VERWENDUNG 2017. Mathematik. Aufgabe 18. Aufgaben mit einem Parameter. Sadovnichij Yu.V.

M.: 2017. - 128 S.

Dieses Buch widmet sich ähnlichen Aufgaben wie Aufgabe 18 der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik (Aufgabe mit Parameter). Es werden verschiedene Methoden zur Lösung solcher Probleme betrachtet, und grafischen Illustrationen wird viel Aufmerksamkeit geschenkt. Das Buch wird für Gymnasiasten, Mathematiklehrer und Tutoren nützlich sein.

Format: pdf

Die Größe: 1,6 MB

Ansehen, herunterladen:drive.google

INHALT
Einführung 4
§eines. Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme 5
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 11
§2. Untersuchung des quadratischen Trinoms mit der Diskriminante 12
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 19
§3. Satz von Vieta 20
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 26
§vier. Lage der Wurzeln des quadratischen Trinoms 28
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 43
§5. Anwendung grafischer Illustrationen
zum Studium des quadratischen Trinoms 45
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 55
§6. Funktionseinschränkung. Reichweite finden 56
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 67
§7. Andere Eigenschaften von Funktionen 69
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 80
§acht. Logikaufgaben mit Parameter 82
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 93
Abbildungen auf der Koordinatenebene 95
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 108
Okha-Methode 110
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 119
Antworten 120

Dieses Buch widmet sich ähnlichen Aufgaben wie Aufgabe 18 der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik (Aufgabe mit Parameter). Zusammen mit Aufgabe 19 (eine Aufgabe, die die Eigenschaften ganzer Zahlen verwendet) ist Aufgabe 18 die schwierigste in der Variante. Dennoch versucht das Buch, Probleme dieser Art nach verschiedenen Lösungsmethoden zu systematisieren.
Einige Absätze sind einem scheinbar so beliebten Thema wie dem Studium des quadratischen Trinoms gewidmet. Manchmal erfordern solche Aufgaben jedoch andere, manchmal unerwartete Lösungsansätze. Ein solcher nicht standardmäßiger Ansatz wird in Beispiel 7 von Absatz 2 demonstriert.
Bei der Lösung eines Problems mit einem Parameter ist es oft notwendig, die in der Bedingung angegebene Funktion zu untersuchen. Das Buch formuliert einige Aussagen über Eigenschaften von Funktionen wie Beschränktheit, Parität, Stetigkeit; Danach demonstrieren Beispiele die Anwendung dieser Eigenschaften zur Lösung von Problemen.

Der Aufgabentext beschränkt das Material nur auf Fälle von Kommasetzungen. Das ist eine deutliche Einengung des Themas.

Kommas werden in folgenden Fällen verwendet:

Der Nebensatz wird vom Hauptkomma getrennt, wenn er vor oder nach dem Hauptsatz steht:

Als sie den Raum betrat, stand ich auf.

(Wann…), .

Ich stand auf, als sie den Raum betrat.

, (Wenn…).

Der Nebensatz wird auf beiden Seiten durch Kommas vom Hauptsatz getrennt, wenn er innerhalb des Hauptsatzes steht:

Gestern, als Ivan anrief, war ich beschäftigt.

[ , (Wenn…), ].

Homogene Nebensätze, die ohne Gewerkschaft verbunden sind, werden durch ein Komma getrennt:

Er wusste, dass der Lehrer seine Mutter anrufen würde, seine Mutter würde sehr unglücklich sein, er würde geschlagen werden.

, (was …), (), ().

Homogene Klauseln werden durch wiederholte Vereinigungen verbunden, Kommas werden wie bei homogenen Mitgliedern gesetzt:

Er wusste, dass der Lehrer seine Mutter anrufen würde und dass seine Mutter sehr unglücklich sein würde und dass er hineinfliegen würde.

, (was...) und (was...) und (was...).

Relativsätze mit komplexen unterordnenden Konjunktionen weil, aufgrund der Tatsache, dass, in Anbetracht der Tatsache, dass, anstatt, um, danach, während und ähnliche werden vom Hauptsatz durch ein Komma getrennt, das an die Grenze des Haupt- und Nebensatzes gesetzt wird:

Während er sprach, wurde ich immer ratloser.

(Wie…),.

Ich wurde immer verwirrter, während er sprach.

, (wie...).

Während er sprach, wurde ich immer ratloser.

[ (wie...) ].

Zusammengesetzte Gewerkschaften können in zwei Teile zerfallen, wenn:

1) Vor ihnen befindet sich ein negatives Teilchen nicht:

Sie ist nicht Ich antwortete, weil ich Angst hatte.

2) es gibt Partikel vor ihnen nur, gerade, gerade usw., was eine einschränkende Bedeutung ausdrückt:

Sie antwortete nur weil sie Angst hatte.

Aufmerksamkeit:

Gewerkschaften während, als ob, selbst wenn, nur wenn nicht kaputtmachen.

Wenn es zwei untergeordnete Vereinigungen in der Nähe gibt, wird in allen Fällen ein Komma dazwischen gesetzt, außer wenn es sich um komplexe Vereinigungen mit handelt dann.

Brauchen Sie ein Komma: Sie beschlossen, dass sie die Stadt verlassen würden, wenn das Wetter morgens gut wäre.
Ohne Komma: Sie haben entschieden, dass wenn das Wetter am Morgen schön ist, dann Sie gehen aus der Stadt.

Definitivsätze mit einem verwandten Wort welche die. Ein Komma nach einem verwandten Wort, das nicht gesetzt wird. Diese Regel funktioniert auch, wenn das Wort welche die im adverbialen Umsatz enthalten:

Ich weiß nicht, wie ich auf eine Situation reagieren soll, aus der ich keinen Ausweg sehe.

Wir ließen uns am Ufer des Sees nieder, dessen Ufer mit Preiselbeeren bewachsen waren.

(Komma nach Adverbialphrase zu wissen welche nicht festgelegt).

In Kontakt mit

Klassenkameraden

Handbuch zur Prüfungsvorbereitung

• Aufgabe 16. Satzzeichen in Sätzen mit getrennten Gliedern (Definitionen, Umstände, Anwendungen, Ergänzungen)
• Aufgabe 17. Satzzeichen in Sätzen mit Wörtern und Strukturen, die keinen grammatikalischen Bezug zu den Satzgliedern haben

USE in der Profilebene Mathematik

Die Arbeit besteht aus 19 Aufgaben.
Teil 1:
8 Aufgaben mit einer kurzen Antwort der grundlegenden Schwierigkeitsstufe.
Teil 2:
4 Aufgaben mit einer kurzen Antwort
7 Aufgaben mit detaillierter Beantwortung von hoher Komplexität.

Laufzeit - 3 Stunden 55 Minuten.

Beispiele für USE-Zuweisungen

Lösen von USE-Aufgaben in Mathematik.

Für eine eigenständige Lösung:

1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 80 Kopeken.
Der Stromzähler zeigte am 1. November 12625 Kilowattstunden und am 1. Dezember 12802 Kilowattstunden an.
Wie viel müssen Sie im November für Strom bezahlen?
Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an.

Problem mit Lösung:

In einer regelmäßigen Dreieckspyramide ABCS mit einer Basis ABC sind die Kanten bekannt: AB \u003d 5 Wurzeln aus 3, SC \u003d 13.
Finden Sie den Winkel, der durch die Ebene der Basis und die gerade Linie gebildet wird, die durch den Mittelpunkt der Kanten AS und BC verläuft.

Lösung:

1. Da SABC eine regelmäßige Pyramide ist, ist ABC ein gleichseitiges Dreieck und die restlichen Flächen sind gleichschenklige Dreiecke.
Das heißt, alle Seiten der Basis sind 5 sqrt(3) und alle Seitenkanten sind 13.

2. Sei D der Mittelpunkt von BC, E der Mittelpunkt von AS, SH die Höhe von Punkt S bis zur Basis der Pyramide, EP die Höhe von Punkt E bis zur Basis der Pyramide.

3. Finde AD aus dem rechtwinkligen Dreieck CAD unter Verwendung des Satzes des Pythagoras. Sie erhalten 15/2 = 7,5.

4. Da die Pyramide regelmäßig ist, ist der Punkt H der Schnittpunkt der Höhen / Seitenhalbierenden / Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC, was bedeutet, dass er AD im Verhältnis 2: 1 (AH = 2 AD) teilt.

5. Finden Sie SH aus dem rechtwinkligen Dreieck ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, nach dem Satz des Pythagoras SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Die Dreiecke AEP und ASH sind beide rechtwinklig und haben einen gemeinsamen Winkel A, also ähnlich. Nach Annahme ist AE = AS/2, daher sowohl AP = AH/2 als auch EP = SH/2.

7. Es bleibt das rechtwinklige Dreieck EDP zu betrachten (uns interessiert nur der Winkel EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Winkel Tangente EDP = EP/DP = 6/5,
Winkel EDP = arctg(6/5)

Antworten:

An der Wechselstube kostet 1 Griwna 3 Rubel 70 Kopeken.
Urlauber tauschten Rubel gegen Griwna und kauften 3 kg Tomaten zum Preis von 4 Griwna pro 1 kg.
Wie viel hat sie dieser Kauf gekostet? Runden Sie Ihre Antwort auf die nächste ganze Zahl.

Mascha schickte SMS-Nachrichten mit Neujahrsgrüßen an ihre 16 Freunde.
Die Kosten für eine SMS-Nachricht betragen 1 Rubel 30 Kopeken. Vor dem Senden der Nachricht hatte Mascha 30 Rubel auf ihrem Konto.
Wie viele Rubel wird Mascha haben, nachdem sie alle Nachrichten gesendet hat?

Die Schule verfügt über Dreifach-Touristenzelte.
Was ist die kleinste Anzahl an Zelten für eine Wanderung mit 20 Personen?

Der Zug Nowosibirsk-Krasnojarsk fährt um 15:20 Uhr ab und kommt am nächsten Tag um 4:20 Uhr (Ortszeit Moskau) an.
Wie viele Stunden fährt der Zug?

Weißt du, was?

Unter allen Figuren mit gleichem Umfang hat der Kreis die größte Fläche. Umgekehrt hat der Kreis unter allen Figuren mit gleichem Flächeninhalt den kleinsten Umfang.

Leonardo da Vinci leitete die Regel ab, dass das Quadrat des Durchmessers eines Baumstamms gleich der Summe der Quadrate der Durchmesser der Äste ist, gemessen an einer gemeinsamen festen Höhe. Spätere Studien bestätigten es mit nur einem Unterschied – der Grad in der Formel ist nicht unbedingt gleich 2, sondern liegt im Bereich von 1,8 bis 2,3. Traditionell wurde angenommen, dass dieses Muster darauf zurückzuführen ist, dass ein Baum mit einer solchen Struktur über einen optimalen Mechanismus verfügt, um Zweige mit Nährstoffen zu versorgen. 2010 fand der amerikanische Physiker Christoph Elloy jedoch eine einfachere mechanische Erklärung für das Phänomen: Betrachten wir einen Baum als Fraktal, dann minimiert Leonardos Gesetz die Wahrscheinlichkeit, dass Äste unter Windeinfluss brechen.

Laborstudien haben gezeigt, dass Bienen in der Lage sind, die beste Route zu wählen. Nach der Lokalisierung der an verschiedenen Orten platzierten Blumen macht die Biene einen Flug und kehrt so zurück, dass der letzte Weg der kürzeste ist. Damit meistern diese Insekten effektiv das klassische „Travelling-Salesman-Problem“ aus der Informatik, für dessen Lösung moderne Computer je nach Punktezahl mehr als einen Tag benötigen.

Wenn Sie Ihr Alter mit 7 multiplizieren und dann mit 1443 multiplizieren, ist das Ergebnis Ihr Alter, das dreimal hintereinander geschrieben wird.

Wir betrachten negative Zahlen als etwas Natürliches, aber das war bei weitem nicht immer der Fall. Zum ersten Mal wurden negative Zahlen in China im 3. Jahrhundert legalisiert, aber nur in Ausnahmefällen verwendet, da sie im Allgemeinen als bedeutungslos angesehen wurden. Wenig später wurden in Indien negative Zahlen verwendet, um Schulden zu bezeichnen, aber sie haben im Westen keine Wurzeln geschlagen - der berühmte Diophantus von Alexandria argumentierte, dass die Gleichung 4x + 20 = 0 absurd sei.

Der amerikanische Mathematiker George Dantzig, ein Doktorand an der Universität, kam eines Tages zu spät zum Unterricht und nahm die an die Tafel geschriebenen Gleichungen als Hausaufgabe. Es erschien ihm komplizierter als sonst, aber nach ein paar Tagen war er fertig. Es stellte sich heraus, dass er zwei "unlösbare" Probleme in der Statistik löste, mit denen viele Wissenschaftler zu kämpfen hatten.

In der russischen mathematischen Literatur ist Null keine natürliche Zahl, in der westlichen Literatur dagegen gehört sie zur Menge der natürlichen Zahlen.

Das von uns verwendete Dezimalzahlensystem entstand aus der Tatsache, dass eine Person 10 Finger an ihren Händen hat. Die Fähigkeit zum abstrakten Zählen tauchte bei den Menschen nicht sofort auf, und es stellte sich heraus, dass es am bequemsten war, die Finger zum Zählen zu verwenden. Die Maya-Zivilisation und unabhängig von ihnen die Chukchi verwendeten historisch das dezimale Zahlensystem, wobei nicht nur die Finger, sondern auch die Zehen verwendet wurden. Die Grundlage des im alten Sumer und Babylon üblichen Duodezimal- und Sexagesimalsystems war auch die Verwendung von Händen: Die Phalangen anderer Finger der Handfläche, deren Anzahl 12 beträgt, wurden mit dem Daumen gezählt.

Eine bekannte Dame bat Einstein, sie anzurufen, warnte jedoch, dass ihre Telefonnummer sehr schwer zu merken sei: - 24-361. Denken Sie daran? Wiederholen! Überrascht antwortete Einstein: - Natürlich erinnere ich mich! Zwei Dutzend und 19 zum Quadrat.

Stephen Hawking ist einer der größten theoretischen Physiker und Popularisierer der Wissenschaft. In einer Geschichte über sich selbst erwähnte Hawking, dass er Professor für Mathematik wurde, nachdem er seit der High School keine mathematische Ausbildung erhalten hatte. Als Hawking anfing, Mathematik in Oxford zu unterrichten, las er sein Lehrbuch zwei Wochen vor seinen eigenen Schülern.

Die maximale Zahl, die in römischen Ziffern geschrieben werden kann, ohne die Schwartzman-Regeln (Regeln zum Schreiben römischer Ziffern) zu verletzen, ist 3999 (MMMCMXCIX) - Sie können nicht mehr als drei Ziffern hintereinander schreiben.

Es gibt viele Parabeln darüber, wie jemand einem anderen anbietet, ihn für einen Dienst wie folgt zu bezahlen: Er legt ein Reiskorn auf das erste Feld des Schachbretts, zwei auf das zweite und so weiter: Jedes nächste Feld ist doppelt so viel wie der vorherige. Wer auf diese Weise bezahlt, wird folglich ruiniert. Das ist nicht überraschend: Es wird geschätzt, dass das Gesamtgewicht des Reises mehr als 460 Milliarden Tonnen betragen wird.

In vielen Quellen findet sich die Aussage, dass Einstein in der Mathematik in der Schule durchgefallen ist oder darüber hinaus generell in allen Fächern schlecht gelernt hat. Tatsächlich war dies nicht der Fall: Albert zeigte schon früh Talent in Mathematik und kannte es weit über den Schulstoff hinaus.

USE 2020 in Mathematik Aufgabe 18 mit einer Lösung

Demoversion der Einheitlichen Staatsprüfung 2020 in Mathematik

Einheitliche Staatsprüfung Mathematik 2020 im pdf-Format Grundstufe | Profilebene

Aufgaben zur Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik: Grund- und Profilniveau mit Antworten und Lösungen.

Mathematik: Grundkenntnisse | Profil 1-12 | | | | | | | | Heimat

USE 2020 in Mathematik Aufgabe 18

USE 2020 in Mathematik Profilstufe Aufgabe 18 mit Lösung

VERWENDUNG in der Mathematik

Finden Sie alle positiven Werte des Parameters a,
für die jeweils die Gleichung und x = x hat eine einzigartige Lösung.

Sei f(x) = a x , g(x) = x.

Die Funktion g(x) ist stetig, streng steigend über den gesamten Definitionsbereich und kann jeden Wert von minus unendlich bis plus unendlich annehmen.

Bei 0< a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

Für a = 1 ist die Funktion f(x) identisch gleich eins, und die Gleichung f(x) = g(x) hat auch eine eindeutige Lösung x = 1.

Für a > 1:
Die Ableitung der Funktion h(x) = (a x - x) ist
(a x - x) = a x ln(a) - 1
Setzen wir es gleich Null:
a x ln(a) = 1
a x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

Die Ableitung hat eine einzige Null. Links von diesem Wert nimmt die Funktion h(x) ab, rechts steigt sie an.

Daher hat es entweder überhaupt keine Nullen oder zwei Nullen. Und es hat nur dann eine Wurzel, wenn es mit dem gefundenen Extremum zusammenfällt.

Das heißt, wir müssen einen Wert a finden, für den die Funktion gilt
h(x) = a x - x erreicht ein Extremum und verschwindet an derselben Stelle. Mit anderen Worten, wenn die Linie y = x den Graphen der Funktion a x tangiert.

Ein x = x
a x ln(a) = 1

Setzen Sie a x = x in die zweite Gleichung ein:
x ln(a) = 1, womit ln(a) = 1/x, a = e (1/x) .

Wieder in die zweite Gleichung einsetzen:
(e (1/x)) x (1/x) = 1
e1 = x
x = z.

Und wir setzen dies in die erste Gleichung ein:
ein e = e
a = e (1/e)

Antworten:

(0;1](e (1/e) )

VERWENDUNG in der Mathematik

Finde alle Werte des Parameters a für die die Funktion
f(x) = x 2 – |x – a 2 | - 9x
hat mindestens einen Maximalpunkt.

Lösung:

Erweitern wir das Modul:

Für x<= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
für x > a 2: f(x) = x 2 - 10x + a 2 .

Ableitung der linken Seite: f "(x) \u003d 2x - 8
Ableitung der rechten Seite: f "(x) \u003d 2x - 10

Sowohl die linke als auch die rechte Seite können nur ein Minimum haben. Das bedeutet, dass die Funktion f(x) genau dann ein eindeutiges Maximum haben kann, wenn am Punkt x=a 2 die linke Seite zunimmt (also 2x-8 > 0) und die rechte Seite abfällt (also 2x -10< 0).

Das heißt, wir erhalten das System:
2x-8 > 0
2x-10< 0
x = a2

Wo
4 < a 2 < 5

a ~ (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Antworten:(-Quadrat(5); -2) ~ (2; Quadrat(5))