Fläche eines Dreiecks ABC ist gleich 12 . Auf einer geraden Linie AC Punkt genommen D Also
Punkt C ist der Mittelpunkt des Segments ANZEIGE. Punkt K- Mittelseite AB,
gerade KD Seite kreuzt BC am Punkt L.
a) Beweisen Sie das BL:LC=2:1.
b) Finden Sie die Fläche des Dreiecks SCHWARZ.

Zunächst erstellen wir sorgfältig eine Zeichnung und markieren dabei die Gleichheit der Segmente.

Jetzt ist es einfach, das zu sehen, indem man die Punkte verbindet BEI und D, erhalten wir ein Dreieck ABD,
indem DK und Sonne sind Mediane per Definition (erinnern Sie sich daran?)

Und die Mediane am Schnittpunkt werden durch dividiert 2: 1 von oben zählen.
Es ist vollbracht. Schreiben Sie, können Sie diese Eigenschaft selbst beweisen?
Finden Sie die Fläche eines Dreiecks SCHWARZ kann anders sein. Lassen AE- dritter Median

Dreieck ABD, wird es durch den Punkt passieren L Schnittpunkt der ersten beiden.
Median Sonne teilt das Dreieck ABD in zwei gleiche Dreiecke.
Daher die Gegend ABD die doppelte Fläche ABC und gleich 12 2 = 24.
Drei Seitenhalbierende teilen das Dreieck in sechs gleich große Dreiecke.
Von hier aus ist es einfach, die Fläche des gewünschten Dreiecks zu finden SCHWARZ. 24:6 = 4 .
Ich stelle fest, dass diese beiden Aussagen auch beweisbar sein sollten.
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Sie können die Flächen von Dreiecken vergleichen SCHWARZ und ABC ohne den Median zu berühren.

Diese Dreiecke haben einen gemeinsamen Winkel BEI Nutzen wir diese Tatsache.

Finden wir das Flächenverhältnis:

Also die Gegend SCHWARZ die dreifache Fläche ABC.

Die Fläche des Dreiecks ABC ist 198. Die Winkelhalbierende AL schneidet den Median BM im Punkt K. Finde die Fläche des Vierecks MCLK, wenn BL:CL=7:4 bekannt ist.

Erstellen einer Skizze:

Es ist ziemlich schwierig, den Fortschritt der Problemlösung sofort zu sehen, aber wir können uns immer die Frage stellen: Was lässt sich anhand der uns bekannten Zustandsdaten und Eigenschaften finden?

Wir können die Flächen einiger Dreiecke bestimmen, bedenken Sie:

Seit AM \u003d MC sind die Flächen der Dreiecke gleich, das heißt:

Betrachten Sie die Dreiecke ALB und ALC. Die Bedingung lautet BL:CL=7:4. Führen wir den Proportionalitätskoeffizienten "x" ein und schreiben die Formeln für ihre Flächen auf:

Das Flächenverhältnis wird sein:

Wir wissen auch, dass S ALB + S ALC = 198 ist. Wir können die Fläche berechnen:

Bitte beachten Sie, dass uns in der Bedingung keine Winkel und Längenmaße (Längen von Elementen) vorgegeben sind, Sie sollten sich also keine Mühe mit der Berechnung von Winkeln und Längen (Seiten, Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden etc.) machen. Wieso den?

Wenn die Verhältnisse der Segmente (Winkel) in der Bedingung angegeben sind und es keinen einzigen spezifischen Wert gibt, ist es mit solchen Daten höchstwahrscheinlich möglich, viele Varianten der Figur zu konstruieren. *Nicht jeder Schüler kann es sofort sehen, Erfahrung ist erforderlich.

Versuchen Sie daher in solchen Fällen, Verhältnisse zu verwenden - nämlich: Verhältnisse von Elementen, Flächen, verwenden Sie nach Möglichkeit die Ähnlichkeit von Dreiecken.

Hier können wir das Verhältnis der Seiten des Dreiecks finden. Drücken wir die Flächen der Dreiecke aus:

Aufgrund der Tatsache, dass AM=MC, folgt dies

Jetzt Achtung! Wir stehen kurz vor der Auflösung. Es gibt eine andere Beziehung, aus der wir das Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke ermitteln können. Drücken Sie die Flächen der Dreiecke aus.

Lassen Sie es erforderlich sein, die Fläche des Dreiecks ABC zu bestimmen. Lassen Sie uns gerade Linien durch seine Ecken C und B ziehen, parallel zu den Seiten AB und AC.

Wir erhalten ein Parallelogramm ABDC. Seine Fläche ist gleich dem Produkt aus der Basis AB und der Höhe CO. Das Parallelogramm ABDC besteht aus zwei gleichen Dreiecken ABC und BCD, daher ist die Fläche des Dreiecks ABC gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms, also S\(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.

Von hier: Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus seiner Grundfläche mal seiner Höhe.

S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)

Diese Formel lässt sich wie folgt darstellen:

S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, oder S \(\Delta\) = a\(\frac(h)(2)\).

Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks

1. Aus der Geometrie ist die Heron-Formel bekannt:

$$ S = \sqrt(p (p - a)(p - b) (p - c)),$$

(wobei p = ( a+b+c) / 2 - Halbumfang), mit dem Sie die Fläche eines Dreiecks an seinen Seiten berechnen können.

2 . Satz. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt zweier Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:

S=1/2 v. Chr sinA.

Nachweisen. Aus der Geometrie ist bekannt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus der Seite des Dreiecks und der Höhe ist, die von der gegenüberliegenden Ecke zu dieser Seite abfällt.

S=1/2 b h b (1)

Wenn der Winkel A spitz ist, dann finden wir aus dem Dreieck ABH BH = h b = c sinA.

Wenn Winkel A stumpf ist, dann

HH = h b = c sin (π - A)= Mit sinA.

Wenn Winkel A richtig ist, dann sin A = 1 und
hb=AB= Mit = Mit sinA.

Daher auf alle Fälle h b = c sin A. Durch Einsetzen in Gleichheit (1) erhalten wir die zu beweisende Formel.

Auf die gleiche Weise erhalten wir die Formeln: S = 1 / 2 ab Sünde C= 1 / 2 ac Sünde B

3. Basierend auf dem Sinussatz:

$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$

Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in Formel (1) erhalten wir die folgende Formel:

$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$