Beweis der Formel .

=

= =

da Sinus und Cosinus nicht von der Addition eines Winkels abhängen, der ein Vielfaches von ist

Und diese Gleichheit ist bereits offensichtlich, da es sich um die trigonometrische Form einer komplexen Zahl handelt.

Somit existiert der Logarithmus für alle Punkte in der Ebene außer Null. Für eine reelle positive Zahl ist das Argument 0, also ist diese unendliche Menge von Punkten , das heißt, einer der Werte, nämlich at , wird auf der reellen Achse liegen. Wenn wir den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen, erhalten wir , das heißt, die Menge der Punkte wird nach oben verschoben und keiner von ihnen fällt auf die reelle Achse.

Aus der Formel ist ersichtlich, dass nur dann, wenn das Argument der ursprünglichen Zahl Null ist, einer der Werte des Logarithmus auf die reelle Achse fällt. Und diese entspricht der rechten Halbachse, und deshalb wurden im Schulmathematikunterricht nur die Logarithmen positiver Zahlen berücksichtigt. Es gibt auch die Logarithmen negativer und imaginärer Zahlen, die jedoch keinen einzigen Wert auf der reellen Achse haben.

Die folgende Zeichnung zeigt, wo in der Ebene alle Werte des Logarithmus einer positiven Zahl liegen. Einer davon liegt auf der realen Achse, der Rest liegt oberhalb und unterhalb von , usw. Bei einer negativen oder komplexen Zahl ist das Argument ungleich Null, daher wird diese Punktfolge vertikal verschoben, was dazu führt, dass es keine Punkte auf der reellen Achse gibt.

Beispiel. Berechnung .

Lösung. Definieren wir den Modul der Zahl (gleich 2) und das Argument 180 0 , also . Dann = .

Anhang 1. Beweisfragen (für Tickets).

Vorlesung Nr. 1

1. Beweisen Sie die Formel für die partielle Integration.

Vorlesung Nr. 2

1. Beweisen Sie, dass die Änderung mit r = LCM (r 1 ,...,r k) das Integral auf das Integral eines rationalen Bruchs reduziert.

2. Beweisen Sie, dass die Substitution das Integral der Form reduziert zum Integral eines rationalen Bruchs.

3. Leiten Sie die Transformationsformeln für Sinus und Cosinus her

Für die universelle trigonometrische Änderung.

4. Beweisen Sie, dass die Ersetzung das Integral auf einen rationalen Bruch reduziert, wenn die Funktion bezüglich des Kosinus ungerade ist.

5. Beweisen Sie das für den Fall, wenn

Ersetzen: Reduziert das Integral auf einen rationalen Bruch.

6. Beweisen Sie das für ein Integral der Form

7. Beweisen Sie die Formel

8. Beweisen Sie das für ein Integral der Form Die Ersetzung hat ihr eigenes Integral zu einem rationalen Bruch.

9. Beweisen Sie das für ein Integral der Form Durch die Ersetzung wird das Integral auf einen rationalen Bruch reduziert.

Vorlesung Nr. 3

1. Beweisen Sie, dass die Funktion ist die Stammfunktion der Funktion.

2. Beweisen Sie die Newton-Leibniz-Formel: .

3. Beweisen Sie die Formel für die Länge einer explizit gegebenen Kurve:

.

4. Beweisen Sie die Formel für die Länge einer Kurve in Polarkoordinaten

Vorlesung Nr. 4

Beweisen Sie den Satz: konvergiert, konvergiert.

Vorlesung Nr. 5

1. Leiten (beweisen) Sie die Formel für die Fläche einer explizit gegebenen Oberfläche her .

2. Herleitung von Formeln für den Übergang zu Polarkoordinaten.

3. Ableitung der Jacobi-Determinante von Polarkoordinaten.

4. Herleitung von Formeln für den Übergang zu Zylinderkoordinaten.

5. Ableitung der Jacobi-Determinante von Zylinderkoordinaten.

6. Herleitung von Formeln für den Übergang zu Kugelkoordinaten:

.

Vorlesung Nr. 6

1. Beweisen Sie, dass die Ersetzung eine homogene Gleichung auf eine Gleichung mit separierbaren Variablen reduziert.

2. Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung einer linearen homogenen Gleichung.

3. Leiten Sie die allgemeine Form der Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung nach der Lagrange-Methode her.

4. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die Bernoulli-Gleichung auf eine lineare Gleichung reduziert.

Vortrag Nummer 7.

1. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die Ordnung der Gleichung um k verringert.

2. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die Ordnung der Gleichung um eins verringert .

3. Beweisen Sie den Satz: Die Funktion ist eine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung und hat eine charakteristische Wurzel.

4. Beweisen Sie den Satz, dass eine lineare Kombination von Lösungen eines linearen homogenen Diff. Die Gleichung ist auch ihre Lösung.

5. Beweisen Sie den Satz über die Auferlegung von Lösungen: Wenn - die Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung mit der rechten Seite und - die Lösung derselben Differentialgleichung, jedoch mit der rechten Seite, dann ist die Summe die Lösung der Gleichung mit der rechten Seite.

Vorlesungsnummer 8.

1. Beweisen Sie den Satz, dass das Funktionensystem linear abhängig ist.

2. Beweisen Sie den Satz, dass es n linear unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n gibt.

3. Beweisen Sie, dass, wenn 0 eine Wurzel der Multiplizität ist, das dieser Wurzel entsprechende Lösungssystem die Form hat.

Vortrag Nummer 9.

1. Beweisen Sie mithilfe der Exponentialform, dass bei der Multiplikation komplexer Zahlen die Module multipliziert und die Argumente addiert werden.

2. Beweisen Sie die Formel von De Moivre für Grad n

3. Beweisen Sie die Formel für die Wurzel der Ordnung n einer komplexen Zahl

4. Beweisen Sie das Und

sind Verallgemeinerungen von Sinus und Cosinus, d.h. Für reelle Zahlen ergeben diese Formeln einen Sinus (Cosinus).

5. Beweisen Sie die Formel für den Logarithmus einer komplexen Zahl:

Anlage 2

Kleine und mündliche Fragen zur Kenntnis der Theorie (für Kolloquien).

Vorlesung Nr. 1

1. Was ist die Stammfunktion und das unbestimmte Integral, wie unterscheiden sie sich?

2. Erklären Sie, warum es auch eine Stammfunktion ist.

3. Schreiben Sie eine Formel für die partielle Integration.

4. Welcher Ersatz ist im Formintegral erforderlich und wie werden die Wurzeln eliminiert?

5. Schreiben Sie die Art der Entwicklung des Integranden eines rationalen Bruchs in die einfachsten für den Fall auf, dass alle Wurzeln unterschiedlich und reell sind.

6. Beschreiben Sie die Art der Entwicklung des Integranden rationaler Brüche in einfache Brüche für den Fall, dass alle Wurzeln reell sind und es eine mehrfache Wurzel der Multiplizität k gibt.

Vortrag Nummer 2.

1. Schreiben Sie, was die Zerlegung eines rationalen Bruchs in einfachste Brüche für den Fall ist, dass der Nenner einen Faktor von 2 Grad mit einer negativen Diskriminante hat.

2. Welche Ersetzung reduziert das Integral auf einen rationalen Bruch?

3. Was ist eine universelle trigonometrische Substitution?

4. Welche Ersetzungen werden vorgenommen, wenn die Funktion unter dem Integralzeichen bezüglich des Sinus (Cosinus) ungerade ist?

5. Welche Ersetzungen werden vorgenommen, wenn der Integrand die Ausdrücke , , oder enthält.

Vortrag Nummer 3.

1. Definition eines bestimmten Integrals.

2. Listen Sie einige der Haupteigenschaften des bestimmten Integrals auf.

3. Schreiben Sie die Newton-Leibniz-Formel.

4. Schreiben Sie die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers.

5. Schreiben Sie die Formel für die Länge einer expliziten Kurve.

6. Schreiben Sie die Formel für die Länge einer parametrischen Kurve.

Vortrag Nummer 4.

1. Definition eines uneigentlichen Integrals (mit Hilfe eines Grenzwerts).

2. Was ist der Unterschied zwischen unechten Integralen 1. und 2. Art?

3. Nennen Sie einfache Beispiele für konvergente Integrale 1. und 2. Art.

4. Für welche Integrale (T1) konvergieren.

5. Wie Konvergenz mit dem endlichen Grenzwert der Stammfunktion (T2) zusammenhängt

6. Was ist das notwendige Zeichen der Konvergenz, ihre Formulierung.

7. Vergleichszeichen in der endgültigen Form

8. Vergleichstest in der Grenzform.

9. Definition eines Mehrfachintegrals.

Vortrag Nummer 5.

1. Ändern der Integrationsreihenfolge, zeigen Sie am einfachsten Beispiel.

2. Schreiben Sie die Formel für die Oberfläche.

3. Was sind Polarkoordinaten? Schreiben Sie Übergangsformeln.

4. Was ist der Jacobi-Wert des Polarkoordinatensystems?

5. Was sind Zylinder- und Kugelkoordinaten, was ist ihr Unterschied?

6. Was ist der Jacobi-Wert der zylindrischen (sphärischen) Koordinaten?

Vortrag Nummer 6.

1. Was ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung (allgemeine Ansicht)?

2. Was ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung, aufgelöst nach der Ableitung? Nennen Sie ein Beispiel.

3. Was ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen?

4. Was ist eine allgemeine, besondere Lösung, Cauchy-Bedingungen?

5. Was ist eine homogene Gleichung und wie wird sie allgemein gelöst?

6. Was ist eine lineare Gleichung, was ist der Algorithmus zu ihrer Lösung, was ist die Lagrange-Methode.

7. Was ist die Bernoulli-Gleichung und der Algorithmus zu ihrer Lösung?

Vortrag Nummer 7.

1. Welcher Ersatz ist für eine Gleichung der Form erforderlich?

2. Welcher Ersatz ist für eine Gleichung der Form notwendig? .

3. Zeigen Sie anhand von Beispielen, wie es ausgedrückt werden kann als .

4. Was ist eine lineare Differentialgleichung der Ordnung n?

5. Was ist ein charakteristisches Polynom, eine charakteristische Gleichung?

6. Formulieren Sie einen Satz, nach dem r die Funktion eine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung ist.

7. Formulieren Sie einen Satz, dass eine lineare Kombination von Lösungen einer linearen homogenen Gleichung auch deren Lösung ist.

8. Formulieren Sie den Lösungsauferlegungssatz und seine Folgerungen.

9. Was sind linear abhängige und linear unabhängige Funktionssysteme? Nennen Sie einige Beispiele.

10. Was ist die Wronsky-Determinante eines Systems von n Funktionen? Geben Sie ein Beispiel für die Wronsky-Determinante für LZS- und LNS-Systeme.

Vorlesungsnummer 8.

1. Welche Eigenschaft hat die Wronsky-Determinante, wenn das System eine linear abhängige Funktion ist?

2. Wie viele linear unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n existieren?

3. Definition des FSR (fundamentales Lösungssystem) einer linearen homogenen Gleichung der Ordnung n.

4. Wie viele Funktionen sind im SRF enthalten?

5. Schreiben Sie die Form des Gleichungssystems auf, das mit der Lagrange-Methode für n=2 ermittelt werden soll.

6. Notieren Sie die Art der jeweiligen Lösung für den Fall, dass

7. Was ist ein lineares Differentialgleichungssystem? Schreiben Sie ein Beispiel.

8. Was ist ein autonomes System von Differentialgleichungen?

9. Physikalische Bedeutung des Differentialgleichungssystems.

10. Schreiben Sie auf, aus welchen Funktionen das FSR eines Gleichungssystems besteht, wenn die Eigenwerte und Eigenvektoren der Hauptmatrix dieses Systems bekannt sind.

Vortrag Nummer 9.

1. Was ist eine imaginäre Einheit?

2. Was ist eine konjugierte Zahl und was passiert, wenn sie mit dem Original multipliziert wird?

3. Was ist die trigonometrische Exponentialform einer komplexen Zahl?

4. Schreiben Sie Eulers Formel.

5. Was ist der Modul, das Argument einer komplexen Zahl?

6. Was passiert mit Modulen und Argumenten bei der Multiplikation (Division)?

7. Schreiben Sie die Formel von De Moivre für den Grad n.

8. Schreiben Sie die Formel für die Wurzel der Ordnung n.

9. Schreiben Sie die verallgemeinerten Sinus- und Kosinusformeln für das komplexe Argument.

10. Schreiben Sie die Formel für den Logarithmus einer komplexen Zahl.

Anhang 3. Aufgaben aus den Vorlesungen.

Vorlesung Nr. 1

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel. .

Vorlesung Nr. 2

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel.. , wo, Zahl .

Beispiel. Teilen Sie in Exponentialform.

Beispiel. Finden Sie nach der Formel von De Moivre.

Beispiel. Finden Sie alle Stammwerte.

Die Haupteigenschaften des Logarithmus, der Graph des Logarithmus, der Definitionsbereich, die Wertemenge, die Grundformeln, die Zunahme und Abnahme werden angegeben. Es wird in Betracht gezogen, die Ableitung des Logarithmus zu finden. Sowie Integral-, Potenzreihenentwicklung und Darstellung mittels komplexer Zahlen.

Inhalt

Domäne, Wertemenge, aufsteigend, absteigend

Der Logarithmus ist eine monotone Funktion und hat daher keine Extrema. Die Haupteigenschaften des Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Wertebereich	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Nullen, y= 0	x= 1	x= 1
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	Nein	Nein
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Private Werte

Der Logarithmus zur Basis 10 wird aufgerufen dezimaler Logarithmus und ist wie folgt gekennzeichnet:

Basislogarithmus e angerufen natürlicher Logarithmus:

Grundlegende Logarithmusformeln

Eigenschaften des Logarithmus, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Logarithmus ist die mathematische Operation zur Logarithmusbildung. Beim Logarithmus werden die Produkte der Faktoren in Summen der Terme umgewandelt.
Potenzierung ist eine zum Logarithmus umgekehrte mathematische Operation. Bei der Potenzierung wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in Produkte von Faktoren umgewandelt.

Beweis der Grundformeln für Logarithmen

Formeln im Zusammenhang mit Logarithmen ergeben sich aus Formeln für Exponentialfunktionen und aus der Definition einer Umkehrfunktion.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion
.
Dann
.
Wenden Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion an
:
.

Lassen Sie uns die Basisänderungsformel beweisen.
;
.
Wenn wir c = b setzen, haben wir:

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des Basislogarithmus a ist die Exponentialfunktion mit dem Exponenten a.

Wenn, dann

Wenn, dann

Ableitung des Logarithmus

Ableitung des Logarithmus modulo x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Um die Ableitung eines Logarithmus zu finden, muss dieser auf die Basis reduziert werden e.
;
.

Integral

Das Integral des Logarithmus wird durch partielle Integration berechnet: .
Also,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie die komplexe Zahlenfunktion z:
.
Lassen Sie uns eine komplexe Zahl ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir dann:
.
Oder

Allerdings ist das Argument φ nicht klar definiert. Wenn wir sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es für verschiedene die gleiche Nummer sein N.

Daher ist der Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studierende höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Siehe auch:

Echter Logarithmus

Logarithmus eines reellen Zahlenprotokolls A B macht Sinn mit style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Am weitesten verbreitet sind die folgenden Arten von Logarithmen.

Wenn wir eine logarithmische Zahl als Variable betrachten, erhalten wir logarithmische Funktion, Zum Beispiel: . Diese Funktion ist auf der rechten Seite des Zahlenstrahls definiert: X> 0 ist dort stetig und differenzierbar (siehe Abb. 1).

Eigenschaften

natürliche Logarithmen

Für die Gleichheit

(1)

Insbesondere,

Diese Reihe konvergiert schneller und außerdem kann die linke Seite der Formel nun den Logarithmus jeder positiven Zahl ausdrücken.

Zusammenhang mit dem Dezimallogarithmus: .

Dezimale Logarithmen

Reis. 2. Log-Skala

Logarithmen zur Basis 10 (Symbol: lg A) wurden vor der Erfindung von Taschenrechnern häufig für Berechnungen verwendet. Der ungleichmäßige Maßstab dezimaler Logarithmen wird häufig auch auf Rechenschieber angewendet. Eine ähnliche Skala wird häufig in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft verwendet, zum Beispiel:

• Chemie - die Aktivität von Wasserstoffionen ().
• Musiktheorie – die Tonleiter in Bezug auf die Frequenzen musikalischer Klänge.

Die logarithmische Skala wird auch häufig verwendet, um den Exponenten in exponentiellen Abhängigkeiten und den Koeffizienten im Exponenten zu identifizieren. Gleichzeitig hat ein im logarithmischen Maßstab entlang einer oder zwei Achsen aufgetragener Graph die Form einer geraden Linie, was einfacher zu studieren ist.

Komplexer Logarithmus

Mehrwertige Funktion

Riemannsche Oberfläche

Die komplexe logarithmische Funktion ist ein Beispiel für eine Riemannsche Fläche; sein imaginärer Teil (Abb. 3) besteht aus unendlich vielen spiralförmig verdrehten Zweigen. Diese Fläche ist einfach verbunden; Seine einzige Nullstelle (erster Ordnung) erhält man durch z= 1 , Besonderheiten: z= 0 und (Verzweigungspunkte unendlicher Ordnung).

Die Riemannsche Fläche des Logarithmus ist die universelle Überdeckung für die komplexe Ebene ohne den Punkt 0 .

Historischer Abriss

Echter Logarithmus

Der Bedarf an komplexen Berechnungen wuchs im 16. Jahrhundert rapide, und ein Großteil der Schwierigkeiten hing mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen zusammen. Am Ende des Jahrhunderts kamen mehrere Mathematiker fast gleichzeitig auf die Idee, die zeitaufwändige Multiplikation durch einfache Addition zu ersetzen und dabei geometrische und arithmetische Folgen mithilfe spezieller Tabellen zu vergleichen, wobei die geometrische die ursprüngliche sein wird. Dann wird die Division automatisch durch eine wesentlich einfachere und zuverlässigere Subtraktion ersetzt. Er war der Erste, der diese Idee in seinem Buch veröffentlichte Arithmetica integra»Michael Stiefel, der sich jedoch nicht ernsthaft um die Umsetzung seiner Idee bemühte.

In den 1620er Jahren erfanden Edmund Wingate und William Oughtred den ersten Rechenschieber, noch bevor Taschenrechner aufkamen, ein unverzichtbares Werkzeug für einen Ingenieur.

Ein dem modernen Verständnis des Logarithmus nahekommendes Verständnis – als eine zur Potenzierung inverse Operation – tauchte erstmals bei Wallis und Johann Bernoulli auf und wurde schließlich im 18. Jahrhundert von Euler legalisiert. In dem Buch „Introduction to the Analysis of Infinite“ () gab Euler moderne Definitionen sowohl der Exponential- als auch der Logarithmusfunktionen, erweiterte sie zu Potenzreihen und wies insbesondere auf die Rolle des natürlichen Logarithmus hin.

Euler hat auch das Verdienst, die logarithmische Funktion auf den komplexen Bereich zu erweitern.

Komplexer Logarithmus

Die ersten Versuche, Logarithmen auf komplexe Zahlen zu erweitern, wurden an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert von Leibniz und Johann Bernoulli unternommen, es gelang ihnen jedoch nicht, eine ganzheitliche Theorie zu entwickeln – vor allem deshalb, weil das Konzept des Logarithmus selbst noch nicht klar war definiert. Die Diskussion zu diesem Thema fand zuerst zwischen Leibniz und Bernoulli und in der Mitte des 18. Jahrhunderts zwischen d'Alembert und Euler statt. Bernoulli und d'Alembert hielten eine Definition für notwendig log(-x) = log(x). Die vollständige Theorie der Logarithmen negativer und komplexer Zahlen wurde 1747–1751 von Euler veröffentlicht und unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der modernen.

Obwohl der Streit andauerte (D'Alembert verteidigte seinen Standpunkt und argumentierte ihn ausführlich in einem Artikel in seiner Enzyklopädie und in anderen Werken), erlangte Eulers Standpunkt schnell allgemeine Anerkennung.

Logarithmische Tabellen

Logarithmische Tabellen

Aus den Eigenschaften des Logarithmus folgt, dass es anstelle der zeitaufwändigen Multiplikation mehrstelliger Zahlen ausreicht, (gemäß den Tabellen) ihre Logarithmen zu finden, zu addieren und dann mit denselben Tabellen eine Potenzierung durchzuführen, d. Finden Sie den Wert des Ergebnisses durch seinen Logarithmus. Der Unterschied bei der Division besteht nur darin, dass Logarithmen subtrahiert werden. Laplace sagte, dass die Erfindung der Logarithmen „das Leben der Astronomen verlängerte“, indem sie den Berechnungsprozess erheblich beschleunigte.

Beim Verschieben des Dezimalpunkts in einer Zahl nach N Ziffern, der Wert des dezimalen Logarithmus dieser Zahl wird um geändert N. Beispiel: lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Daraus folgt, dass es ausreicht, eine Tabelle mit dezimalen Logarithmen für Zahlen im Bereich von 1 bis 10 zu erstellen.

Die ersten Logarithmentabellen wurden von John Napier () veröffentlicht und enthielten nur die Logarithmen trigonometrischer Funktionen und mit Fehlern. Unabhängig von ihm veröffentlichte Jost Burgi, ein Freund Keplers, seine Tabellen (). Im Jahr 1617 veröffentlichte der Oxforder Mathematikprofessor Henry Briggs Tabellen, die bereits die dezimalen Logarithmen der Zahlen selbst von 1 bis 1000 mit 8 (später 14) Ziffern enthielten. Es gab aber auch Fehler in den Briggs-Tabellen. Die erste fehlerfreie Ausgabe auf Basis der Vega-Tabellen () erschien erst 1857 in Berlin (Bremiver-Tabellen).

In Russland wurden 1703 unter Beteiligung von L. F. Magnitsky die ersten Logarithmentabellen veröffentlicht. In der UdSSR wurden mehrere Sammlungen von Logarithmentabellen veröffentlicht.

• Bradis V. M. Vierstellige mathematische Tabellen. 44. Auflage, M., 1973.

Planen:

Einführung

• 1 Echter Logarithmus
  • 1.1 Eigenschaften
  • 1.2 logarithmische Funktion
  • 1.3 natürliche Logarithmen
  • 1.4 Dezimale Logarithmen
• 2 Komplexer Logarithmus
  • 2.1 Definition und Eigenschaften
  • 2.2 Beispiele
  • 2.3 Analytische Fortsetzung
  • 2.4 Riemannsche Oberfläche
• 3 Historischer Abriss
  • 3.1 Echter Logarithmus
  • 3.2 Komplexer Logarithmus
• 4 Logarithmische Tabellen
• 5 Anwendungen
Literatur
Anmerkungen

Einführung

Reis. 1. Graphen logarithmischer Funktionen

Logarithmus einer Zahl B aus Vernunft A (aus dem Griechischen. λόγος - „Wort“, „Haltung“ und ἀριθμός - „Anzahl“) ist als Indikator für den Grad definiert, um den die Basis angehoben werden muss A um die Nummer zu bekommen B. Bezeichnung: . Aus der Definition folgt, dass die Einträge und gleichwertig sind.

Zum Beispiel, weil .

1. Realer Logarithmus

Logarithmus eines reellen Zahlenprotokolls A B macht Sinn, wenn . Wie Sie wissen, ist die Exponentialfunktion j = A X ist monoton und jeder Wert nimmt nur einmal an, und der Bereich seiner Werte enthält alle positiven reellen Zahlen. Dies impliziert, dass der Wert des reellen Logarithmus einer positiven Zahl immer existiert und eindeutig bestimmt ist.

Am weitesten verbreitet sind die folgenden Arten von Logarithmen.

1.1. Eigenschaften

Nachweisen

Lasst uns das beweisen.

(weil durch Bedingung bc > 0). ■

Nachweisen

Lasst uns das beweisen

(weil durch Bedingung ■

Nachweisen

Nutzen wir die Identität, um es zu beweisen. Wir logarithmieren beide Seiten der Identität zur Basis c. Wir bekommen:

Nachweisen

Lasst uns das beweisen.

(als B P> 0 durch Bedingung). ■

Nachweisen

Lasst uns das beweisen

Nachweisen

Berechnen Sie den Logarithmus der linken und rechten Seite zur Basis C :

Linke Seite: Rechte Seite:

Die Gleichheit der Ausdrücke ist offensichtlich. Da die Logarithmen gleich sind, sind aufgrund der Monotonie der logarithmischen Funktion auch die Ausdrücke selbst gleich. ■

1.2. logarithmische Funktion

Wenn wir eine logarithmische Zahl als Variable betrachten, erhalten wir logarithmische Funktion j= Protokoll A X (siehe Abb. 1). Es ist definiert bei . Wertebereich: .

Die Funktion ist streng wachsend für A> 1 und streng abnehmend bei 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Gerade X= 0 ist die linke vertikale Asymptote, weil bei A> 1 und bei 0< A < 1 .

Die Ableitung der logarithmischen Funktion ist:

Nachweisen

I. Lassen Sie uns das beweisen

Schreiben wir die Identität auf e ln X = X und seine linke und rechte Seite unterscheiden

Wir verstehen das, woraus folgt

II. Lasst uns das beweisen

Die logarithmische Funktion implementiert einen Isomorphismus zwischen der multiplikativen Gruppe positiver reeller Zahlen und der additiven Gruppe aller reellen Zahlen.

1.3. natürliche Logarithmen

Zusammenhang mit dem Dezimallogarithmus: .

Wie oben erwähnt, hat die Ableitung des natürlichen Logarithmus eine einfache Formel:

Aus diesem Grund werden natürliche Logarithmen hauptsächlich in der mathematischen Forschung verwendet. Sie treten häufig auf, wenn Differentialgleichungen gelöst werden, statistische Abhängigkeiten untersucht werden (z. B. die Verteilung von Primzahlen) usw.

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus lässt sich leicht durch partielle Integration finden:

Die Taylor-Reihenentwicklung lässt sich wie folgt darstellen:
wenn die Gleichheit

(1)

Insbesondere,

Diese Reihe konvergiert schneller und außerdem kann die linke Seite der Formel nun den Logarithmus jeder positiven Zahl ausdrücken.

1.4. Dezimale Logarithmen

Reis. 2a. Logarithmische Darstellung

Reis. 2b. Logarithmische Skala mit Symbolen

Logarithmen zur Basis 10 (Symbol: lg A) wurden vor der Erfindung von Taschenrechnern häufig für Berechnungen verwendet. Der ungleichmäßige Maßstab dezimaler Logarithmen wird üblicherweise auch auf Rechenschieber angewendet. Eine ähnliche Skala wird in vielen Bereichen der Wissenschaft verwendet, zum Beispiel:

• Physik - Schallintensität (Dezibel).
• Die Astronomie ist eine Skala für die Helligkeit von Sternen.
• Chemie - Aktivität von Wasserstoffionen (pH).
• Seismologie - Richterskala.
• Musiktheorie – die Tonleiter in Bezug auf die Frequenzen musikalischer Klänge.
• Die Geschichte ist eine logarithmische Zeitskala.

Die logarithmische Skala wird auch häufig verwendet, um den Exponenten in exponentiellen Abhängigkeiten und den Koeffizienten im Exponenten zu identifizieren. Gleichzeitig hat ein im logarithmischen Maßstab entlang einer oder zwei Achsen aufgetragener Graph die Form einer geraden Linie, was einfacher zu studieren ist.

2. Komplexer Logarithmus

2.1. Definition und Eigenschaften

Für komplexe Zahlen wird der Logarithmus auf die gleiche Weise definiert wie der reelle. In der Praxis wird fast ausschließlich der natürliche komplexe Logarithmus verwendet, den wir als Menge aller komplexen Zahlen bezeichnen und definieren z so dass e z = w . Der komplexe Logarithmus existiert für jeden, und sein Realteil ist eindeutig bestimmt, während der Imaginärteil unendlich viele Werte hat. Aus diesem Grund wird sie als mehrwertige Funktion bezeichnet. Wenn man es sich vorstellt w in Exponentialform:

,

dann wird der Logarithmus durch die Formel ermittelt:

Hier ist der echte Logarithmus, R = | w | , k ist eine beliebige ganze Zahl. Der Wert, der erhalten wird, wenn k= 0 heißt Hauptbedeutung komplexer natürlicher Logarithmus; Es ist üblich, den Wert des Arguments im Intervall (− π,π] anzunehmen. Die entsprechende (bereits einwertige) Funktion wird aufgerufen Hauptzweig Logarithmus und wird mit bezeichnet. Bezeichnen manchmal auch den Wert des Logarithmus, der nicht auf dem Hauptzweig liegt.

Aus der Formel folgt:

• Der Realteil des Logarithmus wird durch die Formel bestimmt:

• Der Logarithmus einer negativen Zahl wird durch die Formel ermittelt:

Da komplexe trigonometrische Funktionen mit der Exponentialfunktion (Eulersche Formel) zusammenhängen, hängt der komplexe Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit den inversen trigonometrischen Funktionen zusammen. Ein Beispiel für eine solche Verbindung:

2.2. Beispiele

Hier ist der Hauptwert des Logarithmus für einige Argumente:

Bei der Konvertierung komplexer Logarithmen sollten Sie vorsichtig sein und berücksichtigen, dass diese mehrwertig sind und daher die Gleichheit dieser Ausdrücke nicht aus der Gleichheit der Logarithmen irgendwelcher Ausdrücke folgt. Ein Beispiel für eine fehlerhafte Argumentation:

ichπ = ln(− 1) = ln((− ich) 2) = 2ln(− ich) = 2(− ichπ / 2) = − ichπ - eine offensichtliche Absurdität.

Beachten Sie, dass der Hauptwert des Logarithmus links und der Wert des zugrunde liegenden Zweigs rechts steht ( k= − 1 ). Der Grund für den Fehler liegt in der nachlässigen Verwendung der Eigenschaft, die im komplexen Fall im Allgemeinen die gesamte unendliche Wertemenge des Logarithmus impliziert und nicht nur den Hauptwert.

2.3. Analytische Fortsetzung

Reis. 3. Komplexer Logarithmus (Imaginärteil)

Der Logarithmus einer komplexen Zahl kann auch als analytische Fortsetzung des reellen Logarithmus auf die gesamte komplexe Ebene definiert werden. Die Kurve Γ soll bei 1 beginnen, nicht durch Null gehen und den negativen Teil der reellen Achse nicht schneiden. Dann der Hauptwert des Logarithmus am Endpunkt w Kurve Γ kann durch die Formel bestimmt werden:

Wenn Γ eine einfache Kurve (ohne Selbstschnittpunkte) ist, dann können für die darauf liegenden Zahlen beispielsweise bedenkenlos logarithmische Identitäten angewendet werden

Wenn die Kurve Γ den negativen Teil der reellen Achse schneiden darf, überträgt der erste Schnittpunkt das Ergebnis vom Hauptwertzweig auf den Nachbarzweig, und jeder nachfolgende Schnittpunkt verursacht eine ähnliche Verschiebung entlang der Zweige der logarithmischen Funktion ( Siehe Abbildung).

Aus der analytischen Fortsetzungsformel folgt, dass auf jedem Zweig des Logarithmus

Für jeden Kreis S den Punkt 0 einschließen:

Das Integral wird in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) gebildet. Diese Identität liegt der Residuentheorie zugrunde.

Man kann die analytische Fortsetzung des komplexen Logarithmus auch mithilfe der obigen Reihe (1) definieren, verallgemeinert auf den Fall eines komplexen Arguments. Aus der Art der Entwicklung folgt jedoch, dass sie bei Eins gleich Null ist, das heißt, die Reihe bezieht sich nur auf den Hauptzweig der mehrwertigen Funktion des komplexen Logarithmus.

2.4. Riemannsche Oberfläche

Die komplexe logarithmische Funktion ist ein Beispiel für eine Riemannsche Fläche; sein imaginärer Teil (Abb. 3) besteht aus unendlich vielen spiralförmig verdrehten Zweigen. Diese Fläche ist einfach verbunden; Seine einzige Nullstelle (erster Ordnung) erhält man durch z= 1 , Besonderheiten: z= 0 und (Verzweigungspunkte unendlicher Ordnung).

Die Riemannsche Fläche des Logarithmus ist die universelle Überdeckung für die komplexe Ebene ohne den Punkt 0 .

3. Historischer Abriss

3.1. Echter Logarithmus

Der Bedarf an komplexen Berechnungen wuchs im 16. Jahrhundert rapide, und ein Großteil der Schwierigkeiten hing mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen sowie dem Ziehen von Wurzeln zusammen. Am Ende des Jahrhunderts kamen mehrere Mathematiker fast gleichzeitig auf die Idee, die zeitaufwändige Multiplikation durch einfache Addition zu ersetzen und dabei geometrische und arithmetische Folgen mithilfe spezieller Tabellen zu vergleichen, wobei die geometrische die ursprüngliche sein wird. Dann wird die Division automatisch durch eine wesentlich einfachere und zuverlässigere Subtraktion und das Ziehen der Wurzel des Grades ersetzt N reduziert sich auf die Division des Logarithmus des Wurzelausdrucks durch N. Er war der Erste, der diese Idee in seinem Buch veröffentlichte Arithmetica integra» Michael Stiefel, der sich jedoch nicht ernsthaft um die Umsetzung seiner Idee bemühte.

Im Jahr 1614 veröffentlichte der schottische Amateurmathematiker John Napier einen lateinischen Aufsatz mit dem Titel „ Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Es enthielt eine kurze Beschreibung der Logarithmen und ihrer Eigenschaften sowie 8-stellige Tabellen mit Logarithmen von Sinus, Cosinus und Tangens in Schritten von 1 Zoll. Logarithmus, vorgeschlagen von Napier, etablierte sich in der Wissenschaft. Napier skizzierte die Theorie der Logarithmen in seinem anderen Buch „ Erstellen Sie eine erstaunliche Logarithmentabelle„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), 1619 posthum von seinem Sohn veröffentlicht.

Das Konzept einer Funktion existierte noch nicht, und Napier bestimmte den Logarithmus kinematisch, indem er gleichförmige und logarithmisch langsame Bewegung verglich; Beispielsweise definierte er den Logarithmus des Sinus wie folgt:

Der Logarithmus eines gegebenen Sinus ist eine Zahl, die rechnerisch immer mit der gleichen Geschwindigkeit zunahm, mit der der volle Sinus geometrisch abzunehmen begann.

In moderner Schreibweise kann das kinematische Modell von Napier durch eine Differentialgleichung dargestellt werden: dx/x = -dy/M, wobei M ein Skalierungsfaktor ist, der eingeführt wurde, um den Wert zu einer Ganzzahl mit der erforderlichen Anzahl von Stellen zu machen (Dezimalzahlen waren damals noch nicht weit verbreitet). Napier nahm M = 10000000.

Genau genommen hat Napier die falsche Funktion tabelliert, die heute Logarithmus genannt wird. Wenn wir seine Funktion als LogNap(x) bezeichnen, dann hängt es wie folgt mit dem natürlichen Logarithmus zusammen:

Offensichtlich ist LogNap (M) = 0, d. h. der Logarithmus des „Vollsinus“ ist Null – das hat Napier mit seiner Definition angestrebt. .

Die Haupteigenschaft des Napier-Logarithmus: Wenn die Größen eine geometrische Folge bilden, dann bilden ihre Logarithmen eine arithmetische Folge. Allerdings unterschieden sich die Regeln für den Logarithmus für die nicht-Piersche Funktion von den Regeln für den modernen Logarithmus.

Zum Beispiel, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Leider enthielten alle Werte in Napiers Tabelle nach der sechsten Ziffer einen Rechenfehler. Dies hinderte die neue Berechnungsmethode jedoch nicht daran, große Popularität zu erlangen, und viele europäische Mathematiker, darunter auch Kepler, begannen mit der Erstellung logarithmischer Tabellen. Bereits 5 Jahre später, im Jahr 1619, wurde der Londoner Mathematiklehrer John Spydell ( John Spidell) veröffentlichte Napiers Tabellen erneut und transformierte sie so, dass sie tatsächlich zu Tabellen natürlicher Logarithmen wurden (obwohl Spydell die Skalierung auf ganze Zahlen beibehielt). Der Begriff „natürlicher Logarithmus“ wurde vom italienischen Mathematiker Pietro Mengoli geprägt ( Pietro Mengoli)) in der Mitte des 16. Jahrhunderts.

In den 1620er Jahren erfanden Edmund Wingate und William Oughtred den ersten Rechenschieber, noch bevor Taschenrechner aufkamen, ein unverzichtbares Werkzeug für einen Ingenieur.

Dem modernen Verständnis des Logarithmus nahe kommend – als eine zur Potenzierung umgekehrte Operation – tauchte er erstmals bei Wallis und Johann Bernoulli auf und wurde schließlich im 18. Jahrhundert von Euler legalisiert. In seinem Buch Introduction to the Analysis of Infinites (1748) gab Euler moderne Definitionen sowohl der Exponential- als auch der Logarithmusfunktionen, erweiterte sie zu Potenzreihen und betonte die Rolle des natürlichen Logarithmus.

Euler hat auch das Verdienst, die logarithmische Funktion auf den komplexen Bereich zu erweitern.

3.2. Komplexer Logarithmus

Die ersten Versuche, Logarithmen auf komplexe Zahlen zu erweitern, wurden an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert von Leibniz und Johann Bernoulli unternommen, es gelang ihnen jedoch nicht, eine ganzheitliche Theorie zu entwickeln – vor allem deshalb, weil das Konzept des Logarithmus selbst noch nicht klar war definiert. Die Diskussion zu diesem Thema fand zuerst zwischen Leibniz und Bernoulli und in der Mitte des 18. Jahrhunderts zwischen d'Alembert und Euler statt. Bernoulli und d'Alembert hielten eine Definition für notwendig log(-x) = log(x). Die vollständige Theorie der Logarithmen negativer und komplexer Zahlen wurde 1747–1751 von Euler veröffentlicht und unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der modernen.

Obwohl der Streit andauerte (D'Alembert verteidigte seinen Standpunkt und argumentierte ihn ausführlich in einem Artikel in seiner Enzyklopädie und in anderen Werken), erlangte Eulers Standpunkt schnell allgemeine Anerkennung.

4. Logarithmische Tabellen

Logarithmische Tabellen

Aus den Eigenschaften des Logarithmus folgt, dass es anstelle der zeitaufwändigen Multiplikation mehrwertiger Zahlen ausreicht, ihre Logarithmen (aus Tabellen) zu finden, zu addieren und dann mit denselben Tabellen eine Potenzierung durchzuführen, also die zu finden Wert des Ergebnisses durch seinen Logarithmus. Der Unterschied bei der Division besteht nur darin, dass Logarithmen subtrahiert werden. Laplace sagte, dass die Erfindung der Logarithmen „das Leben der Astronomen verlängerte“, indem sie den Berechnungsprozess erheblich beschleunigte.

Beim Verschieben des Dezimalpunkts in einer Zahl nach N Ziffern, der Wert des dezimalen Logarithmus dieser Zahl wird um geändert N. Beispiel: lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Daraus folgt, dass es ausreicht, eine Tabelle mit dezimalen Logarithmen für Zahlen im Bereich von 1 bis 10 zu erstellen.

Die ersten Logarithmentabellen wurden von John Napier (1614) veröffentlicht und enthielten nur die Logarithmen trigonometrischer Funktionen, und das mit Fehlern. Unabhängig von ihm veröffentlichte Joost Burgi, ein Freund Keplers, dessen Tafeln (1620). Im Jahr 1617 veröffentlichte der Oxforder Mathematikprofessor Henry Briggs Tabellen, die bereits die dezimalen Logarithmen der Zahlen selbst von 1 bis 1000 mit 8 (später 14) Ziffern enthielten. Es gab aber auch Fehler in den Briggs-Tabellen. Die erste unfehlbare Ausgabe auf der Grundlage der Vega-Tabellen (1783) erschien erst 1857 in Berlin (Bremiver-Tabellen).

In Russland wurden 1703 unter Beteiligung von L. F. Magnitsky die ersten Logarithmentabellen veröffentlicht. In der UdSSR wurden mehrere Sammlungen von Logarithmentabellen veröffentlicht.

• Bradis V. M. Vierstellige mathematische Tabellen. 44. Auflage, M., 1973.

Bradis-Tabellen (1921) wurden in Bildungseinrichtungen und bei technischen Berechnungen verwendet, die keine große Genauigkeit erforderten. Sie enthielten Mantissen dezimaler Logarithmen von Zahlen und trigonometrischen Funktionen, natürliche Logarithmen und einige andere nützliche Berechnungswerkzeuge.

• Vega G. Tabellen siebenstelliger Logarithmen, 4. Auflage, M., 1971.

Professionelle Sammlung für genaue Berechnungen.

• Fünfstellige Tabellen natürlicher Werte trigonometrischer Größen, ihrer Logarithmen und Logarithmen von Zahlen, 6. Aufl., M.: Nauka, 1972.
• Tabellen der natürlichen Logarithmen, 2. Auflage, in 2 Bänden, Moskau: Nauka, 1971.

Gegenwärtig ist mit der Verbreitung von Taschenrechnern die Notwendigkeit der Verwendung von Logarithmentabellen verschwunden.

M, Merkmal (komplexe Analyse).

logarithmische Funktion

Eine logarithmische Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = logax, definiert für

Domäne: . Wertebereich: . Für a > 1 ist die Funktion streng steigend und für 0 streng fallend< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Die Gerade x = 0 ist die linke vertikale Asymptote, da für a > 1 und für 0< a < 1.

Die Ableitung der logarithmischen Funktion ist:

Die logarithmische Funktion implementiert einen Isomorphismus zwischen der multiplikativen Gruppe positiver reeller Zahlen und der additiven Gruppe aller reellen Zahlen.

Komplexer Logarithmus

Definition und Eigenschaften

Für komplexe Zahlen wird der Logarithmus auf die gleiche Weise definiert wie der reelle. In der Praxis wird fast ausschließlich der natürliche komplexe Logarithmus verwendet, den wir als Menge aller komplexen Zahlen z bezeichnen und definieren, so dass ez = w. Der komplexe Logarithmus existiert für jeden und sein Realteil ist eindeutig bestimmt, während der Imaginärteil unendlich viele Werte hat. Aus diesem Grund wird sie als mehrwertige Funktion bezeichnet. Wenn wir w in Exponentialform darstellen:

dann wird der Logarithmus durch die Formel ermittelt:

Hier – reeller Logarithmus, r = | w | , k ist eine beliebige ganze Zahl. Der bei k = 0 erhaltene Wert wird als Hauptwert des komplexen natürlichen Logarithmus bezeichnet. Es ist üblich, den Wert des darin enthaltenen Arguments im Intervall (? p, p) anzunehmen. Die entsprechende (bereits einwertige) Funktion wird als Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet und bezeichnet. Manchmal ist der Wert des Logarithmus das nicht auf dem Hauptast liegt, wird ebenfalls mit bezeichnet.

Aus der Formel folgt:

Der Realteil des Logarithmus wird durch die Formel bestimmt:

Der Logarithmus einer negativen Zahl wird durch die Formel ermittelt.