VEKTOREN
Vektoren sogenannte mathematische Objekte ( A, B, C, ...), für die die Ausführung zweier algebraischer Operationen definiert ist:
Addition zweier Vektoren a+b=c
· Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl a = b.
Das wichtigste Merkmal dieser Operationen besteht darin, dass sie immer zu einem Vektor desselben Typs wie die ursprünglichen Vektoren führen. Daher können wir, wenn wir über einen anfänglichen Satz von Vektoren verfügen, diesen schrittweise erweitern, d. h. Erhalten Sie immer mehr neue Vektoren, indem Sie die Operationen der Addition und Multiplikation mit einer Zahl auf vorhandene Vektoren anwenden. Am Ende werden wir zu einer Menge von Vektoren kommen, die sich nicht mehr erweitern, d. h. erweist sich unter den angegebenen Vorgängen als geschlossen. Eine solche Menge von Vektoren heißt Vektorraum.
Wenn die oben genannten Vorgänge zusätzliche erfordern Linearitätsbedingungen :
A( a+b)= A a+ A B
(A + B) a = A a+ B B
dann wird der resultierende Raum aufgerufen linear Raum (LP) bzw linearer Vektor Raum (HDL). LCS kann zusammen mit Symmetriegruppen als weiteres Beispiel für mathematische Strukturen dienen, bei denen es sich um geschlossene Mengen von Objekten desselben Typs handelt, die auf eine bestimmte Weise geordnet sind (unter Verwendung algebraischer Operationen).
Linearkombinationen
Mit den Operationen, Vektoren zu addieren und mit Zahlen zu multiplizieren, können wir eine komplexere Konstruktion konstruieren wie:
A a+ B b+ G c + ..... = x
Was heisst lineare Kombination (LK)-Vektoren a, b, c, . . . mit Koeffizienten a, b, g, . . . , jeweils.
Das Konzept von LC ermöglicht es uns, mehrere allgemeine Regeln zu formulieren:
· jeder LC eines beliebigen Vektors eines LP ist auch ein Vektor desselben LP;
· Jeder Vektor eines LP kann in Form von LCs mehrerer Vektoren desselben LP dargestellt werden.
· In jedem LP gibt es eine solche ausgewählte Menge von Vektoren namens Basissatz (oder einfach Basis ), dass ausnahmslos alle Vektoren dieses LP als Linearkombinationen dieser ausgewählten Basisvektoren dargestellt werden können. An die als Basisvektoren gewählten Vektoren wird eine wichtige Bedingung gestellt: Sie müssen es sein linear unabhängig untereinander (sollten nicht durcheinander ausgedrückt werden, d. h.: X≠a× j).
Diese Regeln ermöglichen die Einführung einer besonderen Art der Beschreibung jedes Arzneimittels. Wählen wir einen Basissatz und erweitern wir alle Vektoren, die uns interessieren, entsprechend dieser Basis (d. h. wir stellen sie in Form von LC-Basisvektoren dar); dann kann jeder Vektor durch einen Satz von LC-Koeffizienten, die einem gegebenen Vektor entsprechen, eindeutig spezifiziert werden. Solche Koeffizienten werden aufgerufen Koordinaten Vektor (in Bezug auf eine gegebene Basis). Lassen Sie uns betonen, dass die Koordinaten eines Vektors gewöhnliche Zahlen sind und die Koordinatendarstellung eines Vektors es uns ermöglicht, ihn nur mit einer Reihe von Zahlen zu beschreiben, unabhängig von der spezifischen physikalischen Bedeutung, die wir dem Konzept eines Vektors geben.
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Lassen Sie uns eine Reihe verschiedener Mischungen aus zwei reinen Chemikalien haben: Wasser und Alkohol. Unter allen möglichen Mischungen heben wir zwei besondere hervor:
1) Mischung S 1, enthält 100 % Wasser und 0 % Alkohol;
2) Mischung S 2 enthält 0 % Wasser und 100 % Alkohol.
Es ist klar, dass eine beliebige Mischung als LC dieser beiden Grundmischungen dargestellt werden kann:
S = N 1 * S 1 + N 2 * S 2
und charakterisieren Sie es vollständig mit nur zwei Koordinatenzahlen: N 1 und N 2. Mit anderen Worten: Bei gegebenem Basissatz können wir die Äquivalenz einer beliebigen chemischen Mischung und einer Menge von Zahlen feststellen:
S~ {N 1 , N 2 }.
Nun genügt es, das konkrete chemische Wort „Gemisch“ durch den abstrakten mathematischen Begriff „Vektor“ zu ersetzen, um ein HDL-Modell zu erhalten, das viele Gemische zweier Stoffe beschreibt.
3.3. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren. Basis.Linear Kombination Vektorsysteme
wird als Vektor bezeichnet
wobei a 1, a 2, ..., a n - beliebige Zahlen.
Wenn alles ein i = 0, dann heißt die Linearkombination trivial . In diesem Fall natürlich
Definition 5.
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Wenn für ein System von Vektoren
Es gibt eine nichttriviale Linearkombination (mindestens eine). ai¹ 0) gleich dem Nullvektor: dann heißt das Vektorsystem linear abhängig. Wenn Gleichheit (1) nur dann möglich ist, wenn alle ein i =0, dann heißt das Vektorsystem linear unabhängig . |
Satz 2 (Bedingungen der linearen Abhängigkeit).
Definition 6.
Aus Satz 3 Daraus folgt, dass wir, wenn eine Basis im Raum gegeben ist, durch Hinzufügen eines beliebigen Vektors ein linear abhängiges Vektorsystem erhalten. Gemäß Satz 2 (1) , einer von ihnen (es kann gezeigt werden, dass der Vektor) als lineare Kombination der anderen dargestellt werden kann:
.
Definition 7.
|
Zahlen werden genannt Koordinaten Vektoren in der Basis (bezeichnet
|
Betrachtet man die Vektoren in der Ebene, so ist die Basis ein geordnetes Paar nichtkollinearer Vektoren
und die Koordinaten des Vektors in dieser Basis sind ein Zahlenpaar:
Notiz 3. Das lässt sich zeigen Für eine gegebene Basis werden die Koordinaten des Vektors eindeutig bestimmt . Daraus folgt insbesondere Folgendes Wenn die Vektoren gleich sind, sind auch ihre entsprechenden Koordinaten gleich und umgekehrt .
Wenn also eine Basis in einem Raum gegeben ist, dann entspricht jeder Vektor des Raumes einem geordneten Zahlentripel (Koordinaten des Vektors in dieser Basis) und umgekehrt: jedem Zahlentripel entspricht ein Vektor.
Auf der Ebene wird eine ähnliche Entsprechung zwischen Vektoren und Zahlenpaaren hergestellt.
Satz 4 (Lineare Operationen durch Vektorkoordinaten).
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Wenn in gewisser Weise Und A ist eine beliebige Zahl, dann in dieser Basis |
Mit anderen Worten:
Wenn ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird, werden seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert ;
Beim Hinzufügen von Vektoren werden die entsprechenden Koordinaten hinzugefügt .
Beispiel 1 . In gewisser Weise die VektorenKoordinaten haben
Zeigen Sie, dass die Vektoren eine Basis bilden und finden Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.
Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht koplanar sind, also (gemäß nach Satz 3(2) ) sind linear unabhängig.
Per Definition 5 das bedeutet Gleichheit
nur möglich, wennX = j = z = 0.
Eine lineare Kombination von Vektoren aus wird als Vektor at bezeichnet. Es ist klar, dass eine Linearkombination von Linearkombinationen von Vektoren wiederum eine Linearkombination dieser Vektoren ist.
Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn Gleichheit nur für möglich ist. Wenn es Nicht-Nullen gibt und diese gleich - 0 sind, dann heißt die Menge der Vektoren linear abhängig. Diese Definitionen stimmen mit den auf Seite 108 angegebenen Definitionen für die Anwendung auf Zeichenfolgen überein.
Satz 1. Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.
Satz 2. Wenn eine Menge von Vektoren linear unabhängig und eine Menge linear abhängig ist, dann ist ein Vektor eine lineare Kombination von Vektoren
Satz 3. Wenn die Vektoren lineare Kombinationen von Vektoren sind, dann ist die Sammlung linear abhängig.
Die Beweise dieser Sätze unterscheiden sich nicht von den Beweisen ähnlicher Sätze für Strings (S. 108-110).
Eine Menge von Vektoren heißt erzeugend, wenn alle Vektoren im Raum lineare Kombinationen davon sind. Existiert für einen Raum S ein endliches Erzeugersystem, so heißt der Raum endlichdimensional, andernfalls heißt er unendlichdimensional. In einem endlichdimensionalen Raum können beliebig große (in der Anzahl der Vektoren) linear unabhängige Sammlungen von Vektoren nicht existieren, da gemäß Satz 3 jede Sammlung von Vektoren, die die erzeugende Sammlung in der Anzahl der Vektoren übersteigt, linear abhängig ist.
Der Raum von Matrizen fester Größe und insbesondere der Raum von Zeilen fester Länge sind endlichdimensional; als erzeugendes System können Matrizen mit einer Eins an einer Stelle und Nullen an den übrigen Stellen angenommen werden.
Der Raum aller Polynome aus ist bereits unendlichdimensional, da die Menge der Polynome für jedes linear unabhängig ist.
Im Folgenden betrachten wir endlichdimensionale Räume.
Satz 4. Jeder minimale (in Bezug auf die Anzahl der Vektoren) erzeugende Satz von Vektoren ist linear unabhängig.
Sei tatsächlich die minimale erzeugende Menge von Vektoren. Wenn es linear abhängig ist, dann ist beispielsweise einer der Vektoren eine lineare Kombination der anderen und jede lineare Kombination ist eine lineare Kombination einer kleineren Menge von Vektoren, die sich dadurch als erzeugend herausstellt.
Satz 5. Jede maximale (in Bezug auf die Anzahl der Vektoren) linear unabhängige Sammlung von Vektoren erzeugt.
In der Tat sei eine maximal linear unabhängige Sammlung und u ein beliebiger Raumvektor. Dann ist die Menge nicht linear unabhängig und der Vektor ist aufgrund von Satz 2 eine Linearkombination
Satz 6. Jeder linear unabhängige Generatorsatz ist unter den Generatoren minimal und unter den linear unabhängigen Generatoren maximal.
Es sei tatsächlich eine linear unabhängige erzeugende Menge von Vektoren. Wenn es eine andere erzeugende Menge gibt, dann handelt es sich um lineare Kombinationen, und daraus schließen wir, dass es sich, wenn es sie gäbe, aufgrund des Satzes um eine linear abhängige Menge handeln würde. Lassen Sie uns nun eine linear unabhängige Sammlung sein. Vektoren sind lineare Kombinationen von Vektoren und würden daher aufgrund derselben Aussage eine linear abhängige Menge bilden.
Somit wird in den Sätzen 4, 5, 6 die Identität von drei Konzepten festgestellt – einer minimalen erzeugenden Menge von Vektoren, einer maximalen linear unabhängigen Menge von Vektoren und einer linear unabhängigen erzeugenden Menge.
Eine Menge von Vektoren, die diese Bedingungen erfüllen, wird als Basis des Raums bezeichnet, und die Anzahl der Vektoren, aus denen die Basis besteht, wird als Dimension des Raums bezeichnet. Die Dimension des Raumes S wird mit bezeichnet. Somit ist die Dimension gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren (in Zukunft werden wir oft die Wörter „linear unabhängig“ und „linear abhängige Vektoren“ anstelle von „Vektoren, die eine linear abhängige Menge bilden“ bzw. sagen für eine linear unabhängige Menge) und minimale Anzahl erzeugender Vektoren.
Satz 7. Sei eine linear unabhängige Sammlung von Vektoren, und ihre Anzahl ist kleiner als die Dimension des Raums. Dann kann ihnen ein Vektor hinzugefügt werden, sodass die Menge linear unabhängig bleibt.
Nachweisen. Betrachten wir viele Linearkombinationen. Es erschöpft nicht den gesamten Raum, da sie keinen erzeugenden Satz von Vektoren darstellen. Nehmen wir einen Vektor, der keine Linearkombination ist
Dann handelt es sich um eine linear unabhängige Sammlung, da es sich ansonsten aufgrund von Satz 2 um eine lineare Kombination von Vektoren handeln würde.
Aus Satz 7 folgt, dass jede linear unabhängige Sammlung von Vektoren zu einer Basis ergänzt werden kann.
Dieserselbe Vorschlag und sein Beweis weisen auf die Natur der Willkür bei der Wahl der Grundlage hin. Wenn Sie tatsächlich einen beliebigen Nicht-Null-Vektor nehmen, können Sie ihn zu einer Basis aufbauen, indem Sie den zweiten Vektor auf irgendeine Weise nehmen, aber nicht eine lineare Kombination des ersten, und den dritten auf irgendeine Weise, aber keine lineare Kombination der ersten beiden usw.
Man kann ausgehend von einem beliebigen Stromerzeuger bis zur Basis „absteigen“.
Satz 8. Jede erzeugende Menge von Vektoren enthält eine Basis.
Es sei tatsächlich eine erzeugende Menge von Vektoren. Wenn es linear abhängig ist, ist einer seiner Vektoren eine lineare Kombination der anderen und kann aus dem Erzeugungssatz ausgeschlossen werden. Wenn die verbleibenden Vektoren linear abhängig sind, kann ein weiterer Vektor eliminiert werden und so weiter, bis ein linear unabhängiger Erzeugersatz, d. h. eine Basis, übrig bleibt.
Gemäß diesem Kompromisskriterium wird für jede Lösung eine lineare Kombination der minimalen und maximalen Gewinne ermittelt
Die zweite Möglichkeit besteht darin, sich auf ein Kriterium zu konzentrieren. Es kann entweder als einer der Standardindikatoren ausgewählt werden, die eine völlig verständliche wirtschaftliche Interpretation haben (z. B. eine der Liquiditätskennzahlen, der Zinsdeckungsgrad usw.), oder dieses Kriterium wird in Form eines künstlichen Indikators entwickelt, der verallgemeinert bestimmte Kriterien. Für dieses verallgemeinerte Kriterium wird ein Schwellenwert festgelegt, mit dem der tatsächliche Wert des für den potenziellen Kreditnehmer berechneten Kriteriums verglichen wird. Die Hauptschwierigkeit bei der Umsetzung dieses Ansatzes liegt in der Art und Weise, wie der zusammenfassende Indikator aufgebaut ist. Meistens handelt es sich um eine lineare Kombination bestimmter Kriterien, die jeweils mit einem bestimmten Gewichtungskoeffizienten in einen allgemeinen Indikator einfließen. Dieser Ansatz wurde von E. Altman bei der Entwicklung des Z-Kriteriums zur Insolvenzvorhersage verwendet.
Eine Zeile e heißt eine Linearkombination der Zeilen e, e-..., em der Matrix if
Das Konzept der linearen Kombination, linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit der Vektoren e, e2. f em ähneln den entsprechenden Konzepten für die Zeilen der Matrix e, e2,..., em (11.5).
Wie in gezeigt, kann für begrenzte und konvexe zulässige Mengen (2.14) der Vektor x% 0, der die Einschränkung A xk bk erfüllt, als konvexe Linearkombination einer endlichen Menge von Extrempunkten dargestellt werden
Das Optimierungsverfahren zur Berechnung der Grenzwerte der Elemente a und ihrer Linearkombinationen weist diese Nachteile weitgehend auf.
Es ist offensichtlich, dass der Punkt (X1, d), der durch die Linearkombination von (A/, d) und (L., d") erhalten wird, auch eine Lösung des Systems (4.43), (4.44) ist.
In diesem Abschnitt betrachten wir die Regeln zur Berechnung des mathematischen Erwartungswerts und der Varianz einer multivariaten Zufallsvariablen, bei der es sich um eine lineare Kombination korrelierter Zufallsvariablen handelt
Daher erhalten wir für eine Linearkombination einer beliebigen Anzahl von Zufallsvariablen
Betrachten wir den Fall, dass in mehrere Vermögenswerte (Portfolio) investiert wird. Ein Portfolio ist eine lineare Kombination von Vermögenswerten, von denen jedes seine eigene erwartete Rendite und Streuung der Rendite aufweist.
Im Gegensatz zu einer willkürlichen linearen Kombination von Zufallsvariablen unterliegen Vermögenswertgewichte einer Normalisierungsregel
Im vorherigen Absatz wurde gezeigt, dass die Portfoliodiversifizierung das Verhältnis zwischen erwarteter Rendite und erwartetem Risiko verbessern kann, wenn der Korrelationskoeffizient zwischen Vermögenswerten weniger als 1 beträgt. Dies liegt daran, dass die erwartete Rendite des Portfolios eine lineare Kombination der erwarteten Renditen der im Portfolio enthaltenen Vermögenswerte ist und die Varianz des Portfolios eine quadratische Funktion des r.s. ist. in den Vermögensbestand aufgenommen.
Da die Diskriminanzfunktion nur von einer linearen Kombination von Eingaben abhängt, ist das Neuron ein linearer Diskriminator. In einigen der einfachsten Situationen ist ein linearer Diskriminator die bestmögliche Lösung, nämlich dann, wenn die Wahrscheinlichkeiten von Eingabevektoren der Klasse k durch Gaußsche Verteilungen gegeben sind
Genauer gesagt sind die Ausgaben des Oya-Netzwerks lineare Kombinationen der ersten Ш-Hauptkomponenten. Um genau die Hauptkomponenten selbst zu erhalten, reicht es aus, die Summierung über alle Ausgaben in der Oya-Regel durch zu ersetzen
Vektoren b bilden außerdem die sogenannte Minimalbasis. Dies ist nämlich die minimale Anzahl von Vektoren mittels einer Linearkombination, von der alle gespeicherten Vektoren dargestellt werden können
Das folgende systematische Verfahren ist in der Lage, iterativ die wichtigsten Merkmale zu identifizieren, bei denen es sich um Linearkombinationen von Eingabevariablen X = W verfügbar, indem die wichtigsten Kombinationen von Eingaben ausgewählt werden).
Im Rahmen der Analyse werden die folgenden Aspekte zur Charakterisierung verschiedener Aspekte der Finanzlage herangezogen. absolute Indikatoren und Finanzkennzahlen, die relative Indikatoren der Finanzlage sind. Letztere werden in Form von Verhältnissen absoluter Indikatoren der Finanzlage oder deren Linearkombinationen berechnet. Nach der Klassifikation eines der Begründer der Bilanzwissenschaft, N.A. Blatov, werden relative Indikatoren der Finanzlage in Verteilungskoeffizienten unterteilt und in Fällen verwendet, in denen festgestellt werden muss, welcher Teil dieses oder jenes ist
Vektorkonzept
Definition 1.Vektor ein gerichtetes Segment (oder, was dasselbe ist, ein geordnetes Punktepaar) genannt.
Bezeichnet: (Punkt A ist der Anfang des Vektors), Punkt B ist das Ende des Vektors) oder mit einem Buchstaben -.
Definition 2.Vektorlänge (Modul) ist der Abstand zwischen Anfang und Ende des Vektors. Die Länge des Vektors wird mit oder bezeichnet.
Definition 3.Nullvektor Man nennt einen Vektor, dessen Anfang und Ende zusammenfallen. Benennen:
Definition 4.Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge gleich eins ist.
Ein Einheitsvektor, der die gleiche Richtung wie ein gegebener Vektor hat, wird Einheitsvektor des Vektors genannt und mit dem Symbol bezeichnet.
Definition 5. Die Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen. Der Nullvektor gilt als kollinear zu jedem Vektor.
Definition 6. Die Vektoren werden aufgerufen gleich, wenn sie kollinear sind, haben sie die gleiche Länge und die gleiche Richtung.
Lineare Operationen an Vektoren
Definition 7.Lineare Operationen an Vektoren werden Addition von Vektoren und Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl genannt.
Definition 8.Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor, der vom Anfang des Vektors bis zum Ende des Vektors reicht, vorausgesetzt, dass der Vektor am Ende des Vektors angehängt ist (Dreiecksregel). Bei nicht kollinearen Vektoren kann anstelle der Dreiecksregel die Parallelogrammregel verwendet werden: Wenn die Vektoren von einem gemeinsamen Ursprung entfernt werden und auf ihnen ein Parallelogramm aufgebaut wird, dann ist die Summe ein Vektor, der zusammenfällt wobei die Diagonale dieses Parallelogramms von einem gemeinsamen Ursprung ausgeht.
Definition 9.Die Differenz zweier Vektoren wird ein Vektor genannt, der, wenn er zu einem Vektor addiert wird, einen Vektor bildet. Wenn zwei Vektoren von einem gemeinsamen Ursprung entfernt werden, dann ist ihre Differenz ein Vektor, der vom Ende des Vektors („subtrahiert“) bis zum Ende des Vektors („reduziert“) verläuft.
Definition 10. Man nennt zwei kollineare Vektoren gleicher Länge, die in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind Gegenteil. Der dem Vektor entgegengesetzte Vektor wird bezeichnet.
Das Produkt eines Vektors und einer Zahl wird mit α bezeichnet.
Einige Eigenschaften linearer Operationen
7)
;
Satz 1.(Über kollineare Vektoren). Wenn u zwei kollineare Vektoren sind und der Vektor ungleich Null ist, dann gibt es eine eindeutige Zahl x mit = x
Insbesondere sind ein Vektor ungleich Null und sein Vektor durch die Gleichheit ortsverknüpft: =·.
Die formulierten Eigenschaften linearer Operationen ermöglichen es, aus Vektoren zusammengesetzte Ausdrücke nach den üblichen Regeln der Algebra umzuwandeln: Sie können Klammern öffnen, ähnliche Begriffe einfügen, einige Begriffe mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf einen anderen Teil der Gleichheit übertragen usw.
Beispiel 1.
Beweisen Sie Gleichheiten:
und finden Sie heraus, was ihre geometrische Bedeutung ist.
Lösung. a) Öffnen Sie auf der linken Seite der Gleichheit die Klammern, fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu und erhalten Sie auf der rechten Seite einen Vektor. Lassen Sie uns diese Gleichheit geometrisch erklären. Gegeben seien zwei Vektoren, legen sie vom gemeinsamen Ursprung ab und schauen sich das Parallelogramm und seine Diagonalen an, so erhalten wir:
§2 Linearkombination von Vektoren
Vektorbasis in der Ebene und im Raum.
Definition 1.Linearkombination von Vektoren,,heißt die Summe der Produkte dieser Vektoren mit einigen Zahlen,,:++.
Definition 2.Vektorbasis in einer gegebenen Ebene heißt jedes Paar nichtkollinearer Vektoren in dieser Ebene.
Der Vektor wird als erster Basisvektor bezeichnet, der Vektor als zweiter.
Der folgende Satz ist wahr.
Satz 1. Wenn Basis ,– Vektorbasis in einer Ebene, dann kann jeder Vektor dieser Ebene auf einzigartige Weise in Form einer Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden: = x + y. (*)
Definition 3. Gleichheit(*) wird aufgerufen , und die Zahlen x und y – Koordinaten des Vektors in der Basis,(oder relativ zur Basis,). Wenn im Vorhinein klar ist, um welche Basis es sich handelt, dann schreiben Sie kurz: = (x,y). Aus der Definition der Koordinaten eines Vektors relativ zur Basis folgt, dass gleiche Vektoren jeweils gleiche Koordinaten haben.
Es werden zwei oder mehr Vektoren im Raum aufgerufen koplanar, wenn sie parallel zur gleichen Ebene sind oder in dieser Ebene liegen.
Definition 4.Vektorbasis im Raum werden drei beliebige Vektoren aufgerufen , ,.
Der Vektor wird als erster Basisvektor, als zweiter und als dritter bezeichnet.
Kommentar. 1. Drei Vektoren = (), = () und = () bilden die Basis des Raums, wenn die aus ihren Koordinaten zusammengesetzte Determinante ungleich Null ist:
.
2. Die Grundprinzipien der Determinantentheorie und Methoden zu ihrer Berechnung werden im Modul 1 „Lineare Algebra“ besprochen.
Satz 2. Lassen , , ist eine Vektorbasis im Raum. Dann kann jeder Vektor im Raum auf einzigartige Weise als lineare Kombination von Basisvektoren dargestellt werden , Und:
X+y+z. (**)
Definition 5. Gleichheit (**) heißt Erweiterung des Vektors entsprechend der Basis,,, und die Zahlen x, y, z sind die Koordinaten (Komponenten) des Vektors in der Basis , ,.
Wenn im Vorfeld klar ist, um welche Basis es sich handelt, dann schreiben Sie kurz: = (x,y,z).
Definition 6. Basis , ,angerufen orthonormal, wenn Vektoren , , stehen paarweise senkrecht zueinander und haben eine Einheitslänge. In diesem Fall wird die Notation ,, übernommen.
Aktionen auf Vektoren, die durch ihre Koordinaten angegeben werden.
Satz 3. Es sei eine Vektorbasis auf der Ebene gewählt , und relativ dazu sind die Vektoren durch ihre Koordinaten gegeben: = (), = ().
Dann =(),=( 
), d.h. Beim Addieren oder Subtrahieren von Vektoren werden deren gleichnamige Koordinaten addiert bzw. subtrahiert;= (·;), d.h. Wenn ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird, werden seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert.
Bedingung für die Kollinearität zweier Vektoren
Satz 4. Ein Vektor ist genau dann kollinear zu einem Vektor ungleich Null, wenn die Koordinaten des Vektors proportional zu den entsprechenden Koordinaten des Vektors sind, d. h.
Auf ähnliche Weise werden lineare Operationen an Vektoren durchgeführt, die durch ihre Koordinaten im Raum angegeben werden.
Beispiel 1. Es seien Vektoren = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) auf einer Vektorbasis gegeben , ,. Finden Sie die Koordinaten der Linearkombination 2+3-4.
Lösung. Führen wir die Notation für die Linearkombination = 2+3+(-4) ein.
Linearkombinationskoeffizienten =2,=3,=-4. Schreiben wir diese Vektorgleichheit in Koordinatenform = (x,y,z)=:
2
Es ist offensichtlich, dass jede Koordinate einer Linearkombination von Vektoren gleich derselben Linearkombination von Koordinaten mit demselben Namen ist, d.h.
x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,
y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,
z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.
Vektorkoordinaten in der Basis , ,wird sein:
Antwort:= {7,10,-3}.
Allgemeines (affines) kartesisches Koordinatensystem
Definition 7. Sei O ein fester Punkt, den wir nennen werden Anfang.
Wenn M ein beliebiger Punkt ist, heißt der Vektor Radiusvektor Punkt M im Verhältnis zum Anfang, kurz gesagt, der Radiusvektor von Punkt M.
Kartesische (affine) Koordinaten auf einer Linie
Es sei eine gerade Linie im Raum gegeben l. Wählen wir den Ursprung O so, dass er auf dieser Linie liegt. Außerdem wählen wir auf der Geraden l ein Vektor ungleich Null, den wir Basis nennen werden.
Definition 8. Der Punkt M liege auf einer Geraden. Da die Vektoren kollinear sind, gilt = x, wobei x eine bestimmte Zahl ist. Rufen wir diese Nummer an Koordinate Punkte M auf einer Geraden.
Der Ursprung von O hat positive oder negative Koordinaten, je nachdem, ob die Richtungen der Vektoren übereinstimmen oder entgegengesetzt sind. Die Gerade, auf der die Koordinaten liegen, wird Koordinatenachse oder OX-Achse genannt.
Die Einführung von Koordinaten auf einer Geraden entspricht einer einzelnen Zahl x, und umgekehrt gibt es einen einzelnen Punkt M, für den diese Zahl eine Koordinate ist.
Kartesische (affine) Koordinaten in der Ebene.
Wählen wir zwei nicht kollineare Vektoren auf der Ebene O aus, die eine bestimmte Basis bilden. Offensichtlich können die Längen der Vektoren unterschiedlich sein.
Definition 9. Satz von (0;;) Punkt O und Vektorbasis , angerufen Kartesisches (affines) System auf der Oberfläche.
Zwei Geraden, die durch O bzw. parallel zu den Vektoren verlaufen , werden Koordinatenachsen genannt. Die erste davon wird üblicherweise Abszissenachse genannt und mit Ox bezeichnet, die zweite ist die Ordinatenachse und wird mit Oy bezeichnet.
Wir werden sie immer so darstellen, dass sie auf den entsprechenden Koordinatenachsen liegen.
Definition 10.Punktkoordinaten M in der Ebene relativ zum kartesischen (affinen) Koordinatensystem (0;;) heißen die Koordinaten seines Radiusvektors entlang der Basis:
X+y, dann sind die Zahlen x und y die Koordinaten von M relativ zum kartesischen (affinen) Koordinatensystem (0;;). Die x-Koordinate wird aufgerufen Abszisse Punkt M, Koordinate y- Ordinate Punkte M.
Wenn also ein Koordinatensystem (0;;) auf der Ebene gewählt wird, dann entspricht jeder Punkt M der Ebene einem einzelnen Punkt M auf der Ebene: Dieser Punkt ist das Ende des Vektors
Die Einführung eines Koordinatensystems liegt der Methode der analytischen Geometrie zugrunde, deren Kern darin besteht, jedes geometrische Problem auf Probleme der Arithmetik oder Algebra reduzieren zu können.
Definition 11.Vektorkoordinaten in der Ebene relativ zum kartesischen Koordinatensystem (0;;) werden die Koordinaten dieses Vektors in der Basis aufgerufen.
Um die Koordinaten des Vektors zu finden, müssen Sie ihn entsprechend der Basis erweitern:
X+y, wobei die Koeffizienten x,y und die Koordinaten des Vektors relativ zum kartesischen System (0;;) sind.
Kartesisches (affines) Koordinatensystem im Raum.
Es sei ein bestimmter Punkt O (Anfang) im Raum festgelegt und eine Vektorbasis gewählt
Definition 12. Die Sammlung (0;;;) wird aufgerufen Kartesisches Koordinatensystem im Weltraum.
Definition 13. Drei Geraden, die durch O bzw. parallel zu den Vektoren verlaufen , ,, angerufen Koordinatenachsen und bezeichnen jeweils Oz, Oy, Oz. Wir werden immer Vektoren darstellen , , auf den entsprechenden Achsen liegend.
Definition 14.Punktkoordinaten M im Raum relativ zum kartesischen Koordinatensystem (0;;;) werden in diesem System die Koordinaten seines Radiusvektors genannt.
Mit anderen Worten, die Koordinaten des Punktes M sind die drei Zahlen x, y, z bzw. die Abszisse und die Ordinate des Punktes M; die dritte Koordinate z heißt Applikat des Punktes M.
Die Einführung eines kartesischen Koordinatensystems im Raum ermöglicht es uns, eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Punkten M des Raums und geordneten Zahlentripeln x, y, z herzustellen.
Definition 15.Vektorkoordinaten im Raum relativ zum kartesischen Koordinatensystem (0;;;) werden die Koordinaten dieses Vektors in der Basis;; aufgerufen.
Beispiel 2.
Gegeben sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte eines Parallelogramms A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Finden Sie seine vierte Koordinate D. Das Koordinatensystem ist affin.
Lösung.
Die Vektoren sind gleich, das heißt ihre Koordinaten sind gleich (Linearkombinationskoeffizienten):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Also, D(1;-2).
Antwort: D(1;-2).
Lineare Abhängigkeit. Der Begriff der Basis
Definition 16. Vektoren werden aufgerufen linear abhängig, wenn es Zahlen gibt,
Diese Definition der linearen Abhängigkeit von Vektoren entspricht dieser: Vektoren sind linear abhängig, wenn einer von ihnen als lineare Kombination der anderen dargestellt (oder über die anderen erweitert) werden kann.
Vektoren heißen linear abhängig, wenn Gleichheit (***) nur dann möglich ist, wenn
Das Konzept der linearen Abhängigkeit spielt in der linearen Algebra eine große Rolle. In der Vektoralgebra hat die lineare Abhängigkeit eine einfache geometrische Bedeutung.
Zwei beliebige kollineare Vektoren sind linear abhängig, und umgekehrt sind zwei nichtkollineare Vektoren linear unabhängig.
Drei koplanare Vektoren sind linear abhängig und umgekehrt sind drei nichtkoplanare Vektoren linear unabhängig.
Alle vier Vektoren sind linear abhängig.
Definition 17. Es werden drei linear unabhängige Vektoren aufgerufen die Grundlage des Raumes, diese. Jeder Vektor kann als etwas dargestellt werden.
Definition 18. Man nennt zwei linear unabhängige Vektoren, die in einer Ebene liegen Basis des Flugzeugs, diese. Jeder in dieser Ebene liegende Vektor kann als Linearkombination von Vektoren dargestellt werden.
Aufgaben zur eigenständigen Lösung.
Vektoren finden Koordinaten in dieser Basis.
