"Bruchgleichungen" - Der Bereich der zulässigen Werte einer gebrochen-rationalen Gleichung ist ... .. A) 2 (1-x?) + 3x -4 \u003d 0; b) x - 3= x? -x+1; 4 2 c) x? - x - 7 = x +8; xd) 2x - 4 \u003d 3__; X? +1 x +1 e) 3x + 1= x; x -1 e) x-7 \u003d? x + 9. Verwöhne deine Augen nicht mit Tränen. Finden Sie die zulässigen Werte der in der Gleichung enthaltenen Brüche. Ihr letzter mütterlicher Befehl: „Die Gesetze des Lebens sind weise und grausam.
"Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen" - "Hausaufgaben". 1) 0 und 1. 3) 4 und 3. Blitz - Umfrage. Was ist eine rationale Gleichung? Geben Sie die Definition der gesamten Gleichung an. 2) 3. "Lotto". Verlassen Sie sich nicht auf morgen, denken Sie daran: alles liegt in Ihren Händen. Lösung gebrochener rationaler Gleichungen. Wie löst man eine gebrochen rationale Gleichung? Was ist eine gebrochene rationale Gleichung?
"Algebra-Gleichungen" - Reflexion, das Ergebnis der Lektion. Hausaufgaben. Zeit organisieren. Unterrichtsstruktur: Oh-oh ... Zweck: Aktualisierung des Grundwissens. . Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten. Kinder. Ziele setzen. Algebra Klasse 7.
"Gleichungssysteme lösen" - Grafische Methode Grafisch lösen (. Ähnliche Monome. Wie nennt man die Lösung eines Gleichungssystems? X + 2y = 3 5x-3y = 2. Überprüfe selbst! Sind die Paare (1; 1) und (-1; 3) Zahlen durch Lösen des Systems (. Wiederholung. Lösen Sie das System: (. Standardform des Monoms. Lösungsmethoden. Mündlich. Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen.
"Lektion Logarithmische Gleichungen" - 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). Finden Sie den Bereich der gültigen Werte der Gleichungen. LOGARITHMISCHE GLEICHUNGEN (5 letzte Lektion). logax = b. x > 0 ein > 0 ein ? eines.
"Trigonometrische Gleichungen" - Daher sinx \u003d 1/2 oder sinx \u003d -1. Lösung. Trigonometrische Gleichungen. Lassen Sie uns eine neue Variable t = sinx einführen. Stimmt das: Sind die Ausdrücke sinnvoll: Lösen Sie die Gleichung: Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Dann nimmt diese Gleichung die Form 2t2 + t - 1 = 0 an.
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Wir wissen, dass die Kosinuswerte im Bereich [-1; 1], d.h. -1 ≤ cos α ≤ 1. Wenn also |a| > 1, dann hat die Gleichung cos x = a keine Wurzeln. Beispielsweise hat die Gleichung cos x = -1,5 keine Wurzeln.
Betrachten wir mehrere Aufgaben.
Lösen Sie die Gleichung cos x = 1/2.
Lösung.
Erinnern Sie sich, dass cos x die Abszisse eines Kreispunktes mit einem Radius gleich 1 ist, der durch Drehen des Punktes P (1; 0) um einen Winkel x um den Ursprung erhalten wird.
Die Abszisse 1/2 hat zwei Punkte des Kreises M 1 und M 2. Da 1/2 \u003d cos π / 3 ist, können wir den Punkt M 1 vom Punkt P (1; 0) erhalten, indem wir uns um den Winkel x 1 \u003d π / 3 sowie um die Winkel x \u003d drehen π / 3 + 2πk, wobei k = +/-1, +/-2, …
Der Punkt M 2 ergibt sich aus dem Punkt P (1; 0) durch Drehen um den Winkel x 2 = -π/3, sowie um die Winkel -π/3 + 2πk, wobei k = +/-1, + /-2, ...
Also können alle Wurzeln der Gleichung cos x = 1/2 durch die Formeln gefunden werden
x = π/3 + 2πk
x \u003d -π / 3 + 2πk,
Die beiden vorgestellten Formeln können zu einer kombiniert werden:
x = +/-π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Lösen Sie die Gleichung cos x = -1/2.
Lösung.
Eine Abszisse gleich - 1/2 hat zwei Punkte des Kreises M 1 und M 2. Da -1/2 \u003d cos 2π / 3, dann der Winkel x 1 \u003d 2π / 3 und damit der Winkel x 2 \u003d -2π / 3.
Daher können alle Nullstellen der Gleichung cos x = -1/2 durch die Formel gefunden werden: x = +/-2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Somit hat jede der Gleichungen cos x = 1/2 und cos x = -1/2 unendlich viele Wurzeln. Im Intervall 0 ≤ x ≤ π hat jede dieser Gleichungen nur eine Wurzel: x 1 \u003d π / 3 - die Wurzel der Gleichung cos x \u003d 1/2 und x 1 \u003d 2π / 3 - die Wurzel von die Gleichung cos x \u003d -1/2.
Die Zahl π/3 heißt Arkuskosinus der Zahl 1/2 und wird geschrieben: arccos 1/2 = π/3, und die Zahl 2π/3 ist der Arkuskosinus der Zahl (-1/2) und ist geschrieben: arccos (-1/2) = 2π/3 .
Im Allgemeinen hat die Gleichung cos x \u003d a, wobei -1 ≤ a ≤ 1, nur eine Wurzel auf dem Segment 0 ≤ x ≤ π. Wenn a ≥ 0, dann ist die Wurzel im Intervall eingeschlossen; wenn ein< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Somit ist der Arkuskosinus der Zahl a € [-1; 1] wird eine solche Zahl € genannt, deren Kosinus gleich a ist:
arccos a = α wenn cos α = a und 0 ≤ a ≤ π (1).
Zum Beispiel arccos √3/2 = π/6, da cos π/6 = √3/2 und 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6 da cos 5π/6 = -√3/2 und 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Ähnlich wie bei der Lösung der Aufgaben 1 und 2 kann gezeigt werden, dass alle Nullstellen der Gleichung cos x = a sind, wobei |a| ≤ 1 werden durch die Formel ausgedrückt
x = +/- arccos a + 2 πn, n ∈ Z (2).
Lösen Sie die Gleichung cos x = -0,75.
Lösung.
Gemäß Formel (2) finden wir x = +/- arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Den Wert von arcos (-0,75) kann man ungefähr aus der Abbildung entnehmen, indem man den Winkel mit einem Winkelmesser misst. Annäherungswerte des Arkuskosinus können auch mit speziellen Tabellen (Bradis-Tabellen) oder einem Mikrorechner ermittelt werden. Beispielsweise kann der Wert von arccos (-0,75) auf einem Mikrorechner berechnet werden und einen ungefähren Wert von 2,4188583 erhalten. Also arccos (-0,75) ≈ 2,42. Daher ist arccos (-0,75) ≈ 139°.
Antwort: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Lösen Sie die Gleichung (4cos x - 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Lösung.
1) 4cos x - 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n ∈ Z.
Antworten. x = +/-arcos 1/4 + 2πn, x = +/-π/3 + πn.
Es lässt sich nachweisen, dass für jeden € [-1; 1] gilt die Formel arccos (-a) = π - arccos a (3).
Mit dieser Formel können Sie die Werte des inversen Kosinus negativer Zahlen durch die Werte des inversen Kosinus positiver Zahlen ausdrücken. Zum Beispiel:
arccos (-1/2) \u003d π - arccos 1/2 \u003d π - π / 3 \u003d 2π / 3;
arccos (-√2/2) = π - arccos √2/2 = π - π/4 = 3π/4
aus Formel (2) folgt, dass die Wurzeln der Gleichung cos x \u003d a für a \u003d 0, a \u003d 1 und a \u003d -1 mit einfacheren Formeln gefunden werden können:
cos x \u003d 0 x \u003d π / 2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x \u003d -1 x \u003d π + 2πn, n € Z (6).
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Dieser Artikel hat gesammelt Tabellen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Zuerst geben wir eine Tabelle mit Grundwerten trigonometrischer Funktionen, dh eine Tabelle mit Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π Bogenmaß). Danach geben wir eine Tabelle mit Sinus und Cosinus sowie eine Tabelle mit Tangenten und Kotangens von V. M. Bradis und zeigen, wie diese Tabellen verwendet werden, wenn die Werte trigonometrischer Funktionen ermittelt werden.
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Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenstabelle für Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad
Referenzliste.
- Algebra: Proz. für 9 Zellen. durchschn. Schule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 S.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra und Beginn der Analysis: Proc. für 10-11 Zellen. durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.
- Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen: Für die allgemeine Bildung. Lehrbuch Betriebe. - 2. Aufl. - M.: Bustard, 1999.- 96 S.: mit Abb. ISBN 5-7107-2667-2
Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.
Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.
Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.
Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.
Mittwoch, 4. Juli 2018
Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.
Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur weitere Brücken.
So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.
Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.
Sonntag, 18. März 2018
Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.
Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.
Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.
Die Lösung trigonometrischer Gleichungen jeder Komplexitätsstufe läuft letztendlich auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen hinaus. Und dabei erweist sich der trigonometrische Kreis wieder als der beste Helfer.
Erinnere dich an die Definitionen von Cosinus und Sinus.
Der Kosinus eines Winkels ist die Abszisse (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen gegebenen Winkel entspricht.
Der Sinus eines Winkels ist die Ordinate (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen bestimmten Winkel entspricht.
Die positive Bewegungsrichtung entlang des trigonometrischen Kreises wird als Bewegung gegen den Uhrzeigersinn betrachtet. Eine Drehung um 0 Grad (oder 0 Bogenmaß) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten (1; 0)
Wir verwenden diese Definitionen, um die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen.
1. Lösen Sie die Gleichung
Diese Gleichung wird von allen solchen Werten des Drehwinkels erfüllt, die den Punkten des Kreises entsprechen, dessen Ordinate gleich ist.
Markieren wir einen Punkt mit Ordinate auf der y-Achse:
Zeichnen Sie eine horizontale Linie parallel zur x-Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf einem Kreis liegen und eine Ordinate haben. Diese Punkte entsprechen Rotationswinkeln von und Radianten:
Wenn wir, nachdem wir den dem Rotationswinkel pro Radiant entsprechenden Punkt verlassen haben, einen vollen Kreis umrunden, gelangen wir zu einem Punkt, der dem Rotationswinkel pro Radiant entspricht und dieselbe Ordinate hat. Das heißt, dieser Drehwinkel erfüllt auch unsere Gleichung. Wir können so viele "leere" Kurven fahren, wie wir möchten, und zum selben Punkt zurückkehren, und alle diese Winkelwerte werden unsere Gleichung erfüllen. Die Anzahl der "Leerlauf"-Umdrehungen wird mit dem Buchstaben (oder) bezeichnet. Da wir diese Umdrehungen sowohl in positiver als auch in negativer Richtung ausführen können, kann (oder ) beliebige ganzzahlige Werte annehmen.
Das heißt, die erste Reihe von Lösungen der ursprünglichen Gleichung hat die Form:
, , - Menge von ganzen Zahlen (1)
In ähnlicher Weise hat die zweite Reihe von Lösungen die Form:
, wo , . (2)
Wie Sie erraten haben, basiert diese Reihe von Lösungen auf dem Punkt des Kreises, der dem Drehwinkel von entspricht.
Diese beiden Lösungsreihen können in einem Eintrag kombiniert werden:
Wenn wir diesen Eintrag (also gerade) aufnehmen, erhalten wir die erste Reihe von Lösungen.
Wenn wir diesen Eintrag (also ungerade) aufnehmen, erhalten wir die zweite Reihe von Lösungen.
2. Lassen Sie uns nun die Gleichung lösen
Da die Abszisse des durch Drehen um den Winkel erhaltenen Punktes des Einheitskreises ist, markieren wir auf der Achse einen Punkt mit der Abszisse:
Zeichnen Sie eine vertikale Linie parallel zur Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf einem Kreis liegen und eine Abszisse haben. Diese Punkte entsprechen Rotationswinkeln von und Radianten. Denken Sie daran, dass wir bei einer Bewegung im Uhrzeigersinn einen negativen Drehwinkel erhalten:
Wir schreiben zwei Reihen von Lösungen auf:
,
,
(Wir kommen zum richtigen Punkt, indem wir vom Hauptkreis ausgehen, das heißt.
Lassen Sie uns diese beiden Serien zu einem Beitrag kombinieren:
3. Lösen Sie die Gleichung
Die Tangentenlinie verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten (1,0) des Einheitskreises parallel zur OY-Achse
Markieren Sie darauf einen Punkt mit einer Ordinate gleich 1 (wir suchen nach der Tangente, deren Winkel 1 sind):
Verbinden Sie diesen Punkt mit einer Geraden mit dem Ursprung und markieren Sie die Schnittpunkte der Geraden mit dem Einheitskreis. Die Schnittpunkte der Geraden und des Kreises entsprechen den Drehwinkeln an und :
Da die Punkte, die den Rotationswinkeln entsprechen, die unsere Gleichung erfüllen, im Bogenmaß voneinander entfernt liegen, können wir die Lösung wie folgt schreiben:
4. Lösen Sie die Gleichung
Die Kotangenslinie verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten des Einheitskreises parallel zur Achse.
Wir markieren einen Punkt mit der Abszisse -1 auf dem Kotangensstrahl:
Verbinden Sie diesen Punkt mit dem Ursprung der Geraden und setzen Sie ihn fort, bis er sich mit dem Kreis schneidet. Diese Linie schneidet den Kreis an Punkten, die den Rotationswinkeln und Radianten entsprechen:
Da diese Punkte durch einen Abstand gleich voneinander getrennt sind, können wir die allgemeine Lösung dieser Gleichung wie folgt schreiben:
In den angegebenen Beispielen, die die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen veranschaulichen, wurden tabellarische Werte trigonometrischer Funktionen verwendet.
Wenn sich jedoch auf der rechten Seite der Gleichung ein nicht tabellarischer Wert befindet, ersetzen wir den Wert in der allgemeinen Lösung der Gleichung:
SONDERLÖSUNGEN:
Markieren Sie Punkte auf dem Kreis, dessen Ordinate 0 ist:
Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate gleich 1 ist:
Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate gleich -1 ist:
Da es üblich ist, die Werte anzugeben, die am nächsten bei Null liegen, schreiben wir die Lösung wie folgt:
Markieren Sie die Punkte auf dem Kreis, dessen Abszisse 0 ist:
5.
Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich 1 ist:
Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich -1 ist:
Und einige komplexere Beispiele:
1.
Der Sinus ist eins, wenn das Argument ist
Das Argument unseres Sinus ist , also erhalten wir:
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3:
Antworten:
2.
Der Kosinus ist Null, wenn das Kosinus-Argument Null ist
Das Argument unseres Kosinus ist , also erhalten wir:
Wir drücken aus, dazu gehen wir zunächst mit umgekehrtem Vorzeichen nach rechts:
Vereinfachen Sie die rechte Seite:
Teilen Sie beide Teile durch -2:
Beachten Sie, dass sich das Vorzeichen vor dem Term nicht ändert, da k beliebige ganzzahlige Werte annehmen kann.
Antworten:
Sehen Sie sich abschließend das Video-Tutorial „Auswahl von Wurzeln in einer trigonometrischen Gleichung mithilfe eines trigonometrischen Kreises“ an.
Damit ist das Gespräch über das Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen abgeschlossen. Beim nächsten Mal sprechen wir darüber, wie man es löst.
