Unterrichten ohne Zwang

(Ein Führer in die faszinierende Welt der Mathematik)

Mathematik muss schon dann gelehrt werden, dass sie den Verstand in Ordnung bringt. (M. W. Lomonossow)

Wie lernt man also Mathe?

Diese Frage interessiert viele.

Der erste Schritt besteht darin, die Lücken aus der Vergangenheit zu schließen. Wenn Sie irgendein Thema verpasst (nicht verstanden, nicht im Prinzip studiert usw.) haben, werden Sie früher oder später definitiv auf diesen Rechen treten. Mit einem klassischen Ergebnis... So funktioniert Mathematik.

Egal, ob Sie ein neues Thema lernen oder ein altes wieder aufgreifen, beherrschen Sie die mathematischen Definitionen und Begriffe! Pass auf, ich sage nicht - "lernen", sondern ich sage "meistern". Das sind verschiedene Dinge. Sie müssen zum Beispiel verstehen, was ein Nenner, eine Diskriminante oder ein Arkussinus auf einer einfachen, sogar primitiven Ebene ist. Was ist das, warum wird es benötigt und wie geht man damit um? Das Leben wird einfacher.

Wenn ich Sie frage, wie Sie das Übergangsgerät für dichte, eingeschränkte Umgebungen verwenden, werden Sie sich bei der Antwort unwohl fühlen, oder? Und wenn Sie verstehen, dass genau dieses Gerät eine gewöhnliche Tür ist? Es macht eigentlich mehr Spaß.

Und natürlich müssen Sie sich entscheiden. Wenn Sie nicht wissen, wie Sie sich entscheiden sollen, keine große Sache. Sie müssen versuchen und versuchen. Alle wussten einmal nicht wie. Aber diejenigen, die versucht und versucht haben, wenn auch falsch, mit Fehlern, wissen jetzt, wie man sie löst. Und wer es nicht versucht hat, hat nicht gelernt – er hat es nie gelernt.

Hier sind die drei Komponenten der Antwort auf die Frage: "Wie unterrichtet man Mathematik?" Lücken beseitigen, Begriffe auf verständlichem Niveau beherrschen und Aufgaben sinnvoll lösen.

Wenn Ihnen die Mathematik wie ein Dschungel aus einigen Regeln, Formeln und Ausdrücken vorkommt, in denen es unmöglich ist, sich zurechtzufinden, dann werde ich Sie trösten. Dort gibt es Wege und Leitsterne! Sie werden sich einleben, sich daran gewöhnen und auch anfangen, diese Wildnis zu bewundern ...

Die Schulmathematik löst komplexe Beispiele nicht, weil sie nicht weiß wie. Sie kann so etwas wie 5x \u003d 10 gut lösen, eine quadratische Gleichung durch die Diskriminante und dieselbe einfache aus Trigonometrie, Logarithmen usw. Und die ganze Kraft der Mathematik zielt darauf ab, komplexe Ausdrücke zu vereinfachen. Dazu werden Regeln und Formeln für verschiedene Transformationen benötigt. Sie ermöglichen es Ihnen, den ursprünglichen Ausdruck in einer anderen, für uns bequemen Form zu schreiben, ohne seine Essenz zu ändern.

"Mathematik ist die Kunst, verschiedene Dinge beim gleichen Namen zu nennen." (A. Poincare)

Zum Beispiel 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Es ist immer noch dieselbe Zahl 8! Nur in einer Vielzahl von Formen aufgezeichnet. Für welche Sorte Sie sich entscheiden – wir entscheiden! Im Einklang mit der Aufgabe und dem gesunden Menschenverstand.

Der wichtigste Leitstern in der Mathematik ist die Fähigkeit, Ausdrücke umzuwandeln. Fast jede Lösung beginnt mit einer Transformation des ursprünglichen Ausdrucks. Mit Hilfe von Regeln und Formeln, die gar nicht so wahnsinnig viel sind, wie man denkt.

Wir sagen oft "Alle Formeln funktionieren von links nach rechts und von rechts nach links." Sagen wir (a + b) fast jeder schreibt es als a + 2ab + b auf. Aber nicht jedem ist (leider) klar, dass x + 2x + 1 als (x + 1) geschrieben werden kann. Und das müssen Sie wissen! Formeln müssen persönlich kennen! Um sie in von schlauen Lehrern verschlüsselten Ausdrücken erkennen zu können, um Teile der Formeln zu identifizieren, um sie gegebenenfalls zu vervollständigen.

Ausdruckskonvertierungen sind zunächst mühsam. Benötigt Arbeit. In der Anfangsphase ist es notwendig, die Richtigkeit der Transformation nach Möglichkeit durch Rücktransformation zu überprüfen. Ausfaktorisieren - zurück multiplizieren und ähnliche bringen. Es stellte sich der ursprüngliche Ausdruck heraus - hurra! Wurzeln der Gleichung gefunden - ersetzen Sie den ursprünglichen Ausdruck. Sehen Sie, was passiert ist. Usw.

Also lade ich Sie in die wunderbare Welt der Mathematik ein. Und beginnen wir unsere Reise mit dem Kennenlernen von Brüchen, denn dies ist vielleicht der verwundbarste Punkt für die meisten Schulkinder.

Viel Glück!

Lektion 1.

Arten von Brüchen. Transformationen.

Wer kennt Brüche, er ist stark, er ist mutig in Mathematik!

Es gibt drei Arten von Brüchen.

1. Gemeinsame Brüche , zum Beispiel: , , , .

Manchmal setzen sie anstelle einer horizontalen Linie einen Schrägstrich: 1/2, 3/7, 19/5. Eine Linie, sowohl horizontal (Vinculium) als auch schräg (Solidus), bedeutet dieselbe Operation: Teilen der oberen Zahl (Zähler) durch die untere Zahl (Nenner). Und alle! Anstelle einer Linie ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen - zwei Punkte. 1/2 = 1:2.

Wenn die Teilung vollständig möglich ist, muss sie durchgeführt werden. Anstelle des Bruchs 32/8 ist es also viel angenehmer, die Zahl 4 zu schreiben. Das heißt. 32 wird einfach durch 8 geteilt. 32/8 = 32: 8 = 4. Ich spreche nicht von dem Bruch 4/1, der auch gleich 4 ist. Und wenn er sich nicht vollständig teilen lässt, lassen wir ihn bei a Fraktion. Manchmal muss man es umgekehrt machen. Machen Sie aus einer ganzen Zahl einen Bruch. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalstellen , zum Beispiel: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. gemischte Zahlen , zum Beispiel: , , , .

Gemischte Zahlen werden in der High School praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber man muss auf jeden Fall wissen, wie es geht! Und dann wird eine solche Nummer in der Aufgabe auftauchen und hängen ... Von Grund auf neu. Aber wir erinnern uns an dieses Verfahren!

Gemeinsame Brüche sind am vielseitigsten. Beginnen wir mit ihnen. Übrigens, wenn in dem Bruch alle möglichen Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben stehen, ändert das nichts. In dem Sinne, dass sich alle Aktionen mit Bruchausdrücken nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen unterscheiden!

Mach weiter! Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Grundeigenschaft eines Bruchs. Denken Sie daran: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Und wir brauchen es, all diese Transformationen? - du fragst. Und wie! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs verwenden, um Brüche zu kürzen. Es scheint, dass die Sache elementar ist. Wir teilen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, etwas falsch zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Fehler kann man überall machen! Vor allem, wenn Sie nicht einen Bruchteil der Form 5/10 kürzen müssen, sondern einen gebrochenen rationalen Ausdruck.

Normalerweise denkt der Schüler nicht daran, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu teilen! Er streicht einfach alles gleich von oben und unten durch! Hier lauert ein typischer Fehler, ein Schnitzer, wenn man so will.

Beispielsweise müssen Sie den Ausdruck vereinfachen: .

Was machen wir? Wir streichen oben den Faktor a und unten den Grad! Wir bekommen: .

Alles ist richtig. Aber du hast wirklich geteilt der ganze Zähler und der ganze Nenner auf der Multiplikator a. Wenn Sie es gewohnt sind, nur durchzustreichen, können Sie in Eile den Buchstaben a im Ausdruck durchstreichen und erneut erhalten. Was kategorisch falsch wäre: ein unverzeihlicher Fehler. Denn hier der ganze Zähler auf einem schon nicht geteilt! Dieser Anteil kann nicht gekürzt werden.

Beim Reduzieren müssen Sie den gesamten Zähler und den gesamten Nenner dividieren!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie erhalten irgendwo einen Bruchteil, zum Beispiel 375/1000. Und wie kann man jetzt mit ihr arbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, dann reduzieren Sie vorsichtig um fünf und sogar um fünf und sogar ... während es reduziert wird. Wir bekommen 3/8! Viel schöner, oder?

Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche ohne Taschenrechner in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt! Es ist wichtig in CT, richtig?

Mit Dezimalzahlen ist es einfach. Wie es gehört, so steht es geschrieben! Sagen wir 0,25. Es ist null Komma, fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (Teilen Sie Zähler und Nenner durch 25), wir erhalten einen gewöhnlichen Bruch: 1/4. Alles. Es passiert, und nichts wird reduziert. Zum Beispiel 0,3. Das sind drei Zehntel, d.h. 3/10.

Was ist, wenn ganze Zahlen ungleich Null sind? Macht nichts. Wir schreiben den ganzen Bruch ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Beispiel: 3.17. Das sind ganze drei, siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner und erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das heißt alles. Das ist die Antwort. Aus all dem oben Gesagten eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden.

Aber die umgekehrte Umwandlung, gewöhnlich in dezimal, einige können nicht ohne Taschenrechner auskommen. Aber du musst! Wie schreibst du die Antwort auf? Wir lesen und beherrschen diesen Prozess sorgfältig.

Was ist ein Dezimalbruch? Ihr Nenner ist immer 10 oder 100 oder 1000 oder 10.000 und so weiter. Wenn Ihr gemeinsamer Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Beispiel: 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Was ist, wenn das Ergebnis 1/2 ist? Und die Antwort muss dezimal geschrieben werden ...

Wir erinnern Grundeigenschaft eines Bruchs! Die Mathematik ermöglicht es Ihnen, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens für jeden! Außer Null natürlich. Nutzen wir diese Funktion zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass daraus 10 oder 100 oder 1000 werden (kleiner ist natürlich besser...)? 5, offensichtlich. Sie können den Nenner gerne mit 5 multiplizieren. Aber dann muss auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Wir erhalten 1/2 = 0,5. Das ist alles.

Die Nenner können jedoch unterschiedlich sein. Zum Beispiel der Bruch 3/16. Dann können Sie einfach 3 durch 16 teilen. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie durch eine Ecke teilen, wie sie in Grundschulklassen gelehrt werden. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt einige sehr schlechte Nenner. Zum Beispiel kann der Bruch 1/3 nicht in eine gute Dezimalzahl umgewandelt werden. Und auf dem Taschenrechner und beim Teilen durch eine Ecke erhalten wir 0,3333333 ... Daher eine weitere nützliche Schlussfolgerung. Nicht jeder gewöhnliche Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln!

Also mit aussortierten gewöhnlichen und dezimalen Brüchen. Es bleibt, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie kann man das machen? Du kannst einen Fünftklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer ist ein Fünftklässler in der Nähe ... Sie müssen es selbst tun. Das ist nicht schwierig. Multiplizieren Sie den Nenner des Bruchteils mit dem ganzzahligen Teil und addieren Sie den Zähler des Bruchteils. Dies ist der Zähler eines gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt gleich. Klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Angenommen, Sie haben in der Aufgabe eine Zahl mit Entsetzen gesehen:

Ruhig, ohne Panik, streiten wir uns. Der ganze Teil ist 1. Eins. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner ist der Nenner des gewöhnlichen Bruchs. Überlege: Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (den Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies ist der Zähler eines gewöhnlichen Bruchs. Das ist alles. Noch einfacher sieht es in mathematischer Notation aus:

Leicht? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! Wandeln Sie diese gemischten Zahlen , , in gemeinsame Brüche um. Sie sollten 10/3, 23/10 und 21/4 erhalten.

Naja, fast alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden, wie man sie von einer Art in eine andere übersetzt. Bleibt die Frage: Warum macht man das? Wo und wann kann man dieses tiefe Wissen anwenden?

Jedes Beispiel selbst schlägt die notwendigen Maßnahmen vor. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen zu einem Haufen gemischt werden, übersetzen wir alles in gewöhnliche Brüche. Es kann immer getan werden. Nun, wenn es zum Beispiel 0,8 + 0,3 geschrieben wird, dann denken wir so, ohne Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen den Lösungsweg das ist bequem für uns!

Wenn die Aufgabe voller Dezimalbrüche ist, aber ähm ... einige beängstigende, gehen Sie zu gewöhnlichen, versuchen Sie es! Vielleicht klappt alles. Zum Beispiel musst du die Zahl 0,125 quadrieren. Gar nicht so einfach, wenn man sich den Taschenrechner nicht abgewöhnt hat! Sie müssen nicht nur die Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch überlegen, wo Sie das Komma einfügen! Das geht in meinen Augen definitiv nicht! Und wenn Sie zu einem gewöhnlichen Bruch gehen? 0,125 = 125/1000. Wir reduzieren um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal am 5. Wir bekommen 5/40. Schrumpft immer noch! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Einfach quadrieren (in Gedanken!) und 1/64 erhalten. Alles!

Fassen wir unsere Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen: gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen können immer in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Eine Rückübertragung ist nicht immer möglich.

3. Die Wahl des Bruchtyps für die Bearbeitung der Aufgabe hängt von dieser Aufgabe ab. Wenn es in einer Aufgabe verschiedene Arten von Brüchen gibt, ist es am zuverlässigsten, auf gewöhnliche Brüche umzusteigen.

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine gewöhnlichen Worte, keine guten Wünsche! Dies ist eine dringende Notwendigkeit! Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als sich beim Rechnen im Kopf zu vertan.

2. In Beispielen mit verschiedenen Arten von Brüchen - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

Versuchen Sie nun, die Theorie in die Praxis umzusetzen.

Also lösen wir im Prüfungsmodus! Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen folgendes. Wir haben alles entschieden - wir haben noch einmal vom ersten bis zum letzten Beispiel geprüft. Und dann schauen wir uns die Antworten an.

Beschlossen? Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Die Antworten sind in Unordnung geschrieben, sozusagen abseits der Versuchung ...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht ... Geduld und Arbeit werden alles zermahlen.

Das Material dieses Artikels ist ein allgemeiner Blick auf die Transformation von Ausdrücken, die Brüche enthalten. Hier betrachten wir die grundlegenden Transformationen, die für Ausdrücke mit Brüchen charakteristisch sind.

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Bruchausdrücke und Bruchausdrücke

Lassen Sie uns zunächst klären, mit welcher Art von Ausdruckstransformation wir es zu tun haben.

Der Titel des Artikels enthält den selbsterklärenden Satz „ Ausdrücke mit Brüchen". Das heißt, im Folgenden werden wir über die Transformation von numerischen Ausdrücken und Ausdrücken mit Variablen sprechen, in deren Aufzeichnung sich mindestens ein Bruch befindet.

Wir stellen sofort fest, dass nach der Veröffentlichung des Artikels " Umwandlung von Brüchen: eine allgemeine Ansicht"Wir interessieren uns nicht mehr für einzelne Brüche. Daher werden wir weiter Summen, Differenzen, Produkte, Teil- und komplexere Ausdrücke mit Wurzeln, Potenzen, Logarithmen betrachten, die nur durch das Vorhandensein mindestens eines Bruchs vereint sind.

Und lass uns darüber reden Bruchausdrücke. Dies ist nicht dasselbe wie Ausdrücke mit Brüchen. Bruchausdrücke sind ein allgemeineres Konzept. Nicht jeder Ausdruck mit Brüchen ist ein Bruchausdruck. Beispielsweise ist der Ausdruck kein Bruchausdruck, obwohl er einen Bruch enthält, ist er ein ganzzahliger rationaler Ausdruck. Nennen Sie also einen Ausdruck mit Brüchen nicht einen Bruchausdruck, ohne absolut sicher zu sein, dass dies der Fall ist.

Grundlegende identische Transformationen von Ausdrücken mit Brüchen

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen .

Lösung.

In diesem Fall können Sie die Klammern öffnen, die den Ausdruck ergeben , das ähnliche Terme und enthält, sowie −3 und 3 . Nach ihrer Reduktion erhalten wir einen Bruchteil.

Lassen Sie uns eine kurze Form des Schreibens der Lösung zeigen:

Antworten:

.

Arbeiten mit einzelnen Brüchen

Die Ausdrücke, über die wir sprechen, unterscheiden sich von anderen Ausdrücken hauptsächlich durch das Vorhandensein von Brüchen. Und das Vorhandensein von Brüchen erfordert Werkzeuge, um mit ihnen zu arbeiten. In diesem Absatz besprechen wir die Transformation einzelner Brüche, die in der Aufzeichnung dieses Ausdrucks enthalten sind, und im nächsten Absatz werden wir fortfahren, Operationen mit den Brüchen durchzuführen, aus denen der ursprüngliche Ausdruck besteht.

Mit jedem Bruch, der eine Komponente des ursprünglichen Ausdrucks ist, können Sie jede der Transformationen durchführen, die im Artikel Konvertieren von Brüchen angegeben sind. Das heißt, Sie können einen separaten Bruch nehmen, mit seinem Zähler und Nenner arbeiten, ihn kürzen, auf einen neuen Nenner bringen usw. Es ist klar, dass bei dieser Transformation der ausgewählte Bruch durch einen identisch gleichen Bruch ersetzt wird und der ursprüngliche Ausdruck durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt wird. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Ausdruck mit Bruch umwandeln zu einer einfacheren Form.

Lösung.

Beginnen wir die Transformation, indem wir mit einem Bruch arbeiten. Öffnen Sie zuerst die Klammern und geben Sie ähnliche Begriffe im Zähler des Bruchs ein: . Nun bedarf es der Einklammerung des gemeinsamen Faktors x im Zähler und der anschließenden Kürzung des algebraischen Bruchs: . Es bleibt nur übrig, das erhaltene Ergebnis anstelle eines Bruchs in den ursprünglichen Ausdruck einzusetzen, der ergibt .

Antworten:

.

Aktionen mit Brüchen ausführen

Ein Teil des Prozesses zum Konvertieren von Ausdrücken mit Brüchen ist oft zu erledigen Aktionen mit Brüchen. Sie werden gemäß dem anerkannten Verfahren zur Durchführung von Maßnahmen durchgeführt. Beachten Sie auch, dass jede Zahl oder jeder Ausdruck immer als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann.

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen .

Lösung.

Das Problem kann aus verschiedenen Blickwinkeln angegangen werden. Im Zusammenhang mit dem betrachteten Thema werden wir Aktionen mit Brüchen durchführen. Beginnen wir mit der Multiplikation von Brüchen:

Jetzt schreiben wir das Produkt als Bruch mit Nenner 1, danach subtrahieren wir die Brüche:

Wenn gewünscht und nötig, kann man die Irrationalität im Nenner noch loswerden , auf dem Sie die Transformation abschließen können.

Antworten:

Anwendung von Eigenschaften von Wurzeln, Potenzen, Logarithmen usw.

Die Klasse der Ausdrücke mit Brüchen ist sehr breit. Solche Ausdrücke können neben den eigentlichen Brüchen auch Wurzeln, Grade mit unterschiedlichen Exponenten, Module, Logarithmen, trigonometrische Funktionen usw. enthalten. Bei der Konvertierung werden natürlich die entsprechenden Eigenschaften übernommen.

Anwendbar auf Brüche, lohnt es sich, die Eigenschaft der Wurzel des Bruchs, die Eigenschaft des Bruchs zum Grad, die Eigenschaft des Moduls des Quotienten und die Eigenschaft des Logarithmus der Differenz hervorzuheben .

Zur Verdeutlichung geben wir einige Beispiele. Zum Beispiel im Ausdruck Basierend auf den Eigenschaften des Grads kann es nützlich sein, den ersten Bruch durch einen Grad zu ersetzen, was es uns weiter ermöglicht, den Ausdruck als Differenzquadrat darzustellen. Beim Konvertieren eines logarithmischen Ausdrucks Es ist möglich, den Logarithmus eines Bruchs durch die Differenz von Logarithmen zu ersetzen, was es uns weiter ermöglicht, ähnliche Begriffe zu verwenden und dadurch den Ausdruck zu vereinfachen: . Um trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln, kann es erforderlich sein, das Verhältnis des Sinus zum Kosinus desselben Winkels durch einen Tangens zu ersetzen. Es ist auch möglich, dass Sie von einem halben Argument mithilfe der entsprechenden Formeln zu einem ganzen Argument übergehen müssen, wodurch Sie das Bruchargument beispielsweise loswerden, .

Anwenden von Eigenschaften von Wurzeln, Graden usw. zur Transformation von Ausdrücken wird ausführlicher in den Artikeln behandelt:

• Transformation irrationaler Ausdrücke unter Verwendung von Eigenschaften von Wurzeln,
• Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen,
• Konvertieren logarithmischer Ausdrücke mit den Eigenschaften von Logarithmen,
• Konvertieren von trigonometrischen Ausdrücken.

Dezimalzahlen wie 0,2; 1,05; 3.017 usw. wie sie gehört werden, so werden sie geschrieben. Null Komma zwei, wir bekommen einen Bruchteil. Ein ganzes Fünfhundertstel, wir bekommen einen Bruchteil. Drei ganze siebzehn Tausendstel, wir bekommen einen Bruchteil. Die Ziffern vor dem Dezimalpunkt einer Dezimalzahl sind der ganzzahlige Teil des Bruchs. Die Zahl nach dem Komma ist der Zähler des zukünftigen Bruchs. Wenn nach dem Komma eine einstellige Zahl steht, ist der Nenner 10, wenn zweistellig - 100, dreistellig - 1000 usw. Einige der resultierenden Fraktionen können reduziert werden. In unseren Beispielen

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Dies ist die Umkehrung der vorherigen Transformation. Was ist ein Dezimalbruch? Ihr Nenner ist immer 10 oder 100 oder 1000 oder 10.000 und so weiter. Wenn dein üblicher Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Zum Beispiel, oder

Wenn zum Beispiel ein Bruchteil . In diesem Fall müssen Sie die Grundeigenschaft des Bruchs verwenden und den Nenner in 10 oder 100 oder 1000 umwandeln ... Wenn wir in unserem Beispiel Zähler und Nenner mit 4 multiplizieren, erhalten wir einen Bruch, der geschrieben werden kann als Dezimalzahl 0,12.

Manche Brüche sind einfacher zu dividieren als den Nenner umzurechnen. Zum Beispiel,

Einige Brüche können nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden!
Zum Beispiel,

Einen gemischten Bruch in einen unechten umwandeln

Ein gemischter Bruch wie , lässt sich leicht in einen unechten Bruch umwandeln. Dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner (unten) multiplizieren und zum Zähler (oben) addieren, wobei der Nenner (unten) unverändert bleibt. Also

Wenn du einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandelst, kannst du daran denken, dass du Brüche addieren kannst

Einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln (den ganzen Teil hervorheben)

Ein unechter Bruch kann in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, indem der ganze Teil markiert wird. Betrachten Sie ein Beispiel, . Bestimmen Sie, wie viele ganzzahlige mal „3“ in „23“ passen. Oder wir teilen 23 auf dem Taschenrechner durch 3, die ganze Zahl bis zum Komma ist die gewünschte. Das ist „7“. Als nächstes bestimmen wir den Zähler des zukünftigen Bruchs: Wir multiplizieren das Ergebnis „7“ mit dem Nenner „3“ und subtrahieren das Ergebnis vom Zähler „23“. Wie würden wir den Überschuss finden, der vom Zähler „23“ übrig bleibt, wenn wir die maximale Zahl von „3“ entfernen? Der Nenner bleibt unverändert. Alles ist erledigt, notieren Sie das Ergebnis

Brüche

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Brüche in der High School sind nicht sehr nervig. Vorerst. Bis Sie auf Exponenten mit rationalen Exponenten und Logarithmen stoßen. Und da…. Sie drücken, Sie drücken den Taschenrechner, und es zeigt die gesamte Anzeigetafel einiger Zahlen. Man muss mit dem Kopf denken, wie in der dritten Klasse.

Lasst uns endlich mit Brüchen umgehen! Nun, wie sehr kann man sich in ihnen verwirren!? Außerdem ist alles einfach und logisch. So, Was sind Brüche?

Arten von Brüchen. Transformationen.

Es gibt drei Arten von Brüchen.

1. Gemeinsame Brüche , zum Beispiel:

Manchmal setzen sie anstelle einer horizontalen Linie einen Schrägstrich: 1/2, 3/4, 19/5, na ja, und so weiter. Hier werden wir oft diese Schreibweise verwenden. Die oberste Nummer wird angerufen Zähler, niedriger - Nenner. Wenn Sie diese Namen ständig verwechseln (es passiert ...), sagen Sie sich den Satz mit dem Ausdruck: " Zzzzz denken Sie daran! Zzzzz Nenner - aus zzzzz y!" Schau, alles wird in Erinnerung bleiben.)

Ein Strich, der horizontal ist, der schräg ist, bedeutet Aufteilung obere Zahl (Zähler) bis untere Zahl (Nenner). Und alle! Anstelle eines Bindestrichs ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen - zwei Punkte.

Wenn die Teilung vollständig möglich ist, muss sie durchgeführt werden. Anstelle des Bruchs "32/8" ist es also viel angenehmer, die Zahl "4" zu schreiben. Diese. 32 wird einfach durch 8 geteilt.

32/8 = 32: 8 = 4

Ich spreche nicht von der Fraktion "4/1". Das ist auch nur "4". Und wenn es sich nicht vollständig teilt, lassen wir es als Bruch. Manchmal muss man es umgekehrt machen. Machen Sie aus einer ganzen Zahl einen Bruch. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalstellen , zum Beispiel:

In dieser Form müssen die Antworten auf die Aufgaben "B" aufgeschrieben werden.

3. gemischte Zahlen , zum Beispiel:

Gemischte Zahlen werden in der High School praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber man muss auf jeden Fall wissen, wie es geht! Und dann wird eine solche Nummer im Puzzle auftauchen und hängen ... Von Grund auf neu. Aber wir erinnern uns an dieses Verfahren! Etwas niedriger.

Am vielseitigsten gemeinsame Brüche. Beginnen wir mit ihnen. Übrigens, wenn in dem Bruch alle möglichen Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben stehen, ändert das nichts. In dem Sinne, dass alles Aktionen mit Bruchausdrücken unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen!

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs.

So lass uns gehen! Zunächst werde ich Sie überraschen. Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Grundeigenschaft eines Bruchs. Denken Sie daran: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Es ist klar, dass Sie weiter schreiben können, bis Sie blau im Gesicht sind. Lassen Sie sich nicht von Sinus und Logarithmus verwirren, wir werden uns weiter damit befassen. Die Hauptsache zu verstehen ist, dass all diese verschiedenen Ausdrücke sind der gleiche Bruchteil . 2/3.

Und wir brauchen es, all diese Transformationen? Und wie! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs für verwenden Abkürzungen für Brüche. Es scheint, dass die Sache elementar ist. Wir teilen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, etwas falsch zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Fehler kann man überall machen! Vor allem, wenn Sie nicht einen Bruch wie 5/10 kürzen müssen, sondern einen Bruchausdruck mit allen möglichen Buchstaben.

Wie Sie Brüche ohne unnötige Arbeit richtig und schnell kürzen, erfahren Sie im Sonderteil 555.

Ein normaler Schüler macht sich nicht die Mühe, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu dividieren! Er streicht einfach alles gleich von oben und unten durch! Hier lauert ein typischer Fehler, ein Schnitzer, wenn man so will.

Zum Beispiel müssen Sie den Ausdruck vereinfachen:

Es gibt nichts zu überlegen, wir streichen den Buchstaben "a" von oben und die Zwei von unten! Wir bekommen:

Alles ist richtig. Aber du hast wirklich geteilt das Ganze Zähler u das Ganze Nenner "a". Wenn Sie es gewohnt sind, einfach durchzustreichen, dann können Sie in Eile das "a" im Ausdruck streichen

und zurückkommen

Was kategorisch falsch wäre. Denn hier das Ganze Zähler auf "a" bereits nicht geteilt! Dieser Anteil kann nicht gekürzt werden. Übrigens ist eine solche Abkürzung, ähm ... eine ernsthafte Herausforderung für den Lehrer. Das wird nicht verziehen! Denken Sie daran? Beim Reduzieren muss geteilt werden das Ganze Zähler u das Ganze Nenner!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie werden irgendwo einen Bruch bekommen, zum Beispiel 375/1000. Und wie kann man jetzt mit ihr arbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, reduzieren Sie vorsichtig um fünf und sogar um fünf und sogar ... während es reduziert wird, kurz. Wir bekommen 3/8! Viel schöner, oder?

Die Grundeigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt ohne Taschenrechner! Das ist wichtig für die Prüfung, oder?

Wie man Brüche von einer Form in eine andere umwandelt.

Mit Dezimalzahlen ist es einfach. Wie es gehört, so steht es geschrieben! Sagen wir 0,25. Es ist null Komma, fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (Teilen Sie Zähler und Nenner durch 25), wir erhalten den üblichen Bruch: 1/4. Alles. Es passiert, und nichts wird reduziert. Wie 0,3. Das sind drei Zehntel, d.h. 3/10.

Was ist, wenn ganze Zahlen ungleich Null sind? Macht nichts. Schreibe den ganzen Bruch auf ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Beispiel: 3.17. Das sind ganze drei, siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner und erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das heißt alles. Das ist die Antwort. Elementar Watson! Aus all dem oben Gesagten eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden .

Aber die umgekehrte Umwandlung, gewöhnlich in dezimal, einige können nicht ohne Taschenrechner auskommen. Aber du musst! Wie werden Sie die Antwort auf die Prüfung aufschreiben!? Wir lesen und beherrschen diesen Prozess sorgfältig.

Was ist ein Dezimalbruch? Sie hat den Nenner stets ist 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 wert und so weiter. Wenn dein üblicher Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Beispiel: 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Und wenn sich in der Antwort auf die Aufgabe von Abschnitt "B" 1/2 herausstellte? Was werden wir als Antwort schreiben? Dezimalstellen sind erforderlich...

Wir erinnern Grundeigenschaft eines Bruchs ! Die Mathematik ermöglicht es Ihnen, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens für jeden! Außer Null natürlich. Nutzen wir diese Funktion zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass daraus 10 oder 100 oder 1000 werden (kleiner ist natürlich besser...)? 5, offensichtlich. Fühlen Sie sich frei, den Nenner zu multiplizieren (dies ist uns notwendig) mit 5. Dann muss aber auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Das ist schon Mathe Forderungen! Wir erhalten 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Das ist alles.

Es kommen jedoch alle möglichen Nenner vor. Zum Beispiel wird der Bruch 3/16 fallen. Probieren Sie es aus, finden Sie heraus, womit Sie 16 multiplizieren müssen, um 100 oder 1000 zu erhalten ... Funktioniert nicht? Dann können Sie einfach 3 durch 16 teilen. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie in einer Ecke auf einem Blatt Papier dividieren, wie es in Grundschulklassen gelehrt wurde. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt einige sehr schlechte Nenner. Zum Beispiel kann der Bruch 1/3 nicht in eine gute Dezimalzahl umgewandelt werden. Sowohl auf einem Taschenrechner als auch auf einem Blatt Papier erhalten wir 0,3333333 ... Dies bedeutet, dass 1/3 in einen genauen Dezimalbruch umgewandelt wird übersetzt nicht. Genau wie 1/7, 5/6 und so weiter. Viele von ihnen sind nicht übersetzbar. Daher eine weitere nützliche Schlussfolgerung. Nicht jeder gewöhnliche Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. !

Übrigens eine nützliche Information zur Selbstprüfung. In Abschnitt "B" als Antwort müssen Sie einen Dezimalbruch aufschreiben. Und Sie haben zum Beispiel 4/3. Dieser Bruch wird nicht in Dezimalzahlen umgewandelt. Das bedeutet, dass Sie irgendwo auf dem Weg einen Fehler gemacht haben! Komm zurück, überprüfe die Lösung.

Also mit aussortierten gewöhnlichen und dezimalen Brüchen. Es bleibt, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen sie alle in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie kann man das machen? Du kannst einen Sechstklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer wird ein Sechstklässler zur Hand sein ... Wir werden es selbst tun müssen. Das ist nicht schwierig. Multiplizieren Sie den Nenner des Bruchteils mit dem ganzzahligen Teil und addieren Sie den Zähler des Bruchteils. Dies ist der Zähler eines gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt gleich. Klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Geben Sie in dem Problem, das Sie mit Entsetzen gesehen haben, die Nummer ein:

Ruhig, ohne Panik verstehen wir. Der ganze Teil ist 1. Eins. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner ist der Nenner des gewöhnlichen Bruchs. Wir zählen den Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (den Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies ist der Zähler eines gewöhnlichen Bruchs. Das ist alles. Noch einfacher sieht es in mathematischer Notation aus:

Ist das klar? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! Wandle in gewöhnliche Brüche um. Sie sollten 10/7, 7/2, 23/10 und 21/4 erhalten.

Die umgekehrte Operation - Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl - wird in der High School selten benötigt. Nun, wenn... Und wenn Sie - nicht in der High School - können Sie in die Sonderabteilung 555 schauen. An der gleichen Stelle lernen Sie übrigens auch etwas über unechte Brüche.

Naja, fast alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden wie Konvertieren Sie sie von einem Typ in einen anderen. Bleibt die Frage: warum Tu es? Wo und wann kann man dieses tiefe Wissen anwenden?

Ich antworte. Jedes Beispiel selbst schlägt die notwendigen Maßnahmen vor. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen zu einem Haufen gemischt werden, übersetzen wir alles in gewöhnliche Brüche. Es kann immer getan werden. Nun, wenn so etwas wie 0,8 + 0,3 geschrieben wird, dann denken wir das, ohne Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen die Lösung, die bequem ist uns !

Wenn die Aufgabe voller Dezimalbrüche ist, aber ähm ... irgendwelche bösen, gehen Sie zu gewöhnlichen, versuchen Sie es! Schau, alles wird gut. Zum Beispiel musst du die Zahl 0,125 quadrieren. Gar nicht so einfach, wenn man sich den Taschenrechner nicht abgewöhnt hat! Sie müssen nicht nur die Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch überlegen, wo Sie das Komma einfügen! Das geht in meinen Augen definitiv nicht! Und wenn Sie zu einem gewöhnlichen Bruch gehen?

0,125 = 125/1000. Wir reduzieren um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal am 5. Wir bekommen 5/40. Oh, es schrumpft! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Einfach quadrieren (in Gedanken!) und 1/64 erhalten. Alles!

Fassen wir diese Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen. Gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen stets können in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Rückübersetzung nicht immer verfügbar.

3. Die Wahl des Bruchtyps für die Bearbeitung der Aufgabe hängt von dieser Aufgabe ab. Wenn es in einer Aufgabe verschiedene Arten von Brüchen gibt, ist es am zuverlässigsten, auf gewöhnliche Brüche umzusteigen.

Jetzt können Sie üben. Wandeln Sie zuerst diese Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sie sollten Antworten wie diese erhalten (in einem Durcheinander!):

Damit werden wir fertig. In dieser Lektion haben wir die wichtigsten Punkte zu Brüchen aufgefrischt. Es kommt jedoch vor, dass es nichts Besonderes zum Auffrischen gibt ...) Wenn jemand es ganz vergessen hat oder es noch nicht beherrscht ... Diese können zu einem speziellen Abschnitt 555 gehen. Dort sind alle Grundlagen ausführlich beschrieben. Viele plötzlich alles verstehen beginnen. Und Brüche im Handumdrehen lösen).

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Das Vereinfachen algebraischer Ausdrücke ist einer der Schlüssel zum Erlernen der Algebra und eine äußerst nützliche Fähigkeit für alle Mathematiker. Durch die Vereinfachung können Sie einen komplexen oder langen Ausdruck auf einen einfachen Ausdruck reduzieren, mit dem Sie leicht arbeiten können. Grundlegende Vereinfachungsfähigkeiten sind auch für diejenigen gut, die sich nicht für Mathematik begeistern. Durch das Befolgen einiger einfacher Regeln können viele der häufigsten Arten von algebraischen Ausdrücken ohne besondere mathematische Kenntnisse vereinfacht werden.

Schritte

Wichtige Definitionen

1. Ähnliche Mitglieder . Dies sind Elemente mit einer Variablen derselben Ordnung, Elemente mit denselben Variablen oder freie Elemente (Elemente, die keine Variable enthalten). Mit anderen Worten, gleiche Begriffe enthalten eine Variable im gleichen Umfang, enthalten mehrere derselben Variablen oder enthalten eine Variable überhaupt nicht. Die Reihenfolge der Begriffe im Ausdruck spielt keine Rolle.

   • Beispielsweise sind 3x 2 und 4x 2 wie Terme, weil sie die Variable "x" zweiter Ordnung (in der zweiten Potenz) enthalten. x und x 2 sind jedoch keine ähnlichen Elemente, da sie die Variable "x" unterschiedlicher Ordnung (erster und zweiter) enthalten. Ebenso sind -3yx und 5xz keine ähnlichen Elemente, da sie unterschiedliche Variablen enthalten.

2. Faktorisierung . Dabei werden solche Zahlen gefunden, deren Produkt zur ursprünglichen Zahl führt. Jede ursprüngliche Zahl kann mehrere Faktoren haben. Beispielsweise kann die Zahl 12 in die folgende Reihe von Faktoren zerlegt werden: 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4, sodass wir sagen können, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren von sind Zahl 12. Die Faktoren sind die gleichen wie Divisoren , dh die Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl teilbar ist.

   • Wenn du zum Beispiel die Zahl 20 faktorisieren möchtest, schreibe es so: 4×5.
   • Beachten Sie, dass beim Factoring die Variable berücksichtigt wird. Zum Beispiel 20x = 4(5x).
   • Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.

3. Merken und befolgen Sie die Reihenfolge der Vorgänge, um Fehler zu vermeiden.

   • Klammern
   • Grad
   • Multiplikation
   • Aufteilung
   • Zusatz
   • Subtraktion

   Casting wie Mitglieder

   1. Schreibe den Ausdruck auf. Die einfachsten algebraischen Ausdrücke (die keine Brüche, Wurzeln usw. enthalten) können in nur wenigen Schritten gelöst (vereinfacht) werden.

      • Vereinfache zum Beispiel den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieren Sie ähnliche Elemente (Elemente mit einer Variablen derselben Ordnung, Elemente mit denselben Variablen oder freie Elemente).

      • Finden Sie ähnliche Begriffe in diesem Ausdruck. Die Mitglieder 2x und 4x enthalten eine Variable derselben Ordnung (zuerst). Außerdem sind 1 und -3 freie Mitglieder (enthalten keine Variable). Somit sind in diesem Ausdruck die Begriffe 2x und 4xähnlich sind, und die Mitglieder 1 und -3 sind auch ähnlich.

   3. Geben Sie ähnliche Begriffe an. Dies bedeutet, sie zu addieren oder zu subtrahieren und den Ausdruck zu vereinfachen.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Schreiben Sie den Ausdruck unter Berücksichtigung der gegebenen Terme um. Sie erhalten einen einfachen Ausdruck mit weniger Begriffen. Der neue Ausdruck entspricht dem Original.

      • In unserem Beispiel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, das heißt, der ursprüngliche Ausdruck ist vereinfacht und einfacher zu handhaben.

   5. Beachten Sie die Reihenfolge, in der Operationen ausgeführt werden, wenn Sie ähnliche Begriffe umwandeln. In unserem Beispiel war es einfach, ähnliche Begriffe zu verwenden. Bei komplexen Ausdrücken, in denen Glieder in Klammern eingeschlossen sind und Brüche und Wurzeln vorhanden sind, ist es jedoch nicht so einfach, solche Begriffe zu bringen. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Vorgänge.

      • Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier wäre es ein Fehler, 3x und 2x gleich als gleiche Terme zu definieren und zu zitieren, weil man erst die Klammern erweitern muss. Führen Sie daher die Vorgänge in ihrer Reihenfolge aus.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Jetzt, wenn der Ausdruck nur Additions- und Subtraktionsoperationen enthält, können Sie ähnliche Terme umwandeln.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Den Multiplikator in Klammern setzen

   1. Finden größter gemeinsamer Teiler(ggT) aller Koeffizienten des Ausdrucks. GCD ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten des Ausdrucks teilbar sind.

      • Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 9x 2 + 27x - 3. In diesem Fall ist ggT = 3, da jeder Koeffizient dieses Ausdrucks durch 3 teilbar ist.

   2. Teilen Sie jeden Term des Ausdrucks durch ggT. Die resultierenden Terme enthalten kleinere Koeffizienten als im ursprünglichen Ausdruck.

      • Teilen Sie in unserem Beispiel jeden Ausdrucksterm durch 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Es stellte sich der Ausdruck heraus 3x2 + 9x-1. Es ist nicht gleich dem ursprünglichen Ausdruck.

   3. Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck als gleich dem Produkt von ggT mal dem resultierenden Ausdruck. Das heißt, schließen Sie den resultierenden Ausdruck in Klammern ein und setzen Sie den ggT aus Klammern.

      • In unserem Beispiel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereinfachen von Bruchausdrücken durch Entfernen des Multiplikators aus Klammern. Warum einfach den Multiplikator aus den Klammern nehmen, wie es früher gemacht wurde? Anschließend erfahren Sie, wie Sie komplexe Ausdrücke wie Bruchausdrücke vereinfachen. In diesem Fall kann das Weglassen des Faktors aus der Klammer helfen, den Bruch (vom Nenner) loszuwerden.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruchausdruck (9x 2 + 27x - 3)/3. Verwenden Sie Klammern, um diesen Ausdruck zu vereinfachen.
        • Faktor 3 herausrechnen (wie zuvor): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Beachten Sie, dass sowohl Zähler als auch Nenner jetzt die Zahl 3 haben. Dies kann reduziert werden und Sie erhalten den Ausdruck: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Da jeder Bruch mit der Zahl 1 im Nenner genau gleich dem Zähler ist, vereinfacht sich der ursprüngliche Bruchausdruck zu: 3x2 + 9x-1.

   Zusätzliche Vereinfachungstechniken

   1. Vereinfachung von Bruchausdrücken. Wie oben erwähnt, können sie gekürzt werden, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner dieselben Terme (oder sogar dieselben Ausdrücke) enthalten. Dazu müssen Sie den gemeinsamen Teiler des Zählers oder des Nenners oder sowohl des Zählers als auch des Nenners herausnehmen. Oder du teilst jeden Term des Zählers durch den Nenner und vereinfachst so den Ausdruck.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruchausdruck (5x 2 + 10x + 20)/10. Teilen Sie hier einfach jeden Term des Zählers durch den Nenner (10). Beachten Sie jedoch, dass der 5x2-Term nicht einmal durch 10 teilbar ist (weil 5 kleiner als 10 ist).
        • Schreiben Sie den vereinfachten Ausdruck also so: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Vereinfachung radikaler Ausdrücke. Ausdrücke unter dem Wurzelzeichen heißen Wurzelausdrücke. Vereinfacht werden können sie durch ihre Zerlegung in die entsprechenden Faktoren und das anschließende Entfernen eines Faktors unter der Wurzel.

      • Betrachten Sie ein einfaches Beispiel: √(90). Die Zahl 90 lässt sich in folgende Faktoren zerlegen: 9 und 10, und aus 9 ziehe die Quadratwurzel (3) und ziehe 3 unter der Wurzel hervor.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen. In einigen Ausdrücken gibt es Multiplikations- oder Divisionsoperationen von Termen mit einem Grad. Bei der Multiplikation von Termen mit einer Basis werden deren Grade addiert; bei der Teilung von Termen mit gleicher Basis werden deren Grade subtrahiert.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Bei der Multiplikation werden die Exponenten addiert und bei der Division subtrahiert.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Das Folgende ist eine Erklärung der Regel zum Multiplizieren und Dividieren von Termen mit einem Grad.
        • Das Multiplizieren von Termen mit Potenzen entspricht dem Multiplizieren von Termen mit sich selbst. Da zum Beispiel x 3 = x × x × x und x 5 = x × x × x × x × x, dann ist x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x 8 .
        • Ebenso ist das Teilen von Termen durch Potenzen gleichbedeutend mit dem Teilen von Termen durch sich selbst. x 5 / x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Da ähnliche Terme, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen, gekürzt werden können, bleibt im Zähler das Produkt aus zwei „x“, also x 2 .