Unterrichtstyp: Erklärung von neuem Material. Die Arbeit findet in Gruppen statt. Jede Gruppe hat einen Experten, der die Arbeit der Studenten überwacht und leitet. Hilft schwachen Schülern, an ihre Stärke beim Lösen dieser Gleichungen zu glauben.

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Verwandte Lektion

" Homogene trigonometrische Gleichungen"

(10. Klasse)

Ziel:

1. das Konzept homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades einführen;
2. einen Algorithmus zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades formulieren und erarbeiten;
3. den Schülern beibringen, homogene trigonometrische Gleichungen I. und II. Grades zu lösen;
4. die Fähigkeit entwickeln, Muster zu erkennen, zu verallgemeinern;
5. das Interesse an dem Thema wecken, ein Gefühl der Solidarität und eine gesunde Rivalität entwickeln.

Unterrichtstyp : eine Lektion in der Bildung von neuem Wissen.

Formular durchführen: in Gruppen arbeiten.

Ausstattung: Computer, Multimediainstallation

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment

Im Unterricht ein Bewertungssystem zur Wissensbewertung (der Lehrer erklärt das System zur Wissensbewertung und füllt den Bewertungsbogen durch einen unabhängigen Experten aus, der vom Lehrer aus den Schülern ausgewählt wird). Der Unterricht wird von einer Präsentation begleitet. Anhang 1.

Bewertungsbogen Nr.

II. Aktualisierung des Grundwissens..

Wir setzen unsere Beschäftigung mit dem Thema „Trigonometrische Gleichungen“ fort. Heute lernen wir Sie in der Lektion mit einer anderen Art von trigonometrischen Gleichungen und Methoden zu deren Lösung kennen und wiederholen daher das Gelernte. Alle Arten von trigonometrischen Gleichungen werden beim Lösen auf das Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert. Erinnern wir uns an die Haupttypen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Verwenden Sie die Pfeile, um die Ausdrücke zuzuordnen.

III. Motivation zum Lernen.

Wir müssen an der Lösung eines Kreuzworträtsels arbeiten. Nachdem wir es gelöst haben, werden wir den Namen einer neuen Art von Gleichungen lernen, die wir heute in der Lektion lösen werden.

Fragen werden auf die Tafel projiziert. Die Schüler raten, ein unabhängiger Experte trägt Punkte auf dem Bewertungsbogen für die antwortenden Schüler ein.

Nachdem die Jungs das Kreuzworträtsel gelöst haben, lesen sie das Wort „homogen“.

Kreuzworträtsel.

Wenn Sie die richtigen Wörter eingeben, erhalten Sie den Namen einer der Arten von trigonometrischen Gleichungen.

1. Der Wert der Variablen, der die Gleichung in eine wahre Gleichheit verwandelt? (Wurzel)

2. Maßeinheit für Winkel? (Bogenmaß)

3. Numerischer Multiplikator im Produkt? (Koeffizient)

4. Ein Bereich der Mathematik, der sich mit trigonometrischen Funktionen befasst? (Trigonometrie)

5. Welches mathematische Modell wird benötigt, um trigonometrische Funktionen einzuführen? (Kreis)

6. Welche der trigonometrischen Funktionen ist gerade? (Kosinus)

7. Wie heißt die wahre Gleichheit? (Identität)

8.Gleichheit mit einer Variablen? (Die gleichung)

9. Gleichungen mit gleichen Wurzeln? (äquivalent)

10. Wurzelsatz der Gleichung? (Lösung)

IV. Erklärung des neuen Materials.

Das Thema der Lektion ist „Homogene trigonometrische Gleichungen“. (Präsentation)

Beispiele:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin4x = cos4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 Sünde 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin2x + 2cos2x = 1

V. Selbständiges Arbeiten

Ziele: Umfassendes Testen des Wissens der Schüler beim Lösen aller Arten trigonometrischer Gleichungen, Ermutigung der Schüler zur Selbstbeobachtung und Selbstbeherrschung.
Die Studierenden werden gebeten, 10 Minuten lang eine schriftliche Arbeit zu verfassen.
Die Schüler führen zum Kopieren auf leeren Blättern Papier vor. Nach Ablauf der Zeit werden die Spitzen der selbstständigen Arbeiten eingesammelt und die Lösungen zum Abschreiben verbleiben bei den Schülern.
Die Überprüfung der selbstständigen Arbeit (3 min) erfolgt durch gegenseitige Überprüfung.
. Die Schüler überprüfen die schriftliche Arbeit ihres Nachbarn mit einem Farbstift und notieren den Namen des Prüfers. Dann überreichen Sie die Blätter.

Anschließend werden sie einem unabhängigen Gutachter übergeben.

Möglichkeit 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx=0

Möglichkeit 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + Sünde 2 x = 2 Sünde x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Zusammenfassung der Lektion

VII. Hausaufgaben:

Hausaufgaben - 12 Punkte (3 Gleichungen 4 x 3 = 12 wurden für Hausaufgaben gegeben)

Studentische Aktivität - 1 Antwort - 1 Punkt (maximal 4 Punkte)

Gleichungen lösen 1 Punkt

Selbständige Arbeit - 4 Punkte

Staatliche Hades Dorfes Teeli der Republik Tyva

Entwicklung eines Mathematikunterrichts

Unterrichtsthema:

"Homogene trigonometrische Gleichungen"

Lehrer: Oorzhak

Ailana Michailowna

Unterrichtsthema : "Homogene trigonometrische Gleichungen"(nach dem Lehrbuch von A.G. Mordkovich)

Gruppe : Pflanzenbaumeister, 1 Kurs

Unterrichtsart: Eine Lektion im Erlernen von neuem Material.

Unterrichtsziele:

2. Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen, die Fähigkeit, die Ergebnisse der durchgeführten Aktionen zu bewerten

3. Den Schülern Genauigkeit, Verantwortungsbewusstsein und die Erziehung positiver Motive für das Lernen beizubringen

Unterrichtsausstattung: Laptop, Projektor, Bildschirm, Karten, Trigonometrie-Poster: Werte trigonometrischer Funktionen, Grundformeln der Trigonometrie.

Unterrichtsdauer: 45 Minuten.

Unterrichtsstruktur:

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment (1 Minute)

Überprüfen Sie die Bereitschaft der Schüler für den Unterricht, hören Sie der diensthabenden Gruppe zu.

2. Aktualisierung des Grundwissens (3 min)

2.1. Überprüfung der Hausaufgaben.

Drei Schüler entscheiden an der Tafel Nr. 18.8 (c, d); Nr. 18.19. Der Rest der Schüler macht Peer-Review.

3. Neues Material lernen (13 min)

3.1. Motivation der Schüler.

Die Schüler werden aufgefordert, die Gleichungen zu nennen, die sie kennen und lösen können (Folie Nummer 1)

1) 3 cos 2 x - 3 cos x \u003d 0;

2) cos (x - 1) =;

3) 2 Sünde 2 x + 3 Sünde x \u003d 0;

4) 6 sin 2 x - 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos² x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x – 3cos x = 0;

8) sin 2 x + cos 2 x \u003d 0;

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0.

Die Schüler werden nicht in der Lage sein, die Lösung für die Gleichungen 7-9 zu nennen.

3.2. Erläuterung des neuen Themas.

Lehrer: Gleichungen, die man nicht lösen konnte, kommen in der Praxis recht häufig vor. Sie werden homogene trigonometrische Gleichungen genannt. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: "Homogene trigonometrische Gleichungen". (Folie Nummer 2)

Definition homogener Gleichungen auf der Leinwand. (Folie Nummer 3)

Betrachten Sie eine Methode zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen (Folie Nr. 4, 5)

Lösungsbeispiele parsen

Beispiel 1 Lösen Sie die Gleichung 2sin x – 3 cos x = 0; (Folie Nummer 6)

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos x erhalten wir:

2tg x - 3 = 0

tg x =

x = arctg + πn , n Z.

Antwort: x \u003d arctg + π n, n Z.

Beispiel 2 . Lösen Sie die Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 0; (Folie Nummer 7)

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos 2 x erhalten wir:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctg (-1) + πn, nZ.

2x = - + πn, nZ.

x = - + , nZ.

Antwort: x = - + , n Z.

Beispiel 3 . Lösen Sie die Gleichung sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0. (Folie Nr. 8)

Jeder Term in der Gleichung hat den gleichen Grad. Dies ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung Term für Term in cos 2 x ≠ 0 erhalten wir:

TG 2 x-3tg x+2 = 0. Führen wir eine neue Variable ein z = tg x, erhalten wir

z2 – 3z + 2 =0

z1 = 1, z2 = 2

also entweder tg x = 1 oder tg x = 2

4. Festigung des gelernten Stoffes (10 min)

Der Lehrer analysiert detailliert Beispiele mit schwachen Schülern an der Tafel, starke Schüler lösen selbstständig in Heften.

5. Differenziertes selbstständiges Arbeiten (15 min)

Der Lehrer gibt Karten mit Aufgaben auf drei Ebenen aus: Grundstufe (A), Mittelstufe (B), Fortgeschrittene (C). Die Schüler wählen selbst, welche Niveaubeispiele sie lösen.

6. Zusammenfassung. Reflexion des pädagogischen Handelns im Unterricht (2 min)

Beantworten Sie die Fragen:

Welche Arten von trigonometrischen Gleichungen haben wir untersucht?

Wie wird eine homogene Gleichung ersten Grades gelöst?

Wie wird eine homogene Gleichung zweiten Grades gelöst?

Ich habe erfahren …

Ich lernte …

Markieren Sie die guten Leistungen im Unterricht einzelner Schüler, setzen Sie Noten.

7. Hausaufgaben. (1 Minute)

Informieren Sie die Studierenden über die Hausaufgaben, geben Sie ein kurzes Briefing zur Umsetzung.

Nr. 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a)

Verweise:

Folie 2

"Homogene trigonometrische Gleichungen"

1. Eine Gleichung der Form a sin x + b cos x \u003d 0, wobei a ≠ 0, b ≠ 0 als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet wird. 2. Eine Gleichung der Form a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0, wobei a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 als homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird. Definition:

Ich grad a sinx + b cosx = 0, (a, b ≠ 0). Teilen Sie beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx ≠ 0. Wir erhalten: a tgx + b = 0 tgx = -b /a die einfachste trigonometrische Gleichung. Dividiert man die homogene Gleichung a sinx + b cosx = 0 durch cos x ≠ 0 , gehen die Wurzeln dieser Gleichung nicht verloren. Verfahren zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) wenn a ≠ 0, dividiere beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos² x ≠0 Wir erhalten: a tg ² x + b tgx + c = 0, wir lösen durch Einführung einer neuen Variablen z \u003d tgx 2) wenn a \u003d 0, dann erhalten wir: b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 lösen wir durch Faktorisieren / Beim Teilen der homogenen Gleichung a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 durch cos 2 x ≠ 0 gehen die Wurzeln dieser Gleichung nicht verloren. II Grad

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Wir teilen beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos x, wir erhalten: Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2 sin x - 3 cos x \u003d 0

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen Sie beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos 2 x , wir erhalten: Beispiel 2 . Lösen Sie die Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 0

Jeder Term in der Gleichung hat den gleichen Grad. Dies ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term auf mit os 2 x ≠ 0, erhalten wir: Beispiel 3 . Löse die Gleichung sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

Beantworten Sie die Fragen: - Welche Arten von trigonometrischen Gleichungen haben wir untersucht? Wie löst man eine homogene Gleichung ersten Grades? Wie löst man eine homogene Gleichung zweiten Grades? Zusammenfassend

Ich habe gelernt ... - Ich habe gelernt ... Reflexion

Nr. 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a) Hausaufgaben.

Vielen Dank für die Lektion! GUTE KOLLEGEN!

Vorschau:

Selbstanalyse der Mathematikstunde des Lehrers Oorzhak A.M.

Gruppe : Pflanzenbaumeister, 1 Kurs.

Unterrichtsthema : Homogene trigonometrische Gleichungen.

Unterrichtstyp : Lektion lernt neues Material.

Unterrichtsziele:

1. Um die Fähigkeiten der Schüler zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen zu verbessern, betrachten Sie Methoden zum Lösen homogener Gleichungen mit einfacher und fortgeschrittener Komplexität.

2. Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen, die Fähigkeit, die Ergebnisse der durchgeführten Aktionen zu bewerten.

3. Den Schülern Genauigkeit, Verantwortungsbewusstsein und die Erziehung positiver Motive für das Lernen beizubringen.

Der Unterricht wurde nach thematischer Planung durchgeführt. Das Thema des Unterrichts spiegelt den theoretischen und praktischen Teil des Unterrichts wider und ist für die Schüler verständlich. Alle Unterrichtsphasen waren darauf ausgerichtet, diese Ziele unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Gruppe zu erreichen.

Unterrichtsstruktur.

1. Der organisatorische Moment umfasste die vorläufige Organisation der Gruppe, den mobilisierenden Beginn des Unterrichts, die Schaffung von psychologischem Komfort und die Vorbereitung der Schüler auf die aktive und bewusste Aufnahme von neuem Material. Die Vorbereitung der Gruppe und jedes Schülers wurde von mir visuell überprüft. Didaktische Aufgabe der Bühne: Ppositive Einstellung zum Unterricht.

2. Die nächste Stufe ist die Aktualisierung des Grundwissens der Schüler. Die Hauptaufgabe dieser Phase besteht darin, das Wissen, das für das Studium neuen Materials erforderlich ist, im Gedächtnis der Schüler wiederherzustellen. Die Aktualisierung erfolgte in Form von Hausaufgabenkontrolle an der Tafel.

3. (Hauptphase des Unterrichts) Aufbau von neuem Wissen. Auf dieser Stufe wurden folgende didaktische Aufgaben umgesetzt: Vermittlung von Wahrnehmung, Verständnis und primärem Merken von Wissen und Handlungsweisen, Zusammenhängen und Zusammenhängen im Lerngegenstand.

Dies wurde erleichtert durch: die Schaffung einer Problemsituation, die Gesprächsmethode in Kombination mit dem Einsatz von IKT. Ein Indikator für die Effektivität des Erlernens neuen Wissens durch die Schüler ist die Richtigkeit der Antworten, das selbstständige Arbeiten und die aktive Teilnahme der Schüler an der Arbeit.

4. Der nächste Schritt ist die anfängliche Fixierung des Materials. Der Zweck besteht darin, Feedback zu erhalten, um Informationen über den Grad des Verständnisses des neuen Materials, die Vollständigkeit, die Richtigkeit seiner Assimilation und die rechtzeitige Korrektur erkannter Fehler zu erhalten. Dafür habe ich verwendet: die Lösung einfacher homogener trigonometrischer Gleichungen. Hier wurden Aufgaben aus dem Lehrbuch verwendet, die den geforderten Lernergebnissen entsprechen. Die Erstkonsolidierung des Materials erfolgte in einer Atmosphäre des guten Willens und der Zusammenarbeit. In dieser Phase habe ich mit schwachen Schülern gearbeitet, der Rest hat selbst entschieden, gefolgt von der Selbstprüfung durch die Kommission.

5. Der nächste Moment der Lektion war die primäre Kontrolle des Wissens. Didaktische Aufgabe der Bühne: Aufzeigen der Qualität und Beherrschung von Wissen und Handlungsmethoden, Gewährleistung ihrer Korrektur. Hier implementierte ich einen differenzierten Lernansatz, bot den Kindern eine Auswahl an Aufgaben auf drei Niveaus: Grundstufe (A), Mittelstufe (B), Fortgeschrittene (C). Ich machte einen Umweg und markierte die Schüler, die sich für die Grundstufe entschieden hatten. Diese Schüler führten die Arbeit unter der Aufsicht des Lehrers durch.

6. In der nächsten Phase - zusammenfassend - wurden die Aufgaben der Analyse und Bewertung des Erfolgs der Zielerreichung gelöst. Als Zusammenfassung der Lektion führte ich gleichzeitig eine Reflexion der Bildungsaktivitäten durch. Die Studierenden lernten, wie man homogene trigonometrische Gleichungen löst. Es wurden Bewertungen abgegeben.

7. Die letzte Phase ist eine Hausaufgabe. Didaktische Aufgabe: Den Studierenden die Inhalte und Methoden der Hausaufgabenerstellung verständlich machen. Kurze Anweisungen zu den Hausaufgaben gegeben.

Während des Unterrichts hatte ich die Möglichkeit, Lehr-, Entwicklungs- und Bildungsziele zu verwirklichen. Ich denke, dass dies durch die Tatsache erleichtert wurde, dass die Jungs von den ersten Minuten des Unterrichts an Aktivität zeigten. Sie waren bereit für die Wahrnehmung eines neuen Themas. Die Atmosphäre in der Gruppe war psychologisch günstig.




Das letzte Detail zur Lösung der Aufgaben C1 aus der Prüfung in Mathematik - Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen. Wir werden Ihnen in dieser letzten Lektion sagen, wie Sie sie lösen können.

Was sind das für Gleichungen? Schreiben wir sie allgemein auf.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

wobei `a` und `b` einige Konstanten sind. Diese Gleichung wird als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet.

Homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie sie durch `\cos x` dividieren. Dann nimmt es die Form an

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Die Antwort auf eine solche Gleichung lässt sich leicht in Form des Arcustangens schreiben.

Beachten Sie, dass `\cos x ≠0`. Um dies zu überprüfen, ersetzen wir in der Gleichung den Kosinus durch Null und erhalten, dass der Sinus ebenfalls gleich Null sein muss. Sie können jedoch nicht gleichzeitig gleich Null sein, was bedeutet, dass der Kosinus nicht Null ist.

Einige Aufgaben der diesjährigen Realprüfung wurden auf eine homogene trigonometrische Gleichung reduziert. Folgen Sie dem Link zu. Nehmen wir eine leicht vereinfachte Version des Problems.

Erstes Beispiel. Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Teile durch `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Ich wiederhole, eine ähnliche Aufgabe war in der Prüfung :) Natürlich müssen Sie immer noch die Wurzeln auswählen, aber dies sollte auch keine besonderen Schwierigkeiten bereiten.

Kommen wir nun zum nächsten Gleichungstyp.

Homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades

Im Allgemeinen sieht es so aus:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

wobei `a, b, c` einige Konstanten sind.

Solche Gleichungen werden gelöst, indem man durch `\cos^2 x` dividiert (was wiederum nicht Null ist). Schauen wir uns gleich ein Beispiel an.

Zweites Beispiel. Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Teile durch `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Ersetzen Sie `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \t_2 = -1.$$

Umgekehrter Ersatz

$$\tg x = 3, \text( oder ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( oder ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Antwort erhalten.

Drittes Beispiel. Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Alles wäre gut, aber diese Gleichung ist nicht homogen - wir werden durch `-2` auf der rechten Seite behindert. Was zu tun ist? Lassen Sie uns die grundlegende trigonometrische Identität verwenden und `-2` damit schreiben.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Teile durch `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Ersetzen von `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Durch die umgekehrte Substitution erhalten wir:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( oder ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Dies ist das letzte Beispiel in diesem Tutorial.

Lassen Sie mich wie immer daran erinnern: Training ist unser Ein und Alles. Egal wie brillant eine Person ist, Fähigkeiten entwickeln sich nicht ohne Training. In einer Prüfung ist dies voller Aufregung, Fehler, Zeitverschwendung (diese Liste selbst fortsetzen). Seien Sie sicher, beschäftigt zu sein!

Ausbildungsaufgaben

Lösen Sie die Gleichungen:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Dies ist eine Aufgabe aus dem echten Einheitlichen Staatsexamen 2013. Niemand hat die Kenntnis der Eigenschaften der Abschlüsse annulliert, aber wenn Sie es vergessen haben, gucken Sie;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Nützliche Formel aus der siebten Lektion.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Das ist alles. Und wie immer zum Schluss: Fragen in die Kommentare stellen, Likes setzen, Videos anschauen, lernen, wie man die Klausur löst.

Mit Hilfe dieser Videolektion können die Schüler das Thema der homogenen trigonometrischen Gleichungen studieren.

Lassen Sie uns Definitionen geben:

1) eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades sieht aus wie a sin x + b cos x = 0;

2) eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades sieht aus wie a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Betrachten Sie die Gleichung a sin x + b cos x = 0. Wenn a Null ist, dann sieht die Gleichung so aus: b cos x = 0; wenn b Null ist, dann sieht die Gleichung aus wie eine Sünde x = 0. Dies sind die Gleichungen, die wir als die einfachsten bezeichnet und früher in früheren Themen gelöst haben.

Betrachten Sie nun die Option, wenn a und b ungleich Null sind. Indem wir die Teile der Gleichung durch den Kosinus x dividieren, führen wir die Transformation durch. Wir erhalten a tg x + b = 0, dann ist tg x gleich - b/a.

Aus dem Obigen folgt, dass die Gleichung a sin mx + b cos mx = 0 eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades ist. Um eine Gleichung zu lösen, teilen Sie ihre Teile durch cos mx.

Lassen Sie uns Beispiel 1 analysieren. Lösen Sie 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Teilen Sie zuerst die Teile der Gleichung durch Kosinus (x / 2). Da wir wissen, dass der Sinus geteilt durch den Kosinus der Tangens ist, erhalten wir 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Wenn wir den Ausdruck umwandeln, stellen wir fest, dass der Wert des Tangens (x / 2) 5/7 beträgt. Die Lösung dieser Gleichung ist x = arctan a + πn, in unserem Fall x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Betrachten Sie die Gleichung a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) mit a gleich Null sieht die Gleichung wie folgt aus: b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Durch Transformation erhalten wir den Ausdruck cos x (b sin x + c cos x) = 0 und fahren mit der Lösung fort von zwei Gleichungen. Nachdem wir die Teile der Gleichung durch den Kosinus x geteilt haben, erhalten wir b tg x + c = 0, was bedeutet, dass tg x = - c/b. Wenn Sie wissen, dass x \u003d arctan a + πn ist, lautet die Lösung in diesem Fall x \u003d arctg (- c / b) + πn.

2) Wenn a nicht gleich Null ist, erhalten wir durch Dividieren der Teile der Gleichung durch das Kosinusquadrat eine Gleichung, die eine Tangente enthält, die quadratisch ist. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem eine neue Variable eingeführt wird.

3) Wenn c gleich Null ist, nimmt die Gleichung die Form a sin 2 x + b sin x cos x = 0 an. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem der Sinus von x aus der Klammer genommen wird.

1. sehen, ob es eine Sünde 2 x in der Gleichung gibt;

2. wenn der Term a sin 2 x in der Gleichung enthalten ist, dann kann die Gleichung gelöst werden, indem man beide Teile durch das Kosinusquadrat dividiert und dann eine neue Variable einführt.

3. Wenn die Gleichung a sin 2 x nicht enthält, dann kann die Gleichung durch Weglassen der Klammern cosx gelöst werden.

Betrachten Sie Beispiel 2. Wir nehmen den Kosinus heraus und erhalten zwei Gleichungen. Die Wurzel der ersten Gleichung ist x = π/2 + πn. Um die zweite Gleichung zu lösen, dividieren wir die Teile dieser Gleichung durch den Kosinus x, durch Transformationen erhalten wir x = π/3 + πn. Antwort: x = π/2 + πn und x = π/3 + πn.

Lassen Sie uns Beispiel 3 lösen, eine Gleichung der Form 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 und ihre Wurzeln finden, die zum Segment von - π bis π gehören. Da Da diese Gleichung inhomogen ist, muss sie auf eine homogene Form gebracht werden. Unter Verwendung der Formel sin 2 x + cos 2 x = 1 erhalten wir die Gleichung sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Teilen wir alle Teile der Gleichung durch cos 2 x, erhalten wir tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Durch die Einführung einer neuen Variablen z = tg 2x lösen wir die Gleichung, deren Wurzel z = 1 ist. Dann ist tg 2x = 1, was impliziert, dass x = π/8 + (πn)/2. Da Je nach Zustand des Problems müssen Sie die Wurzeln finden, die zum Segment von - π bis π gehören. Die Lösung sieht wie folgt aus: - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

TEXTEINTERPRETATION:

Homogene trigonometrische Gleichungen

Heute werden wir analysieren, wie die "homogenen trigonometrischen Gleichungen" gelöst werden. Das sind Gleichungen besonderer Art.

Machen wir uns mit der Definition vertraut.

Gleichung eingeben und sinx+bcosx = 0 (und sinus x plus be cosinus x ist null) heißt eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades;

Gleichung der Form eine Sünde 2 x+bSünde xcosx+ccos 2 x= 0 (und sinusquadrat x plus be sinus x cosinus x plus se cosinusquadrat x gleich null) wird eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades genannt.

Wenn ein a=0, dann nimmt die Gleichung die Form an bcosx = 0.

Wenn ein b = 0 , dann bekommen wir und sin x = 0.

Diese Gleichungen sind elementar trigonometrisch, und wir haben ihre Lösung in unseren vorherigen Themen betrachtet

In Betracht ziehen der Fall, wenn beide Koeffizienten nicht Null sind. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung aSündex+ bcosx = 0 Begriff für Begriff auf cosx.

Wir können dies tun, da der Kosinus x nicht Null ist. Immerhin, wenn cosx = 0 , dann die Gleichung aSündex+ bcosx = 0 wird die Form annehmen aSündex = 0 , a≠ 0, also Sündex = 0 . Was unmöglich ist, weil nach der trigonometrischen Grundidentität Sünde 2x+cos 2 x=1 .

Dividieren beider Seiten der Gleichung aSündex+ bcosx = 0 Begriff für Begriff auf cosx, erhalten wir: + =0

Machen wir die Transformationen:

1. Seit = tg x, dann =und TG x

2 Vermindere um cosx, dann

Damit erhalten wir folgenden Ausdruck und tg x + b = 0.



Machen wir die Transformation:

1. Verschieben Sie b auf die rechte Seite des Ausdrucks mit dem entgegengesetzten Vorzeichen

und tg x \u003d - b

2. Den Multiplikator loswerden und Dividieren beider Seiten der Gleichung durch a

tg x= -.

Fazit: Eine Gleichung der Form und Sündemx+bcosmx = 0 (und der Sinus em x plus der Kosinus em x ist Null) wird auch eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades genannt. Um es zu lösen, teilen Sie beide Seiten durch cosmx.

BEISPIEL 1. Lösen Sie die Gleichung 7 sin - 5 cos \u003d 0 (sieben Sinus x mal zwei minus fünf Kosinus x mal zwei ist Null)

Lösung. Wir dividieren beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos, erhalten wir

1. \u003d 7 tg (da das Verhältnis von Sinus zu Kosinus Tangens ist, ist sieben Sinus x mal zwei geteilt durch Kosinus x mal zwei gleich 7 Tangens x mal zwei)

2. -5 = -5 (wenn cos abgekürzt)

Damit haben wir die Gleichung bekommen

7tg - 5 = 0, lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln, minus fünf auf die rechte Seite verschieben und das Vorzeichen ändern.

Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t=, a =. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat a und diese Lösungen aussehen

x \u003d arctg a + πn, dann sieht die Lösung unserer Gleichung so aus:

Arctg + πn, finde x

x \u003d 2 Arctan + 2πn.

Antwort: x \u003d 2 arctg + 2πn.

Kommen wir zu einer homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades

asin 2 x+b sin x cos x +Mitcos2 x = 0.

Betrachten wir mehrere Fälle.

Ich. Wenn a=0, dann nimmt die Gleichung die Form an bSündexcosx+ccos 2 x= 0.

Beim Lösen z dann verwenden wir die Faktorisierungsmethode der Gleichungen. Nehmen wir heraus cosx Klammern und wir erhalten: cosx(bSündex+ccosx)= 0 . Wo cosx= 0 bzw

b Sünde x +Mitcos x = 0. Und wir wissen bereits, wie man diese Gleichungen löst.



Wir dividieren beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx, erhalten wir

1 (weil das Verhältnis von Sinus zu Cosinus der Tangens ist).

Damit erhalten wir die Gleichung: b tgx+c=0

Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t= x, a =. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat a und diese Lösungen aussehen

x \u003d arctg a + πn, dann lautet die Lösung unserer Gleichung:

x \u003d arctg + πn, .

II. Wenn ein a≠0, dann teilen wir beide Teile der Gleichung Term für Term in cos 2 x.

(Ähnlich argumentieren, wie im Fall einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades, Kosinus x kann nicht verschwinden).

III. Wenn ein c=0, dann nimmt die Gleichung die Form an aSünde 2 x+ bSündexcosx= 0. Diese Gleichung wird durch die Faktorisierungsmethode gelöst (Take out Sündex für Klammern).

Also beim Lösen der Gleichung aSünde 2 x+ bSündexcosx+ccos 2 x= 0 Sie können dem Algorithmus folgen:

BEISPIEL 2. Lösen Sie die Gleichung sinxcosx - cos 2 x= 0 (Sinus x mal Cosinus x minus die Wurzel aus drei mal Cosinus zum Quadrat x ist gleich Null).

Lösung. Lassen Sie uns faktorisieren (Klammer cosx). Erhalten

cos x(sin x - cos x)= 0, d.h. cos x=0 oder sin x - cos x= 0.

Antwort: x \u003d + πn, x \u003d + πn.

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (drei Sinusquadrat von zwei x minus zweimal das Produkt aus dem Sinus von zwei x und dem Kosinus von zwei x plus drei Kosinusquadrat von zwei x) und finde seine Wurzeln, die zum Intervall (- π; π) gehören.

Lösung. Diese Gleichung ist nicht homogen, also führen wir Transformationen durch. Die auf der rechten Seite der Gleichung enthaltene Zahl 2 wird durch das Produkt 2 1 ersetzt

Da dann nach der trigonometrischen Grundidentität sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 ist

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = durch Öffnen der Klammern erhalten wir: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Die Gleichung 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 nimmt also die Form an:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

Wir haben eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades erhalten. Wenden wir die Term-für-Term-Division durch cos 2 2x an:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Lassen Sie uns eine neue Variable z= tg2х einführen.

Wir haben z 2 - 2 z + 1 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung. Wenn wir die abgekürzte Multiplikationsformel auf der linken Seite beachten - das Quadrat der Differenz (), erhalten wir (z - 1) 2 = 0, d.h. z = 1. Kehren wir zur umgekehrten Substitution zurück:



Wir haben die Gleichung auf die Form tg t \u003d a reduziert, wobei t \u003d 2x, a \u003d 1. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat a und diese Lösungen aussehen

x \u003d arctg x a + πn, dann lautet die Lösung unserer Gleichung:

2x \u003d arctg1 + πn,

x \u003d + , (x ist gleich der Summe von pi mal acht und pi en mal zwei).

Es bleibt uns, solche Werte von x zu finden, die im Intervall enthalten sind

(- π; π), d.h. erfüllen die doppelte Ungleichung - π x π. Als

x= + , dann - π + π. Teilen Sie alle Teile dieser Ungleichung durch π und multiplizieren Sie mit 8, wir erhalten

Bewegen Sie die Einheit nach rechts und nach links und ändern Sie das Vorzeichen auf minus eins

geteilt durch vier erhalten wir

der Einfachheit halber wählen wir in Brüchen ganzzahlige Teile aus

-

Diese Ungleichung wird durch die folgende ganze Zahl n erfüllt: -2, -1, 0, 1

Heute beschäftigen wir uns mit homogenen trigonometrischen Gleichungen. Beschäftigen wir uns zunächst mit der Terminologie: Was ist eine homogene trigonometrische Gleichung? Es hat die folgenden Eigenschaften:

1. es sollte mehrere Begriffe haben;
2. alle Semester müssen den gleichen Abschluss haben;
3. alle Funktionen, die in einer homogenen trigonometrischen Identität enthalten sind, müssen notwendigerweise dasselbe Argument haben.

Lösungsalgorithmus

Trennen Sie die Begriffe

Und wenn mit dem ersten Punkt alles klar ist, lohnt es sich, ausführlicher über den zweiten zu sprechen. Was bedeutet der gleiche Grad an Begriffen? Schauen wir uns die erste Aufgabe an:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Der erste Term in dieser Gleichung ist 3cosx 3\cos x. Beachten Sie, dass es hier nur eine trigonometrische Funktion gibt - cos\cos x - und hier sind keine anderen trigonometrischen Funktionen vorhanden, also ist der Grad dieses Terms 1. Dasselbe gilt für den zweiten - 5Sinx 5 \ sin x - hier ist nur der Sinus vorhanden, d.h. der Grad dieses Terms ist auch gleich eins. Wir haben also eine Identität vor uns, die aus zwei Elementen besteht, von denen jedes eine trigonometrische Funktion enthält, und gleichzeitig nur eine. Dies ist eine Gleichung ersten Grades.

Kommen wir zum zweiten Ausdruck:

4Sünde2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Der erste Term dieser Konstruktion ist 4Sünde2 x 4((\sin )^(2))x.

Jetzt können wir die folgende Lösung schreiben:

Sünde2 x=sinnx⋅sinnx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Mit anderen Worten, der erste Term enthält zwei trigonometrische Funktionen, das heißt, sein Grad ist zwei. Kommen wir zum zweiten Element - sin2x\sin 2x. Erinnern Sie sich an die folgende Formel - die Doppelwinkelformel:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Und wieder haben wir in der resultierenden Formel zwei trigonometrische Funktionen - Sinus und Cosinus. Somit ist der Leistungswert dieses Bauteils der Konstruktion ebenfalls gleich zwei.

Wir wenden uns dem dritten Element zu - 3. Aus dem Mathematikkurs der High School erinnern wir uns, dass jede Zahl mit 1 multipliziert werden kann, also schreiben wir:

˜ 3=3⋅1

Und die Einheit, die die grundlegende trigonometrische Identität verwendet, kann in der folgenden Form geschrieben werden:

1=Sünde2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Daher können wir 3 wie folgt umschreiben:

3=3(Sünde2 x⋅ cos2 x)=3Sünde2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Somit ist unser Term 3 in zwei Elemente aufgespalten worden, von denen jedes homogen ist und einen zweiten Grad hat. Der Sinus im ersten Term kommt zweimal vor, der Cosinus im zweiten kommt auch zweimal vor. Somit kann 3 auch als Term mit einem Exponenten von zwei dargestellt werden.

Gleiches gilt für den dritten Ausdruck:

Sünde3 x+ Sünde2 xcosx=2 cos3 x

Mal schauen. Der erste Begriff - Sünde3 x((\sin )^(3))x ist eine trigonometrische Funktion dritten Grades. Das zweite Element ist Sünde2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

Sünde2 ((\sin )^(2)) ist ein Link mit einem Potenzwert von zwei multipliziert mit cos\cos x ist der Term des ersten. Insgesamt hat auch der dritte Term einen Potenzwert von drei. Schließlich ist auf der rechten Seite ein weiterer Link - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x ist ein Element dritten Grades. Damit haben wir eine homogene trigonometrische Gleichung dritten Grades.

Wir haben drei Identitäten unterschiedlichen Grades erfasst. Beachten Sie wieder den zweiten Ausdruck. Im ursprünglichen Eintrag hat eines der Mitglieder ein Argument 2x 2x. Wir sind gezwungen, dieses Argument loszuwerden, indem wir es nach der Formel des Sinus eines Doppelwinkels umwandeln, weil alle in unserer Identität enthaltenen Funktionen notwendigerweise dasselbe Argument haben müssen. Und dies ist eine Voraussetzung für homogene trigonometrische Gleichungen.

Wir verwenden die Formel der trigonometrischen Hauptidentität und schreiben die endgültige Lösung auf

Wir haben die Bedingungen herausgefunden, fahren Sie mit der Lösung fort. Unabhängig vom Potenzexponenten erfolgt das Lösen von Gleichungen dieser Art immer in zwei Schritten:

1) beweise das

cosx≠0

\cos x\ne 0. Dazu genügt es, sich an die Formel für die trigonometrische Grundidentität zu erinnern (Sünde2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) und in diese Formel einsetzen cosx=0\cosx=0. Wir erhalten folgenden Ausdruck:

Sünde2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Ersetzen der erhaltenen Werte, d. h. anstelle von cos\cos x ist Null, und statt Sünde\sin x - 1 oder -1, im ursprünglichen Ausdruck erhalten wir eine falsche numerische Gleichheit. Das ist die Begründung dafür, dass

cosx≠0

2) Der zweite Schritt folgt logisch aus dem ersten. Weil die

cosx≠0

\cos x\ne 0, wir teilen beide Seiten unserer Konstruktion durch cosn x((\cos )^(n))x, wobei n n ist der Potenzexponent der homogenen trigonometrischen Gleichung. Was bringt uns das:

\[\begin(array)((35)(l))

Sündecos=tgxcoscos=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(array)\]

Aus diesem Grund reduziert sich unsere umständliche Anfangskonstruktion auf die Gleichung n n-Potenz in Bezug auf die Tangente, deren Lösung leicht durch einen Variablenwechsel geschrieben wird. Das ist der ganze Algorithmus. Mal sehen, wie es in der Praxis funktioniert.

Wir lösen echte Probleme

Aufgabe 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Wir haben bereits herausgefunden, dass dies eine homogene trigonometrische Gleichung mit einem Potenzexponenten gleich eins ist. Lassen Sie uns das also zuerst herausfinden cosx≠0\cos x\ne 0. Nehmen Sie das Gegenteil an

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\bis \sin x=\pm 1.

Wir setzen den resultierenden Wert in unseren Ausdruck ein, wir erhalten:

3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Darauf aufbauend kann man das sagen cosx≠0\cos x\ne 0. Teile unsere Gleichung durch cos\cos x, weil unser gesamter Ausdruck einen Potenzwert von eins hat. Wir bekommen:

3(coscos) +5(Sündecos) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

Dies ist kein Tabellenwert, daher enthält die Antwort arctgx arctgx:

x=Arktg (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Weil die arctg arctg arctg ist eine ungerade Funktion, wir können das „Minus“ aus dem Argument nehmen und es vor arctg setzen. Wir erhalten die endgültige Antwort:

x=−arktg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Aufgabe Nr. 2

4Sünde2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Wie Sie sich erinnern, müssen Sie einige Transformationen durchführen, bevor Sie mit der Lösung fortfahren. Wir führen Transformationen durch:

4Sünde2 x+2sinxcosx−3 (Sünde2 x+ cos2 x)=0 4Sünde2 x+2sinxcosx−3 Sünde2 x−3 cos2 x=0Sünde2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (ausrichten)

Wir haben eine Struktur erhalten, die aus drei Elementen besteht. Im ersten Begriff sehen wir Sünde2 ((\sin )^(2)), d.h. ihr Potenzwert ist zwei. Im zweiten Term sehen wir Sünde\sin x und cos\cos x - wieder gibt es zwei Funktionen, sie werden multipliziert, also ist der Gesamtgrad wieder zwei. Im dritten Link sehen wir cos2 x((\cos )^(2))x - ähnlich dem ersten Wert.

Lassen Sie uns das beweisen cosx=0\cos x=0 ist keine Lösung dieser Konstruktion. Nehmen Sie dazu das Gegenteil an:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]

Das haben wir bewiesen cosx=0\cos x=0 kann keine Lösung sein. Wir gehen zum zweiten Schritt über - wir teilen unseren gesamten Ausdruck durch cos2 x((\cos )^(2))x. Warum in einem Quadrat? Weil der Exponent dieser homogenen Gleichung gleich zwei ist:

Sünde2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Lässt sich dieser Ausdruck mit der Diskriminante lösen? Ja, das darfst du sicherlich. Aber ich schlage vor, das Gegenteil des Satzes von Vieta in Erinnerung zu rufen, und wir erhalten, dass dieses Polynom als zwei einfache Polynome dargestellt werden kann, nämlich:

(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Viele Studenten fragen, ob es sich lohnt, separate Koeffizienten für jede Gruppe von Lösungen für Identitäten zu schreiben, oder sich nicht die Mühe zu machen und überall denselben Koeffizienten zu schreiben. Persönlich denke ich, dass es besser und zuverlässiger ist, unterschiedliche Buchstaben zu verwenden, damit die Inspektoren beim Eintritt in eine ernsthafte technische Universität mit zusätzlichen Tests in Mathematik die Antwort nicht bemängeln.

Aufgabe Nr. 3

Sünde3 x+ Sünde2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Wir wissen bereits, dass dies eine homogene trigonometrische Gleichung dritten Grades ist, es werden keine speziellen Formeln benötigt, und wir brauchen nur den Term zu übertragen 2cos3 x 2((\cos )^(3))x nach links. Umschreiben:

Sünde3 x+ Sünde2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Wir sehen, dass jedes Element drei trigonometrische Funktionen enthält, also hat diese Gleichung einen Potenzwert von drei. Wir lösen es. Das müssen wir erst einmal beweisen cosx=0\cos x=0 ist keine Wurzel:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Ersetzen Sie diese Zahlen in unsere ursprüngliche Konstruktion:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)

Folglich, cosx=0\cos x=0 ist keine Lösung. Das haben wir bewiesen cosx≠0\cos x\ne 0. Nachdem wir dies bewiesen haben, dividieren wir unsere ursprüngliche Gleichung durch cos3 x((\cos )^(3))x. Warum in einem Würfel? Weil wir gerade bewiesen haben, dass unsere ursprüngliche Gleichung eine dritte Potenz hat:

Sünde3 xcos3 x+Sünde2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\ende(ausrichten)

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

tgx=t

Umschreiben der Struktur:

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Wir haben eine kubische Gleichung. Wie man es löst? Als ich dieses Video-Tutorial gerade zusammenstellte, wollte ich zunächst über die Zerlegung von Polynomen in Faktoren und andere Tricks sprechen. Aber in diesem Fall ist alles viel einfacher. Sehen Sie, unsere reduzierte Identität mit dem Term mit dem höchsten Grad ist 1. Außerdem sind alle Koeffizienten ganze Zahlen. Und das bedeutet, dass wir die Folgerung des Satzes von Bezout verwenden können, der besagt, dass alle Wurzeln Teiler der Zahl -2 sind, also ein freier Term.

Es stellt sich die Frage: Was wird durch -2 geteilt? Da 2 eine Primzahl ist, gibt es nicht so viele Möglichkeiten. Es können die folgenden Nummern sein: 1; 2; -eines; -2. Negative Wurzeln verschwinden sofort. Wieso den? Da beide im Absolutwert größer als 0 sind, gilt daher t3 ((t)^(3)) wird im Modul größer sein als t2 ((t)^(2)). Und da der Würfel eine ungerade Funktion ist, ist die Zahl im Würfel negativ, und t2 ((t)^(2)) ist positiv, und diese ganze Konstruktion, mit t=−1 t=-1 und t=−2 t=-2 wird nicht größer als 0. Subtrahieren Sie davon -2 und erhalten Sie eine Zahl, die offensichtlich kleiner als 0 ist. Es bleiben nur 1 und 2. Lassen Sie uns jede dieser Zahlen ersetzen:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\bis \text( )1+1-2=0\bis 0=0

Wir haben die richtige numerische Gleichheit. Folglich, t=1 t=1 ist die Wurzel.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\bis 8+4-2=0\bis 10\ne 0

t=2 t=2 ist keine Wurzel.

Nach der Folgerung und dem gleichen Bezout-Theorem ist jedes Polynom, dessen Wurzel ist x0 ((x)_(0)), darstellen als:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

In unserem Fall als x x ist eine Variable t t, und in der Rolle x0 ((x)_(0)) ist eine Wurzel gleich 1. Wir erhalten:

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

So finden Sie ein Polynom P (t) P\links(t\rechts)? Offensichtlich müssen Sie Folgendes tun:

P(t)= t3 +t2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Wir ersetzen:

t3 +t2 +0⋅t−2t-1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Also wird unser ursprüngliches Polynom ohne Rest dividiert. Somit können wir unsere ursprüngliche Gleichheit umschreiben als:

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Den ersten Faktor haben wir bereits betrachtet. Schauen wir uns den zweiten an:

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Erfahrene Studenten haben wahrscheinlich schon verstanden, dass diese Konstruktion keine Wurzeln hat, aber berechnen wir trotzdem die Diskriminante.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Die Diskriminante ist kleiner als 0, der Ausdruck hat also keine Wurzeln. Insgesamt wurde die riesige Konstruktion auf die übliche Gleichmäßigkeit reduziert:

\[\begin(array)((35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Abschließend möchte ich noch ein paar Anmerkungen zur letzten Aufgabe machen:

1. ob die Bedingung immer erfüllt sein wird cosx≠0\cos x\ne 0, und ob diese Prüfung überhaupt durchgeführt werden soll. Natürlich nicht immer. In Fällen wo cosx=0\cos x=0 ist eine Lösung für unsere Gleichheit, wir sollten es aus Klammern nehmen, und dann bleibt eine vollwertige homogene Gleichung in Klammern.
2. Was ist die Division eines Polynoms durch ein Polynom? In der Tat studieren die meisten Schulen dies nicht, und wenn die Schüler zum ersten Mal eine solche Struktur sehen, erleben sie einen leichten Schock. Tatsächlich ist dies jedoch eine einfache und schöne Technik, die die Lösung von Gleichungen höheren Grades erheblich erleichtert. Natürlich wird ihm ein separates Video-Tutorial gewidmet, das ich in Kürze veröffentlichen werde.

Wichtige Punkte

Homogene trigonometrische Gleichungen sind ein beliebtes Thema in verschiedenen Tests. Sie werden sehr einfach gelöst - es reicht, einmal zu üben. Um zu verdeutlichen, wovon wir sprechen, führen wir eine neue Definition ein.

Eine homogene trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, bei der jeder Term ungleich Null aus der gleichen Anzahl trigonometrischer Faktoren besteht. Dies können Sinus, Cosinus oder Kombinationen davon sein – die Lösungsmethode ist immer dieselbe.

Der Grad einer homogenen trigonometrischen Gleichung ist die Anzahl der trigonometrischen Faktoren, die in Termen ungleich Null enthalten sind.

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 — Identität 1. Grades;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. Grades;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. Grades;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - und diese Gleichung ist nicht homogen, da rechts eine Einheit steht - ein Term ungleich Null, in dem es keine trigonometrischen Faktoren gibt;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 ist ebenfalls eine inhomogene Gleichung. Element sin2x\sin 2x - der zweite Grad (weil Sie sich vorstellen können

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2Sinx 2 \ sin x - der erste, und der Term 3 ist im Allgemeinen Null, da er keine Sinus- oder Kosinuswerte enthält.

Allgemeines Lösungsschema

Das Lösungsschema ist immer gleich:

Stellen wir uns das vor cosx=0\cosx=0. Dann sinx=±1\sin x=\pm 1 - dies folgt aus der Hauptidentität. Ersatz Sünde\sin x und cos\cos x in den ursprünglichen Ausdruck, und wenn das Ergebnis unsinnig ist (zum Beispiel der Ausdruck 5=0 5=0), gehe zum zweiten Punkt;

Wir teilen alles durch die Potenz des Kosinus: cosx, cos2x, cos3x ... - hängt vom Potenzwert der Gleichung ab. Wir erhalten die übliche Tangentengleichung, die nach der Ersetzung tgx=t erfolgreich gelöst ist.

tgx=tDie gefundenen Wurzeln sind die Antwort auf den ursprünglichen Ausdruck.