Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide heißt die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleiche gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitelpunkt gezogenen regelmäßigen Pyramide wird als bezeichnet Apothema . Diagonalschnitt Ein Abschnitt einer Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur selben Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

2. Wenn in der Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel richtig:

wo v- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

H ist die Höhe der Pyramide.

Für eine reguläre Pyramide gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

ha- Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

v ist das Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf wird der Teil der Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Richtiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Stiftungen Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Pyramidenstumpf nennt man den Abstand zwischen seinen Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonalschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S-Seite ist die Fläche der Seitenfläche;

H- Höhe;

v ist das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt die folgende Formel:

wo p 1 , p 2 - Basisumfänge;

ha- das Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1 In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Finden Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, was bedeutet, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und alle Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke sind. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel a zwischen zwei Loten: d.h. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des umschriebenen Kreises und des einbeschriebenen Kreises im Dreieck). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (z SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Grundebene. Für Rippe SB dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Schenkel kennen ALSO und OB. Lassen Sie die Länge des Segments BD ist 3 a. Punkt Ö Liniensegment BD ist in Teile geteilt: und Von finden wir ALSO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2 Berechne das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes, wenn die Diagonalen seiner Grundflächen cm und cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu finden, verwenden wir Formel (4). Um die Flächen der Basen zu finden, musst du die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen sind 2 cm bzw. 8 cm, das heißt die Flächen der Basen und Wenn wir alle Daten in die Formel einsetzen, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112 cm3.

Beispiel 3 Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Seiten der Basis 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basen und die Höhe kennen. Die Basen sind per Zustand gegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Finden Sie es von wo ABER 1 E senkrecht von einem Punkt ABER 1 auf der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von ABER 1 an AU. ABER 1 E\u003d 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zur Findung DE Wir werden eine zusätzliche Zeichnung erstellen, in der wir eine Draufsicht darstellen (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Zentren der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK ist der Radius des Inkreises und Om ist der Radius des Inkreises:

MK=DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenfläche:

Antworten:

Beispiel 4 An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen a und b (a> b). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel gleich der Ebene der Basis der Pyramide j. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtfläche der Pyramide SABCD ist gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, die Spitze in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Basisebene. Nach dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer flachen Figur erhalten wir:

Ähnlich heißt es Somit wurde das Problem darauf reduziert, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichne ein Trapez A B C D getrennt (Abb. 22). Punkt Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da einem Trapez ein Kreis einbeschrieben werden kann, gilt dann oder Nach dem Satz des Pythagoras haben wir

Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu berechnen, ist wichtig, um eine Reihe praktischer Probleme in der Geometrie zu lösen. Eine der häufigsten Formen ist die Pyramide. In diesem Artikel betrachten wir die Pyramiden, sowohl vollständig als auch abgeschnitten.

Pyramide als dreidimensionale Figur

Jeder kennt die ägyptischen Pyramiden und hat daher eine gute Vorstellung davon, über welche Figur gesprochen wird. Trotzdem sind ägyptische Steinbauten nur ein Sonderfall einer riesigen Klasse von Pyramiden.

Das betrachtete geometrische Objekt ist im allgemeinen Fall eine polygonale Basis, deren jeder Scheitelpunkt mit irgendeinem Punkt im Raum verbunden ist, der nicht zur Basisebene gehört. Diese Definition führt zu einer Figur, die aus einem n-Eck und n Dreiecken besteht.

Jede Pyramide besteht aus n+1 Flächen, 2*n Kanten und n+1 Ecken. Da die betrachtete Figur ein perfektes Polyeder ist, gehorchen die Zahlen der markierten Elemente der Euler-Gleichung:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Das Polygon an der Basis gibt der Pyramide den Namen, zum Beispiel dreieckig, fünfeckig und so weiter. Auf dem Foto unten ist eine Reihe von Pyramiden mit unterschiedlichen Basen dargestellt.

Der Punkt, an dem n Dreiecke der Figur verbunden sind, wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Wenn eine Senkrechte von ihr zur Basis abgesenkt wird und sie im geometrischen Zentrum schneidet, wird eine solche Figur als gerade Linie bezeichnet. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, liegt eine schiefe Pyramide vor.

Eine gerade Figur, deren Basis ein gleichseitiges (gleichwinkliges) n-Eck bildet, heißt regulär.

Pyramidenvolumenformel

Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, verwenden wir die Integralrechnung. Dazu teilen wir die Figur durch Sekantenebenen parallel zur Basis in unendlich viele dünne Schichten. Die folgende Abbildung zeigt eine viereckige Pyramide mit Höhe h und Seitenlänge L, bei der eine dünne Schnittschicht mit einem Viereck markiert ist.

Die Fläche jeder solchen Schicht kann nach folgender Formel berechnet werden:

A(z) = A 0 *(h – z) 2 /h 2 .

Hier ist A 0 die Fläche der Basis, z ist der Wert der vertikalen Koordinate. Es ist ersichtlich, dass wenn z = 0 ist, die Formel den Wert A 0 ergibt.

Um die Formel für das Volumen der Pyramide zu erhalten, sollten Sie das Integral über die gesamte Höhe der Figur berechnen, also:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Durch Einsetzen der Abhängigkeit A(z) und Berechnung der Stammfunktion erhalten wir den Ausdruck:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Wir haben die Formel für das Volumen einer Pyramide erhalten. Um den Wert von V zu ermitteln, reicht es aus, die Höhe der Figur mit der Fläche der Basis zu multiplizieren und das Ergebnis dann durch drei zu teilen.

Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck für die Berechnung des Volumens einer Pyramide beliebigen Typs gültig ist. Das heißt, es kann geneigt sein und seine Basis kann ein beliebiges n-Eck sein.

und sein Volumen

Die im obigen Absatz erhaltene allgemeine Formel für das Volumen kann im Fall einer Pyramide mit regelmäßiger Grundfläche verfeinert werden. Die Fläche einer solchen Basis wird nach folgender Formel berechnet:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Dabei ist L die Seitenlänge eines regelmäßigen Polygons mit n Ecken. Das Symbol Pi ist die Zahl Pi.

Durch Einsetzen des Ausdrucks für A 0 in die allgemeine Formel erhalten wir das Volumen einer regelmäßigen Pyramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Für eine dreieckige Pyramide führt diese Formel beispielsweise zu folgendem Ausdruck:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 °) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Für eine regelmäßige viereckige Pyramide hat die Volumenformel die Form:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Um das Volumen regelmäßiger Pyramiden zu bestimmen, müssen die Seite ihrer Basis und die Höhe der Figur bekannt sein.

Pyramide abgeschnitten

Angenommen, wir haben eine beliebige Pyramide genommen und einen Teil ihrer Seitenfläche abgeschnitten, der die Spitze enthält. Die verbleibende Figur wird als Pyramidenstumpf bezeichnet. Es besteht bereits aus zwei n-Eckbasen und n Trapezoiden, die diese verbinden. Wenn die Schnittebene parallel zur Basis der Figur war, wird ein Pyramidenstumpf mit parallelen ähnlichen Basen gebildet. Das heißt, die Längen der Seiten von einem von ihnen können durch Multiplizieren der Längen des anderen mit einem Koeffizienten k erhalten werden.

Die obige Abbildung stellt ein abgeschnittenes regelmäßiges dar. Es ist zu erkennen, dass seine obere Basis, wie die untere, von einem regelmäßigen Sechseck gebildet wird.

Die Formel, die mit einer Integralrechnung ähnlich der obigen abgeleitet werden kann, lautet:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Wobei A 0 und A 1 die Bereiche der unteren (großen) bzw. oberen (kleinen) Basen sind. Die Variable h bezeichnet die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen der Pyramide von Cheops

Es ist merkwürdig, das Problem der Bestimmung des Volumens zu lösen, das die größte ägyptische Pyramide enthält.

1984 legten die britischen Ägyptologen Mark Lehner und Jon Goodman die genauen Abmessungen der Cheops-Pyramide fest. Seine ursprüngliche Höhe betrug 146,50 Meter (derzeit etwa 137 Meter). Die durchschnittliche Länge jeder der vier Seiten der Struktur betrug 230,363 Meter. Die Basis der Pyramide ist quadratisch mit hoher Genauigkeit.

Verwenden wir die angegebenen Zahlen, um das Volumen dieses Steinriesen zu bestimmen. Da die Pyramide ein regelmäßiges Viereck ist, gilt für sie die Formel:

Setzen wir die Zahlen ein, erhalten wir:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Das Volumen der Cheops-Pyramide beträgt fast 2,6 Millionen m 3. Zum Vergleich stellen wir fest, dass das olympische Becken ein Volumen von 2,5 Tausend m 3 hat. Das heißt, um die gesamte Cheops-Pyramide zu füllen, werden mehr als 1000 solcher Pools benötigt!

- Dies ist ein Polyeder, der aus der Basis der Pyramide und einem dazu parallelen Abschnitt besteht. Wir können sagen, dass ein Pyramidenstumpf eine Pyramide mit abgeschnittener Spitze ist. Diese Figur hat viele einzigartige Eigenschaften:

• Die Seitenflächen der Pyramide sind Trapeze;
• Die seitlichen Rippen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich lang und im gleichen Winkel zur Basis geneigt;
• Die Basen sind ähnliche Polygone;
• In einem regelmäßigen Pyramidenstumpf sind die Flächen identische gleichschenklige Trapeze, deren Fläche gleich ist. Sie sind auch in einem Winkel zur Basis geneigt.

Die Formel für die Fläche der Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes ist die Summe der Flächen seiner Seiten:

Da die Seiten des Pyramidenstumpfes Trapeze sind, müssen Sie die Formel verwenden, um die Parameter zu berechnen trapezförmiger Bereich. Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf kann eine andere Formel zur Berechnung der Fläche angewendet werden. Da alle seine Seiten, Flächen und Winkel an der Basis gleich sind, ist es möglich, die Umfänge der Basis und des Apothems anzuwenden und auch die Fläche durch den Winkel an der Basis abzuleiten.

Sind nach den Verhältnissen in einem regelmäßigen Pyramidenstumpf das Apothem (Höhe der Seite) und die Seitenlängen der Grundfläche gegeben, so lässt sich die Fläche durch das Halbprodukt der Summe der Umfänge berechnen die Basen und das Apothem:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes an.
Gegeben sei eine regelmäßige fünfeckige Pyramide. Apothema l\u003d 5 cm beträgt die Länge des Gesichts in der großen Basis a\u003d 6 cm, und das Gesicht befindet sich an der kleineren Basis b\u003d 4 cm Berechnen Sie die Fläche des Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zuerst die Umfänge der Basen finden. Da uns eine fünfeckige Pyramide gegeben ist, verstehen wir, dass die Grundflächen Fünfecke sind. Das bedeutet, dass die Basen eine Figur mit fünf identischen Seiten sind. Finden Sie den Umfang der größeren Basis:

Auf die gleiche Weise finden wir den Umfang der kleineren Basis:

Jetzt können wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes berechnen. Wir ersetzen die Daten in der Formel:

So haben wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes durch die Umfänge und Apotheme berechnet.

Eine andere Möglichkeit, die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel durch die Ecken an der Basis und den Bereich genau dieser Basen.

Schauen wir uns eine Beispielrechnung an. Denken Sie daran, dass diese Formel nur für einen regulären Pyramidenstumpf gilt.

Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Fläche der unteren Basis beträgt a = 6 cm, die Fläche der oberen b = 4 cm Der Flächenwinkel an der Basis beträgt β = 60°. Finden Sie die seitliche Oberfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zuerst die Fläche der Basen berechnen. Da die Pyramide regelmäßig ist, sind alle Flächen der Basen einander gleich. Da die Basis ein Viereck ist, verstehen wir, dass eine Berechnung erforderlich ist quadratische Fläche. Es ist das Produkt aus Breite und Länge, aber quadriert sind diese Werte gleich. Finden Sie die Fläche der größeren Basis:


Nun verwenden wir die gefundenen Werte, um die Seitenfläche zu berechnen.

Mit ein paar einfachen Formeln haben wir die Fläche des seitlichen Trapezes eines Pyramidenstumpfes leicht durch verschiedene Werte berechnet.

• 09.10.2014

  Der in der Abbildung gezeigte Vorverstärker ist für die Verwendung mit 4 Arten von Tonquellen wie Mikrofon, CD-Player, Radio-Tonbandgerät usw. ausgelegt. Gleichzeitig verfügt der Vorverstärker über einen Eingang, der die Empfindlichkeit von 50 mV auf 500 mV ändern kann . Die Ausgangsspannung des Verstärkers beträgt 1000mV. Durch den Anschluss verschiedener Signalquellen beim Umschalten des Schalters SA1 erhalten wir immer ...

• 20.09.2014

  Das Netzteil ist für eine Last mit einer Leistung von 15 ... 20 Watt ausgelegt. Die Quelle ist nach dem Schema eines gepulsten Hochfrequenzwandlers mit einem Zyklus hergestellt. Auf dem Transistor ist ein Oszillator montiert, der mit einer Frequenz von 20 ... 40 kHz arbeitet. Die Frequenz wird durch die Kapazität C5 eingestellt. Die Elemente VD5, VD6 und C6 bilden eine Schaltung zum Starten eines Oszillators. Im Sekundärkreis befindet sich nach dem Brückengleichrichter ein herkömmlicher Linearstabilisator auf einer Mikroschaltung, mit dem Sie ...

• 28.09.2014

  Die Abbildung zeigt einen Generator auf einem K174XA11-Chip, dessen Frequenz durch Spannung gesteuert wird. Durch Ändern der Kapazität C1 von 560 auf 4700 pF kann ein breiter Frequenzbereich erhalten werden, während die Frequenz durch Ändern des Widerstands R4 eingestellt wird. Der Autor hat beispielsweise herausgefunden, dass bei C1 \u003d 560pF die Generatorfrequenz mit R4 von 600Hz auf 200kHz geändert werden kann, ...

• 03.10.2014

  Das Gerät ist für die Versorgung eines leistungsstarken ULF ausgelegt, es ist für eine Ausgangsspannung von ± 27 V ausgelegt und lädt so bis zu 3 A an jedem Arm. Das Netzteil ist bipolar und besteht aus kompletten Verbundtransistoren KT825-KT827. Beide Arme des Stabilisators sind nach dem gleichen Schema hergestellt, aber im anderen Arm (nicht gezeigt) wird die Polarität der Kondensatoren geändert und die Transistoren des anderen verwendet ...