Das Bestehen des einheitlichen Staatsexamens ist nicht nur am Ende der allgemein bildenden Sekundarstufe Pflicht, sondern auch Bestandteil der Aufnahmeprüfungen an Universitäten. Schülerinnen und Schüler, die sich für mathematisch oder technisch orientierte Fachrichtungen entscheiden, bestehen nicht nur die Grundstufe Mathematik, sondern auch die Profilstufe. Berücksichtigen Sie die Funktionen, das Timing und die Überprüfung sowie einige Punkte im Zusammenhang mit den Ergebnissen.

Das Verfahren zur Durchführung der Prüfung ist durch das Bundesgesetz Nr. 273 „Über Bildung in der Russischen Föderation“ festgelegt.

Wann werden die Prüfungsergebnisse bekannt sein?

Der offizielle Zeitplan bestimmte die Kapitulation VERWENDUNG in Mathematik 2018 Profilrichtung am Freitag, 1. Juni. Als Tag reservieren Datum wird in der Hauptschleife hervorgehoben 25. Juni, und der 2. Juli bleibt ein freier Tag für die Lieferung aller Artikel.

Trennung Mathe-Prüfung auf den Ebenen geschah letztes Jahr. Sie unterscheiden sich aus mehreren Gründen:

• Bewertungssystem. Die Grundkenntnisse des Faches werden auf einer fünfstufigen Skala (mindestens 3 Punkte werden festgelegt) bewertet. Die Bewertung im Profilfach wird auf einer Skala von 100 Punkten bewertet;
• Der nächste Unterschied besteht in der Zulassung von Grund- und Profilstufenprüfungen für die Zulassung zu Bildungseinrichtungen obere und mittlere berufliche Ebene. Das Grundniveau reicht also für Colleges, Schulen und Universitäten für freie Künste. Das Vorhandensein von Mathematik in den Aufnahmeprüfungen für technische Fachrichtungen setzt das Bestehen der Profilstufe voraus;
• Abweichen Prüfungsstrukturen. Die Basis besteht aus 20 Aufgaben mit kurzen Antworten. Die Profilprüfung ist wesentlich schwieriger und besteht aus 2 Teilen.

Das USE-System ermöglicht Schulabsolventinnen und -absolventen, den Grundlagen- und Profilteil des Fachs uneingeschränkt zu belegen. Das erhöht die Chancen auf einen Studienplatz deutlich.

Verarbeitung der Prüfungsergebnisse hat einen bestimmten Zeitrahmen und eine bestimmte Reihenfolge:

• Scannen und Bearbeiten von Formularen in den Regionen - bis zu 4 Tage;
• Verarbeitung der Ergebnisse auf Bundesebene - bis zu 7 Tage;
• Übermittlung der Ergebnisse an die Regionen - 1 Tag;
• Bestätigung der Ergebnisse durch den staatlichen Prüfungsausschuss - nicht länger als 1 Tag;
• Bekanntgabe der Ergebnisse - 1 Tag.

Somit beträgt die Frist zur Prüfung und Veröffentlichung der Ergebnisse maximal 2 Wochen. Die Ergebnisse des USE 2018 in Mathematik auf Profilebene werden spätestens am 17. Juni bekannt gegeben.

Woher wissen Sie Ihr Ergebnis?

Informieren Sie sich über die Ergebnisse der letzten Prüfung kann auf mehrere Arten erfolgen:

• Offizielles Portal des Einheitlichen Staatsexamens www.ege.edu.ru;
• An Informationsständen in Schulen oder anderen Einrichtungen, in denen die Prüfung stattfand;
• In regionalen Bildungsabteilungen oder -ausschüssen;
• Eine Reihe von Regionen richtet spezialisierte Websites oder Hotlines ein.

Überprüfen Sie Ihr Ergebnis verfügbar wenn verfügbar:

• Vollständiger Name des Betreffs;
• Nummer des Reisepasses oder eines anderen Dokuments, das bei der Identitätsprüfung verwendet wird;
• Ein Identifikationscode, der jedem Prüfungsteilnehmer zugewiesen wird.

Informationen über die Ergebnisse der Prüfung sind kostenlos und werden den USE-Teilnehmern und ihren Eltern kostenlos zur Verfügung gestellt.

Vorzeitige USE-Prüfung in Mathematik

Eine Reihe von Schülern haben bereits die USE in Mathematik in der sog frühe Periode. Die Teilnahme daran ist zulässig, wenn der Studierende nicht an der Hauptphase teilnehmen kann. Die Gründe können sein:

• Geplante Behandlung;
• Erholung in gesundheitsfördernden Einrichtungen;
• Teilnahme an Wettbewerben, Olympiaden und anderen Bildungs- oder Kreativveranstaltungen.

2017 fand die vorzeitige Abgabe von Mathematik statt 31. März und 14. April(Reservationstag). 4,8 Tausend Schüler haben die Grundstufe und etwa 17 Tausend Fachschüler bestanden.

Die Ergebnisse des frühen USE in Mathematics 2017 sollten laut Plan am 11. April vorliegen, wurden aber deutlich früher – am 7. April – veröffentlicht.

Wo Sie Ihre Arbeit sehen können

Sie können Ihre Arbeit nach bestandener Prüfung in elektronischer Form einsehen. Ihr Scan ist in Ihrem persönlichen Konto im USE-Portal verfügbar. Der Zugriff darauf wird erteilt, wenn:

• Das Vorhandensein des Identifikationscodes des Teilnehmers des einheitlichen Staatsexamens;
• Vollständiger Name und Passnummer.

Sollte der Teilnehmer nach Bekanntgabe der Ergebnisse mit den vergebenen Punkten nicht einverstanden sein, so hat er dies zu tun 2 Tage um Widerspruch einzulegen an den Prüfungsausschuss. Der Antrag wird in 2 Exemplaren verfasst und der Kommission zur Prüfung vorgelegt. Bis zum 5. Juni werden die Lösungen der Probleme erneut überprüft und es wird entschieden, die Bewertung zu ändern oder zu bestätigen.

Wie wird die Prüfung bewertet? Das USE-System zur Bewertung der Ergebnisse verwendet Primär- und Testergebnisse sowie eine spezielle Skala, um sie ineinander zu übersetzen. Lösungen von KIMs (Kontroll- und Messmaterialien) werden in Primärpunkten bewertet und dann gemäß Tabelle in Testlösungen überführt. Das Endergebnis der Prüfung ist die Anzahl der erzielten Testpunkte.

Die Entwicklung einer Skala zur Umrechnung von Grundschulnoten in Prüfungsnoten wird jährlich durchgeführt und berücksichtigt den allgemeinen Vorbereitungsstand der Schülerinnen und Schüler.

Für erfolgreich Bestehendes Profil Mathematik im Jahr 2018 Sie müssen das Minimum eingeben:

• 6 Primärpunkte;
• 27 Testpunkte.

Datum der Wiederholung der Prüfung in Mathematik im Jahr 2018

Es gibt eine Reihe zusätzliche Fristen für das Bestehen der Prüfung. Sie stehen zur Verfügung, wenn das Fach am Haupttag aus wichtigem Grund nicht bestanden werden konnte. Für die Profilmathematik ist dies:

• 25. Juni– Reservetag im Rahmen der Hauptbühne;
• 2. Juli- ein Reservetag des Hauptteils der Prüfung, an dem Sie jedes Fach bestehen können.

Die Möglichkeit, Profil Mathematik im September zu wiederholen, ist an eine Reihe von Bedingungen geknüpft:

• Wenn ein Student die Grundstufe Mathematik bestanden hat, darf er dieses Jahr die Profilstufe nicht wiederholen. Die Möglichkeit zur Wiederholung der Prüfung ergibt sich erst im nächsten Jahr;
• Sind beide Prüfungen in Mathematik (Grundlagen und Profil) nicht bestanden, kann der Studierende entscheiden, welche er wiederholen möchte.

Mathe wiederholen September ernannt 7. September. Der 15. September ist als Reservetag aufgeführt.

Klasse 11

Aufgabenbedingungen

1. Der Preis für einen Wasserkocher wurde um 14% erhöht und betrug 1.596 Rubel. Wie viel war der Wasserkocher vor der Preiserhöhung wert?
2. Das Diagramm zeigt die Abhängigkeit des Motordrehmoments von der Drehzahl. Auf der Abszissenachse ist die Anzahl der Umdrehungen pro Minute und auf der Ordinatenachse das Drehmoment in Nm aufgetragen. Die Fahrzeuggeschwindigkeit (in km/h) wird durch die Formel angenähert wobei n die Anzahl der Motorumdrehungen pro Minute ist. Mit welcher Mindestgeschwindigkeit muss das Auto fahren, damit das Drehmoment 120 N∙m beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Kilometern pro Stunde an.
   
3. Auf kariertem Papier ist ein Dreieck ABC mit der Zellengröße x dargestellt. Finden Sie die Länge seiner Höhe, die zur Seite BC gefallen ist.
4. Die wissenschaftliche Konferenz findet an 5 Tagen statt. Insgesamt sind 75 Berichte geplant – die ersten drei Tage jeweils 17 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den vierten und fünften Tag. Auf der Tagung ist ein Bericht von Professor M. vorgesehen, die Reihenfolge der Berichte wird ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor M. für den letzten Tag der Konferenz vorgesehen ist?
5. Finden Sie die Wurzel der Gleichung
6. Das Viereck ABCD ist in einen Kreis eingeschrieben. Winkel ABC ist gleich 105 o, Winkel CAD ist gleich 35 o. Finde den Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
7. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion, die zum Segment gehören.
   
8. Die Kugel ist in einen Zylinder eingeschrieben. Die Oberfläche der Kugel ist 111. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Zylinders.
9. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
10. Um eine vergrößerte Abbildung einer Glühbirne auf dem Bildschirm zu erhalten, wird im Labor eine Sammellinse mit einer Hauptbrennweite von cm verwendet, wobei der Abstand von der Linse zur Glühbirne von 30 bis 50 cm und der Abstand von der Linse variieren kann zum Bildschirm kann zwischen 150 und 180 cm variieren, der Bildschirm ist klar, wenn das Verhältnis eingehalten wird. Geben Sie den kleinsten Abstand von der Linse an, in dem eine Glühbirne platziert werden kann, damit ihr Bild auf dem Bildschirm klar ist. Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.
11. Die Entfernung zwischen den Piers A und B beträgt 120 km. Ein Floß fuhr entlang des Flusses von A nach B, und eine Stunde später fuhr eine Jacht hinterher, die am Punkt B angekommen sofort umkehrte und zu A zurückkehrte. Zu diesem Zeitpunkt hatte das Floß 24 km zurückgelegt. Finden Sie die Geschwindigkeit der Yacht in stillem Wasser, wenn die Geschwindigkeit des Flusses 2 km/h beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
12. Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion.
13. a) Lösen Sie die Gleichung ; b) Geben Sie die Wurzeln dieser Gleichung an, die zu dem Segment gehören.
14. Die Punkte M und N sind an den Kanten AB bzw. BC der Dreieckspyramide ABCD mit AM:MB = CN:NB = 3:1 markiert. Die Punkte P und Q sind die Mittelpunkte der Kanten DA bzw. DC.
    a) Beweisen Sie, dass die Punkte P, Q, M und N in derselben Ebene liegen;
    b) Finden Sie heraus, in welchem ​​Verhältnis diese Ebene das Volumen der Pyramide teilt.
15. Löse die Ungleichung
16. Punkt E ist der Mittelpunkt der lateralen Seite CD des Trapezes ABCD. Auf seiner Seite nahm AB einen Punkt K, so dass die Linien SC und AE parallel sind. Die Segmente SK und BE schneiden sich im Punkt O.
    a) Beweisen Sie, dass CO=CO ist.
    b) Finden Sie das Verhältnis der Basen des Trapezes BC: AD, wenn die Fläche des Dreiecks BCK 9/64 der Fläche des gesamten Trapezes ABCD beträgt.
17. Im Juli ist geplant, einen Kredit bei einer Bank über einen bestimmten Betrag aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt:
    - jeden Januar steigt die Verschuldung um r% im Vergleich zum Ende des Vorjahres;
    - Von Februar bis Juni eines jeden Jahres muss ein Teil der Schulden zurückgezahlt werden.
    Finden Sie r, wenn bekannt ist, dass das Darlehen in 4 Jahren zurückgezahlt wird, wenn Sie jeweils 777.600 Rubel zahlen, und wenn Sie jedes Jahr 1.317.600 Rubel zahlen, das Darlehen in 2 Jahren vollständig zurückgezahlt wird?
18. Finden Sie alle Werte des Parameters, für die die Gleichung jeweils genau eine Wurzel auf dem Intervall hat.
19. Jeder der 32 Studenten schrieb entweder einen der beiden Tests oder beide Tests. Für jede Arbeit war es möglich, eine ganze Zahl von Punkten von 0 bis einschließlich 20 zu erhalten. Für jede der beiden Testarbeiten getrennt betrug die durchschnittliche Punktzahl 14. Dann nannte jeder Student die höchste seiner Punktzahlen (wenn der Student eine Arbeit schrieb, dann nannte er die Punktzahl dafür). Das arithmetische Mittel der genannten Scores war gleich S.
    a) Geben Sie ein Beispiel, wenn S<14
    b) Könnte der Wert von S gleich 17 sein?
    c) Was ist der kleinste Wert, den S annehmen könnte, wenn beide Tests von 12 Schülern geschrieben würden?

Sekundarstufe Allgemeinbildung

Linie UMK G. K. Muravina. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse (10-11) (tief)

Linie UMK Merzljak. Algebra und die Anfänge der Analysis (10-11) (U)

Mathe

Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik (Profilebene): Aufgaben, Lösungen und Erklärungen

Wir analysieren Aufgaben und lösen Beispiele mit dem Lehrer

Die Prüfungsarbeit auf Profilebene dauert 3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten).

Mindestschwelle- 27 Punkte.

Die Prüfungsarbeit besteht aus zwei Teilen, die sich in Inhalt, Umfang und Anzahl der Aufgaben unterscheiden.

Das bestimmende Merkmal jedes Teils der Arbeit ist die Form der Aufgaben:

• Teil 1 enthält 8 Aufgaben (Aufgaben 1-8) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs;
• Teil 2 enthält 4 Aufgaben (Aufgaben 9-12) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs und 7 Aufgaben (Aufgaben 13-19) mit einer ausführlichen Antwort (vollständige Niederschrift der Entscheidung mit Begründung für die durchgeführte Aktionen).

Panova Svetlana Anatolievna, Lehrer für Mathematik der höchsten Kategorie der Schule, Berufserfahrung von 20 Jahren:

„Um einen Schulabschluss zu erlangen, muss ein Absolvent zwei Pflichtprüfungen in Form der Einheitlichen Staatsprüfung bestehen, eine davon in Mathematik. In Übereinstimmung mit dem Konzept zur Entwicklung des mathematischen Unterrichts in der Russischen Föderation ist das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik in zwei Stufen unterteilt: Grundstufe und Spezialisierung. Heute werden wir Optionen für die Profilebene betrachten.

Aufgabe Nummer 1- überprüft die Fähigkeit der USE-Teilnehmer, die im Rahmen der 5. bis 9. Klasse erworbenen Fähigkeiten in Elementarmathematik in praktischen Aktivitäten anzuwenden. Der Teilnehmer muss Rechenkenntnisse haben, mit rationalen Zahlen arbeiten können, Dezimalbrüche runden können, eine Maßeinheit in eine andere umrechnen können.

Beispiel 1 In der Wohnung, in der Petr wohnt, wurde ein Kaltwasserzähler (Zähler) installiert. Am 1. Mai zeigte der Zähler einen Verbrauch von 172 Kubikmetern an. m Wasser und am ersten Juni - 177 Kubikmeter. m. Welchen Betrag sollte Peter für Mai für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis von 1 cu. m kaltes Wasser sind 34 Rubel 17 Kopeken? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an.

Lösung:

1) Ermitteln Sie die pro Monat verbrauchte Wassermenge:

177 - 172 = 5 (m³)

2) Finden Sie heraus, wie viel Geld für das verbrauchte Wasser bezahlt wird:

34,17 5 = 170,85 (reiben)

Antworten: 170,85.

Aufgabe Nummer 2- ist eine der einfachsten Aufgaben der Prüfung. Die Mehrheit der Absolventen kommt damit erfolgreich zurecht, was auf den Besitz der Definition des Funktionsbegriffs hinweist. Aufgabentyp Nr. 2 laut Anforderungsverschlüsseler ist eine Aufgabe zur Anwendung der erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten in der Praxis und im Alltag. Aufgabe Nr. 2 besteht darin, mithilfe von Funktionen verschiedene reale Beziehungen zwischen Größen zu beschreiben und ihre Graphen zu interpretieren. Aufgabe Nummer 2 testet die Fähigkeit, Informationen zu extrahieren, die in Tabellen, Diagrammen und Grafiken dargestellt sind. Die Absolventen müssen in der Lage sein, den Wert einer Funktion durch den Wert des Arguments mit verschiedenen Arten der Spezifikation der Funktion zu bestimmen und das Verhalten und die Eigenschaften der Funktion gemäß ihrem Graphen zu beschreiben. Es ist auch notwendig, den größten oder kleinsten Wert aus dem Funktionsgraphen zu finden und Graphen der untersuchten Funktionen zu erstellen. Die Fehler, die beim Lesen der Bedingungen des Problems und beim Lesen des Diagramms gemacht werden, sind zufälliger Natur.

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Beispiel 2 Die Abbildung zeigt die Veränderung des Tauschwerts einer Aktie eines Bergbauunternehmens in der ersten Aprilhälfte 2017. Am 7. April kaufte der Geschäftsmann 1.000 Aktien dieses Unternehmens. Am 10. April verkaufte er drei Viertel der gekauften Aktien und am 13. April alle restlichen. Wie viel hat der Geschäftsmann durch diese Operationen verloren?

Lösung:

2) 1000 3/4 = 750 (Aktien) - machen 3/4 aller gekauften Aktien aus.

6) 247500 + 77500 = 325000 (Rubel) - der Geschäftsmann erhielt nach dem Verkauf von 1000 Aktien.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (Rubel) - der Geschäftsmann hat infolge aller Operationen verloren.

Antworten: 15000.

Aufgabe Nummer 3- ist eine Aufgabe der Grundstufe des ersten Teils, sie prüft die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen gemäß den Inhalten der Lehrveranstaltung „Planimetrie“ auszuführen. Aufgabe 3 testet die Fähigkeit, die Fläche einer Figur auf kariertem Papier zu berechnen, Gradmaße von Winkeln zu berechnen, Umfänge zu berechnen usw.

Beispiel 3 Ermitteln Sie die Fläche eines auf kariertes Papier gezeichneten Rechtecks ​​mit einer Zellengröße von 1 cm x 1 cm (siehe Abbildung). Geben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern an.

Lösung: Um die Fläche dieser Figur zu berechnen, können Sie die Peak-Formel verwenden:

Um die Fläche dieses Rechtecks ​​zu berechnen, verwenden wir die Peak-Formel:

S= B +	G
	2

wo V = 10, G = 6, also

S = 18 +	6
	2

Antworten: 20.

Lesen Sie auch: VERWENDUNG in der Physik: Lösen von Problemen über Vibrationen

Aufgabe Nummer 4- die Aufgabenstellung der Lehrveranstaltung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik". Getestet wird die Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der einfachsten Situation zu berechnen.

Beispiel 4 Auf dem Kreis befinden sich 5 rote und 1 blauer Punkt. Bestimmen Sie, welche Polygone größer sind: die mit allen roten Eckpunkten oder die mit einem der blauen Eckpunkte. Geben Sie in Ihrer Antwort an, wie viele mehr von dem einen als vom anderen.

Lösung: 1) Wir verwenden die Formel für die Anzahl der Kombinationen aus n Elemente von k:

alle Ecken sind rot.

3) Ein Fünfeck mit allen roten Eckpunkten.

4) 10 + 5 + 1 = 16 Polygone mit allen roten Eckpunkten.

deren Ecken rot sind oder mit einer blauen Ecke.

deren Ecken rot sind oder mit einer blauen Ecke.

8) Ein Sechseck, dessen Eckpunkte rot sind, mit einem blauen Eckpunkt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 Polygone, die alle rote Eckpunkte oder einen blauen Eckpunkt haben.

10) 42 - 16 = 26 Polygone, die den blauen Punkt verwenden.

11) 26 - 16 = 10 Polygone - wie viele Polygone, bei denen einer der Eckpunkte ein blauer Punkt ist, sind mehr als Polygone, bei denen alle Eckpunkte nur rot sind.

Antworten: 10.

Aufgabe Nummer 5- Das Grundniveau des ersten Teils testet die Fähigkeit, die einfachsten Gleichungen (irrational, exponentiell, trigonometrisch, logarithmisch) zu lösen.

Beispiel 5 Lösen Sie Gleichung 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Lösung. Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch 5 3 + X≠ 0, erhalten wir

2 3 + x	= 0,4 bzw		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

woraus folgt, dass 3 + x = 1, x = –2.

Antworten: –2.

Aufgabe Nummer 6 in der Planimetrie zum Auffinden geometrischer Größen (Längen, Winkel, Flächen), Modellieren realer Situationen in der Sprache der Geometrie. Das Studium der konstruierten Modelle unter Verwendung geometrischer Konzepte und Theoreme. Die Quelle der Schwierigkeiten ist in der Regel Unkenntnis oder falsche Anwendung der notwendigen Theoreme der Planimetrie.

Fläche eines Dreiecks ABC gleich 129. DE- Mittellinie parallel zur Seite AB. Finden Sie die Fläche des Trapezes EIN BETT.

Lösung. Dreieck CDEähnlich einem Dreieck TAXI an zwei Ecken, da die Ecke am Scheitelpunkt C Allgemein, Winkel CDE gleich dem Winkel TAXI wie die entsprechenden Winkel an DE || AB Sekante AC. Als DE ist die Mittellinie des Dreiecks durch die Bedingung, dann durch die Eigenschaft der Mittellinie | DE = (1/2)AB. Der Ähnlichkeitskoeffizient ist also 0,5. Die Flächen ähnlicher Figuren werden als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten in Beziehung gesetzt, also

Folglich, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Aufgabe Nummer 7- überprüft die Anwendung der Ableitung auf das Studium der Funktion. Für eine erfolgreiche Umsetzung ist ein sinnvoller, nicht-formaler Besitz des Konzepts eines Derivats notwendig.

Beispiel 7 Zum Graphen der Funktion j = f(x) an der Stelle mit der Abszisse x 0 wird eine Tangente gezeichnet, die senkrecht zu der Geraden steht, die durch die Punkte (4; 3) und (3; -1) dieses Graphen geht. Finden f′( x 0).

Lösung. 1) Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie verwenden, die durch zwei gegebene Punkte geht, und die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch die Punkte (4; 3) und (3; -1) geht.

(j – j 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(j 2 – j 1)

(j – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(j – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–j + 3 = –4x+ 16| · (-eines)

j – 3 = 4x – 16

j = 4x– 13, wo k 1 = 4.

2) Finden Sie die Steigung der Tangente k 2, die senkrecht zur Linie steht j = 4x– 13, wo k 1 = 4, nach der Formel:

3) Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion am Kontaktpunkt. Meint, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Antworten: –0,25.

Aufgabe Nummer 8- überprüft bei den Prüfungsteilnehmern die Kenntnisse der elementaren Stereometrie, die Fähigkeit, Formeln zur Bestimmung von Oberflächen und Volumen von Figuren, Flächenwinkeln anzuwenden, die Volumina ähnlicher Figuren zu vergleichen, Aktionen mit geometrischen Figuren, Koordinaten und Vektoren ausführen zu können usw .

Das Volumen eines um eine Kugel umschriebenen Würfels ist 216. Finde den Radius der Kugel.

Lösung. 1) v Würfel = a 3 (wo a ist die Kantenlänge des Würfels), also

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Da die Kugel in einen Würfel eingeschrieben ist, bedeutet dies, dass die Länge des Kugeldurchmessers gleich der Länge der Würfelkante ist d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Aufgabe Nummer 9- verlangt vom Absolventen, algebraische Ausdrücke zu transformieren und zu vereinfachen. Aufgabe Nr. 9 mit erhöhter Komplexität mit einer kurzen Antwort. Aufgaben aus dem Abschnitt "Berechnungen und Transformationen" in der USE sind in mehrere Typen unterteilt:

Transformationen von numerischen rationalen Ausdrücken;

Transformationen von algebraischen Ausdrücken und Brüchen;

Transformationen von irrationalen Zahlen-/Buchstabenausdrücken;

Aktionen mit Grad;

Transformation logarithmischer Ausdrücke;

1. Konvertierung numerischer/buchstabiger trigonometrischer Ausdrücke.

Beispiel 9 Berechnen Sie tgα, wenn bekannt ist, dass cos2α = 0,6 und

3π	< α < π.
4

Lösung. 1) Verwenden wir die Doppelargumentformel: cos2α = 2 cos 2 α - 1 und finden

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos2α		0,8		8		4		4		4

Daher ist tan 2 α = ± 0,5.

3) Nach Bedingung

3π	< α < π,
4

daher ist α der Winkel des zweiten Viertels und tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Antworten: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Aufgabe Nummer 10- prüft die Fähigkeit der Studierenden, die erworbenen frühen Kenntnisse und Fähigkeiten in der Praxis und im Alltag einzusetzen. Wir können sagen, dass dies Probleme in der Physik und nicht in der Mathematik sind, aber alle notwendigen Formeln und Größen sind in der Bedingung angegeben. Die Aufgaben reduzieren sich auf das Lösen einer linearen oder quadratischen Gleichung oder einer linearen oder quadratischen Ungleichung. Daher ist es notwendig, solche Gleichungen und Ungleichungen lösen und die Antwort bestimmen zu können. Die Antwort muss in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs erfolgen.

Zwei Massekörper m= 2 kg bei gleicher Geschwindigkeit v= 10 m/s in einem Winkel von 2α zueinander. Die bei ihrem absolut unelastischen Stoß freigesetzte Energie (in Joule) wird durch den Ausdruck bestimmt Q = mv 2 Sünde 2 α. Unter welchem ​​kleinsten Winkel 2α (in Grad) müssen sich die Körper bewegen, damit beim Aufprall mindestens 50 Joule freigesetzt werden?
Lösung. Um das Problem zu lösen, müssen wir die Ungleichung Q ≥ 50 auf dem Intervall 2α ∈ (0°; 180°) lösen.

mv 2 Sünde 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Da α ∈ (0°; 90°), werden wir nur lösen

Wir stellen die Lösung der Ungleichung grafisch dar:

Da nach Annahme α ∈ (0°; 90°) bedeutet dies, dass 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Aufgabe Nummer 11- ist typisch, stellt sich aber für Studierende als schwierig heraus. Die Hauptschwierigkeiten liegen in der Konstruktion eines mathematischen Modells (Aufstellen einer Gleichung). Aufgabe Nummer 11 testet die Fähigkeit, Textaufgaben zu lösen.

Beispiel 11. In den Frühlingsferien musste die Elfklässlerin Vasya 560 Übungsaufgaben lösen, um sich auf die Prüfung vorzubereiten. Am 18. März, am letzten Schultag, löste Vasya 5 Aufgaben. Dann löste er jeden Tag gleich viele Aufgaben mehr als am Vortag. Bestimmen Sie, wie viele Probleme Vasya am letzten Urlaubstag am 2. April gelöst hat.

Lösung: Bezeichnen a 1 = 5 - die Anzahl der Aufgaben, die Vasya am 18. März gelöst hat, d– tägliche Anzahl der von Vasya gelösten Aufgaben, n= 16 - die Anzahl der Tage vom 18. März bis einschließlich 2. April, S 16 = 560 - die Gesamtzahl der Aufgaben, a 16 - die Anzahl der Aufgaben, die Vasya am 2. April gelöst hat. Wenn Sie wissen, dass Vasya jeden Tag die gleiche Anzahl von Aufgaben mehr als am Vortag gelöst hat, können Sie die Formeln verwenden, um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Antworten: 65.

Aufgabe Nummer 12- die Fähigkeit der Schüler überprüfen, Aktionen mit Funktionen auszuführen, in der Lage sein, die Ableitung auf das Studium der Funktion anzuwenden.

Finden Sie den maximalen Punkt einer Funktion j= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Lösung: 1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: x + 9 > 0, x> –9, also x ∈ (–9; ∞).

2) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

4) Der gefundene Punkt gehört zum Intervall (–9; ∞). Wir definieren die Vorzeichen der Ableitung der Funktion und stellen das Verhalten der Funktion in der Abbildung dar:

Der gewünschte Maximalpunkt x = –8.

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Aufgabe Nummer 13- eine erhöhte Komplexität mit einer detaillierten Antwort, die die Fähigkeit testet, Gleichungen zu lösen, die unter den Aufgaben mit einer detaillierten Antwort mit einer erhöhten Komplexität am erfolgreichsten gelöst werden.

a) Lösen Sie die Gleichung 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zu dem Segment gehören.

Lösung: a) Sei log 3 (2cos x) = t, dann 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2 cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ weil |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2 cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

dann weil x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Finden Sie die Wurzeln, die auf dem Segment liegen .

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass das gegebene Segment Wurzeln hat

11π	und	13π	.
6		6

Antworten: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Aufgabe Nummer 14- Fortgeschrittene Stufe bezieht sich auf die Aufgaben des zweiten Teils mit ausführlicher Beantwortung. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Elemente. Im ersten Absatz muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Absatz berechnet werden.

Der Umfangsdurchmesser der Basis des Zylinders beträgt 20, die Mantellinie des Zylinders 28. Die Ebene schneidet seine Basis entlang Sehnen der Länge 12 und 16. Der Abstand zwischen den Sehnen beträgt 2√197.

a) Beweisen Sie, dass die Mittelpunkte der Grundflächen des Zylinders auf derselben Seite dieser Ebene liegen.

b) Finden Sie den Winkel zwischen dieser Ebene und der Ebene der Basis des Zylinders.

Lösung: a) Eine Sehne der Länge 12 hat einen Abstand = 8 vom Mittelpunkt des Grundkreises, und eine Sehne der Länge 16 hat ebenfalls einen Abstand von 6. Daher ist der Abstand ihrer Projektionen auf eine Ebene parallel zum Basen der Zylinder ist entweder 8 + 6 = 14 oder 8 − 6 = 2.

Dann ist der Abstand zwischen den Akkorden entweder

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Bedingungsgemäß wurde der zweite Fall verwirklicht, bei dem die Vorsprünge der Sehnen auf einer Seite der Zylinderachse liegen. Das bedeutet, dass die Achse diese Ebene innerhalb des Zylinders nicht schneidet, dh die Basen liegen auf einer Seite davon. Was bewiesen werden musste.

b) Bezeichnen wir die Mittelpunkte der Basen mit O 1 und O 2. Ziehen wir von der Mitte der Basis mit einer Sehne der Länge 12 die Mittelsenkrechte zu dieser Sehne (sie hat, wie bereits erwähnt, eine Länge von 8) und von der Mitte der anderen Basis zu einer anderen Sehne. Sie liegen in derselben Ebene β senkrecht zu diesen Sehnen. Nennen wir den Mittelpunkt der kleineren Sehne B, größer als A, und die Projektion von A auf die zweite Basis H (H ∈ β). Dann stehen AB,AH ∈ β und damit AB,AH senkrecht auf der Sehne, also der Schnittgerade der Basis mit der gegebenen Ebene.

Der erforderliche Winkel ist also

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Aufgabe Nummer 15- ein erhöhter Komplexitätsgrad mit einer detaillierten Antwort, überprüft die Fähigkeit, Ungleichheiten zu lösen, die am erfolgreichsten gelösten Aufgaben mit einer detaillierten Antwort eines erhöhten Komplexitätsgrades.

Beispiel 15 Lösen Sie die Ungleichung | x 2 – 3x| Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Lösung: Der Definitionsbereich dieser Ungleichung ist das Intervall (–1; +∞). Betrachten Sie drei Fälle getrennt:

1) Lass x 2 – 3x= 0, d.h. X= 0 bzw X= 3. In diesem Fall wird diese Ungleichung wahr, daher werden diese Werte in die Lösung aufgenommen.

2) Lassen Sie jetzt x 2 – 3x> 0, d.h. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). In diesem Fall kann diese Ungleichung in die Form umgeschrieben werden ( x 2 – 3x) Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 und dividiere durch einen positiven Ausdruck x 2 – 3x. Wir erhalten Protokoll 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 bzw x≤ -0,5. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs haben wir x ∈ (–1; –0,5].

3) Überlegen Sie abschließend x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). In diesem Fall wird die ursprüngliche Ungleichung in die Form (3 x – x 2) Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Nach Division durch einen positiven Ausdruck 3 x – x 2 erhalten wir log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Unter Berücksichtigung der Fläche haben wir x ∈ (0; 1].

Durch Kombinieren der erhaltenen Lösungen erhalten wir x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Antworten: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Aufgabe Nummer 16- Fortgeschrittene Stufe bezieht sich auf die Aufgaben des zweiten Teils mit ausführlicher Beantwortung. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen, Koordinaten und Vektoren auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Elemente. Im ersten Absatz muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Absatz berechnet werden.

In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit einem Winkel von 120° an der Spitze A wird eine Winkelhalbierende BD eingezeichnet. Das Rechteck DEFH ist in das Dreieck ABC einbeschrieben, so dass die Seite FH auf der Strecke BC und die Spitze E auf der Strecke AB liegt. a) Beweisen Sie, dass FH = 2DH ist. b) Finden Sie die Fläche des Rechtecks ​​DEFH, wenn AB = 4.

Lösung: a)

1) ΔBEF - rechteckig, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, dann EF = BE aufgrund der Eigenschaft des Schenkels gegenüber dem Winkel von 30°.

2) Sei EF = DH = x, dann ist BE = 2 x, Bf = x√3 nach dem Satz des Pythagoras.

3) Da ΔABC gleichschenklig ist, ist ∠B = ∠C = 30˚.

BD ist die Winkelhalbierende von ∠B, also ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Betrachten Sie ΔDBH - rechteckig, weil DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = EDEF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Antworten: 24 – 12√3.

Aufgabe Nummer 17- eine Aufgabe mit einer detaillierten Antwort, diese Aufgabe testet die Anwendung von Wissen und Fähigkeiten in praktischen Tätigkeiten und im Alltag, die Fähigkeit, mathematische Modelle zu erstellen und zu erforschen. Diese Aufgabe ist eine Textaufgabe mit wirtschaftlichem Inhalt.

Beispiel 17. Das Depot in Höhe von 20 Millionen Rubel soll für vier Jahre eröffnet werden. Am Ende eines jeden Jahres erhöht die Bank die Einlage um 10 % im Vergleich zu ihrer Höhe zu Beginn des Jahres. Darüber hinaus füllt der Einzahler zu Beginn des dritten und vierten Jahres die Einzahlung jährlich auf X Millionen Rubel, wo X - ganz Nummer. Finden Sie den höchsten Wert X, bei dem die Bank in vier Jahren weniger als 17 Millionen Rubel zur Einzahlung hinzufügen wird.

Lösung: Am Ende des ersten Jahres beträgt der Beitrag 20 + 20 · 0,1 = 22 Millionen Rubel und am Ende des zweiten - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 Millionen Rubel. Zu Beginn des dritten Jahres beträgt der Beitrag (in Millionen Rubel) (24,2 + X) und am Ende - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Zu Beginn des vierten Jahres beträgt der Beitrag (26.62 + 2.1 X), und am Ende - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Als Bedingung müssen Sie die größte ganze Zahl x finden, für die die Ungleichung gilt

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Die größte ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 24.

Antworten: 24.

Aufgabe Nummer 18- eine Aufgabe von erhöhter Komplexität mit einer detaillierten Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung von Bewerbern vorgesehen. Eine Aufgabe mit hoher Komplexität ist keine Aufgabe für die Anwendung eines Lösungsverfahrens, sondern für eine Kombination verschiedener Verfahren. Für die erfolgreiche Bearbeitung der Aufgabe 18 ist neben soliden mathematischen Kenntnissen auch ein hohes Maß an mathematischer Kultur erforderlich.

Bei was a System der Ungleichheiten

	x 2 + j 2 ≤ 2ja – a 2 + 1
	j + a ≤ |x| – a

genau zwei Lösungen hat?

Lösung: Dieses System kann umgeschrieben werden als

	x 2 + (j– a) 2 ≤ 1
	j ≤ |x| – a

Wenn wir die Menge der Lösungen der ersten Ungleichung in die Ebene zeichnen, erhalten wir das Innere eines Kreises (mit Rand) mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Punkt (0, a). Die Menge der Lösungen der zweiten Ungleichung ist der Teil der Ebene, der unter dem Graphen der Funktion liegt j = | x| – a, und letzteres ist der Graph der Funktion
j = | x| , nach unten verschoben um a. Die Lösung dieses Systems ist der Schnittpunkt der Lösungsmengen jeder der Ungleichungen.

Folglich wird dieses System nur in dem in Abb. eines.

Die Berührungspunkte zwischen dem Kreis und den Linien sind die beiden Lösungen des Systems. Jede der Geraden ist in einem Winkel von 45° zu den Achsen geneigt. Also das Dreieck PQR- rechteckig gleichschenklig. Punkt Q hat Koordinaten (0, a) und der Punkt R– Koordinaten (0, – a). Außerdem Schnitte PR und PQ gleich dem Kreisradius gleich 1 sind. Also

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Antworten: a =	√2	.
	2

Aufgabe Nummer 19- eine Aufgabe von erhöhter Komplexität mit einer detaillierten Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung von Bewerbern vorgesehen. Eine Aufgabe mit hoher Komplexität ist keine Aufgabe für die Anwendung eines Lösungsverfahrens, sondern für eine Kombination verschiedener Verfahren. Für die erfolgreiche Durchführung von Aufgabe 19 ist es notwendig, nach einer Lösung suchen zu können, verschiedene Ansätze aus den bekannten auszuwählen und die untersuchten Methoden zu modifizieren.

Lassen schn Summe P Glieder einer arithmetischen Folge ( ein p). Es ist bekannt, dass Sn + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Geben Sie die Formel an P Mitglied dieser Progression.

b) Finden Sie die kleinste Modulosumme Sn.

c) Finden Sie den kleinsten P, bei welchem Sn wird das Quadrat einer ganzen Zahl sein.

Lösung: a) Offensichtlich ein = Sn – Sn- eines . Mit dieser Formel erhalten wir:

Sn = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

Sn – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

meint, ein = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

b) weil Sn = 2n 2 – 25n, dann betrachte die Funktion S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ihr Diagramm ist in der Abbildung zu sehen.

Es ist offensichtlich, dass der kleinste Wert an den ganzzahligen Punkten erreicht wird, die den Nullstellen der Funktion am nächsten liegen. Das sind natürlich Punkte. X= 1, X= 12 und X= 13. Da, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, dann ist der kleinste Wert 12.

c) Aus dem vorigen Absatz folgt, dass schn seither positiv n= 13. Seit Sn = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), dann wird der offensichtliche Fall realisiert, dass dieser Ausdruck ein perfektes Quadrat ist, wenn n = 2n- 25, das heißt mit P= 25.

Es bleibt, die Werte von 13 bis 25 zu überprüfen:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Es stellt sich heraus, dass für kleinere Werte P volles Quadrat wird nicht erreicht.

Antworten: a) ein = 4n- 27; b) 12; c) 25.

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*Seit Mai 2017 gehört die gemeinsame Verlagsgruppe DROFA-VENTANA zur Russian Textbook Corporation. Zum Konzern gehörten auch der Astrel-Verlag und die digitale Bildungsplattform LECTA. Alexander Brychkin, Absolvent der Finanzakademie der Regierung der Russischen Föderation, Kandidat der Wirtschaftswissenschaften, Leiter innovativer Projekte des DROFA-Verlags im Bereich der digitalen Bildung (elektronische Formen von Lehrbüchern, Russian Electronic School, LECTA Digital Education). Plattform) wurde zum Generaldirektor ernannt. Vor seinem Eintritt in den DROFA-Verlag bekleidete er die Position des Vizepräsidenten für Strategische Entwicklung und Investitionen der Verlagsholding EKSMO-AST. Heute hat die Russian Textbook Publishing Corporation das größte Portfolio an Lehrbüchern, die in der föderalen Liste enthalten sind – 485 Titel (ca. 40 %, ohne Lehrbücher für Besserungsschulen). Die Verlage des Konzerns besitzen die von den russischen Schulen am meisten nachgefragten Lehrbücher in Physik, Zeichnen, Biologie, Chemie, Technik, Erdkunde und Astronomie - Wissensgebiete, die zur Entwicklung des Produktionspotentials des Landes benötigt werden. Das Portfolio des Unternehmens umfasst Lehrbücher und Lehrmittel für Grundschulen, die mit dem Bildungspreis des Präsidenten ausgezeichnet wurden. Dies sind Lehrbücher und Handbücher zu Fachgebieten, die für die Entwicklung des wissenschaftlichen, technischen und industriellen Potenzials Russlands erforderlich sind.

Übung 1

Wenn \(74\) Personen \(40\%\) sind, dann sind \(74:2=37\) Personen \(20\%\) . Daher sind \(100\%\) \(37\cdot 5=185\) Personen.

Antwort: 185

Aufgabe 2

Das Diagramm zeigt die Abhängigkeit der Wassertemperatur, ausgedrückt in Grad Celsius, von der Zeit, die seit Beginn der Erwärmung gezählt wird. Auf der Abszisse ist die Zeit in Minuten aufgetragen, auf der Ordinate die Temperatur. Bestimmen Sie anhand des Diagramms, um wie viel Grad sich die Wassertemperatur von \(3\) Minuten auf \(8\) Minuten geändert hat. Geben Sie Ihre Antwort in Grad Celsius an.

Das Diagramm zeigt, dass die Wassertemperatur nach \(3\) Minuten nach Beginn des Aufheizens gleich \(40^\circ C\) war, nach \(8\) Minuten war die Temperatur gleich \(90^\) circ C\) , also von \(3\) bis \(8\) Minute änderte sich die Temperatur auf \(90-40=50^\circ C\) .

Antwort: 50

Aufgabe 3

Auf kariertem Papier ist ein Dreieck \(ABC\) abgebildet. Finde die Mittellinie dieses Dreiecks parallel zur Seite \(AB\) .

Da die Mittellinie eines Dreiecks gleich der Hälfte der Seite ist, zu der es parallel ist, ist die Mittellinie parallel zu \(AB\) \(0.5 AB\) . Da \(AB=5\) , ist die Mittellinie \(2,5\) .

Antwort: 2.5

Aufgabe 4

\(500\) Schulkinder kamen zur Olympiade in Mathematik. Sie wurden in vier Klassenzimmern untergebracht: in drei Klassenzimmern für \(150\) Personen, im vierten -\(50\) Personen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler in einem kleinen Klassenzimmer eine Olympiade schreiben wird.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit als das Verhältnis der Anzahl geeigneter Ergebnisse zur Anzahl aller Ergebnisse. Da es in einem kleinen Auditorium \(50\) Sitzplätze gibt, beträgt die Anzahl geeigneter Sitzplätze \(50\) . Sitzplätze insgesamt \(500\) . Daher ist die Wahrscheinlichkeit \[\dfrac(50)(500)=0,1.\]

Antwort: 0,1

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Gegeben sei ein Parallelogramm mit den Seiten \(21\) und \(28\) . Auf der kleineren Seite wird eine Höhe gezeichnet, deren Länge \(20\) ist. Finden Sie die Länge der Höhe, die zur längeren Seite gezogen wird.

Betrachten Sie die Zeichnung. Da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus einer Seite und der zu dieser Seite gezogenen Höhe ist, ist die Fläche dieses Parallelogramms \(21\cdot 20\) oder \(28\cdot h\) . Folglich, \

Antwort: 15

Aufgabe 7

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung der Funktion \(y = f(x)\) . Auf der x-Achse sind sieben Punkte markiert: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\ ) . An wie vielen dieser Punkte steigt die Funktion \(f(x)\) an?

Die Funktion steigt an den Stellen an, an denen der Wert ihrer Ableitung positiv ist. Da der Graph der Ableitung in der Abbildung dargestellt ist, sind daher für uns diejenigen Punkte geeignet, an denen der Graph der Ableitung OBERHALB der x-Achse liegt. Dies sind die Punkte \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Insgesamt gibt es 5 solcher Punkte.

Antwort: 5

Aufgabe 8

Wasser wird in ein zylindrisches Gefäß bis zur Höhe \(32\) cm gegossen. Welchen Füllstand erreicht das Wasser, wenn es in ein anderes zylindrisches Gefäß gegossen wird, dessen Grundradius das 4-fache des Grundradius des ersten Gefäßes beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in cm an.

Der Radius der Basis des ersten Gefäßes sei gleich \(R_1\) und der Radius der Basis des zweiten gleich \(R_2\) . Dann \(R_2=4R_1\) . Beachten Sie, dass beim Gießen von Wasser von einem Gefäß in ein anderes das Wasservolumen konstant bleibt. Wenn Wasser im ersten Gefäß war, ist sein Volumen gleich dem Volumen eines Zylinders mit Höhe \(32\) und Basisradius \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) . Als es in das zweite Gefäß gegossen wurde, ist sein Volumen gleich dem Volumen eines Zylinders mit einer Höhe \(h\) (dieser Wert muss gefunden werden) und einem Basisradius \(R_2\) , also \(V =\pi R_2^2\cdot h\ ) . Aber dann: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac(R_1)(R_2)\right)^2\cdot 32=\left( \dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]

Antwort: 2

Aufgabe 9

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \

Lassen Sie uns den Ausdruck im Formular umschreiben \ Gemäß der Doppelwinkelkosinusformel \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) wird der Ausdruck umgeschrieben als \

Antwort: -3

Aufgabe 10

Wenn sich Quelle und Empfänger von Schallsignalen in einem bestimmten Medium geradlinig aufeinander zubewegen, stimmt die vom Empfänger aufgenommene Frequenz des Schallsignals nicht mit der Frequenz des Originalsignals \(f_0=140\) Hz überein und wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt: \ wobei \(c\) die Geschwindigkeit der Signalausbreitung im Medium (in m/s) und \(u=15\) m/s und \(v=14\) m/s die Geschwindigkeiten des Empfängers sind und Quelle relativ zum Medium. Bei welcher maximalen Geschwindigkeit \(c\) (in m/s) der Signalausbreitung im Medium beträgt die Signalfrequenz \(f\) im Empfänger mindestens \(145\) Hz?

Da wir ein \(c\) finden müssen, so dass \(f\geqslant 145\) , müssen wir die Ungleichung lösen \ Lösen wir diese Ungleichung mit der Intervallmethode, erhalten wir \(c\in \) . Daher wird für solche Werte \(c\) der Wert \(f\) mindestens \(145\) sein. Dann ist der größte Wert von \(c\) \(826\) .

Antwort: 826

Aufgabe 11

Das Schiff, dessen Geschwindigkeit in stillem Wasser \(27\) km/h beträgt, bewegt sich flussabwärts von Punkt A nach Punkt B. Bei der Ankunft an Punkt B machte das Schiff einen Halt für \(5\) Stunden und kehrte dann nach zurück Punkt A. Es ist bekannt, dass das Schiff bis zu \(32\) Stunden nach Abfahrt von A zu Punkt A zurückgekehrt ist. Wie viele Kilometer hat das Schiff zurückgelegt, wenn die Flussgeschwindigkeit \(1\) km/h beträgt?

Der Abstand zwischen den Punkten A und B sei \(S\) . Dann verbrachte das Schiff auf der Straße von A nach B \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(hours)))\] Dann machte er 5 Stunden an Punkt B Halt und verbrachte auf dem Weg von B nach A \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(hours)))\] Insgesamt verbrachte er 32 Stunden damit, \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28 \] Dann legte das gesamte Schiff \(2S\) Kilometer zurück, oder \

Antwort: 728

Aufgabe 12

Finde den Minimalpunkt der Funktion \

odz-Funktionen: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

Die Minimumpunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Ableitung ihr Vorzeichen von „\(-\)“ nach „\(+\)“ ändert (von links nach rechts gesehen). Wir finden die Ableitung, ihre Nullstellen und Punkte, wo sie nicht existiert, und berechnen die Vorzeichen der resultierenden Intervalle. \ Nullstellen der Ableitung: \ Abgeleitete Zeichen auf ODZ:

Daher ist \(x=-9\) ein Minimumpunkt.

Antwort: -9

Aufgabe 13

a) Lösen Sie die Gleichung \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

b) Geben Sie alle Wurzeln dieser Gleichung an, die zu dem Segment gehören \(\left[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\right].\)

a) ODZ-Gleichung: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Lösen wir die Gleichung für ODZ. Es kann umgewandelt werden: \[\begin(aligned) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow \\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(aligned)\] Die Lösungen dieser Gleichung sind \(\cos x=0\) und \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) : \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k,k\in\mathbb(Z) \end(aligned)\end(gathered) \Rechts.\] Lassen Sie uns überprüfen, ob diese Wurzeln zur ODZ passen. Da diese Wurzeln aus der Gleichung \((*)\) und \(4^x>0\) für alle \(x\) erhalten wurden, dann, wenn diese Wurzeln in die Gleichung eingesetzt werden, ist die linke Seite \(( *)\) wird auch immer \(>0\) sein. Und das ist die ODZ. Daher erfüllen alle Wurzeln die ODZ.

b) Nehmen wir die Wurzeln. \[\begin(aligned) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rechtspfeil\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(aligned)\]

Antworten:

a) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \in\mathbb(Z)\)

b) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

Aufgabe 14

Die Basis der viereckigen Pyramide \(SABCD\) ist das Rechteck \(ABCD\) , wobei \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Die Basis der Höhe der Pyramide ist der Mittelpunkt des Rechtecks. Von den Knoten \(A\) und \(C\) werden die Senkrechten \(AP\) und \(CQ\) auf die Kante \(SB\) fallen gelassen.

a) Beweisen Sie, dass \(P\) der Mittelpunkt von \(BQ\) ist.

b) Finden Sie den Winkel zwischen den Flächen \(SBA\) und \(SBC\) wenn \(SD=9\) .

a) Sei \(O\) der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks ​​\(ABCD\) . Dann ist \(SO\) die Höhe der Pyramide. Da die Diagonalen des Rechtecks ​​gleich sind und der Schnittpunkt halbiert ist, gilt \(AO=BO=CO=DO\) . Folglich, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle DOS\), woher \(AS=BS=CS=DS\) . Bezeichne \(AS=x\) .
Betrachten Sie das Gesicht \(ASB\) . Lassen Sie uns \(SK\perp AB\) zeichnen. Dann \(KB=0.5 AB=1.5\sqrt2\) . Dann \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\] Betrachten Sie das Gesicht \(CSB\) . Lass uns \(SH\perp CB\) machen. Dann \(HB=0.5 CB=3\) . Dann \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac (18)x\] Daher \Thd.

b) Durch Bedingung \(x=9\) . Beachte, dass im Gesicht \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (weil \(PH\) die Mittellinie in \(\triangle CQB\) ist) also \(PH\perp SB\) . Daher ist \(\angle APH\) per Definition der lineare Flächenwinkel zwischen den Flächen \(SBC\) und \(SBA\) . Finden wir es mit dem Kosinussatz von \(\triangle APH\) .

\(BP=\frac9(x)=1\) . Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras aus \(\triangle ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) .
Nach dem Satz des Pythagoras aus \(\triangle HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) .
Nach dem Satz des Pythagoras aus \(\triangle ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) .
Daher gilt nach dem Kosinussatz aus \(\triangle APH\) : \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\] Daher ist der Winkel zwischen den Flächen \(SAB\) und \(SCB\) gleich \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\right)\]

Antworten:

b) \(\arccos\left(-\frac1(2\sqrt(34))\right)\)

Aufgabe 15

Löse die Ungleichung \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

Nehmen wir die Änderung \(2^x=t\) vor, dann nimmt die Ungleichung die Form an \[\begin(aligned) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\ Leftrightarrow\quad \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(2(t-1)^2)((t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(aligned)\] Wir lösen diese Ungleichung mit der Intervallmethode:

Dann wird die Lösung sein \[\left[\begin(gesammelt)\begin(ausgerichtet) &t=1\\ &4 Dann lautet die Antwort: \

Antworten:

\(\(0\)\cup(2;3)\)

Aufgabe 16

Der Punkt \(E\) ist der Mittelpunkt der lateralen Seite \(CD\) des Trapezes \(ABCD\) . Ein Punkt \(K\) wird auf seiner Seite \(AB\) genommen, so dass die Linien \(CK\) und \(AE\) parallel sind. Die Segmente \(CK\) und \(BE\) schneiden sich im Punkt \(O\) .

a) Beweisen Sie, dass \(CO=OK\) .

b) Finden Sie das Verhältnis der Basen des Trapezes \(BC:AD\), wenn die Fläche des Dreiecks \(BCK\) \(\dfrac9(64)\) der Fläche des gesamten Trapezes ist \(A B C D\) .

a) Verlängere \(AE\) und \(BC\) bis zum Schnittpunkt im Punkt \(P\) :

Dann \(\angle AED=\angle CEP\) als senkrechte, \(\angle ADE=\angle PCE\) als quer bei \(AD\parallel BP\) und \(CD\) Sekanten. Also entlang einer Seite und zwei angrenzenden Winkeln \(\triangle AED=\triangle CEP\). Dann \(AD=CP\) , \(AE=EP\) .
Seit \(CK\parallel AP\) also \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\) und \(CBO\sim \triangle PBE\) , also \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Rightarrow\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP )=1\] Also \(KO=OC\) , chtd.

b) Weil \(\triangle AED=\triangle CEP\), dann \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) . Also \ Seit \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\), dann beziehen sich ihre Flächen als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten, daher \ Daher \(BC:BP=3:8\) , was \(BC:AD=BC:CP=3:5\) bedeutet.

Antworten:

b) \(3:5\)

Aufgabe 17

Im Juli 2020 ist geplant, bei einer Bank einen Kredit über einen bestimmten Betrag aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt:
- jeden Januar steigt die Verschuldung um \(30\%\) im Vergleich zum Ende des Vorjahres;
- Von Februar bis Juni eines jeden Jahres muss ein Teil der Schulden in einer Zahlung beglichen werden.
Wie viele Rubel wurden von der Bank genommen, wenn bekannt ist, dass das Darlehen in drei gleichen Zahlungen (dh für 3 Jahre) vollständig zurückgezahlt wurde und der Betrag der Zahlungen den von der Bank genommenen Betrag um \(156\,060 \) Rubel?

Sei \(A\) Rubel der geliehene Betrag. Beachten Sie, dass das Darlehen in Annuitätenzahlungen zurückgezahlt wird. Lassen Sie uns \(t=1,3\) bezeichnen und eine Tabelle erstellen: \[\begin(array)(|l|l|l|c|) \hline \text(Jahreszahl) & \text(Schulden vor Abgrenzung )\% & \text(Schulden nach Abgrenzung )\% & \text( Zahlung)\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA- x)-x) &x\\ \hline \end(array)\] Dann wird nach der letzten Zahlung die Schuld gleich sein \ Nach Bedingung \(3x-A=156\,060\) gilt also \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Rightarrow\quad A=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) erfüllt \((2)\) . Beachten Sie auch, dass die Wurzel \(x_1\) zum Segment \(\) gehört.
Betrachten Sie drei Fälle:

1) \(a>0\) . Dann \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) erfüllt \((2)\) , \(x_3\) erfüllt nicht \((1)\) , oder stimmt mit \(x_1\) überein, oder erfüllt \((1)\) , aber nicht im Segment \(\) enthalten (also kleiner als \(0\) );
- \(x_1\) erfüllt nicht \((2)\) , \(x_3\) erfüllt \((1)\) und ist nicht gleich \(x_1\) .
Beachten Sie, dass \(x_3\) nicht sowohl kleiner als Null sein als auch \((1)\) erfüllen kann (d. h. größer als \(\frac35\) ). Angesichts dieser Bemerkung werden die Fälle in der folgenden Gruppe aufgezeichnet: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Wenn wir diese Sammlung lösen und berücksichtigen, dass \(a>0\) , erhalten wir: \

2) \(a=0\) . Dann \(x_2=x_3=3\in .\) Beachten Sie, dass in diesem Fall \(x_1\) \((2)\) erfüllt und \(x_2=3\) \((1)\) erfüllt, dann dort ist eine Gleichung, die zwei Wurzeln bei \(\) hat. Dieser Wert \(a\) passt nicht zu uns.

3) \(ein<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) und \(x_3\notin \) . Wenn Sie ähnlich wie in Absatz 1 argumentieren, müssen Sie die Menge lösen: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(gesammelt)\right.\] Lösen der gegebenen Bevölkerung und gegeben, dass \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Dann ist die Summe aller hundert Zahlen die kleinstmögliche Summe für den Fall, dass unter den Zahlen \(230\) sind. Rechnen wir es aus: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\] Wir haben einen Widerspruch mit der Bedingung, daher lautet die Antwort: nein.

b) Angenommen, es gibt keine Zahl \(14\) auf der Tafel. Sortieren wir die Zahlen wieder aufsteigend und betrachten die Zahlen: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\). Wir nahmen den kleinstmöglichen Wert für die erste Zahl, für die zweite und so weiter. Dann ist die Summe aller dieser Zahlen die kleinstmögliche Summe unter den Summen beliebiger hundert natürlicher Zahlen. Es ist gleich: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\] Wir haben wieder einen Widerspruch mit der Bedingung bekommen, daher lautet die Antwort: nein.

c) Lassen Sie uns ein Beispiel geben, wenn es unter den Zahlen vier Zahlen gibt, die Vielfache von \(14\) sind (dies sind die Zahlen \(14, 28, 42, 56\) ): \ Lassen Sie uns beweisen, dass es nicht weniger als vier Zahlen geben kann, die Vielfache von \(14\) sind.
Nehmen wir eine Reihe von Zahlen von \(1\) bis \(100\) . Die Summe der Zahlen in diesem Satz ist \(5050\) . Dies ist die kleinstmögliche Summe von 100 verschiedenen natürlichen Zahlen. Nennen wir Zahlen, die Vielfache von \(14\) strange sind. Es gibt 7 seltsame Zahlen in diesem Set. Wir werden die Anzahl der seltsamen Zahlen in unserer Menge reduzieren und die Summe der Zahlen in der Menge minimal halten.
Damit die Summe der Zahlen minimal wird, müssen wir also die größte seltsame Zahl entfernen - das ist \(98\) . Dann muss er im Gegenzug eine weitere Zahl hinzufügen (nicht seltsam!). Die kleinste solche Zahl ist \(101\) . Danach erhalten wir den Mindestbetrag in Höhe von \(5053\) . Es ist weniger als \(5120\) , also machen wir weiter.
Entfernen Sie auf die gleiche Weise die seltsamen Zahlen \(98, 84, 70\) . Fügen Sie stattdessen \(101, 102, 103\) hinzu. In diesem Fall erhalten wir den Mindestbetrag gleich \(5104\) . Wenn wir diese Operation noch einmal ausführen, also \(56\) entfernen und \(104\) hinzufügen, erhalten wir die Mindestsumme \(5152\) , die größer als \(5120\) ist. Da die Summe der Zahlen in unserer Menge minimal ist, erhalten wir einen Widerspruch.