Eine Funktion heißt gerade (ungerade), wenn für alle und die Gleichheit

.

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch
.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 6.2. Untersuche nach geraden oder ungeraden Funktionen

1)
; 2)
; 3)
.

Lösung.

1) Die Funktion wird mit definiert
. Lass uns finden
.

Diese.
. Diese Funktion ist also gerade.

2) Die Funktion ist definiert für

Diese.
. Somit ist diese Funktion ungerade.

3) die Funktion ist definiert für , d.h. zum

,
. Daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Nennen wir es eine allgemeine Funktion.

3. Untersuchung einer Funktion auf Monotonie.

Funktion
heißt in einem Intervall steigend (fallend), wenn in diesem Intervall jeder größere Wert des Arguments einem größeren (kleineren) Wert der Funktion entspricht.

Funktionen, die in einem bestimmten Intervall zunehmen (fallen), werden als monoton bezeichnet.

Wenn die Funktion
auf dem Intervall differenzierbar
und hat eine positive (negative) Ableitung
, dann die Funktion
steigt (sinkt) in diesem Intervall.

Beispiel 6.3. Finden Sie Intervalle der Monotonie von Funktionen

1)
; 3)
.

Lösung.

1) Diese Funktion ist auf der gesamten Zahlenachse definiert. Finden wir die Ableitung.

Die Ableitung ist Null, wenn
und
. Definitionsbereich - numerische Achse, geteilt durch Punkte
,
für Intervalle. Lassen Sie uns das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall bestimmen.

In der Pause
die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

In der Pause
die Ableitung ist positiv, daher nimmt die Funktion in diesem Intervall zu.

2) Diese Funktion ist definiert, wenn
oder

.

Wir bestimmen das Vorzeichen des quadratischen Trinoms in jedem Intervall.

Somit der Funktionsumfang

Finden wir die Ableitung
,
, wenn
, d.h.
, aber
. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen
.

In der Pause
die Ableitung ist negativ, daher nimmt die Funktion im Intervall ab
. In der Pause
die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion im Intervall
.

4. Untersuchung einer Funktion für ein Extremum.

Punkt
wird der maximale (minimale) Punkt der Funktion genannt
, wenn es eine solche Umgebung des Punktes gibt das für alle
diese Nachbarschaft befriedigt die Ungleichung

.

Die Maximum- und Minimumpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte bezeichnet.

Wenn die Funktion
am Punkt ein Extremum hat, dann ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null oder existiert nicht (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert, werden als kritisch bezeichnet.

5. Hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums.

Regel 1. Wenn beim Übergang (von links nach rechts) durch den kritischen Punkt Derivat
ändert das Vorzeichen von "+" auf "-", dann am Punkt Funktion
hat ein Maximum; wenn von "-" bis "+", dann das Minimum; wenn
das Vorzeichen nicht ändert, dann gibt es kein Extremum.

Regel 2. An der Stelle lassen
erste Ableitung der Funktion
Null
, und die zweite Ableitung existiert und ist ungleich Null. Wenn ein
, dann ist der maximale Punkt, wenn
, dann ist der Minimalpunkt der Funktion.

Beispiel 6.4 . Entdecken Sie die Maximum- und Minimum-Funktionen:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lösung.

1) Die Funktion ist definiert und stetig auf dem Intervall
.

Finden wir die Ableitung
und löst die Gleichung
, d.h.
.von hier
sind kritische Punkte.

Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen ,
.

Beim Passieren von Punkten
und
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von „–“ nach „+“, also nach Regel 1
sind die Mindestpunktzahl.

Beim Passieren eines Punktes
Ableitung ändert das Vorzeichen von "+" nach "-", also
ist der Höchstpunkt.

,
.

2) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
. Finden wir die Ableitung
.

Durch Lösen der Gleichung
, finden
und
sind kritische Punkte. Wenn der Nenner
, d.h.
, dann existiert die Ableitung nicht. So,
ist der dritte kritische Punkt. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in Intervallen.

Daher hat die Funktion an der Stelle ein Minimum
, Maximum an Punkten
und
.

3) Eine Funktion ist definiert und stetig, wenn
, d.h. bei
.

Finden wir die Ableitung

.

Finden wir die kritischen Punkte:

Nachbarschaften von Punkten
gehören nicht zum Definitionsbereich, sind also kein Extremum t. Lassen Sie uns also die kritischen Punkte untersuchen
und
.

4) Die Funktion ist definiert und kontinuierlich auf dem Intervall
. Wir verwenden Regel 2. Finden Sie die Ableitung
.

Finden wir die kritischen Punkte:

Finden wir die zweite Ableitung
und bestimme ihr Vorzeichen an den Punkten

An Punkten
Funktion hat ein Minimum.

An Punkten
Funktion hat ein Maximum.

Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Betrachten Sie die Paritätseigenschaft genauer.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion erstellen, ist er symmetrisch zur y-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher gilt f(x) = f(-x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss symmetrisch zum Punkt O sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.

2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Punkt O - dem Ursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Also f(x) = -f(x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist.

Die Ihnen bis zu einem gewissen Grad vertraut waren. Dort wurde auch darauf hingewiesen, dass der Bestand an Funktionsimmobilien sukzessive wieder aufgefüllt wird. In diesem Abschnitt werden zwei neue Eigenschaften besprochen.

Bestimmung 1.

Die Funktion y \u003d f (x), x є X, wird aufgerufen, auch wenn für einen beliebigen Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) \u003d f (x) gilt.

Bestimmung 2.

Die Funktion y \u003d f (x), x є X, heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) \u003d -f (x) wahr ist.

Beweisen Sie, dass y = x 4 eine gerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Aber (-x) 4 = x 4 . Daher gilt für jedes x die Gleichheit f (-x) = f (x), d.h. die Funktion ist gerade.

Ebenso kann bewiesen werden, dass die Funktionen y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 gerade sind.

Beweisen Sie, dass y = x 3 eine ungerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Aber (-x) 3 = -x 3 . Daher ist für jedes x die Gleichheit f (-x) \u003d -f (x), d.h. Die Funktion ist ungerade.

Ebenso kann bewiesen werden, dass die Funktionen y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ungerade sind.

Sie und ich haben uns immer wieder davon überzeugt, dass neue Begriffe in der Mathematik meist einen „irdischen“ Ursprung haben, d.h. sie lassen sich irgendwie erklären. Dies gilt sowohl für gerade als auch für ungerade Funktionen. Siehe: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sind ungerade Funktionen, während y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 gerade Funktionen sind. Und im Allgemeinen können wir für jede Funktion der Form y \u003d x "(unten werden wir diese Funktionen speziell untersuchen), bei der n eine natürliche Zahl ist, schließen: Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann die Funktion y \u003d x " ist ungerade; wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist die Funktion y = xn gerade.

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Dies ist zum Beispiel die Funktion y \u003d 2x + 3. In der Tat f (1) \u003d 5 und f (-1) \u003d 1. Wie Sie sehen können, hier also weder die Identität f (-x ) \u003d f ( x), noch die Identität f(-x) = -f(x).

Eine Funktion kann also gerade, ungerade oder keines von beiden sein.

Die Untersuchung der Frage, ob eine gegebene Funktion gerade oder ungerade ist, wird üblicherweise als Untersuchung der Funktion für die Parität bezeichnet.

Die Definitionen 1 und 2 befassen sich mit den Werten der Funktion an den Punkten x und -x. Dies setzt voraus, dass die Funktion sowohl am Punkt x als auch am Punkt -x definiert ist. Das bedeutet, dass der Punkt -x gleichzeitig mit dem Punkt x zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Enthält eine Zahlenmenge X zusammen mit jedem ihrer Elemente x das entgegengesetzte Element -x, so heißt X eine symmetrische Menge. Nehmen wir an (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sind symmetrische Mengen, während ; (∞;∞) sind symmetrische Mengen und , [–5;4] sind nicht symmetrisch.

- Haben auch Funktionen einen Definitionsbereich - eine symmetrische Menge? Die Ungeraden?
- Wenn D( f) eine asymmetrische Menge ist, was ist dann die Funktion?
– Also, wenn die Funktion bei = f(X) gerade oder ungerade ist, dann ist sein Definitionsbereich D( f) ist eine symmetrische Menge. Aber ist das Gegenteil wahr, wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine symmetrische Menge ist, dann ist sie gerade oder ungerade?
- Das Vorhandensein einer symmetrischen Menge des Definitionsbereichs ist also eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung.
– Wie können wir also die Funktion für Parität untersuchen? Versuchen wir, einen Algorithmus zu schreiben.

Gleiten

Algorithmus zum Untersuchen einer Funktion auf Parität

1. Bestimmen Sie, ob der Definitionsbereich der Funktion symmetrisch ist. Wenn nicht, dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Wenn ja, gehe zu Schritt 2 des Algorithmus.

2. Schreiben Sie einen Ausdruck für f(–X).

3. Vergleichen f(–X).und f(X):

• wenn f(–X).= f(X), dann ist die Funktion gerade;
• wenn f(–X).= – f(X), dann ist die Funktion ungerade;
• wenn f(–X) ≠ f(X) und f(–X) ≠ –f(X), dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

Beispiele:

Untersuchen Sie die Funktion für Parität a) bei= x 5 +; b) bei= ; in) bei= .

Lösung.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrische Menge.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e Funktion h(x)= x 5 + ungerade.

b) y =,

bei = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrische Menge, daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. Ist die gegebene Menge symmetrisch: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Untersuchen Sie die Funktion auf Parität:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. In Abb. gezeichnet bei = f(X), für alle X, erfüllt die Bedingung X? 0.
Zeichnen Sie die Funktion bei = f(X), wenn bei = f(X) ist eine gerade Funktion.

3. In Abb. gezeichnet bei = f(X), für alle x die x erfüllen? 0.
Zeichnen Sie die Funktion bei = f(X), wenn bei = f(X) ist eine ungerade Funktion.

Gegenseitiger Check an gleiten.

6. Hausaufgaben: №11.11, 11.21,11.22;

Beweis der geometrischen Bedeutung der Paritätseigenschaft.

*** (Belegung der Option USE).

1. Die ungerade Funktion y \u003d f (x) ist auf der gesamten reellen Linie definiert. Für jeden nicht negativen Wert der Variablen x stimmt der Wert dieser Funktion mit dem Wert der Funktion g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Finde den Wert der Funktion h( X) = bei X = 3.

7. Zusammenfassung