgen komplexer Zahlen.

Für Folgen komplexer Zahlen gilt beispielsweise das Cauchy-Kriterium: Damit eine Folge komplexer Zahlen (mit N ) konvergiert, es ist notwendig und ausreichend, dass für jeden

, das für jedenN, M > Ndie Ungleichheit
.

Satz.

Sei eine Folge komplexer Zahlen (mit N ) Und (z N ) konvergieren jeweils gegen mit undz, dann die Gleichheitlim(Mit N z N ) = C z, lim(Mit N · z N ) = C· z. Wenn das sicher bekannt istzungleich 0 ist, dann ist die Gleichheit
.