Definition. Extrempunkte einer Funktion zweier Variablen Die minimalen und maximalen Punkte dieser Funktion werden aufgerufen. Die Werte der Funktion selbst an den Extrempunkten werden aufgerufen Extrema einer Funktion zweier Variablen .

Definition. Punkt P(X0 , j 0 ) angerufen z = z(X, j) , wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als an Punkten in seiner Nähe. Der Wert der Funktion am Maximalpunkt wird aufgerufen Maximum einer Funktion zweier Variablen .

Definition. Punkt P(X0 , j 0 ) angerufen Maximalpunkt einer Funktion zweier Variablen z = z(X, j) , wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als an Punkten in seiner Nähe. Funktionswert am Maximalpunkt heißt das Maximum einer Funktion zweier Variablen .

Satz (ein notwendiges Zeichen eines Extremums einer Funktion zweier Variablen). Wenn der Punkt P(X0 , j 0 ) - Extrempunkt einer Funktion zweier Variablen z = z(X, j) , dann der erste partielle Ableitungen Funktionen (von „X“ und „Y“) sind zu diesem Zeitpunkt gleich Null oder existieren nicht:

Definition. Man nennt die Punkte, an denen die ersten partiellen Ableitungen einer Funktion zweier Variablen gleich Null sind stationäre Punkte .

Definition. Man nennt die Punkte, an denen die ersten partiellen Ableitungen einer Funktion zweier Variablen gleich Null sind oder nicht existieren kritische Punkte .

Wie im Fall einer Funktion einer Variablen ist die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums einer Funktion zweier Variablen nicht ausreichend. Es gibt viele Funktionen in Fällen, in denen die erste partielle Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert, es aber an den entsprechenden Punkten keine Extrema gibt. Jeder Extrempunkt ist ein kritischer Punkt, aber nicht jeder kritische Punkt ist ein Extremum .

Ein ausreichendes Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion zweier Variablen. Am Punkt P In der Nähe dieses Punktes gibt es ein Extremum einer Funktion zweier Variablen volles Funktionsinkrementändert das Vorzeichen nicht. Da im kritischen Punkt das erste vollständige Differential gleich Null ist, bestimmt das Inkrement der Funktion das zweite vollständige Differential

Das beste Verständnis für die Anwendung des Gesamtdifferentials erhält man durch das Studium und die praktische Anwendung der Schritte 3 und 4 des Algorithmus zum Finden von Extrema einer Funktion zweier Variablen, der auf den zweiten Punkt dieser Lektion folgt.

Lokaler Charakter von Extrema einer Funktion zweier Variablen. Das Maximum einer Funktion zweier Variablen in einem beliebigen Teil des Definitionsbereichs der Funktion ist nicht unbedingt das Maximum im gesamten Bereich Definitionsbereich, genauso wie das Minimum in irgendeinem Bereich nicht das Minimum im gesamten Definitionsbereich ist. Betrachten wir die Höhe der Wellen in einem Abschnitt der Küstenregion des Meeres (der Abschnitt ist kleiner als die Region). Dann können wir in diesem Bereich (zumindest visuell) die höchste Wellenhöhe erfassen. Aber in einem anderen Gebiet, wo der Wind größere Wellenhöhen verursacht, erfassen wir die minimale Wellenhöhe. Dies bedeutet, dass die maximale Wellenhöhe im ersten Abschnitt geringer sein kann als die minimale Wellenhöhe im zweiten Abschnitt. Daher ist es wie im Fall der Extrema einer Funktion einer Variablen notwendig, dieses Konzept zu klären und über Extrema als lokale Extrema einer Funktion zweier Variablen zu sprechen.

Algorithmus zum Finden von Extrema einer Funktion zweier Variablen und Beispiele für Lösungen

Der Algorithmus zum Ermitteln der Extrema einer Funktion zweier Variablen ist von größtem Interesse, da er sich erstens vom Algorithmus zum Ermitteln der Extrema einer Funktion einer Variablen und zweitens in Analogie dazu von einem Algorithmus zum Ermitteln von a unterscheidet Es kann eine Funktion aus drei Variablen erstellt werden. Insbesondere ist eine Berechnung erforderlich Qualifikanten .

Also der Algorithmus zum Finden von Extrema einer Funktion zweier Variablen.

Gegeben ist eine Funktion zweier Variablen.

Schritt 2. Aus der Gleichheit dieser Ableitungen mit Null stellen wir ein Gleichungssystem zusammen (ihre Gleichheit mit Null ist ein notwendiges Zeichen für die Existenz eines Extremums):

Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind Punkte möglicher Extremum – kritische Punkte.

Schritt 3. Sei der in Schritt 2 gefundene kritische Punkt. Um sicherzustellen, dass es dort ein Extremum einer Funktion zweier Variablen gibt, ermitteln wir Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

als partielle Ableitungen der in Schritt 1 gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Schritt 4. Wir weisen den in Schritt 3 gefundenen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung Buchstabenbezeichnungen zu:

Schritt 4. Wir finden die Determinante:

, d.h. es gibt kein Extremum am gefundenen kritischen Punkt,

und , d. h. am gefundenen kritischen Punkt liegt ein Minimum einer Funktion zweier Variablen vor,

und , d. h. am gefundenen kritischen Punkt liegt ein Maximum der Funktion zweier Variablen vor.

Definition 1. Punkt M(x 0 ; y 0) heißt maximaler (minimaler) Punkt der Funktion z = f(x; y), wenn es eine Umgebung des Punktes M gibt, so dass für alle Punkte (x; y) aus dieser Umgebung gilt es gilt folgende Ungleichung:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

Satz 1 (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums) . Wenn eine differenzierbare Funktion z = f(x; y) im Punkt M(x 0 ; y 0) ein Extremum erreicht, dann sind ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung an diesem Punkt gleich Null, d.h.
;

Die Punkte, an denen die partiellen Ableitungen gleich Null sind, werden aufgerufen stationär oder kritische Punkte.

Satz 2 (hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums)

Sei Funktion z = f(x; y):

a) definiert in einer bestimmten Umgebung des Punktes (x 0 ; y 0), in dem
Und
;

b) hat an dieser Stelle stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung

;

Wenn dann  = AC  B 2 > 0, dann hat die Funktion z = f(x; y) am Punkt (x 0 ; y 0) ein Extremum, und wenn A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (oder C > 0) – Minimum. Im Fall  = AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Beispiel 1. Finden Sie das Extremum der Funktion z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.

Lösung. Finden wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Nutzen wir die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums:

Wenn wir das Gleichungssystem lösen, finden wir die x- und y-Koordinaten der stationären Punkte: x = 0; y = 3, also M(0; 3).

Berechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung und ermitteln ihre Werte am Punkt M.

A =
= 2; C =
= 2;

B =
.

Bilden wir die Diskriminante  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Daher hat die gegebene Funktion am Punkt M(0; 3) ein Minimum. Der Wert der Funktion beträgt an diesem Punkt z min = 9.

Finden Sie Extrema von Funktionen

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Der größte und kleinste Wert einer Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen Bereich

Um zu finden größte Und am wenigsten Werte einer Funktion in einem geschlossenen Bereich, müssen Sie:

1) kritische Punkte finden, die sich in einem bestimmten Bereich befinden, und die Werte der Funktion an diesen Punkten berechnen;

2) kritische Punkte an der Grenze der Region finden und die größten und kleinsten Werte der Funktionen an ihnen berechnen;

3) Wählen Sie aus allen gefundenen Werten den größten und den kleinsten aus.

Beispiel 2. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion z =
in einem Kreis x 2 + y 2  1.

Lösung. Finden wir die Koordinaten der kritischen Punkte innerhalb des betrachteten Bereichs, für die wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion z berechnen und sie mit Null gleichsetzen.

Daher ist x = 0, y = 0 und daher ist M(0; 0) ein kritischer Punkt.

Berechnen wir den Wert der Funktion z am Punkt M(0; 0): z(0; 0) = 2.

Suchen wir die kritischen Punkte an der Grenze der Region – einem Kreis, der durch die Gleichung x 2 + y 2 = 1 definiert wird. Wenn wir y 2 = 1 – x 2 in die Funktion z = z(x; y) einsetzen, erhalten wir eine Funktion einer Variablen

z =
;

wo x[1; 1].

Nachdem ich die Ableitung berechnet habe
und wenn wir es mit Null gleichsetzen, erhalten wir kritische Punkte an der Grenze des Bereichs x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Finden wir den Wert der Funktion z(x) =
an kritischen Punkten und an den Enden des Segments [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

Wählen wir den größten und kleinsten Wert der Funktion z an kritischen Punkten innerhalb und am Rand des Kreises.

Also, z max. = z(0; 0) = 2

Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt im Definitionsbereich der Funktion, an dem der Wert der Funktion einen minimalen oder maximalen Wert annimmt. Die Werte der Funktion an diesen Punkten werden Extrema (Minimum und Maximum) der Funktion genannt.

Definition. Punkt X1 Funktionsdomäne F(X) wird genannt Maximalpunkt der Funktion , wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als die Werte der Funktion an Punkten, die ausreichend nahe daran liegen, rechts und links davon liegen (d. h. die Ungleichung gilt). F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maximal.

Definition. Punkt X2 Funktionsdomäne F(X) wird genannt Minimalpunkt der Funktion, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt kleiner ist als die Werte der Funktion an Punkten, die ausreichend nahe daran liegen, rechts und links davon liegen (d. h. die Ungleichung gilt). F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X2 Minimum.

Sagen wir Punkt X1 - Maximalpunkt der Funktion F(X). Dann im Intervall bis X1 Funktion erhöht, daher ist die Ableitung der Funktion größer als Null ( F "(X) > 0 ), und im Intervall danach X1 die Funktion nimmt also ab, Ableitung einer Funktion weniger als Null ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Nehmen wir auch an, dass der Punkt X2 - Minimalpunkt der Funktion F(X). Dann im Intervall bis X2 Die Funktion nimmt ab und die Ableitung der Funktion ist kleiner als Null ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 Die Funktion nimmt zu und die Ableitung der Funktion ist größer als Null ( F "(X) > 0 ). In diesem Fall auch an der Stelle X2 Die Ableitung der Funktion ist Null oder existiert nicht.

Satz von Fermat (ein notwendiges Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Wenn der Punkt X0 - Extrempunkt der Funktion F(X), dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null ( F "(X) = 0 ) oder existiert nicht.

Definition. Es werden die Punkte aufgerufen, an denen die Ableitung einer Funktion Null ist oder nicht existiert kritische Punkte .

Beispiel 1. Betrachten wir die Funktion.

Am Punkt X= 0 ist die Ableitung der Funktion Null, also der Punkt X= 0 ist der kritische Punkt. Allerdings nimmt sie, wie am Graphen der Funktion zu erkennen ist, über den gesamten Definitionsbereich, also den Punkt, zu X= 0 ist nicht der Extrempunkt dieser Funktion.

Somit sind die Bedingungen, dass die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gleich Null ist oder nicht existiert, notwendige Bedingungen für ein Extremum, aber nicht ausreichend, da außer der Funktion auch andere Beispiele für Funktionen angegeben werden können, für die diese Bedingungen erfüllt sind hat am entsprechenden Punkt kein Extremum. Deshalb Es müssen ausreichende Beweise vorliegen Dies ermöglicht die Beurteilung, ob an einem bestimmten kritischen Punkt ein Extremum vorliegt und um welche Art von Extremum es sich handelt – Maximum oder Minimum.

Satz (das erste hinreichende Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Kritischer Punkt X0 F(X) Wenn beim Durchlaufen dieses Punktes die Ableitung der Funktion das Vorzeichen ändert und wenn sich das Vorzeichen von „Plus“ nach „Minus“ ändert, dann handelt es sich um einen Maximalpunkt, und wenn von „Minus“ nach „Plus“, dann es ist ein Mindestpunkt.

Wenn in der Nähe des Punktes X0 , links und rechts davon behält die Ableitung ihr Vorzeichen, das bedeutet, dass die Funktion in einer bestimmten Umgebung des Punktes entweder nur abnimmt oder nur zunimmt X0 . In diesem Fall an der Stelle X0 es gibt kein Extrem.

Also, Um die Extrempunkte der Funktion zu bestimmen, müssen Sie Folgendes tun :

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und bestimmen Sie die kritischen Punkte.
3. Markieren Sie gedanklich oder auf Papier die kritischen Punkte auf der Zahlengeraden und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung der Funktion in den resultierenden Intervallen. Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von „Plus“ nach „Minus“ ändert, ist der kritische Punkt der Maximalpunkt, und wenn von „Minus“ nach „Plus“, dann der Minimalpunkt.
4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.

Beispiel 2. Finden Sie die Extrema der Funktion .

Lösung. Finden wir die Ableitung der Funktion:

Setzen wir die Ableitung mit Null gleich, um die kritischen Punkte zu finden:

.

Da für alle Werte von „x“ der Nenner ungleich Null ist, setzen wir den Zähler mit Null gleich:

Ich habe einen kritischen Punkt X= 3 . Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den durch diesen Punkt begrenzten Intervallen:

im Bereich von minus unendlich bis 3 - ein Minuszeichen, d. h. die Funktion nimmt ab,

Im Intervall von 3 bis plus Unendlich gibt es ein Pluszeichen, das heißt, die Funktion nimmt zu.

Das heißt, Punkt X= 3 ist der Mindestpunkt.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion am Minimalpunkt ermitteln:

Somit wird der Extrempunkt der Funktion gefunden: (3; 0) und es ist der Minimalpunkt.

Satz (das zweite hinreichende Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Kritischer Punkt X0 ist der Extrempunkt der Funktion F(X), wenn die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle ungleich Null ist ( F ""(X) ≠ 0 ), und wenn die zweite Ableitung größer als Null ist ( F ""(X) > 0 ), dann der Maximalpunkt, und wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Hinweis 1. Wenn an der Stelle X0 Wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung verschwinden, ist es zu diesem Zeitpunkt unmöglich, das Vorhandensein eines Extremums anhand des zweiten hinreichenden Kriteriums zu beurteilen. In diesem Fall müssen Sie das erste ausreichende Kriterium für das Extremum einer Funktion verwenden.

Bemerkung 2. Das zweite ausreichende Kriterium für das Extremum einer Funktion ist selbst dann nicht anwendbar, wenn die erste Ableitung an einem stationären Punkt nicht existiert (dann existiert auch die zweite Ableitung nicht). In diesem Fall müssen Sie auch das erste ausreichende Vorzeichen eines Extremums einer Funktion verwenden.

Lokale Natur der Extrema der Funktion

Aus den obigen Definitionen folgt, dass das Extremum einer Funktion lokaler Natur ist – es ist der größte und kleinste Wert der Funktion im Vergleich zu benachbarten Werten.

Nehmen wir an, Sie betrachten Ihre Einnahmen über einen Zeitraum von einem Jahr. Wenn Sie im Mai 45.000 Rubel, im April 42.000 Rubel und im Juni 39.000 Rubel verdient haben, dann ist der Mai-Verdienst das Maximum der Verdienstfunktion im Vergleich zu nahegelegenen Werten. Aber im Oktober haben Sie 71.000 Rubel verdient, im September 75.000 Rubel und im November 74.000 Rubel, sodass der Oktoberverdienst das Minimum der Verdienstfunktion im Vergleich zu nahegelegenen Werten darstellt. Und Sie können leicht erkennen, dass das Maximum der Werte von April-Mai-Juni unter dem Minimum von September-Oktober-November liegt.

Im Allgemeinen kann eine Funktion in einem Intervall mehrere Extrema haben, und es kann sich herausstellen, dass ein Minimum der Funktion größer als ein Maximum ist. Für die in der Abbildung oben gezeigte Funktion gilt also .

Das heißt, man sollte nicht denken, dass das Maximum und das Minimum einer Funktion deren größter bzw. kleinster Wert im gesamten betrachteten Segment sind. Am Maximalpunkt hat die Funktion den größten Wert nur im Vergleich zu den Werten, die sie an allen Punkten hat, die ausreichend nahe am Maximalpunkt liegen, und am Minimalpunkt hat sie den kleinsten Wert nur im Vergleich zu diesen Werten ​​​​dass es an allen Punkten ausreichend nahe am Minimalpunkt liegt.

Daher können wir das obige Konzept der Extrempunkte einer Funktion klarstellen und Minimalpunkte als lokale Minimalpunkte und Maximalpunkte als lokale Maximalpunkte bezeichnen.

Wir suchen gemeinsam nach den Extrema der Funktion

Beispiel 3.

Lösung: Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und stetig. Seine Ableitung existiert auch auf dem gesamten Zahlenstrahl. Daher sind in diesem Fall die kritischen Punkte nur diejenigen, an denen, d. h. , von wo und . Kritische Punkte und unterteilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion in drei Intervalle der Monotonie: . Wählen wir in jedem von ihnen einen Kontrollpunkt aus und ermitteln wir das Vorzeichen der Ableitung an diesem Punkt.

Für das Intervall kann der Kontrollpunkt sein: finden. Wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, erhalten wir, und wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, haben wir. Also, in den Intervallen und und im Intervall. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium für ein Extremum gibt es an dem Punkt kein Extremum (da die Ableitung ihr Vorzeichen im Intervall behält) und an dem Punkt hat die Funktion ein Minimum (da die Ableitung beim Passieren ihr Vorzeichen von Minus nach Plus ändert). bis zu diesem Punkt). Finden wir die entsprechenden Werte der Funktion: , a . Im Intervall nimmt die Funktion ab, da in diesem Intervall , und im Intervall nimmt sie zu, da in diesem Intervall .

Um den Aufbau des Graphen zu verdeutlichen, ermitteln wir seine Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Wenn wir eine Gleichung erhalten, deren Wurzeln und sind, d. h. zwei Punkte (0; 0) und (4; 0) des Funktionsgraphen gefunden wurden. Aus allen erhaltenen Informationen erstellen wir ein Diagramm (siehe Anfang des Beispiels).

Zur Selbstkontrolle bei Berechnungen können Sie verwenden Online-Ableitungsrechner .

Beispiel 4. Finden Sie die Extrema der Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist der gesamte Zahlenstrahl mit Ausnahme des Punktes, d. h. .

Um die Studie zu verkürzen, können Sie die Tatsache nutzen, dass diese Funktion gerade ist, da . Daher ist sein Graph symmetrisch zur Achse Oy und die Studie kann nur für das Intervall durchgeführt werden.

Die Ableitung finden und kritische Punkte der Funktion:

1) ;

2) ,

Da die Funktion an diesem Punkt jedoch eine Diskontinuität aufweist, kann es sich nicht um einen Extrempunkt handeln.

Somit hat die gegebene Funktion zwei kritische Punkte: und . Unter Berücksichtigung der Parität der Funktion prüfen wir nur den Punkt anhand des zweiten ausreichenden Kriteriums für ein Extremum. Dazu ermitteln wir die zweite Ableitung und bestimmen Sie sein Vorzeichen bei: Wir erhalten . Da und ist es der Minimalpunkt der Funktion und .

Um ein vollständigeres Bild des Graphen einer Funktion zu erhalten, wollen wir ihr Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs herausfinden:

(Hier zeigt das Symbol den Wunsch an X von rechts auf Null und X bleibt positiv; bedeutet in ähnlicher Weise Streben X von links auf Null und X bleibt negativ). Also wenn, dann. Als nächstes finden wir

,

diese. wenn, dann .

Der Graph einer Funktion hat keine Schnittpunkte mit den Achsen. Das Bild befindet sich am Anfang des Beispiels.

Zur Selbstkontrolle bei Berechnungen können Sie verwenden Online-Ableitungsrechner .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach Extrema der Funktion

Beispiel 8. Finden Sie die Extrema der Funktion.

Lösung. Finden wir den Definitionsbereich der Funktion. Da die Ungleichung erfüllt sein muss, erhalten wir aus .

Finden wir die erste Ableitung der Funktion.

Ein einfacher Algorithmus zum Finden von Extrema.

• Finden der Ableitung der Funktion
• Wir setzen diese Ableitung mit Null gleich
• Wir finden die Werte der Variablen des resultierenden Ausdrucks (die Werte der Variablen, bei denen die Ableitung in Null umgewandelt wird)
• Mit diesen Werten unterteilen wir die Koordinatenlinie in Intervalle (vergessen Sie nicht die Bruchpunkte, die ebenfalls auf der Linie eingezeichnet werden müssen). Alle diese Punkte werden als „verdächtige“ Punkte für das Extremum bezeichnet
• Wir berechnen, in welchem ​​dieser Intervalle die Ableitung positiv und in welchem ​​negativ sein wird. Dazu müssen Sie den Wert aus dem Intervall in die Ableitung einsetzen.

Von den für ein Extremum verdächtigen Punkten ist es notwendig, zu finden. Dazu schauen wir uns unsere Intervalle auf der Koordinatenlinie an. Wenn sich beim Durchlaufen eines Punktes das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus ändert, dann ist dies dieser Punkt maximal, und wenn von Minus nach Plus, dann Minimum.

Um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Extrempunkten berechnen. Wählen Sie dann den größten und kleinsten Wert aus.

Schauen wir uns ein Beispiel an
Finden Sie die Ableitung und setzen Sie sie mit Null gleich:

Wir tragen die erhaltenen Werte der Variablen auf der Koordinatenlinie ein und berechnen das Vorzeichen der Ableitung für jedes der Intervalle. Nehmen wir zum Beispiel das erste-2 , dann ist die Ableitung gleich-0,24 , für die Sekunde nehmen wir0 , dann wird die Ableitung sein2 , und für den dritten nehmen wir2 , dann wird die Ableitung sein-0,24. Wir haben die entsprechenden Schilder angebracht.

Wir sehen, dass die Ableitung beim Durchlaufen von Punkt -1 ihr Vorzeichen von Minus nach Plus ändert, d Maximalpunkt.

Einführung

In vielen Bereichen der Wissenschaft und der Praxis steht man oft vor dem Problem, das Extremum einer Funktion zu finden. Tatsache ist, dass viele technische, wirtschaftliche usw. Prozesse werden durch eine Funktion oder mehrere Funktionen modelliert, die von Variablen abhängen – Faktoren, die den Zustand des modellierten Phänomens beeinflussen. Um die optimale (rationale) Zustands- und Prozesssteuerung zu ermitteln, ist es erforderlich, die Extrema solcher Funktionen zu finden. So werden in den Wirtschaftswissenschaften oft die Probleme der Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung gelöst – das mikroökonomische Problem des Unternehmens. In dieser Arbeit betrachten wir keine Modellierungsprobleme, sondern betrachten nur Algorithmen zur Suche nach Extrema von Funktionen in der einfachsten Version, wenn den Variablen keine Einschränkungen auferlegt werden (bedingungslose Optimierung) und das Extremum nur für eine Zielfunktion gesucht wird.

EXTREMA DER FUNKTION

Betrachten Sie den Graphen einer stetigen Funktion y=f(x) in der Abbildung dargestellt. Funktionswert an einem Punkt X 1 wird größer sein als die Funktionswerte an allen benachbarten Punkten sowohl links als auch rechts davon X 1 . In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X Maximal 1. Am Punkt X Funktion 3 hat offensichtlich auch ein Maximum. Wenn wir den Punkt bedenken X 2, dann ist der darin enthaltene Funktionswert kleiner als alle benachbarten Werte. In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X Mindestens 2. Ebenso für den Punkt X 4 .

Funktion y=f(x) am Punkt X 0 hat maximal, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als ihre Werte an allen Punkten eines Intervalls, das den Punkt enthält X 0, d.h. wenn es eine solche Umgebung eines Punktes gibt X 0, was für alle gilt X≠X 0 , Zugehörigkeit zu dieser Nachbarschaft gilt die Ungleichung f(x)<f(x 0 ) .

Funktion y=f(x) Es hat Minimum am Punkt X 0 , wenn es eine solche Umgebung eines Punktes gibt X 0 , das ist für jeden etwas X≠X 0 zu dieser Nachbarschaft gehört, gilt die Ungleichung f(x)>f(x 0.

Die Punkte, an denen die Funktion ihr Maximum und Minimum erreicht, werden Extrempunkte genannt, und die Werte der Funktion an diesen Punkten werden Extrema der Funktion genannt.

Beachten wir die Tatsache, dass eine auf einem Segment definierte Funktion ihr Maximum und Minimum nur an Punkten erreichen kann, die innerhalb des betrachteten Segments liegen.

Beachten Sie, dass wenn eine Funktion an einem Punkt ein Maximum aufweist, dies nicht bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt den größten Wert im gesamten Definitionsbereich hat. In der oben besprochenen Abbildung ist die Funktion an dem Punkt X 1 hat ein Maximum, obwohl es Punkte gibt, an denen die Funktionswerte größer sind als am Punkt X 1 . Insbesondere, F(X 1) < F(X 4) d.h. Das Minimum einer Funktion ist größer als das Maximum. Aus der Definition des Maximums folgt lediglich, dass dies der größte Wert der Funktion an Punkten ist, die hinreichend nahe am Maximalpunkt liegen.

Satz 1. (Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Wenn die differenzierbare Funktion y=f(x) hat an der Stelle x= x 0 Extremum, dann wird seine Ableitung an diesem Punkt Null.

Nachweisen. Lassen Sie uns der Sicherheit halber auf den Punkt kommen X 0-Funktion hat ein Maximum. Dann gilt für ausreichend kleine Inkremente Δ X wir haben f(x 0 + Δ X) 0 ) , d.h.

Aber dann

Übergabe dieser Ungleichungen an den Grenzwert bei Δ X→ 0 und unter Berücksichtigung der Ableitung F "(X 0) existiert, und daher hängt der Grenzwert links nicht davon ab, wie Δ X→ 0 erhalten wir: bei Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a bei Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Da F"(X 0) eine Zahl definiert, dann sind diese beiden Ungleichungen nur dann kompatibel, wenn F"(X 0) = 0.

Der bewährte Satz besagt, dass die Maximal- und Minimalpunkte nur unter den Werten des Arguments zu finden sind, bei denen die Ableitung Null wird.

Wir haben den Fall betrachtet, dass eine Funktion an allen Punkten eines bestimmten Segments eine Ableitung hat. Wie verhält es sich, wenn das Derivat nicht existiert? Schauen wir uns Beispiele an.

j=|X|.

Die Funktion hat an diesem Punkt keine Ableitung X=0 (an diesem Punkt hat der Graph der Funktion keinen definierten Tangens), aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Minimum, da j(0)=0 und für alle X≠ 0j > 0.

hat keine Ableitung bei X=0, da es bei unendlich geht X=0. Aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Maximum. hat keine Ableitung bei X=0, seit wann X→0. Zu diesem Zeitpunkt hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum. Wirklich, f(x)=0 und bei X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.

Aus den gegebenen Beispielen und dem formulierten Satz geht somit klar hervor, dass eine Funktion nur in zwei Fällen ein Extremum haben kann: 1) an Punkten, an denen die Ableitung existiert und gleich Null ist; 2) an dem Punkt, an dem die Ableitung nicht existiert.

Wenn jedoch irgendwann X 0 das wissen wir f "(x 0 ) =0, dann kann man hieraus nicht auf das schließen X 0 hat die Funktion ein Extremum.

Zum Beispiel.

.

Aber Punkt X=0 ist kein Extrempunkt, da links von diesem Punkt die Funktionswerte unterhalb der Achse liegen Ochse, und rechts oben.

Es werden Werte eines Arguments aus dem Definitionsbereich einer Funktion aufgerufen, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet oder nicht existiert kritische Punkte.

Aus alledem folgt, dass die Extrempunkte der Funktion zu den kritischen Punkten gehören, allerdings ist nicht jeder kritische Punkt ein Extrempunkt. Um das Extremum einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie daher alle kritischen Punkte der Funktion ermitteln und dann jeden dieser Punkte separat auf Maximum und Minimum untersuchen. Hierzu dient der folgende Satz.

Satz 2. (Eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Die Funktion sei in einem Intervall, das den kritischen Punkt enthält, stetig X 0 und ist an allen Punkten dieses Intervalls differenzierbar (außer vielleicht am Punkt selbst). X 0). Wenn bei der Bewegung von links nach rechts durch diesen Punkt die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, dann an diesem Punkt X = X 0-Funktion hat ein Maximum. Wenn, bei der Durchreise X 0 von links nach rechts ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, dann hat die Funktion an dieser Stelle ein Minimum.

Also, wenn

f "(x)>0 um X<X 0 und f "(x)< 0 um x> x 0 also X 0 – Höchstpunktzahl;

bei X<X 0 und f "(x)> 0 um x> x 0 also X 0 – Mindestpunktzahl.

Nachweisen. Nehmen wir zunächst einmal an, dass es sich um eine Durchreise handelt X 0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, d.h. Vor allen X, nah am Punkt X 0 f "(x)> 0 für X< x 0 , f "(x)< 0 für x> x 0 . Wenden wir den Satz von Lagrange auf die Differenz an f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), wo C liegt zwischen X Und X 0 .

Lassen X< x 0 . Dann C< x 0 und f "(c)> 0. Deshalb f "(c)(x- x 0)< 0 und daher

f(x) - f(x 0 )< 0, d.h. f(x)< f(x 0 ).

Lassen x > x 0 . Dann c>x 0 und f "(c)< 0. Bedeutet f "(c)(x- x 0)< 0. Deshalb f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Also für alle Werte X nah genug dran X 0 f(x)< f(x 0 ) . Und das bedeutet auf den Punkt gebracht X 0-Funktion hat ein Maximum.

Der zweite Teil des Minimumsatzes wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Theorems in der Abbildung veranschaulichen. Lassen f "(x 1 ) =0 und für alle X, nah genug dran X 1 sind die Ungleichungen erfüllt

f "(x)< 0 um X< x 1 , f "(x)> 0 um x> x 1 .

Dann links vom Punkt X 1 Die Funktion nimmt rechts zu und ab, also wann X = X 1 Funktion geht von steigend nach fallend, das heißt, sie hat ein Maximum.

Ebenso können wir Punkte berücksichtigen X 2 und X 3 .

Alles oben Genannte kann im Bild schematisch dargestellt werden:

Regel zum Studieren der Funktion y=f(x) für Extremum

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion f(x).

Finden Sie die erste Ableitung einer Funktion f "(x).

Bestimmen Sie hierfür kritische Punkte:

Finden Sie die wahren Wurzeln der Gleichung f "(x)=0;

Finden Sie alle Werte X für die die Ableitung f "(x) existiert nicht.

Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt. Da das Vorzeichen der Ableitung zwischen zwei kritischen Punkten konstant bleibt, reicht es aus, das Vorzeichen der Ableitung an einem Punkt links und einem Punkt rechts vom kritischen Punkt zu bestimmen.

Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.