Lobatschewski Flugzeug

Geometrie von Lobatschewski (hyperbolische Geometrie hören)) ist eine der nicht-euklidischen Geometrien, eine geometrische Theorie, die auf den gleichen Grundvoraussetzungen wie die gewöhnliche euklidische Geometrie basiert, mit Ausnahme des Parallelaxioms, das durch das Parallelaxiom von Lobatschewski ersetzt wird.

Das euklidische Parallelenaxiom besagt:

durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, gibt es nur eine Gerade, die mit der gegebenen Geraden in derselben Ebene liegt und sie nicht schneidet.

In der Lobatschewski-Geometrie wird stattdessen das folgende Axiom akzeptiert:

durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, gehen mindestens zwei Geraden, die mit der gegebenen Geraden in derselben Ebene liegen und sie nicht schneiden.

Die Geometrie von Lobachevsky hat umfangreiche Anwendungen sowohl in der Mathematik als auch in der Physik. Seine historische Bedeutung liegt darin, dass Lobatschewski durch seine Konstruktion die Möglichkeit einer von der euklidischen verschiedenen Geometrie aufzeigte, was eine neue Ära in der Entwicklung der Geometrie und der Mathematik im Allgemeinen markierte.

Geschichte

Versuche, das fünfte Postulat zu beweisen

Der Ausgangspunkt von Lobatschewskis Geometrie war Euklids fünftes Postulat, ein Axiom, das dem parallelen Axiom entspricht. Es wurde in die Liste der Postulate in Euklids Elemente aufgenommen). Die relative Komplexität und Unintuitivität seiner Formulierung weckte ein Gefühl seiner zweitrangigen Natur und führte zu Versuchen, es von den übrigen Postulaten Euklids abzuleiten.

Unter denen, die es zu beweisen versuchten, waren die folgenden Wissenschaftler:

• antike griechische Mathematiker Ptolemäus (II. Jahrhundert), Proclus (V. Jahrhundert) (basierend auf der Annahme, dass der Abstand zwischen zwei parallelen endlich ist),
• Ibn al-Haytham aus dem Irak (spätes - frühes Jahrhundert) (basierend auf der Annahme, dass das Ende einer sich bewegenden Senkrechten zu einer geraden Linie eine gerade Linie beschreibt),
• Iranische Mathematiker Omar Khayyam (2. Hälfte - Anfang des 12. Jahrhunderts) und Nasir ad-Din at-Tusi (XIII. Jahrhundert) (basierend auf der Annahme, dass zwei konvergierende Linien nicht weiter auseinanderlaufen können, ohne sich zu kreuzen),
• Deutscher Mathematiker Clavius ​​​​(),
• Italienische Mathematiker
  • Cataldi (1603 veröffentlichte er zum ersten Mal ein Werk, das sich ausschließlich der Frage der Parallelen widmete),
• Englischer Mathematiker Wallis ( , veröffentlicht in ) (basierend auf der Annahme, dass es für jede Figur eine ihr ähnliche, aber nicht gleiche Figur gibt),
• Der französische Mathematiker Legendre () (basierte auf der Annahme, dass es durch jeden Punkt innerhalb eines spitzen Winkels möglich ist, eine Linie zu ziehen, die beide Seiten des Winkels schneidet; er hatte auch andere Beweisversuche).

Bei diesen Versuchen, das fünfte Postulat zu beweisen, führten die Mathematiker eine neue Behauptung ein, die ihnen offensichtlicher erschien.

Es wurden Versuche unternommen, den Beweis durch Widerspruch zu verwenden:

• der italienische Mathematiker Saccheri () (nachdem er eine Aussage formuliert hatte, die dem Postulat widersprach, leitete er eine Reihe von Konsequenzen ab, und da er einige davon fälschlicherweise als widersprüchlich erkannte, betrachtete er das Postulat als bewiesen).
• Deutscher Mathematiker Lambert (über, veröffentlicht in) (nachdem er recherchiert hatte, gab er zu, dass er keine Widersprüche in dem von ihm gebauten System finden konnte).

Schließlich begann sich ein Verständnis dafür zu entwickeln, dass es möglich ist, eine Theorie auf der Grundlage des entgegengesetzten Postulats zu konstruieren:

• Die deutschen Mathematiker F. Schweikart () und Taurinus () (sie wussten jedoch nicht, dass eine solche Theorie genauso logisch kohärent wäre).

Erstellung nichteuklidischer Geometrie

Lobachevsky hat in seinem Werk "On the Principles of Geometry" (), seinem ersten gedruckten Werk über nichteuklidische Geometrie, klar festgestellt, dass das V-Postulat nicht auf der Grundlage anderer Prämissen der euklidischen Geometrie bewiesen werden kann und dass die Annahme eines Postulats Das Gegenteil von Euklids Postulat erlaubt es, eine ebenso sinnvolle wie euklidische Geometrie zu konstruieren, die frei von Widersprüchen ist.

Gleichzeitig und unabhängig kam Janos Bolyai zu ähnlichen Schlussfolgerungen, und Carl Friedrich Gauß kam sogar noch früher zu solchen Schlussfolgerungen. Bolyais Schriften erregten jedoch keine Aufmerksamkeit, und er gab das Thema bald auf, während Gauß überhaupt auf Veröffentlichungen verzichtete und seine Ansichten nur anhand einiger Briefe und Tagebucheinträge beurteilt werden können. Zum Beispiel spricht Gauß in einem Brief an den Astronomen G. H. Schumacher von 1846 wie folgt über Lobatschewskis Arbeit:

Diese Arbeit enthält die Grundlagen der Geometrie, die stattfinden müsste und darüber hinaus ein streng konsistentes Ganzes darstellen würde, wenn die euklidische Geometrie nicht wahr wäre ... Lobatschewski nennt sie "imaginäre Geometrie"; Sie wissen, dass ich seit 54 Jahren (seit 1792) dieselben Ansichten mit einigen Entwicklungen davon teile, die ich hier nicht erwähnen möchte; so habe ich in Lobatschewskis Arbeit nichts wirklich Neues für mich gefunden. Aber in der Entwicklung des Themas ist der Autor nicht den Weg gegangen, den ich selbst gegangen bin; es wird von Lobatschewski meisterhaft in einem wahrhaft geometrischen Geist ausgeführt. Ich fühle mich verpflichtet, Ihre Aufmerksamkeit auf dieses Werk zu lenken, das Ihnen sicher eine ganz besondere Freude bereiten wird.

Infolgedessen fungierte Lobatschewski als der erste klügste und konsequenteste Propagandist dieser Theorie.

Obwohl sich Lobachevskys Geometrie als spekulative Theorie entwickelte und Lobachevsky selbst sie als "imaginäre Geometrie" bezeichnete, war es dennoch Lobachevsky, der sie nicht als ein Gedankenspiel, sondern als eine mögliche Theorie räumlicher Beziehungen betrachtete. Der Beweis seiner Konsistenz wurde jedoch später erbracht, als seine Interpretationen angezeigt wurden und damit die Frage nach seiner eigentlichen Bedeutung, der logischen Konsistenz, vollständig gelöst war.

Erklärung der Geometrie von Lobatschewski

Ecke ist noch schwieriger.

Poincaré-Modell

Der Inhalt der Geometrie von Lobatschewski

Bleistift aus parallelen Linien in Lobatschewskis Geometrie

Lobachevsky baute seine Geometrie ausgehend von den grundlegenden geometrischen Konzepten und seinem Axiom auf und bewies Theoreme durch eine geometrische Methode, ähnlich wie es in Euklids Geometrie gemacht wird. Als Grundlage diente die Theorie der parallelen Linien, da hier der Unterschied zwischen der Geometrie von Lobatschewski und der Geometrie von Euklid beginnt. Alle Sätze, die nicht vom Parallelenaxiom abhängen, sind beiden Geometrien gemeinsam und bilden die sogenannte absolute Geometrie, zu der beispielsweise Sätze über die Gleichheit von Dreiecken gehören. Nach der Theorie der Parallelen wurden andere Abschnitte gebaut, darunter Trigonometrie und die Prinzipien der analytischen und Differentialgeometrie.

Lassen Sie uns (in moderner Notation) einige Tatsachen der Geometrie von Lobatschewski vorstellen, die sie von der Geometrie Euklids unterscheiden und von Lobatschewski selbst aufgestellt wurden.

Durch den Punkt P nicht auf der vorgegebenen Linie liegen. R(siehe Abbildung), gibt es unendlich viele Geraden, die sich nicht schneiden R und mit ihm in der gleichen Ebene gelegen; unter ihnen gibt es zwei extreme x, j, die parallele Linien genannt werden R im Sinne von Lobatschewski. In Kleins (Poincares) Modellen werden sie durch Akkorde (Kreisbögen) dargestellt, die mit einem Akkord (Bogen) R ein gemeinsames Ende (das per Definition des Modells ausgeschlossen ist, so dass diese Linien keine gemeinsamen Punkte haben).

Winkel zwischen senkrecht PB aus P auf der R und jeder der parallelen (genannt Winkel der Parallelität), wenn der Punkt entfernt wird P von der Geraden von 90° auf 0° abnimmt (im Poincaré-Modell stimmen die Winkel im üblichen Sinne mit den Winkeln im Sinne von Lobatschewski überein, und daher ist diese Tatsache direkt darauf zu sehen). Parallel x Einerseits (und j Gegenteil) nähert sich asymptotisch a, und andererseits entfernt es sich unendlich davon (in Modellen sind Entfernungen schwer zu bestimmen, und daher ist diese Tatsache nicht direkt sichtbar).

Für einen Punkt, der von einer gegebenen geraden Linie entfernt liegt PB = a(siehe Abbildung) gab Lobatschewski eine Formel für den Winkel der Parallelität an P(a) :

Hier q ist eine Konstante, die mit der Krümmung des Lobatschewski-Raums zusammenhängt. Er kann als absolute Längeneinheit dienen, so wie in der Kugelgeometrie der Kugelradius eine Sonderstellung einnimmt.

Wenn die Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, dann divergieren sie auf beiden Seiten davon unendlich. Zu jeder von ihnen ist es möglich, Senkrechte wiederherzustellen, die die andere Linie nicht erreichen.

In Lobatschewskis Geometrie gibt es keine ähnlichen, sondern ungleiche Dreiecke; Dreiecke sind kongruent, wenn ihre Winkel gleich sind.

Die Summe der Winkel jedes Dreiecks ist kleiner als π und kann beliebig nahe bei Null liegen. Dies ist im Poincaré-Modell direkt sichtbar. Die Differenz δ \u003d π - (α + β + γ) , wobei α , β , γ die Winkel des Dreiecks sind, ist proportional zu seiner Fläche:

Aus der Formel ist ersichtlich, dass es eine maximale Fläche eines Dreiecks gibt, und dies ist eine endliche Zahl: π q 2 .

Eine Linie mit gleichen Abständen von einer geraden Linie ist keine gerade Linie, sondern eine spezielle Kurve, die als äquidistant bezeichnet wird, oder Hyperzyklus.

Die Begrenzung von Kreisen mit unendlich zunehmendem Radius ist keine gerade Linie, sondern eine spezielle Kurve genannt Kreis begrenzen, oder ein Horozyklus.

Die Grenze der Kugeln mit unendlich zunehmendem Radius ist keine Ebene, sondern eine spezielle Oberfläche - die Grenzkugel oder Horosphäre; es ist bemerkenswert, dass die euklidische Geometrie daran festhält. Dies diente Lobachevsky als Grundlage für die Ableitung von Trigonometrieformeln.

Der Umfang ist nicht proportional zum Radius, sondern wächst schneller. Insbesondere in der Geometrie von Lobachevsky kann die Zahl π nicht als das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert werden.

Je kleiner die Region im Raum oder auf der Lobatschewski-Ebene ist, desto weniger unterscheiden sich die geometrischen Beziehungen in dieser Region von den Beziehungen der euklidischen Geometrie. Wir können sagen, dass in einem infinitesimalen Bereich die euklidische Geometrie stattfindet. Je kleiner beispielsweise das Dreieck ist, desto weniger unterscheidet sich die Summe seiner Winkel von π; je kleiner der Kreis, desto weniger unterscheidet sich das Verhältnis seiner Länge zum Radius von 2π usw. Die Verringerung der Fläche ist formal gleichbedeutend mit der Vergrößerung der Einheitslänge, daher werden die Formeln der Lobatschewski-Geometrie mit einer unendlichen Vergrößerung der Einheitslänge zum Formeln der Euklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist in diesem Sinne der "Grenzfall" der Geometrie von Lobatschewski.

Anwendungen

• Lobatschewski selbst wandte seine Geometrie auf die Berechnung bestimmter Integrale an.
• In der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen half die Geometrie von Lobachevsky beim Aufbau der Theorie der automorphen Funktionen. Die Verbindung mit Lobatschewskis Geometrie war hier der Ausgangspunkt von Poincarés Forschung, der schrieb, dass "die nicht-euklidische Geometrie der Schlüssel zur Lösung des gesamten Problems ist".
• Lobatschewskis Geometrie findet auch Anwendung in der Zahlentheorie, in ihren geometrischen Methoden, vereint unter dem Namen „Geometrie der Zahlen“.
• Zwischen Lobatschewskis Geometrie und der Kinematik der speziellen (privaten) Relativitätstheorie wurde eine enge Verbindung hergestellt. Dieser Zusammenhang beruht darauf, dass die Gleichheit das Ausbreitungsgesetz des Lichts ausdrückt

beim Teilen durch t 2 , also für die Lichtgeschwindigkeit, ergibt - die Gleichung der Kugel im Raum mit Koordinaten v x , v j , v z- Geschwindigkeitskomponenten entlang der Achsen X, bei, z(im "Geschwindigkeitsraum"). Die Lorentz-Transformationen bewahren diese Kugel und transformieren, da sie linear sind, die direkten Geschwindigkeitsräume in gerade Linien. Also nach dem Klein-Modell im Geschwindigkeitsraum innerhalb einer Radiuskugel Mit, das heißt, für Geschwindigkeiten kleiner als die Lichtgeschwindigkeit findet die Lobachevsky-Geometrie statt.

• Lobatschewskis Geometrie fand eine bemerkenswerte Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie. Wenn wir die Verteilung der Materiemassen im Universum als gleichmäßig betrachten (diese Annäherung ist im kosmischen Maßstab akzeptabel), stellt sich heraus, dass der Raum unter bestimmten Bedingungen die Lobatschewski-Geometrie hat. Damit war Lobachevskys Annahme seiner Geometrie als mögliche Theorie des realen Raums gerechtfertigt.
• Unter Verwendung des Klein-Modells wird ein sehr einfacher und kurzer Beweis gegeben

Wir sind es gewohnt zu denken, dass die Geometrie der beobachteten Welt euklidisch ist, d.h. es erfüllt die Gesetze der Geometrie, die in der Schule studiert wird. Tatsächlich ist dies nicht wahr. In diesem Artikel werden wir die Manifestationen der auf den ersten Blick rein abstrakten Geometrie von Lobatschewski in der Realität betrachten.

Die Geometrie von Lobachevsky unterscheidet sich von der gewöhnlichen euklidischen dadurch, dass in ihr durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, mindestens zwei Geraden verlaufen, die mit der gegebenen Linie in derselben Ebene liegen und sie nicht schneiden. Sie wird auch hyperbolische Geometrie genannt.

1. Euklidische Geometrie - nur eine Linie verläuft durch den weißen Punkt, der die gelbe Linie nicht schneidet
2. Riemann-Geometrie - zwei beliebige Geraden schneiden sich (es gibt keine parallelen Geraden)
3. Lobachevsky-Geometrie - es gibt unendlich viele gerade Linien, die die gelbe Linie nicht schneiden und durch den weißen Punkt verlaufen

Damit sich der Leser dies vorstellen kann, wollen wir kurz das Klein-Modell beschreiben. In diesem Modell wird die Lobachevsky-Ebene als das Innere eines Kreises mit Radius eins realisiert, wobei die Punkte der Ebene die Punkte dieses Kreises und die Linien die Sehnen sind. Eine Sehne ist eine gerade Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist schwer zu bestimmen, aber wir brauchen ihn nicht. Aus der obigen Abbildung wird deutlich, dass es durch den Punkt P unendlich viele Geraden gibt, die die Gerade a nicht schneiden. In der standardmäßigen euklidischen Geometrie gibt es nur eine Linie, die durch den Punkt P verläuft und die Linie a nicht schneidet. Diese Linie ist parallel.

Kommen wir nun zur Hauptsache - den praktischen Anwendungen der Geometrie von Lobatschewski.

Satellitennavigationssysteme (GPS und GLONASS) bestehen aus zwei Teilen: einer orbitalen Konstellation von 24–29 Satelliten, die gleichmäßig um die Erde verteilt sind, und einem Kontrollsegment auf der Erde, das die Zeitsynchronisierung auf den Satelliten und die Verwendung eines einzigen Koordinatensystems sicherstellt. Die Satelliten haben sehr genaue Atomuhren und die Empfänger (GPS-Navigatoren) haben gewöhnliche Quarzuhren. Die Empfänger haben auch jederzeit Informationen über die Koordinaten aller Satelliten. Satelliten senden in kurzen Abständen ein Signal, das Daten zum Startzeitpunkt der Übertragung enthält. Nachdem ein Signal von mindestens vier Satelliten empfangen wurde, kann der Empfänger seine Uhr einstellen und die Entfernungen zu diesen Satelliten mithilfe der Formel ((Zeit, zu der das Signal vom Satelliten gesendet wurde) – (Zeit, zu der das Signal vom Satelliten empfangen wurde)) berechnen. x (Lichtgeschwindigkeit) = (Entfernung zum Satelliten). Die errechneten Entfernungen werden ebenfalls nach den im Empfänger eingebauten Formeln korrigiert. Ferner findet der Empfänger die Koordinaten des Schnittpunkts der Kugeln mit Mittelpunkten in den Satelliten und Radien, die gleich den berechneten Entfernungen zu ihnen sind. Offensichtlich sind dies die Koordinaten des Empfängers.

Dem Leser ist wahrscheinlich bewusst, dass aufgrund des Effekts in der Speziellen Relativitätstheorie aufgrund der hohen Geschwindigkeit des Satelliten die Zeit im Orbit von der Zeit auf der Erde abweicht. Aber es gibt immer noch einen ähnlichen Effekt in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der gerade mit der nicht-euklidischen Geometrie der Raumzeit zusammenhängt. Auch hier gehen wir nicht auf mathematische Details ein, da diese eher abstrakt sind. Aber wenn wir diese Effekte nicht mehr berücksichtigen, wird sich innerhalb eines Betriebstages ein Fehler in der Größenordnung von 10 km in den Messwerten des Navigationssystems ansammeln.

Die Formeln der Lobatschewski-Geometrie werden auch in der Hochenergiephysik verwendet, nämlich bei den Berechnungen von Beschleunigern für geladene Teilchen. Hyperbolische Räume (d. h. Räume, in denen die Gesetze der hyperbolischen Geometrie wirken) finden sich auch in der Natur selbst. Lassen Sie uns weitere Beispiele geben:

Die Geometrie von Lobachevsky kann in den Strukturen von Korallen, in der Organisation von Zellstrukturen in einer Pflanze, in der Architektur, in einigen Blumen und so weiter gesehen werden. Übrigens, wenn Sie sich erinnern, haben wir in der letzten Ausgabe von Sechsecken in der Natur gesprochen, und so sind Siebenecke in der hyperbolischen Natur eine Alternative, die ebenfalls weit verbreitet sind.

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“, die der Beziehung zwischen russischer und britischer Wissenschaft gewidmet ist, erzählt die Mathematikerin Valentina Kirichenko PostNauka von der revolutionären Natur von Lobatschewskis Ideen für die Geometrie des 19. Jahrhunderts.

Parallele Linien schneiden sich nicht einmal in der Lobatschewski-Geometrie. Irgendwo in den Filmen findet man oft den Satz: "Aber die parallelen Linien unseres Lobatschewskis haben sich gekreuzt." Klingt schön, stimmt aber nicht. Nikolai Ivanovich Lobachevsky hat sich wirklich eine ungewöhnliche Geometrie ausgedacht, in der sich parallele Linien ganz anders verhalten als wir es gewohnt sind. Sie überschneiden sich jedoch nicht.

Wir sind daran gewöhnt zu denken, dass sich zwei parallele Linien weder nähern noch entfernen. Das heißt, egal welchen Punkt auf der ersten Linie wir nehmen, die Entfernung von ihr zur zweiten Linie ist gleich, es hängt nicht vom Punkt ab. Aber ist es wirklich so? Und warum ist das so? Und wie lässt sich das verifizieren?

Wenn wir von physikalischen Linien sprechen, dann steht uns nur ein kleiner Ausschnitt jeder Linie zur Beobachtung zur Verfügung. Und angesichts der Messfehler werden wir keine eindeutigen Rückschlüsse darauf ziehen können, wie sich Leitungen sehr, sehr weit von uns entfernt verhalten. Ähnliche Fragen stellten sich schon bei den alten Griechen. Im 3. Jahrhundert v. Chr. hat der antike griechische Geometer Euklid sehr genau die Haupteigenschaft paralleler Linien angegeben, die er weder beweisen noch widerlegen konnte. Daher nannte er es ein Postulat – eine Aussage, die im Glauben getroffen werden sollte. Dies ist das berühmte fünfte Postulat von Euklid: Wenn sich zwei Geraden in einer Ebene mit einer Sekante schneiden, so dass die Summe der einseitigen Innenwinkel kleiner als zwei Geraden ist, also kleiner als 180 Grad, dann mit ausreichend Fortsetzung, diese beiden Linien werden sich schneiden, und genau auf der anderen Seite der Sekante ist die Summe kleiner als zwei rechte Winkel.

Die Schlüsselwörter in diesem Postulat sind „mit ausreichender Fortsetzung“. Aufgrund dieser Worte kann das Postulat nicht empirisch verifiziert werden. Vielleicht kreuzen sich die Linien in der Sichtlinie. Vielleicht nach 10 Kilometern oder jenseits der Umlaufbahn von Pluto, oder vielleicht sogar in einer anderen Galaxie.

Euklid hat seine Postulate und die daraus logisch folgenden Ergebnisse in dem berühmten Buch „Anfänge“ skizziert. Das russische Wort „Elemente“ kommt vom altgriechischen Titel dieses Buches, und das Wort „Elemente“ kommt vom lateinischen Titel. Euklids Elemente ist das beliebteste Lehrbuch aller Zeiten. In Bezug auf die Anzahl der Auflagen ist es nach der Bibel an zweiter Stelle.

Besonders hervorheben möchte ich die wunderbare britische Ausgabe von 1847 mit sehr visuellen und schönen Infografiken. Statt langweiliger Bezeichnungen auf den Zeichnungen werden dort Farbzeichnungen verwendet – nicht wie in modernen Schullehrbüchern der Geometrie.

Bis zum letzten Jahrhundert mussten die „Anfänge“ von Euklid in allen Bildungsprogrammen studiert werden, die intellektuelle Kreativität implizierten, dh nicht nur ein Handwerk, sondern etwas Intellektuelleres zu lernen. Die Nicht-Offensichtlichkeit von Euklids fünftem Postulat warf eine natürliche Frage auf: Kann es bewiesen, dh logisch aus den übrigen Annahmen von Euklid abgeleitet werden? Viele Mathematiker haben dies versucht, von den Zeitgenossen Euklids bis zu den Zeitgenossen Lobatschewskis. In der Regel reduzierten sie das fünfte Postulat auf eine demonstrativere Aussage, die leichter zu glauben ist.

So reduzierte der englische Mathematiker John Wallis im 17. Jahrhundert das fünfte Postulat auf die folgende Aussage: Es gibt zwei ähnliche, aber ungleiche Dreiecke, also zwei Dreiecke, deren Winkel gleich, aber unterschiedlich groß sind. Es scheint, was könnte einfacher sein? Ändern wir einfach den Maßstab. Aber es stellt sich heraus, dass die Fähigkeit, den Maßstab zu ändern und dabei alle Winkel und Proportionen beizubehalten, eine exklusive Eigenschaft der euklidischen Geometrie ist, dh einer Geometrie, in der alle Postulate von Euklid, einschließlich des fünften, erfüllt sind.

Im 18. Jahrhundert formulierte der schottische Gelehrte John Playfair das fünfte Postulat in der Form neu, in der es üblicherweise in modernen Schulbüchern erscheint: Zwei Linien, die sich schneiden, können nicht gleichzeitig parallel zu einer dritten Linie sein. In dieser Form erscheint das fünfte Postulat in modernen Schulbüchern.

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts hatten viele den Eindruck, dass der Beweis des fünften Postulats der Erfindung eines Perpetuum mobile gleicht – eine völlig nutzlose Übung. Aber niemand hatte den Mut zu behaupten, dass Euklids Geometrie nicht die einzig mögliche sei: Euklids Autorität war zu groß. In einer solchen Situation waren Lobatschewskis Entdeckungen einerseits natürlich und andererseits absolut revolutionär.

Lobatschewski ersetzte das fünfte Postulat durch eine direkt entgegengesetzte Aussage. Lobatschewskis Axiom klang so: Wenn von einem Punkt, der nicht auf einer geraden Linie liegt, alle Strahlen austreten, die diese gerade Linie schneiden, werden diese Strahlen links und rechts von zwei Begrenzungsstrahlen begrenzt, die sich nicht mehr kreuzen der geraden Linie, sondern nähert sich ihr immer mehr an. Außerdem wird der Winkel zwischen diesen Begrenzungsstrahlen streng kleiner als 180 Grad sein.

Aus dem Axiom von Lobatschewski folgt sofort, dass man durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, nicht eine Linie parallel zu der gegebenen ziehen kann, wie bei Euklid, sondern beliebig viele. Aber diese Linien werden sich anders verhalten als die von Euklid. Wenn wir zum Beispiel zwei parallele Linien haben, dann können sie sich zuerst nähern und dann entfernen. Das heißt, der Abstand von einem Punkt auf der ersten Linie zur zweiten Linie hängt von dem Punkt ab. Es wird für verschiedene Punkte unterschiedlich sein.

Lobatschewskis Geometrie widerspricht unserer Intuition teilweise, weil sie sich bei den kleinen Entfernungen, mit denen wir normalerweise zu tun haben, nur sehr wenig von der euklidischen Geometrie unterscheidet. Ebenso nehmen wir die Krümmung der Erdoberfläche wahr. Wenn wir von zu Hause zum Geschäft gehen, scheint es uns, als würden wir in einer geraden Linie gehen, und die Erde ist flach. Aber wenn wir zum Beispiel von Moskau nach Montreal fliegen, dann merken wir schon, dass das Flugzeug auf einem Kreisbogen fliegt, denn das ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche. Das heißt, wir stellen fest, dass die Erde eher einem Fußball als einem Pfannkuchen gleicht.

Die Geometrie von Lobatschewski lässt sich auch mit Hilfe eines Fußballs veranschaulichen, aber nicht eines gewöhnlichen, sondern eines hyperbolischen. Ein hyperbolischer Fußball wird wie ein normaler zusammengeklebt. Nur in einer gewöhnlichen Kugel werden weiße Sechsecke auf schwarze Fünfecke geklebt, und in einer hyperbolischen Kugel müssen Sie anstelle von Fünfecken Siebenecke herstellen und diese auch mit Sechsecken verkleben. In diesem Fall wird es sich natürlich nicht um einen Ball, sondern um einen Sattel handeln. Und auf diesem Sattel wird die Geometrie von Lobachevsky verwirklicht.

Lobachevsky versuchte 1826 an der Kasaner Universität über seine Entdeckungen zu berichten. Aber der Text des Berichts ist nicht erhalten. 1829 veröffentlichte er in einer Universitätszeitschrift einen Artikel über seine Geometrie. Lobatschewskis Ergebnisse erschienen vielen bedeutungslos – nicht nur, weil sie das gewohnte Weltbild zerstörten, sondern weil sie nicht auf möglichst verständliche Weise präsentiert wurden.

Lobatschewski hatte aber auch Veröffentlichungen in hochrangigen Zeitschriften, wie wir sie heute nennen. Zum Beispiel veröffentlichte er 1836 in der berühmten Zeitschrift Krell einen Artikel mit dem Titel „Imaginary Geometry“ in französischer Sprache, in derselben Ausgabe wie die Artikel der berühmtesten Mathematiker dieser Zeit – Dirichlet, Steiner und Jacobi. Und 1840 veröffentlichte Lobachevsky ein kleines und sehr klar geschriebenes Buch mit dem Titel Geometric Research on the Theory of Parallel Lines. Das Buch war auf Deutsch und wurde in Deutschland veröffentlicht. Es gab auch eine vernichtende Bewertung. Der Rezensent verspottete besonders Lobachevskys Satz: "Je weiter wir die Linien in Richtung ihrer Parallelität fortsetzen, desto mehr nähern sie sich einander." „Allein diese Aussage“, schrieb der Rezensent, „charakterisiert die Arbeit von Herrn Lobachevsky bereits ausreichend und befreit den Rezensenten von der Notwendigkeit, sie weiter zu bewerten.“

Aber das Buch hatte auch einen unvoreingenommenen Leser. Es war Carl Friedrich Gauß, auch bekannt als der König der Mathematiker, einer der größten Mathematiker der Geschichte. In einem seiner Briefe schätzte er Lobatschewskis Buch sehr. Aber seine Rezension wurde erst nach seinem Tod veröffentlicht, zusammen mit dem Rest der Korrespondenz. Und damit begann der eigentliche Boom der Geometrie von Lobatschewski.

1866 wurde sein Buch ins Französische und dann ins Englische übersetzt. Darüber hinaus wurde die englische Ausgabe aufgrund ihrer außerordentlichen Beliebtheit noch dreimal nachgedruckt. Leider hat Lobachevsky diese Zeit nicht erfüllt. Er starb 1856. Und 1868 erschien eine russische Ausgabe von Lobatschewskis Buch. Es wurde nicht als Buch, sondern als Artikel in der ältesten russischen Zeitschrift Mathematical Collection veröffentlicht. Aber dann war diese Zeitschrift noch sehr jung, sie war noch keine zwei Jahre alt. Besser bekannt ist jedoch die russische Übersetzung von 1945, die von dem bemerkenswerten russischen und sowjetischen Geometer Veniamin Fedorovich Kagan angefertigt wurde.

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts waren die Mathematiker in zwei Lager gespalten. Einige akzeptierten Lobatschewskis Ergebnisse sofort und begannen, seine Ideen weiterzuentwickeln. Und andere konnten den Glauben nicht aufgeben, dass die Geometrie von Lobatschewski etwas beschreibt, das nicht existiert, das heißt, die Geometrie von Euklid ist die einzig wahre und nichts anderes kann es sein. Zu letzterem gehörte leider auch der Mathematiker, besser bekannt als Autor von Alice im Wunderland, Lewis Carroll. Sein richtiger Name ist Charles Dodgson. 1890 veröffentlichte er einen Artikel mit dem Titel „A New Theory of Parallels“, in dem er eine äußerst anschauliche Version des fünften Postulats verteidigte. Das Axiom von Lewis Carroll klingt so: Wenn ein regelmäßiges Viereck in einen Kreis eingeschrieben ist, ist die Fläche dieses Vierecks streng größer als die Fläche eines der Segmente des Kreises, die liegen außerhalb des Vierecks. In der Lobatschewski-Geometrie ist dieses Axiom nicht wahr. Wenn wir einen ausreichend großen Kreis nehmen, dann wird, egal welches Viereck wir hineinschreiben, egal wie lang die Seiten dieses Vierecks sein mögen, die Fläche des Vierecks durch die universelle physikalische Konstante begrenzt sein. Im Allgemeinen ist das Vorhandensein physikalischer Konstanten und universeller Längenmaße ein vorteilhafter Unterschied zwischen der Geometrie von Lobachevsky und der Geometrie von Euklid.

Aber Arthur Cayley, ein anderer berühmter englischer Mathematiker, veröffentlichte 1859, also nur drei Jahre nach Lobatschewskis Tod, einen Artikel, der später dazu beitrug, Lobatschewskis Postulat zu legalisieren. Interessanterweise arbeitete Cayley damals als Anwältin in London und erhielt erst dann eine Professur in Cambridge. Tatsächlich baute Cayley das erste Modell von Lobatschewskis Geometrie, obwohl er auf den ersten Blick ein völlig anderes Problem löste.

Und ein weiterer bemerkenswerter englischer Mathematiker, dessen Name William Kingdon Clifford war, war tief von den Ideen Lobatschowskis durchdrungen. Und insbesondere war er der erste, der lange vor der Entstehung der allgemeinen Relativitätstheorie die Idee zum Ausdruck brachte, dass die Gravitation durch die Krümmung des Raums verursacht wird. Clifford bewertete Lobachevskys Beitrag zur Wissenschaft in einem seiner Vorlesungen über Wissenschaftsphilosophie: "Lobatschevsky wurde für Euklid, was Kopernikus für Ptolemäus wurde." Glaubte die Menschheit vor Kopernikus, alles über das Universum zu wissen, ist uns jetzt klar, dass wir nur einen kleinen Teil des Universums beobachten. In ähnlicher Weise glaubte die Menschheit vor Lobatschewski, dass es nur eine Geometrie gibt - die euklidische, alles darüber ist seit langem bekannt. Nun wissen wir, dass es viele Geometrien gibt, aber wir kennen längst nicht alle.

Geometriesätze von Lobatschewski

1. Grundbegriffe der Lobatschewski-Geometrie

In der euklidischen Geometrie nach dem fünften Postulat auf der Ebene durch einen Punkt R, außerhalb der Linie liegen Ein "Ein, es gibt nur eine gerade Linie B "B, nicht schneiden Ein „A. Gerade B"B" parallel genannt zu A"A. Außerdem genügt es zu fordern, dass es höchstens eine solche Linie gibt, da die Existenz einer sich nicht schneidenden Linie durch sukzessives Zeichnen von Linien nachgewiesen werden kann PQA"A und PBPQ. In der Lobatschewski-Geometrie erfordert das Axiom der Parallelität dies durch einen Punkt R mehr als eine gerade Linie passiert hat, die sich nicht schneidet Ein „A.

Sich nicht schneidende Linien füllen den Teil des Bleistifts mit einem Scheitelpunkt R, innerhalb eines Paares vertikaler Winkel liegen TPU und U"PT", symmetrisch um die Senkrechte angeordnet P.Q. Die Linien, die die Seiten der vertikalen Winkel bilden, trennen die sich schneidenden Linien von den sich nicht schneidenden Linien und sind selbst auch nicht schneidend. Diese Grenzlinien werden genannt Parallelen im Punkt P zu einer Geraden Ein „A jeweils in zwei Richtungen: T „T parallel Ein „A in die Richtung A "A, a UU" parallel Ein „A in die Richtung A A". Andere sich nicht schneidende Linien werden aufgerufen abweichende Linien Mit Ein „A.

Ecke , 0< R Formen mit einer Senkrechten pQ, QPT=QPU"=, genannt Winkel der Parallelität Segment PQ=a und ist mit bezeichnet . Bei a=0 Winkel =/2; mit aufsteigender a der Winkel nimmt ab, so dass für jede gegebene 0<a. Diese Abhängigkeit heißt Lobatschewski-Funktion :

P(a)=2arctg (),

wo zu-- eine Konstante, die ein Segment mit festem Wert definiert. Es wird als Krümmungsradius des Lobatschewski-Raums bezeichnet. Wie bei der sphärischen Geometrie gibt es eine unendliche Menge von Lobatschewski-Räumen, die sich in ihrer Größe unterscheiden zu.

Zwei verschiedene Geraden in einer Ebene bilden ein Paar von einem von drei Typen.

Schnittlinien . Der Abstand von den Punkten einer Linie zu einer anderen Linie nimmt unendlich zu, wenn sich der Punkt vom Schnittpunkt der Linien wegbewegt. Wenn die Linien nicht senkrecht sind, dann wird jede orthogonal auf die andere in ein offenes Segment endlicher Größe projiziert.

Parallele Linien . In der Ebene gibt es durch einen gegebenen Punkt eine einzige gerade Linie parallel zu der gegebenen geraden Linie in der auf dieser angegebenen Richtung. An einem Punkt parallel R behält an jedem seiner Punkte die Eigenschaft, parallel zu derselben Linie in derselben Richtung zu sein. Parallelität ist reziprok (ggf a||b dann in eine bestimmte richtung b||a in die entsprechende Richtung) und Transitivität (ggf a||b und mit || b dann in eine richtung a||c in die entsprechende Richtung). In Richtung der Parallelität nähern sich die Parallelen unendlich, in der entgegengesetzten Richtung entfernen sie sich unendlich (im Sinne des Abstandes vom Bewegungspunkt einer Geraden zu einer anderen Geraden). Die orthogonale Projektion einer Linie auf eine andere ist eine offene Halblinie.

Abweichende Linien . Sie haben eine gemeinsame Senkrechte, deren Segment den Mindestabstand angibt. Auf beiden Seiten der Senkrechten divergieren die Linien unendlich. Jede Linie wird auf eine andere in ein offenes Segment endlicher Größe projiziert.

Drei Arten von Linien entsprechen in der Ebene drei Arten von Linienstiften, von denen jede die gesamte Ebene abdeckt: Strahl der 1. Art ist die Menge aller Geraden, die durch einen Punkt gehen ( Center Strahl); Strahl der 2. Art ist die Menge aller Geraden senkrecht zu einer Geraden ( Base Strahl); Strahl der 3. Art ist die Menge aller Geraden parallel zu einer Geraden in einer gegebenen Richtung, einschließlich dieser Geraden.

Die orthogonalen Trajektorien der geraden Linien dieser Strahlen bilden Analoga des Kreises der euklidischen Ebene: Kreis im eigentlichen Sinne; gleich weit entfernt , oder Linie gleich Entfernungen (wenn Sie die Basis nicht berücksichtigen), die zur Basis hin konkav ist; Grenzlinie , oder Horozyklus, es kann als ein Kreis mit einem unendlich weit entfernten Mittelpunkt betrachtet werden. Grenzlinien sind deckungsgleich. Sie sind nicht geschlossen und konkav in Richtung Parallelität. Zwei von einem Bündel erzeugte Grenzlinien sind konzentrisch (gleiche Segmente werden auf geraden Linien des Bündels ausgeschnitten). Das Verhältnis der Längen der zwischen zwei Strahlgeraden eingeschlossenen konzentrischen Bögen nimmt als Exponentialfunktion des Abstandes zur Parallelität hin ab X zwischen Bögen:

s" / s=e.

Jedes der Analoga des Kreises kann auf sich selbst gleiten, was zu drei Arten von Bewegungen der Ebene mit einem Parameter führt: Drehung um ihren eigenen Mittelpunkt; Drehung um den idealen Mittelpunkt (eine Bahn ist die Basis, der Rest ist äquidistant); Rotation um einen unendlich weit entfernten Mittelpunkt (alle Trajektorien sind Grenzlinien).

Die Drehung von Kreisanaloga um die gerade Linie des erzeugenden Bleistifts führt zu Kugelanaloga: die eigentliche Sphäre, die Oberfläche gleicher Entfernungen und die Horosphäre, oder marginal Oberflächen .

Auf der Kugel ist die Geometrie von Großkreisen die übliche sphärische Geometrie; auf der Oberfläche gleicher Entfernungen - äquidistante Geometrie, die die Lobachevsky-Planimetrie ist, jedoch mit einem größeren Wert zu; auf der Grenzfläche die euklidische Geometrie der Grenzlinien.

Aus dem Zusammenhang zwischen den Bogen- und Sehnenlängen der Grenzlinien und den euklidischen trigonometrischen Beziehungen auf der Grenzfläche lassen sich trigonometrische Beziehungen in der Ebene ableiten, also trigonometrische Formeln für gerade Dreiecke.

2. Einige Sätze der Geometrie von Lobatschewski

Satz 1. Die Summe der Winkel eines beliebigen Dreiecks ist kleiner als 2d.

Betrachten Sie zunächst ein rechtwinkliges Dreieck ABC (Abb. 2). Seine Seiten a, b, c sind jeweils als Segment der Euklidischen Linie senkrecht zur Linie dargestellt und, Bögen des euklidischen Kreises mit Mittelpunkt M und Bögen des euklidischen Kreises mit Mittelpunkt N. Ecke AUS--gerade. Ecke ABER gleich dem Winkel zwischen den Tangenten an die Kreise b und Mit am Punkt ABER, oder, was dasselbe ist, der Winkel zwischen den Radien N / A und MA diese Kreise. Endlich, B = BNM.

Lassen Sie uns auf einem Segment aufbauen BN wie auf dem Durchmesser des euklidischen Kreises q; sie hat mit umfang Mit ein gemeinsamer Punkt BEI, da sein Durchmesser der Radius des Kreises ist Mit. Daher der Punkt ABER liegt außerhalb des durch den Kreis begrenzten Kreises q, Folglich,

A = MANN< MBN.

Also wegen Gleichberechtigung MBN+B = d wir haben:

A+B< d; (1)

Also A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Beachten Sie, dass mit der richtigen hyperbolischen Bewegung jedes rechtwinklige Dreieck so angeordnet werden kann, dass eines seiner Beine auf der Euklidischen Senkrechten zur Linie liegt und; daher die Methode, mit der wir die Ungleichung hergeleitet haben (1) gilt für jedes rechtwinklige Dreieck.

Wenn ein schiefes Dreieck gegeben ist, dann teilen wir es durch eine der Höhen in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Summe der spitzen Winkel dieser rechtwinkligen Dreiecke ist gleich der Summe der Winkel des gegebenen schiefen Dreiecks. Daher unter Berücksichtigung der Ungleichheit (1) , schließen wir, dass der Satz für jedes Dreieck gültig ist.

Satz 2 . Die Winkelsumme eines Vierecks ist kleiner als 4d.

Zum Beweis genügt es, das Viereck mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke zu teilen.

Satz 3 . Zwei divergierende Geraden haben genau eine gemeinsame Senkrechte.

Eine dieser divergierenden Geraden sei auf der Karte als euklidische Senkrechte dargestellt R zu einer geraden Linie und am Punkt M, der andere hat die Form eines euklidischen Halbkreises q zentriert auf und, und R und q haben keine gemeinsamen Punkte (Abb. 3). Eine solche Anordnung zweier divergierender hyperbolischer Linien auf einer Karte kann immer mit einer geeigneten hyperbolischen Bewegung erreicht werden.

Lassen Sie uns ausgeben M euklidische Tangente MN zu q und aus der Mitte beschreiben M Radius MN euklidischer halbkreis m. Es ist klar, dass m--hyperbolische Linie, die und schneidet R und q im rechten Winkel. Folglich, m stellt auf der Karte die erforderliche gemeinsame Senkrechte der gegebenen divergierenden Geraden dar.

Zwei divergierende Geraden können nicht zwei gemeinsame Lote haben, da es in diesem Fall ein Viereck mit vier rechten Winkeln gäbe, was Satz 2 widerspricht.

. Satz 4. Die rechteckige Projektion einer Seite eines spitzen Winkels auf ihre andere Seite ist ein Segment(und nicht eine halbe Linie, wie in Euklids Geometrie).

Die Gültigkeit des Theorems ist aus Abb. 4, wo das Segment AB es gibt eine rechteckige Projektion der Seite AB spitzer Winkel SIE auf seiner Seite WIE.

In derselben Abbildung der Bogen DE Euklidischer Kreis mit Mittelpunkt M ist eine Senkrechte auf der hyperbolischen Linie AC. Diese Senkrechte schneidet sich nicht mit der Schräge AB. Daher widerspricht die Annahme, dass sich eine senkrechte und eine schräge Linie zu derselben Linie immer schneiden, dem Parallelitätsaxiom von Lobatschewski; es entspricht Euklids Parallelitätsaxiom.

Satz 5. Wenn drei Winkel des Dreiecks ABC jeweils gleich drei Winkeln des Dreiecks A, B, C sind, dann sind diese Dreiecke kongruent.

Nehmen Sie das Gegenteil an und legen Sie die Strahlen jeweils beiseite AB und AC Segmente AB \u003d EIN "B", AC \u003d EIN "C". Offensichtlich Dreiecke. ABC und ABC" gleich in zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen. Punkt B stimmt nicht mit überein BEI, Punkt C stimmt nicht mit überein AUS, da in jedem dieser Fälle die Gleichheit dieser Dreiecke eintreten würde, was der Annahme widerspricht.

Betrachten Sie die folgenden Möglichkeiten.

a) Punkt B liegt dazwischen ABER und BEI, Punkt AUS-- zwischen ABER und AUS(Abb. 5); in dieser und der nächsten Abbildung werden hyperbolische Linien herkömmlicherweise als euklidische Linien dargestellt). Es ist leicht zu überprüfen, dass die Summe der Winkel eines Vierecks SSNE ist gleich 4d, was wegen Satz 2 unmöglich ist.

6) Punkt BEI liegt zwischen ABER und BEI, Punkt AUS-- zwischen ABER und AUS(Abb. 6). Bezeichne mit D der Schnittpunkt der Segmente Sonne und BC Als C=C" und C" \u003d C, dann C= AUS , was unmöglich ist, da der Winkel C außerhalb des Dreiecks CCD liegt.

Andere mögliche Fälle werden ähnlich behandelt.

Der Satz ist bewiesen, weil die getroffene Annahme zu einem Widerspruch geführt hat.

Aus Satz 5 folgt, dass es in der Geometrie von Lobachevsky kein Dreieck gibt, das dem gegebenen Dreieck ähnlich, aber nicht gleich ist.