Der Artikel widmet sich der Analyse der Aufgaben 15 aus der Profilprüfung Mathematik für 2017. In dieser Aufgabe wird den Schülern angeboten, Ungleichungen zu lösen, meistens logarithmische. Obwohl sie indikativ sein können. Dieser Artikel enthält eine Analyse von Beispielen für logarithmische Ungleichungen, einschließlich solcher, die eine Variable an der Basis des Logarithmus enthalten. Alle Beispiele stammen aus der offenen Bank der USE-Aufgaben in Mathematik (Profil), daher stoßen solche Ungleichheiten sehr wahrscheinlich auf die Prüfung als Aufgabe 15. Ideal für diejenigen, die lernen möchten, wie man Aufgabe 15 aus dem zweiten Teil löst Verwenden Sie das Profil in kurzer Zeit in Mathematik, um bei der Prüfung höhere Punktzahlen zu erzielen.

Analyse der Aufgaben 15 aus der Profilprüfung Mathematik

Beispiel 1. Lösen Sie die Ungleichung:

In Aufgaben 15 des Einheitlichen Staatsexamens Mathematik (Profil) finden sich häufig logarithmische Ungleichungen. Die Lösung logarithmischer Ungleichungen beginnt mit der Definition des zulässigen Wertebereichs. In diesem Fall gibt es keine Variable in der Basis beider Logarithmen, es gibt nur die Zahl 11, was die Aufgabe stark vereinfacht. Daher haben wir hier die einzige Einschränkung, dass beide Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen positiv sind:

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Die erste Ungleichung im System ist die quadratische Ungleichung. Um es zu lösen, täten wir wirklich gut daran, die linke Seite zu faktorisieren. Ich denke, Sie wissen, dass jedes quadratische Trinom die Form hat Es wird wie folgt faktorisiert:

wo und sind die Wurzeln der Gleichung . In diesem Fall ist der Koeffizient 1 (dies ist der numerische Koeffizient vor ). Der Koeffizient ist auch gleich 1, und der Koeffizient ist ein freier Term, er ist gleich -20. Die Wurzeln eines Trinoms lassen sich am einfachsten mit dem Satz von Vieta bestimmen. Unsere Gleichung ist reduziert, was die Summe der Wurzeln bedeutet und gleich dem Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ist, dh -1, und das Produkt dieser Wurzeln ist gleich dem Koeffizienten, dh -20. Es ist leicht zu erraten, dass die Wurzeln -5 und 4 sein werden.

Jetzt kann die linke Seite der Ungleichung faktorisiert werden: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X an den Punkten -5 und 4. Daher ist die gewünschte Lösung der Ungleichung das Intervall . Für diejenigen, die nicht verstehen, was hier geschrieben steht, können Sie die Details ab sofort im Video sehen. Dort finden Sie auch eine ausführliche Erklärung, wie die zweite Ungleichung des Systems gelöst wird. Es wird gelöst. Außerdem ist die Antwort genau dieselbe wie für die erste Ungleichung des Systems. Das heißt, die oben geschriebene Menge ist der Bereich der zulässigen Ungleichheitswerte.

Unter Berücksichtigung der Faktorisierung nimmt die ursprüngliche Ungleichung also die Form an:

Unter Verwendung der Formel addieren wir 11 zur Potenz des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des ersten Logarithmus und verschieben den zweiten Logarithmus auf die linke Seite der Ungleichung, während wir sein Vorzeichen in das Gegenteil ändern:

Nach Reduktion erhalten wir:

Die letzte Ungleichung ist aufgrund der Zunahme der Funktion äquivalent zur Ungleichung , deren Lösung das Intervall ist . Es bleibt, es mit dem Bereich der zulässigen Ungleichheitswerte zu kreuzen, und dies wird die Antwort auf die gesamte Aufgabe sein.

Die gewünschte Antwort auf die Aufgabe hat also die Form:

Wir haben diese Aufgabe herausgefunden, jetzt kommen wir zum nächsten Beispiel der Aufgabe 15 der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik (Profil).

Beispiel 2. Lösen Sie die Ungleichung:

Wir beginnen die Lösung, indem wir den Bereich der zulässigen Werte dieser Ungleichung bestimmen. Die Basis jedes Logarithmus muss eine positive Zahl ungleich 1 sein. Alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus müssen positiv sein. Der Nenner eines Bruches darf nicht Null sein. Die letzte Bedingung ist äquivalent zu , da nur sonst beide Logarithmen im Nenner verschwinden. Alle diese Bedingungen bestimmen den Bereich der zulässigen Werte dieser Ungleichung, der durch das folgende Ungleichungssystem gegeben ist:

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Im Bereich akzeptabler Werte können wir logarithmische Transformationsformeln verwenden, um die linke Seite der Ungleichung zu vereinfachen. Mit der Formel den Nenner loswerden:

Jetzt haben wir nur Basislogarithmen. Das ist schon bequemer. Als nächstes verwenden wir die Formel und auch die Formel, um den ruhmwürdigen Ausdruck in die folgende Form zu bringen:

Bei den Berechnungen haben wir verwendet, was im Bereich akzeptabler Werte liegt. Durch die Substitution gelangen wir zum Ausdruck:

Lassen Sie uns eine weitere Substitution verwenden: . Als Ergebnis kommen wir zu folgendem Ergebnis:

Kehren Sie also allmählich zu den ursprünglichen Variablen zurück. Erstmal zur Variable:

Beim Lösen logarithmischer Ungleichungen gibt es oft Probleme mit einer variablen Basis des Logarithmus. Also eine Ungleichheit der Form

ist eine übliche Schulungleichheit. Um dies zu lösen, wird in der Regel ein Übergang zu einem äquivalenten Satz von Systemen verwendet:

Der Nachteil dieser Methode ist die Notwendigkeit, sieben Ungleichungen zu lösen, wobei zwei Systeme und ein Satz nicht mitgezählt werden. Auch bei gegebenen quadratischen Funktionen kann die Besetzungslösung viel Zeit in Anspruch nehmen.

Es kann ein alternativer, weniger zeitaufwändiger Weg zur Lösung dieser Standardungleichung vorgeschlagen werden. Dazu berücksichtigen wir den folgenden Satz.

Satz 1. Sei eine stetig wachsende Funktion auf einer Menge X. Dann fällt auf dieser Menge das Vorzeichen des Inkrements der Funktion mit dem Vorzeichen des Inkrements des Arguments zusammen, d.h. , wo .

Hinweis: Wenn eine kontinuierlich abnehmende Funktion auf der Menge X, dann .

Kommen wir zurück zur Ungleichheit. Kommen wir zum dezimalen Logarithmus (Sie können zu jedem mit einer konstanten Basis größer als eins gehen).

Jetzt können wir den Satz anwenden und im Zähler das Inkrement von Funktionen bemerken und im Nenner. Es ist also wahr

Dadurch reduziert sich die Zahl der zur Lösung führenden Berechnungen um etwa die Hälfte, was nicht nur Zeit spart, sondern auch potenziell weniger Rechen- und Flüchtigkeitsfehler macht.

Beispiel 1

Vergleichen mit (1) finden wir , , .

Wenn wir zu (2) übergehen, haben wir:

Beispiel 2

Vergleichen wir mit (1) finden wir , , .

Wenn wir zu (2) übergehen, haben wir:

Beispiel 3

Da die linke Seite der Ungleichung eine wachsende Funktion für und ist , dann ist die Antwort gesetzt .

Die Reihe von Beispielen, in denen Terme 1 angewendet werden kann, lässt sich leicht erweitern, wenn Terme 2 berücksichtigt wird.

Lassen Sie auf das Set X die Funktionen , , , sind definiert, und auf dieser Menge stimmen die Vorzeichen und überein, d.h. dann wird es gerecht.

Beispiel 4

Beispiel 5

Mit dem Standardansatz wird das Beispiel nach dem Schema gelöst: Das Produkt ist kleiner Null, wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Diese. wir betrachten eine Menge von zwei Ungleichungssystemen, in denen, wie eingangs angedeutet, jede Ungleichung in sieben weitere zerfällt.

Wenn wir Satz 2 berücksichtigen, dann kann jeder der Faktoren unter Berücksichtigung von (2) durch eine andere Funktion ersetzt werden, die in diesem Beispiel von O.D.Z das gleiche Vorzeichen hat.

Die Methode, das Inkrement einer Funktion durch ein Inkrement des Arguments unter Berücksichtigung von Theorem 2 zu ersetzen, erweist sich als sehr praktisch, um typische C3-USE-Probleme zu lösen.

Beispiel 6

Beispiel 7

. Lassen Sie uns bezeichnen. Erhalten

. Beachten Sie, dass die Ersetzung impliziert: . Zurück zur Gleichung erhalten wir .

Beispiel 8

In den von uns verwendeten Theoremen gibt es keine Einschränkung bezüglich der Klassen von Funktionen. In diesem Artikel wurden die Sätze beispielhaft auf die Lösung logarithmischer Ungleichungen angewendet. Die folgenden wenigen Beispiele werden das Versprechen des Verfahrens zum Lösen anderer Arten von Ungleichungen demonstrieren.

LOGARITHMISCHE UNGLEICHHEITEN IN DER VERWENDUNG

Sechin Michail Alexandrowitsch

Kleine Akademie der Wissenschaften für Studenten der Republik Kasachstan "Seeker"

MBOU "Sowjetisches Gymnasium Nr. 1", Klasse 11, Stadt. Sowjetischer Sowjetbezirk

Gunko Lyudmila Dmitrievna, Lehrerin der MBOU „Sowjetische Sekundarschule Nr. 1“

Sowjetischer Bezirk

Zielsetzung: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung von C3-logarithmischen Ungleichungen mit nicht standardmäßigen Methoden, die interessante Fakten über den Logarithmus aufdecken.

Gegenstand der Studie:

3) Lernen Sie, spezifische logarithmische C3-Ungleichungen mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Inhalt

Einführung …………………………………………………………………………… .4

Kapitel 1. Hintergrund ………………………………………………………...5

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen ………………………… 7

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Methode der Intervalle …………… 7

2.2. Rationalisierungsmethode ………………………………………………… 15

2.3. Außergewöhnliche Substitution …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4. Aufgaben mit Fallen …………………………………………………… 27

Fazit …………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

Einführung

Ich gehe in die 11. Klasse und beabsichtige, eine Universität zu besuchen, in der Mathematik ein Kernfach ist. Und deshalb arbeite ich viel mit den Aufgaben von Teil C. In Aufgabe C3 müssen Sie eine nicht standardmäßige Ungleichung oder ein System von Ungleichungen lösen, die normalerweise mit Logarithmen verbunden sind. Bei der Prüfungsvorbereitung stieß ich auf das Problem fehlender Methoden und Techniken zur Lösung der in C3 angebotenen Prüfung logarithmische Ungleichungen. Die Methoden, die im Schullehrplan zu diesem Thema studiert werden, bieten keine Grundlage für die Lösung der Aufgaben C3. Die Mathelehrerin hat vorgeschlagen, dass ich die C3-Aufgaben unter ihrer Anleitung alleine erarbeite. Außerdem interessierte mich die Frage: Gibt es Logarithmen in unserem Leben?

Vor diesem Hintergrund wurde das Thema gewählt:

"Logarithmische Ungleichungen in der Klausur"

Zielsetzung: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung von C3-Problemen mit nicht standardmäßigen Methoden, wobei interessante Fakten über den Logarithmus enthüllt werden.

Gegenstand der Studie:

1) Finden Sie die notwendigen Informationen über nicht standardmäßige Methoden zum Lösen logarithmischer Ungleichungen.

2) Finden Sie zusätzliche Informationen über Logarithmen.

3) Lernen Sie, spezifische C3-Probleme mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Die praktische Bedeutung liegt in der Erweiterung des Apparates zur Problemlösung C3. Dieses Material kann in einigen Unterrichtsstunden verwendet werden, um Kreise zu leiten, optionale Klassen in Mathematik.

Das Projektprodukt wird die Sammlung "Logarithmische C3-Ungleichungen mit Lösungen" sein.

Kapitel 1. Hintergrund

Im 16. Jahrhundert nahm die Zahl der Näherungsrechnungen vor allem in der Astronomie rapide zu. Die Verbesserung der Instrumente, das Studium der Planetenbewegungen und andere Arbeiten erforderten kolossale, manchmal viele Jahre dauernde Berechnungen. Die Astronomie lief Gefahr, in unerfüllten Berechnungen zu ertrinken. Auch in anderen Bereichen traten Schwierigkeiten auf, beispielsweise wurden im Versicherungsgeschäft Zinseszinstabellen für verschiedene Prozentwerte benötigt. Die Hauptschwierigkeit war Multiplikation, Division von mehrstelligen Zahlen, insbesondere trigonometrischen Größen.

Die Entdeckung der Logarithmen basierte auf den bekannten Eigenschaften von Progressionen Ende des 16. Jahrhunderts. Archimedes sprach über die Verbindung zwischen den Gliedern der geometrischen Folge q, q2, q3, ... und der arithmetischen Folge ihrer Indikatoren 1, 2, 3, ... im Psalmiten. Eine weitere Voraussetzung war die Erweiterung des Gradbegriffs auf negative und gebrochene Exponenten. Viele Autoren haben darauf hingewiesen, dass Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen in der Arithmetik – in derselben Reihenfolge – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division exponentiell entsprechen.

Hier war die Idee des Logarithmus als Exponent.

In der Entwicklungsgeschichte der Logarithmenlehre sind mehrere Etappen vergangen.

Bühne 1

Logarithmen wurden spätestens 1594 unabhängig vom schottischen Baron Napier (1550-1617) und zehn Jahre später vom Schweizer Mechaniker Burgi (1552-1632) erfunden. Beide wollten ein neues bequemes Mittel für arithmetische Berechnungen bereitstellen, obwohl sie dieses Problem auf unterschiedliche Weise angingen. Napier drückte die logarithmische Funktion kinematisch aus und betrat damit ein neues Gebiet der Funktionstheorie. Bürgi blieb aufgrund der Betrachtung von diskreten Verläufen bestehen. Die Definition des Logarithmus für beide ähnelt jedoch nicht der modernen. Der Begriff "Logarithmus" (logarithmus) gehört zu Napier. Es entstand aus einer Kombination der griechischen Wörter: logos – „Beziehung“ und ariqmo – „Zahl“, was „Anzahl der Beziehungen“ bedeutete. Anfangs verwendete Napier einen anderen Begriff: Numeri Artificiales – „künstliche Zahlen“, im Gegensatz zu Numeri Naturalts – „natürliche Zahlen“.

1615 schlug Napier in einem Gespräch mit Henry Briggs (1561-1631), einem Professor für Mathematik am Gresh College in London, vor, Null für den Logarithmus von eins und 100 für den Logarithmus von zehn zu nehmen, oder was dasselbe ergibt , nur 1. So wurden dezimale Logarithmen und die ersten logarithmischen Tabellen gedruckt. Später wurden die Briggs-Tafeln durch den holländischen Buchhändler und Mathematiker Andrian Flakk (1600-1667) ergänzt. Napier und Briggs, obwohl sie vor allen anderen zum Logarithmus kamen, veröffentlichten ihre Tabellen später als andere – im Jahr 1620. Die Zeichen log und Log wurden 1624 von I. Kepler eingeführt. Der Begriff "natürlicher Logarithmus" wurde 1659 von Mengoli eingeführt, gefolgt von N. Mercator 1668, und der Londoner Lehrer John Spadel veröffentlichte Tabellen natürlicher Logarithmen von Zahlen von 1 bis 1000 unter dem Namen "New Logarithms".

Auf Russisch wurden die ersten Logarithmentafeln 1703 veröffentlicht. Aber in allen logarithmischen Tabellen wurden Fehler in der Berechnung gemacht. Die ersten fehlerfreien Tabellen wurden 1857 in Berlin in der Bearbeitung des deutschen Mathematikers K. Bremiker (1804-1877) veröffentlicht.

Stufe 2

Die Weiterentwicklung der Theorie der Logarithmen ist mit einer breiteren Anwendung der analytischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung verbunden. Zu dieser Zeit war der Zusammenhang zwischen der Quadratur einer gleichseitigen Hyperbel und dem natürlichen Logarithmus hergestellt. Die Theorie der Logarithmen dieser Zeit ist mit den Namen einer Reihe von Mathematikern verbunden.

Der deutsche Mathematiker, Astronom und Ingenieur Nikolaus Mercator in seinem Aufsatz

"Logarithmotechnics" (1668) gibt eine Reihe an, die die Entwicklung von ln(x + 1) in Bezug auf angibt

Potenzen x:

Dieser Ausdruck entspricht genau seinem Gedankengang, obwohl er natürlich nicht die Zeichen d, ... verwendet hat, sondern umständlichere Symbole. Mit der Entdeckung der logarithmischen Reihe änderte sich die Technik zur Berechnung von Logarithmen: Sie wurden mit unendlichen Reihen bestimmt. In seinen 1907-1908 gelesenen Vorlesungen "Elementare Mathematik von einem höheren Standpunkt aus" schlug F. Klein vor, die Formel als Ausgangspunkt für den Aufbau der Logarithmentheorie zu verwenden.

Stufe 3

Definition einer logarithmischen Funktion als Funktion der Inversen

Exponential, Logarithmus als Exponent einer gegebenen Basis

wurde nicht sofort formuliert. Das Werk von Leonhard Euler (1707-1783)

Als weitere diente „Einführung in die Analyse der Infinitesimalzahlen“ (1748).

Entwicklung der Theorie der logarithmischen Funktion. Auf diese Weise,

134 Jahre sind vergangen, seit Logarithmen erstmals eingeführt wurden

(gezählt ab 1614), bevor die Mathematiker eine Definition fanden

das Konzept des Logarithmus, das heute Grundlage des Schulkurses ist.

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Methode der Intervalle.

Äquivalente Übergänge

wenn a > 1

wenn 0 < а < 1

Verallgemeinerte Intervallmethode

Diese Methode ist die universellste zum Lösen von Ungleichungen fast aller Art. Das Lösungsschema sieht wie folgt aus:

1. Bringen Sie die Ungleichung in eine solche Form, bei der die Funktion auf der linken Seite steht
, und 0 auf der rechten Seite.

2. Suchen Sie den Umfang der Funktion
.

3. Finden Sie die Nullstellen einer Funktion
, also die Gleichung lösen
(und das Lösen einer Gleichung ist normalerweise einfacher als das Lösen einer Ungleichung).

4. Zeichnen Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion auf eine reelle Linie.

5. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Funktion
in den empfangenen Intervallen.

6. Wählen Sie die Intervalle aus, in denen die Funktion die erforderlichen Werte annimmt, und schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel 1

Lösung:

Wende die Intervallmethode an

wo

Für diese Werte sind alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen von Logarithmen positiv.

Antworten:

Beispiel 2

Lösung:

1 Weg . ODZ wird durch die Ungleichung bestimmt x> 3. Logarithmieren für solche x in Basis 10 erhalten wir

Die letzte Ungleichung könnte durch Anwendung der Zerlegungsregeln gelöst werden, d.h. Faktoren mit Null vergleichen. In diesem Fall ist es jedoch einfach, die Konstanzintervalle der Funktion zu bestimmen

Daher kann die Intervallmethode angewendet werden.

Funktion f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ ist kontinuierlich für x> 3 und verschwindet punktuell x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Damit bestimmen wir die Konstanzintervalle der Funktion f(x):

Antworten:

2. Weg . Wenden wir die Ideen der Intervallmethode direkt auf die ursprüngliche Ungleichung an.

Dazu erinnern wir uns, dass die Ausdrücke a b- a c und ( a - 1)(b- 1) haben ein Zeichen. Dann ist unsere Ungleichung für x> 3 entspricht der Ungleichung

oder

Die letzte Ungleichung wird mit der Intervallmethode gelöst

Antworten:

Beispiel 3

Lösung:

Wende die Intervallmethode an

Antworten:

Beispiel 4

Lösung:

Seit 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 für alle reell x, dann

Um die zweite Ungleichung zu lösen, verwenden wir die Intervallmethode

In der ersten Ungleichung nehmen wir die Änderung vor

dann kommen wir zur Ungleichung 2y 2 - j - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те j, die die Ungleichung -0,5 erfüllen< j < 1.

Woher, weil

wir bekommen die Ungleichung

was mit durchgeführt wird x, dafür 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Unter Berücksichtigung der Lösung der zweiten Ungleichung des Systems erhalten wir schließlich

Antworten:

Beispiel 5

Lösung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einer Reihe von Systemen

oder

Wende die Intervallmethode an oder

Antworten:

Beispiel 6

Lösung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einem System

Lassen

dann j > 0,

und die erste Ungleichung

System nimmt die Form an

oder erweitern

Quadrattrinom zu Faktoren,

Anwenden der Intervallmethode auf die letzte Ungleichung,

wir sehen, dass seine Lösungen die Bedingung erfüllen j> 0 wird alles sein j > 4.

Somit ist die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu dem System:

Also sind die Lösungen der Ungleichung alle

2.2. Rationalisierungsmethode.

Zuvor war die Methode der Rationalisierung der Ungleichheit nicht gelöst, sie war nicht bekannt. Dies ist "eine neue moderne effektive Methode zur Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen" (Zitat aus dem Buch von Kolesnikova S.I.)
Und selbst wenn der Lehrer ihn kannte, gab es eine Befürchtung - aber kennt ihn der USE-Experte und warum geben sie ihn nicht in der Schule? Es gab Situationen, in denen der Lehrer zum Schüler sagte: "Wo hast du es her? Setz dich hin - 2."
Jetzt wird die Methode überall beworben. Und für Experten gibt es Richtlinien, die mit dieser Methode verbunden sind, und in "Die vollständigsten Ausgaben von Standardoptionen ..." in Lösung C3 wird diese Methode verwendet.
DIE METHODE IST SUPER!

"Magischer Tisch"

In anderen Quellen

wenn a > 1 und b > 1, dann log a b > 0 und (a – 1)(b – 1) > 0;

wenn a >1 und 0

wenn 0<a<1 и b >1, dann log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

wenn 0<a<1 и 00 und (a – 1)(b – 1) > 0.

Die obige Begründung ist einfach, vereinfacht aber merklich die Lösung logarithmischer Ungleichungen.

Beispiel 4

Protokoll x (x 2 -3)<0

Lösung:

Beispiel 5

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x )

Lösung:

Antworten. (0; 0,5) U .

Beispiel 6

Um diese Ungleichung zu lösen, schreiben wir (x-1-1) (x-1) anstelle des Nenners und das Produkt (x-1) (x-3-9 + x) anstelle des Zählers.

Antworten : (3;6)

Beispiel 7

Beispiel 8

2.3. Nicht standardmäßige Substitution.

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Beispiel 6

Beispiel 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Machen wir die Substitution y=3 x -1; dann nimmt diese Ungleichheit Gestalt an

Protokoll 4 Protokoll 0,25
.

Als Protokoll 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , dann schreiben wir die letzte Ungleichung um als 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Machen wir einen Ersatz t =log 4 y und erhalten die Ungleichung t 2 -2t +≥0, deren Lösung die Intervalle - .

Um also die Werte von y zu finden, haben wir einen Satz von zwei einfachsten Ungleichungen
Die Lösung dieser Sammlung sind die Intervalle 0<у≤2 и 8≤у<+.

Daher ist die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu der Menge von zwei exponentiellen Ungleichungen,
das heißt Aggregate

Die Lösung der ersten Ungleichung dieser Menge ist das Intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Somit gilt die ursprüngliche Ungleichung für alle Werte von x aus den Intervallen 0<х≤1 и 2≤х<+.

Beispiel 8

Lösung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einem System

Die Lösung der zweiten Ungleichung, die die ODZ bestimmt, wird die Menge dieser sein x,

wofür x > 0.

Um die erste Ungleichung zu lösen, nehmen wir die Änderung vor

Dann bekommen wir die Ungleichung

oder

Die Menge der Lösungen der letzten Ungleichung wird durch das Verfahren gefunden

Intervalle: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, wir bekommen

oder

Viele davon x, die die letzte Ungleichung erfüllen

gehört zu ODZ ( x> 0), ist also eine Lösung des Systems,

und damit die ursprüngliche Ungleichung.

Antworten:

2.4. Aufgaben mit Fallen.

Beispiel 1

.

Lösung. Die ODZ der Ungleichung ist, dass alle x die Bedingung 0 erfüllen . Also alle x aus dem Intervall 0

Beispiel 2

Log 2 (2x +1-x 2) > Log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Der Punkt ist, dass die zweite Zahl offensichtlich größer als ist

Fazit

Es war nicht einfach, spezielle Methoden zur Lösung von C3-Problemen aus einer Vielzahl unterschiedlicher Bildungsquellen zu finden. Im Laufe der geleisteten Arbeit konnte ich nicht standardmäßige Methoden zur Lösung komplexer logarithmischer Ungleichungen studieren. Diese sind: äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Intervallmethode, die Rationalisierungsmethode , Nicht standardmäßige Substitution , Aufgaben mit Fallen auf dem ODZ. Diese Methoden fehlen im Lehrplan der Schule.

Mit verschiedenen Methoden habe ich 27 Ungleichungen gelöst, die bei der USE in Teil C angeboten werden, nämlich C3. Diese methodischen Ungleichungen mit Lösungen bildeten die Grundlage der Sammlung „Logarithmische C3-Ungleichungen mit Lösungen“, die zum Projektprodukt meiner Tätigkeit wurde. Meine zu Beginn des Projekts aufgestellte Hypothese hat sich bestätigt: C3-Probleme lassen sich effektiv lösen, wenn diese Methoden bekannt sind.

Außerdem entdeckte ich interessante Fakten über Logarithmen. Es war interessant für mich, es zu tun. Meine Projektprodukte werden sowohl für Schüler als auch für Lehrer nützlich sein.

Schlussfolgerungen:

Damit ist das Projektziel erreicht, das Problem gelöst. Und ich habe die umfassendste und vielseitigste Erfahrung in Projektaktivitäten in allen Arbeitsphasen gesammelt. Im Laufe der Projektarbeit lag mein hauptsächlicher Entwicklungseinfluss auf der mentalen Kompetenz, Aktivitäten im Zusammenhang mit logischen mentalen Operationen, der Entwicklung kreativer Kompetenz, Eigeninitiative, Verantwortung, Ausdauer und Aktivität.

Eine Erfolgsgarantie bei der Erstellung eines Forschungsprojekts für Ich bin geworden: bedeutende Schulerfahrung, die Fähigkeit, Informationen aus verschiedenen Quellen zu extrahieren, ihre Zuverlässigkeit zu überprüfen, sie nach ihrer Bedeutung einzustufen.

Neben direkten Fachkenntnissen in Mathematik erweiterte er seine praktischen Fähigkeiten im Bereich Informatik, sammelte neue Kenntnisse und Erfahrungen im Bereich Psychologie, knüpfte Kontakte zu Mitschülern und lernte die Zusammenarbeit mit Erwachsenen. Im Rahmen der Projektaktivitäten wurden organisatorische, intellektuelle und kommunikative allgemeinbildende Fähigkeiten und Fertigkeiten entwickelt.

Literatur

1. Koryanov A. G., Prokofjew A. A. Systeme von Ungleichungen mit einer Variablen (typische Aufgaben C3).

2. Malkova A. G. Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung in Mathematik.

3. S. S. Samarova, Lösung logarithmischer Ungleichungen.

4. Mathematik. Sammlung von Lehrwerken herausgegeben von A.L. Semjonow und I. V. Jaschtschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 S.-