Der kleinste gemeinsame Nenner wird verwendet, um diese Gleichung zu vereinfachen. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die gegebene Gleichung nicht mit einem rationalen Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung schreiben können (und die Kreuzmultiplikationsmethode verwenden). Diese Methode wird verwendet, wenn Sie eine rationale Gleichung mit 3 oder mehr Brüchen erhalten (bei zwei Brüchen ist es besser, Kreuzmultiplikation zu verwenden).
Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen (oder das kleinste gemeinsame Vielfache). NOZ ist die kleinste Zahl, die durch jeden Nenner ohne Rest teilbar ist.
- Manchmal ist NOZ eine offensichtliche Nummer. Wenn zum Beispiel die Gleichung gegeben ist: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, dann ist es offensichtlich, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 3, 2 und 6 6 sein wird.
- Wenn das NOD nicht offensichtlich ist, schreiben Sie die Vielfachen des größten Nenners auf und finden Sie darunter eines, das auch ein Vielfaches der anderen Nenner ist. Sie können das NOD oft finden, indem Sie einfach zwei Nenner miteinander multiplizieren. Wenn zum Beispiel die Gleichung x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 gegeben ist, dann ist NOZ = 8*9 = 72.
- Wenn ein oder mehrere Nenner eine Variable enthalten, dann ist der Vorgang etwas komplizierter (aber nicht unmöglich). In diesem Fall ist die NOZ ein Ausdruck (der eine Variable enthält), der durch jeden Nenner teilbar ist. Zum Beispiel in der Gleichung 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), weil dieser Ausdruck durch jeden Nenner teilbar ist: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Multiplizieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner jedes Bruchs mit einer Zahl, die dem Ergebnis der Division von NOZ durch den entsprechenden Nenner jedes Bruchs entspricht. Da du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst, multiplizierst du effektiv einen Bruch mit 1 (z. B. 2/2 = 1 oder 3/3 = 1).
- Multiplizieren Sie also in unserem Beispiel x/3 mit 2/2, um 2x/6 zu erhalten, und multiplizieren Sie 1/2 mit 3/3, um 3/6 zu erhalten (3x + 1/6 muss nicht multipliziert werden, da dies der Nenner ist 6).
- Gehen Sie analog vor, wenn die Variable im Nenner steht. In unserem zweiten Beispiel ist NOZ = 3x(x-1), also 5/(x-1) mal (3x)/(3x) ist 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x mal 3(x-1)/3(x-1), um 3(x-1)/3x(x-1) zu erhalten; 2/(3x) multipliziert mit (x-1)/(x-1) und du erhältst 2(x-1)/3x(x-1).
x finden. Jetzt, wo du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht hast, kannst du den Nenner loswerden. Multiplizieren Sie dazu jede Seite der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. Lösen Sie dann die resultierende Gleichung, dh finden Sie "x". Isolieren Sie dazu die Variable auf einer Seite der Gleichung.
- In unserem Beispiel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kannst 2 Brüche mit demselben Nenner addieren, also schreibe die Gleichung wie folgt: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6 und entfernen Sie die Nenner: 2x+3 = 3x +1. Löse und erhalte x = 2.
- In unserem zweiten Beispiel (mit einer Variablen im Nenner) sieht die Gleichung (nach Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner) so aus: 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Indem Sie beide Seiten der Gleichung mit NOZ multiplizieren, werden Sie den Nenner los und erhalten: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) oder 15x = 3x - 3 + 2x -2, oder 15x = x - 5 Löse und erhalte: x = -5/14.
Wir haben die obige Gleichung in § 7 eingeführt. Zuerst erinnern wir uns, was ein rationaler Ausdruck ist. Dies ist ein algebraischer Ausdruck, der sich aus Zahlen und der Variablen x zusammensetzt, wobei die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten verwendet werden.
Wenn r(x) ein rationaler Ausdruck ist, dann heißt die Gleichung r(x) = 0 eine rationale Gleichung.
In der Praxis ist es jedoch bequemer, den Begriff "rationale Gleichung" etwas weiter zu interpretieren: Dies ist eine Gleichung der Form h(x) = q(x), wobei h(x) und q(x) sind rationale Ausdrücke.
Bisher konnten wir keine rationale Gleichung lösen, sondern nur eine, auf die durch verschiedene Transformationen und Überlegungen reduziert wurde lineare Gleichung. Jetzt sind unsere Möglichkeiten viel größer: Wir werden in der Lage sein, eine rationale Gleichung zu lösen, die sich nicht nur auf linear reduziert
mu, sondern auch zur quadratischen Gleichung.
Erinnern Sie sich daran, wie wir zuvor rationale Gleichungen gelöst haben, und versuchen Sie, einen Lösungsalgorithmus zu formulieren.
Beispiel 1 löse die Gleichung
Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um
In diesem Fall verwenden wir wie üblich die Tatsache, dass die Gleichheiten A \u003d B und A - B \u003d 0 dieselbe Beziehung zwischen A und B ausdrücken. Dadurch konnten wir den Term mit dem auf die linke Seite der Gleichung übertragen entgegengesetztem Vorzeichen.
Lassen Sie uns Transformationen der linken Seite der Gleichung durchführen. Wir haben
Erinnern Sie sich an die Gleichheitsbedingungen Brüche Null: genau dann, wenn zwei Relationen gleichzeitig erfüllt sind:
1) der Zähler des Bruchs ist Null (a = 0); 2) der Nenner des Bruchs ist von Null verschieden).
Wenn wir den Zähler des Bruchs auf der linken Seite von Gleichung (1) gleich Null setzen, erhalten wir
Es bleibt die Erfüllung der zweiten oben genannten Bedingung zu prüfen. Das Verhältnis bedeutet für Gleichung (1), dass . Die Werte x 1 = 2 und x 2 = 0,6 erfüllen die angegebenen Beziehungen und dienen daher als Wurzeln der Gleichung (1) und gleichzeitig als Wurzeln der gegebenen Gleichung.
1) Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln
2) Führen wir die Transformationen der linken Seite dieser Gleichung durch:
(gleichzeitig die Vorzeichen im Zähler geändert und
Brüche).
Somit nimmt die gegebene Gleichung die Form an
3) Lösen Sie die Gleichung x 2 - 6x + 8 = 0. Finden Sie
4) Überprüfen Sie für die gefundenen Werte die Bedingung 
. Die Zahl 4 erfüllt diese Bedingung, die Zahl 2 jedoch nicht. Also ist 4 die Wurzel der gegebenen Gleichung und 2 ist eine Fremdwurzel.
Antwort: 4.
2. Lösung rationaler Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen
Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist Ihnen vertraut, wir haben sie mehr als einmal verwendet. Lassen Sie uns anhand von Beispielen zeigen, wie es zur Lösung rationaler Gleichungen verwendet wird.
Beispiel 3 Löse die Gleichung x 4 + x 2 - 20 = 0.
Lösung. Wir führen eine neue Variable y \u003d x 2 ein. Da x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, kann die angegebene Gleichung in der Form umgeschrieben werden
y 2 + y - 20 = 0.
Dies ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln wir mit Hilfe des Bekannten finden werden Formeln; wir bekommen y 1 = 4, y 2 = - 5.
Aber y \u003d x 2, was bedeutet, dass das Problem auf die Lösung von zwei Gleichungen reduziert wurde:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Aus der ersten Gleichung finden wir heraus, dass die zweite Gleichung keine Wurzeln hat.
Antworten: .
Eine Gleichung der Form ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 wird als biquadratische Gleichung bezeichnet („bi“ - zwei, d. h. sozusagen eine „zweifache“ Gleichung). Die gerade gelöste Gleichung war genau biquadratisch. Jede biquadratische Gleichung wird auf die gleiche Weise wie die Gleichung aus Beispiel 3 gelöst: Eine neue Variable y \u003d x 2 wird eingeführt, die resultierende quadratische Gleichung wird in Bezug auf die Variable y gelöst und dann an die Variable x zurückgegeben.
Beispiel 4 löse die Gleichung
Lösung. Beachten Sie, dass derselbe Ausdruck x 2 + 3x hier zweimal vorkommt. Daher ist es sinnvoll, eine neue Variable y = x 2 + Zx einzuführen. Dies wird es uns ermöglichen, die Gleichung in einer einfacheren und angenehmeren Form umzuschreiben (was eigentlich der Zweck der Einführung einer neuen ist Variable- und die Aufnahme ist einfacher
, und die Struktur der Gleichung wird klarer):
Und jetzt werden wir den Algorithmus zum Lösen einer rationalen Gleichung verwenden.
1) Lassen Sie uns alle Terme der Gleichung in einen Teil verschieben:
= 0
2) Transformieren wir die linke Seite der Gleichung
Also haben wir die gegebene Gleichung in die Form transformiert
3) Aus der Gleichung - 7y 2 + 29y -4 = 0 finden wir (wir haben schon ziemlich viele quadratische Gleichungen gelöst, daher lohnt es sich wahrscheinlich nicht, immer detaillierte Berechnungen im Lehrbuch anzugeben).
4) Überprüfen wir die gefundenen Nullstellen mit der Bedingung 5 (y - 3) (y + 1). Beide Wurzeln erfüllen diese Bedingung.
Damit ist die quadratische Gleichung für die neue Variable y gelöst: 
Da y \u003d x 2 + Zx und y, wie wir festgestellt haben, zwei Werte annimmt: 4 und - müssen wir noch zwei Gleichungen lösen: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Die Wurzeln der ersten Gleichung sind die Zahlen 1 und - 4, die Wurzeln der zweiten Gleichung sind die Zahlen
In den betrachteten Beispielen war die Methode der Einführung einer neuen Variablen, wie Mathematiker gerne sagen, der Situation angemessen, das heißt, sie entsprach ihr gut. Wieso den? Ja, weil derselbe Ausdruck offensichtlich mehrfach im Gleichungssatz vorkam und es sinnvoll war, diesen Ausdruck mit einem neuen Buchstaben zu kennzeichnen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall, manchmal "erscheint" eine neue Variable nur im Transformationsprozess. Genau das passiert im nächsten Beispiel.
Beispiel 5 löse die Gleichung
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lösung. Wir haben
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Die gegebene Gleichung kann also umgeschrieben werden als
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Jetzt ist eine neue Variable "erschienen": y = x 2 - Zx.
Mit ihrer Hilfe kann die Gleichung in die Form y (y + 2) \u003d 24 und dann y 2 + 2y - 24 \u003d 0 umgeschrieben werden. Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Zahlen 4 und -6.
Zurück zur ursprünglichen Variablen x erhalten wir zwei Gleichungen x 2 - Zx \u003d 4 und x 2 - Zx \u003d - 6. Aus der ersten Gleichung finden wir x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln.
Antwort: 4, - 1.
Bisher haben wir nur ganzzahlige Gleichungen bezüglich der Unbekannten gelöst, also Gleichungen, bei denen die Nenner (falls vorhanden) die Unbekannte nicht enthielten.
Oft müssen Sie Gleichungen lösen, die die Unbekannte im Nenner enthalten: Solche Gleichungen werden als gebrochen bezeichnet.
Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten davon mit einem Polynom, das die Unbekannte enthält. Wird die neue Gleichung der gegebenen äquivalent sein? Um die Frage zu beantworten, lösen wir diese Gleichung.
Wenn wir beide Seiten davon mit multiplizieren, erhalten wir:
Lösen wir diese Gleichung ersten Grades, finden wir:
Gleichung (2) hat also eine einzelne Wurzel
Setzen wir es in Gleichung (1) ein, erhalten wir:
Daher ist auch die Wurzel von Gleichung (1).
Gleichung (1) hat keine anderen Wurzeln. In unserem Beispiel ist dies beispielsweise daran zu erkennen, dass in Gleichung (1)
Wie der unbekannte Divisor gleich dem Dividenden 1 dividiert durch den Quotienten 2 sein soll, d.h.
Die Gleichungen (1) und (2) haben also eine einzelne Wurzel und sind daher äquivalent.
2. Wir lösen nun folgende Gleichung:
Der einfachste gemeinsame Nenner: ; multipliziere alle Terme der Gleichung damit:
Nach Reduktion erhalten wir:
Erweitern wir die Klammern:
Wenn wir ähnliche Terme bringen, haben wir:
Lösen wir diese Gleichung, finden wir:
Durch Einsetzen in Gleichung (1) erhalten wir:
Auf der linken Seite haben wir Ausdrücke erhalten, die keinen Sinn ergeben.
Daher ist die Wurzel von Gleichung (1) nicht. Dies impliziert, dass die Gleichungen (1) und nicht äquivalent sind.
In diesem Fall sagen wir, dass Gleichung (1) eine fremde Wurzel angenommen hat.
Vergleichen wir die Lösung von Gleichung (1) mit der Lösung der zuvor betrachteten Gleichungen (siehe § 51). Um diese Gleichung zu lösen, mussten wir zwei solche Operationen durchführen, die zuvor noch nie gesehen worden waren: Erstens multiplizierten wir beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der die Unbekannte (gemeinsamen Nenner) enthielt, und zweitens reduzierten wir algebraische Brüche durch Faktoren, die enthielten das Unbekannte.
Beim Vergleich von Gleichung (1) mit Gleichung (2) sehen wir, dass nicht alle für Gleichung (2) gültigen x-Werte für Gleichung (1) gültig sind.
Es sind die Zahlen 1 und 3, die keine zulässigen Werte der Unbekannten für Gleichung (1) sind und durch die Transformation für Gleichung (2) zulässig wurden. Eine dieser Zahlen stellte sich als Lösung von Gleichung (2) heraus, aber sie kann natürlich keine Lösung von Gleichung (1) sein. Gleichung (1) hat keine Lösungen.
Dieses Beispiel zeigt, dass beim Multiplizieren beider Gleichungsteile mit einem Faktor, der die Unbekannte enthält, und beim Kürzen algebraischer Brüche eine Gleichung erhalten werden kann, die der gegebenen nicht äquivalent ist, nämlich: Fremdwurzeln können auftreten.
Daher ziehen wir folgendes Fazit. Beim Lösen einer Gleichung, die eine Unbekannte im Nenner enthält, müssen die resultierenden Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft werden. Fremde Wurzeln müssen verworfen werden.
Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Wir erweitern nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.
Was ist ein rationaler Ausdruck? Diesem Begriff sind wir bereits begegnet. Rationale Ausdrücke sogenannte Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen mathematischer Operationen bestehen.
Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form: , wo 
- rationale Ausdrücke.
Bisher haben wir nur die rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren lassen. Betrachten wir nun die rationalen Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.
Beispiel 1
Löse die Gleichung: .
Lösung:
Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 und sein Nenner nicht 0 ist.
Wir erhalten folgendes System:
Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir es lösen, teilen wir alle seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:
Wir bekommen zwei Wurzeln: ; .
Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 
. Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die beim Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, sind sie beide Lösungen dieser Gleichung.
Antworten:.
Lassen Sie uns also einen Algorithmus zum Lösen rationaler Gleichungen formulieren:
1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 erhalten wird.
2. Transformiere und vereinfache die linke Seite, bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
3. Den resultierenden Bruch nach folgendem Algorithmus mit 0 gleichsetzen: 
.
4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie als Antwort die zweite Ungleichung.
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.
Beispiel 2
Löse die Gleichung: 
.
Lösung
Ganz am Anfang übertragen wir alle Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 bleibt und wir erhalten:
Nun bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:
Diese Gleichung entspricht dem System:
Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung.
Die Koeffizienten dieser Gleichung: . Wir berechnen die Diskriminante:
Wir bekommen zwei Wurzeln: ; .
Jetzt lösen wir die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.
Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: 
. Wir erhalten, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine geeignet ist - 3.
Antworten:.
In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden.
In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und auch Bewegungsprobleme betrachten.
Referenzliste
- Bashmakov M.I. Algebra, Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.
- Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al., Algebra, 8. 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.
- Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra, Klasse 8. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. -M.: Bildung, 2006.
- Festival der pädagogischen Ideen "Open Lesson" ().
- Schule.xvatit.com().
- Rudocs.exdat.com().
Hausaufgaben
T. Kosyakova,
Schule Nr. 80, Krasnodar
Lösung quadratischer und gebrochen-rationaler Gleichungen mit Parametern
Lektion 4
Unterrichtsthema:
Das Ziel des Unterrichts: die Fähigkeit zu bilden, gebrochen-rationale Gleichungen zu lösen, die Parameter enthalten.
Unterrichtstyp: Einführung von neuem Material.
1. (mündlich) Lösen Sie die Gleichungen:
Beispiel 1. Löse die Gleichung 
Lösung. 
Finden Sie ungültige Werte a: 
Antworten. Wenn ein 
wenn a = – 19
, dann gibt es keine Wurzeln.
Beispiel 2. Löse die Gleichung 
Lösung.
Finden Sie ungültige Parameterwerte a :
10 – a = 5, a = 5;
10 – a = a, a = 5.
Antworten. Wenn ein a = 5 a № 5 , dann x=10– a .
Beispiel 3. Bei welchen Werten des Parameters b
Die gleichung 
Es hat:
a) zwei Wurzeln b) die einzige Wurzel?
Lösung.
1) Finden Sie ungültige Parameterwerte b :
x= b, b 2 (b 2
– 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4
– 2b 3 = 0,
b= 0 bzw b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2
= 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 bzw b = – 2.
2) Lösen Sie die Gleichung x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:
D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .
a) 
Ungültige Parameterwerte ausschließen b , erhalten wir, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat, wenn b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .
b) 4b 2 = 0, b = 0, aber das ist ein ungültiger Parameterwert b ; wenn b 2 –1=0 , d.h. b=1 oder.
Antwort: a) wenn b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , dann zwei Wurzeln; b) wenn b=1 oder b=-1 , dann die einzige Wurzel.
Selbstständige Arbeit
Variante 1
Lösen Sie die Gleichungen:
Option 2
Lösen Sie die Gleichungen:
Antworten
IN 1. und wenn a=3
, dann gibt es keine Wurzeln; wenn 
b) wenn wenn a
№
2
, dann gibt es keine Wurzeln.
IN 2. Wenn ein a=2
, dann gibt es keine Wurzeln; wenn a=0
, dann gibt es keine Wurzeln; wenn 
b) wenn a=– 1
, dann verliert die Gleichung ihre Bedeutung; wenn dann keine Wurzeln vorhanden sind;
wenn
Hausaufgabe.
Lösen Sie die Gleichungen:
Antworten: a) Wenn a № –2 , dann x= a ; wenn a=–2 , dann gibt es keine Lösungen; b) wenn a № –2 , dann x=2; wenn a=–2 , dann gibt es keine Lösungen; c) wenn a=–2 , dann x- eine andere Zahl als 3 ; wenn a № –2 , dann x=2; d) wenn a=–8 , dann gibt es keine Wurzeln; wenn a=2 , dann gibt es keine Wurzeln; wenn
Lektion 5
Unterrichtsthema:"Lösung von fraktional-rationalen Gleichungen mit Parametern".
Unterrichtsziele:
Lernen, Gleichungen mit einer nicht standardmäßigen Bedingung zu lösen;
bewusste Assimilation von algebraischen Konzepten und Beziehungen zwischen ihnen durch Studenten.
Unterrichtstyp: Systematisierung und Verallgemeinerung.
Überprüfung der Hausaufgaben.
Beispiel 1. Löse die Gleichung 
a) relativ zu x; b) relativ zu y.
Lösung.
a) Finden Sie ungültige Werte j: y=0, x=y, y2=y2 –2y,
y=0– ungültiger Parameterwert j.
Wenn ein j№ 0 , dann x=y-2; wenn y=0, dann verliert die Gleichung ihre Bedeutung.
b) Finden Sie ungültige Parameterwerte x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– ungültiger Parameterwert x; y(2+x-y)=0, y=0 oder y=2+x;
y=0 erfüllt die Bedingung nicht y(y–x)№ 0 .
Antwort: a) wenn y=0, dann verliert die Gleichung ihre Bedeutung; wenn j№ 0 , dann x=y-2; b) wenn x=0 x№ 0 , dann y=2+x .
Beispiel 2. Für welche ganzzahligen Werte des Parameters a sind die Wurzeln der Gleichung 
gehören zum Intervall 
D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,
D = ( a + 2) 2 .
Wenn ein a № 0 oder a № – 1 , dann
Antworten: 5 .
Beispiel 3. Relativ finden x ganze Lösungen der Gleichung 
Antworten. Wenn ein y=0, dann macht die Gleichung keinen Sinn; wenn y=–1, dann x- jede ganze Zahl außer Null; wenn y# 0, y# – 1, dann gibt es keine Lösungen.
Beispiel 4 Löse die Gleichung 
mit Parametern a
und b
.
Wenn ein a№
- b
, dann 
Antworten. Wenn ein a= 0 oder b= 0 , dann verliert die Gleichung ihre Bedeutung; wenn a№ 0,b№ 0, a=-b , dann x- jede andere Zahl als Null; wenn a№ 0,b№ 0,a№ -b dann x=-a, x=-b .
Beispiel 5. Beweisen Sie, dass für jeden Wert des Parameters n ungleich Null die Gleichung gilt 
hat eine einzelne Wurzel gleich - n
.
Lösung. 
d.h. x=-n, was zu beweisen war.
Hausaufgabe.
1. Finden Sie vollständige Lösungen der Gleichung 
2. Bei welchen Werten des Parameters c Die gleichung 
Es hat:
a) zwei Wurzeln b) die einzige Wurzel?
3. Finden Sie alle ganzzahligen Wurzeln der Gleichung 
wenn aÖ N
.
4. Lösen Sie die Gleichung 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativ j; b) relativ x .
1. Die Gleichung wird durch alle ganzzahligen gleichen Werte von x und y außer Null erfüllt.
2. a) Wann
b) bei oder 
3. – 12; – 9; 0
.
4. a) Wenn dann keine Wurzeln vorhanden sind; wenn 
b) wenn dann keine Wurzeln vorhanden sind; wenn 
Prüfung
Variante 1
1. Bestimmen Sie die Art der Gleichung 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 an einer) c=-3; b) c=2 ; in) c=4 .
2. Lösen Sie die Gleichungen: a) x2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; in) 
3. Lösen Sie die Gleichung 3x-xy-2y=1:
a) relativ x ;
b) relativ j .
nx 2 - 26x + n \u003d 0, wissend, dass der Parameter n nur ganzzahlige Werte annimmt.
5. Für welche Werte von b gilt die Gleichung 
Es hat:
a) zwei Wurzeln
b) die einzige Wurzel?
Option 2
1. Bestimmen Sie die Art der Gleichung 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 an einer) c=-4 ; b) c=7 ; in) c=1 .
2. Lösen Sie die Gleichungen: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; in) 
3. Lösen Sie die Gleichung 6x-xy+2y=5:
a) relativ x ;
b) relativ j .
4. Finden Sie die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung nx 2 -22x+2n=0 , wissend, dass der Parameter n nur ganzzahlige Werte annimmt.
5. Für welche Werte des Parameters a die Gleichung 
Es hat:
a) zwei Wurzeln
b) die einzige Wurzel?
Antworten
IN 1. 1. a) Lineare Gleichung;
b) unvollständige quadratische Gleichung; c) eine quadratische Gleichung.
2. a) Wenn b=0, dann x=0; wenn b#0, dann x=0, x=b;
b) 
wenn cО (9;+½ ), dann gibt es keine Wurzeln;
c) wenn a=–4
, dann verliert die Gleichung ihre Bedeutung; wenn a№
–4
, dann x=- a
.
3. a) Wenn y=3, dann gibt es keine Wurzeln; wenn);
b) a=–3, a=1.
Zusätzliche Aufgaben
Lösen Sie die Gleichungen:
Literatur
1. Golubev V. I., Goldman A. M., Dorofeev G. V. Über die Parameter von Anfang an. - Tutor, Nr. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Notwendige Bedingungen in Aufgaben mit Parametern. – Kvant, Nr. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G. V., Zatakavai V. V. Lösen von Problemen mit Parametern. Teil 2. - M., Perspektive, 1990, p. 2–38.
4. Tynjakin S.A. Fünfhundertvierzehn Aufgaben mit Parametern. - Wolgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Aufgaben mit Parametern. - M., Bildung, 1986.
