Weißt du, was der Mittelpunkt einer Linie ist? Natürlich tust du. Und der Mittelpunkt des Kreises? Zu.
Was ist der Mittelpunkt eines Winkels?
Sie können sagen, dass dies nicht der Fall ist. Aber warum kann das Segment in zwei Hälften geteilt werden, aber der Winkel nicht? Es ist durchaus möglich - nur kein Punkt, aber .... Linie.
Erinnerst du dich an den Witz: Die Winkelhalbierende ist eine Ratte, die um Ecken läuft und die Ecke halbiert. Die eigentliche Definition der Winkelhalbierenden ist also diesem Witz sehr ähnlich:
Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, das die Spitze dieses Winkels mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Es war einmal, dass alte Astronomen und Mathematiker viele interessante Eigenschaften der Winkelhalbierenden entdeckten. Dieses Wissen hat das Leben der Menschen stark vereinfacht.
Das erste Wissen, das dabei hilft, ist ...
Erinnern Sie sich übrigens an all diese Begriffe? Erinnerst du dich, wie sie sich voneinander unterscheiden? Nein? Nicht beängstigend. Jetzt lass es uns herausfinden.
- Basis eines gleichschenkligen Dreiecks- das ist die Seite, die keiner anderen gleicht. Schau dir das Bild an, welche Seite meinst du? Das ist richtig - es ist eine Seite.
- Der Median ist eine Linie, die von der Spitze eines Dreiecks gezogen wird und die gegenüberliegende Seite (diese wieder) halbiert. Beachten Sie, dass wir nicht sagen: „Der Median eines gleichschenkligen Dreiecks“. Weißt du, warum? Weil die Mittellinie, die vom Scheitelpunkt eines Dreiecks gezogen wird, die gegenüberliegende Seite in JEDEM Dreieck halbiert.
- Die Höhe ist eine Linie, die von oben und senkrecht zur Basis gezogen wird. Du bemerktest? Wir sprechen wieder über irgendein Dreieck, nicht nur über ein gleichschenkliges. Die Höhe in JEDEM Dreieck ist immer senkrecht zur Basis.
Also, hast du es herausgefunden? Fast.
Um besser zu verstehen und sich für immer daran zu erinnern, was eine Winkelhalbierende, ein Median und eine Höhe sind, brauchen sie miteinander vergleichen und verstehen, wie sie sich ähneln und wie sie sich voneinander unterscheiden.
Gleichzeitig ist es zur besseren Erinnerung besser, alles in „menschlicher Sprache“ zu beschreiben.
Dann werden Sie leicht mit der Sprache der Mathematik umgehen können, aber Sie verstehen diese Sprache zunächst nicht und müssen alles verstehen in deiner eigenen Sprache.
Wie ähnlich sind sie sich also?
Die Winkelhalbierende, die Mittellinie und die Höhe - sie alle "gehen" vom Scheitelpunkt des Dreiecks aus und stoßen in die entgegengesetzte Richtung und "machen etwas", entweder mit dem Winkel, aus dem sie herauskommen, oder mit der gegenüberliegenden Seite.
Ich denke, es ist einfach, nicht wahr?
Und wie unterscheiden sie sich?
- Die Winkelhalbierende halbiert den Winkel, aus dem sie austritt.
- Der Median halbiert die gegenüberliegende Seite.
- Die Höhe ist immer senkrecht zur gegenüberliegenden Seite.
Das ist es. Zu verstehen ist einfach. Sobald Sie verstanden haben, können Sie sich erinnern.
Jetzt die nächste Frage.
Warum entpuppt sich dann bei einem gleichschenkligen Dreieck die Winkelhalbierende gleichzeitig als Mittellinie und als Höhe?
Sie können sich einfach die Figur ansehen und sicherstellen, dass sich der Median in zwei absolut gleiche Dreiecke aufteilt.
Das ist alles! Aber Mathematiker trauen ihren Augen nicht gern. Sie müssen alles beweisen.
Schreckliches Wort?
Nichts dergleichen - alles ist einfach! Schauen Sie: und haben gleiche Seiten und, sie haben eine gemeinsame Seite und. (- Winkelhalbierende!) Und so stellte sich heraus, dass zwei Dreiecke zwei gleiche Seiten und einen Winkel zwischen ihnen haben.
Wir erinnern uns an das erste Zeichen der Gleichheit von Dreiecken (Sie erinnern sich nicht, schauen Sie sich das Thema an) und schließen daraus, was = und bedeutet.
Das ist schon gut - es bedeutet, dass es sich als Median herausstellte.
Aber was ist es?
Schauen wir uns das Bild an -. Und das haben wir bekommen. So zu! Endlich, hurra! und.
Fiel Ihnen dieser Beweis schwer? Schauen Sie sich das Bild an – zwei identische Dreiecke sprechen für sich.
Bitte denken Sie in jedem Fall daran:
Jetzt wird es schwieriger: Wir zählen Winkel zwischen Winkelhalbierenden in jedem Dreieck! Keine Angst, das ist gar nicht so schwierig. Sehen Sie das Bild an:
Zählen wir es. Erinnern Sie sich, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks ist?
Wenden wir diese erstaunliche Tatsache an.
Einerseits aus:
Also.
Nun schauen wir uns an:
Aber Winkelhalbierende, Winkelhalbierende!
Erinnern wir uns an:
Jetzt durch die Briefe
Ist es nicht überraschend?
Es stellte sich heraus, dass der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden zweier Winkel hängt nur vom dritten Winkel ab!
Nun, wir haben uns zwei Winkelhalbierende angesehen. Was ist, wenn es drei sind??!! Werden sie sich alle am selben Punkt schneiden?
Oder wird es sein?
Was denkst du? Hier dachten und dachten Mathematiker und bewiesen:
Echt super?
Wollen Sie wissen, warum das passiert?
Gehen Sie zum nächsten Level - Sie sind bereit, neue Höhen des Wissens über die Winkelhalbierende zu erobern!
HALBSEKTOR. DURCHSCHNITTSNIVEAU
Erinnerst du dich, was eine Winkelhalbierende ist?
Eine Winkelhalbierende ist eine Linie, die einen Winkel halbiert.
Haben Sie die Winkelhalbierende in der Aufgabe getroffen? Versuchen Sie, eine (und manchmal können Sie mehrere) der folgenden erstaunlichen Eigenschaften anzuwenden.
1. Winkelhalbierende in einem gleichschenkligen Dreieck.
Haben Sie Angst vor dem Wort „Theorem“? Wenn Sie Angst haben, dann - vergebens. Mathematiker sind daran gewöhnt, jede Aussage, die irgendwie aus anderen, einfacheren Aussagen abgeleitet werden kann, einen Satz der Mathematik zu nennen.
Also, Achtung, das Theorem!
Lassen Sie uns beweisen dieses Theorem, das heißt, wir werden verstehen, warum dies geschieht? Betrachten Sie die Gleichschenkel.
Schauen wir sie uns genau an. Und das werden wir dann sehen
- - Allgemeines.
Und das bedeutet (merken Sie sich besser das erste Zeichen der Gleichheit von Dreiecken!), Dass.
Na und? Möchten Sie das sagen? Und die Tatsache, dass wir uns die dritten Seiten und die restlichen Winkel dieser Dreiecke noch nicht angesehen haben.
Und jetzt mal sehen. Einmal, dann ganz genau und sogar zusätzlich.
Das ist also passiert
- teilte die Seite in zwei Hälften, das heißt, stellte sich als Median heraus
- , was bedeutet, dass sie beide eingeschaltet sind, da (sehen Sie sich die Abbildung noch einmal an).
Es stellte sich also heraus, dass es sich um eine Winkelhalbierende und eine Höhe handelte!
Hurra! Wir haben den Satz bewiesen. Aber stellen Sie sich vor, das ist noch nicht alles. Treu und Umkehrsatz:
Nachweisen? Bist du interessiert? Lesen Sie die nächste Stufe der Theorie!
Und wenn es dich nicht interessiert, dann erinnere dich fest:
Warum ist es schwer, sich zu erinnern? Wie kann es helfen? Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Aufgabe:
Gegeben: .
Finden: .
Man denkt sofort, Winkelhalbierende und siehe da, sie hat die Seite in zwei Hälften geteilt! (nach Bedingung…). Wenn Sie sich fest daran erinnern, dass dies geschieht nur in einem gleichschenkligen Dreieck, dann schließen Sie, das heißt, schreiben Sie die Antwort:. Es ist großartig, oder? Natürlich werden nicht alle Aufgaben so einfach sein, aber Wissen hilft auf jeden Fall!
Und jetzt das nächste Objekt. Bereit?
2. Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind.
Erschrocken? Eigentlich ist es kein Grund zur Sorge. Faule Mathematiker versteckten vier in zwei Zeilen. Also, was bedeutet es, "Bisektor - Ort der Punkte"? Und das bedeutet, dass sie sofort ausgeführt werden zweiaussagen:
- Wenn ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden liegt, dann sind die Abstände von ihm zu den Seiten des Winkels gleich.
- Wenn an einem Punkt die Abstände zu den Seiten des Winkels gleich sind, dann dieser Punkt Notwendig liegt auf der Winkelhalbierenden.
Sehen Sie den Unterschied zwischen Aussage 1 und 2? Wenn nicht, dann erinnere dich an den Hutmacher aus „Alice im Wunderland“: „Du hast also noch etwas Gutes zu sagen, als ob „Ich sehe, was ich esse“ und „Ich esse, was ich sehe“ dasselbe sind!
Wir müssen also die Aussagen 1 und 2 beweisen und dann die Aussage: "Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind" wird bewiesen!
Warum ist 1 richtig?
Nehmen Sie einen beliebigen Punkt auf der Winkelhalbierenden und nennen Sie ihn .
Lassen Sie uns von diesem Punkt aus Senkrechte auf die Seiten des Winkels fallen lassen.
Und jetzt ... machen Sie sich bereit, sich an die Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke zu erinnern! Wenn Sie sie vergessen haben, sehen Sie sich den Abschnitt an.
Also ... zwei rechtwinklige Dreiecke: und. Bei ihnen:
- gemeinsame Hypotenuse.
- (weil - die Winkelhalbierende!)
Also - nach Winkel und Hypotenuse. Daher sind die entsprechenden Schenkel dieser Dreiecke gleich! Also.
Wir haben bewiesen, dass der Punkt gleichmäßig (oder gleichmäßig) von den Seiten des Winkels entfernt ist. Punkt 1 ist erledigt. Kommen wir nun zu Punkt 2.
Warum ist 2 richtig?
Und verbinde die Punkte.
Also liegt auf der Winkelhalbierenden!
Das ist alles!
Wie kann all dies zur Problemlösung angewendet werden? Zum Beispiel gibt es in Aufgaben oft einen solchen Satz: "Der Kreis berührt die Seiten des Winkels ...". Nun, Sie müssen etwas finden.
Das merkt man schnell
Und Sie können Gleichheit verwenden.
3. Drei Winkelhalbierende in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt
Aus der Eigenschaft der Winkelhalbierenden, der Ort von Punkten zu sein, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind, folgt die folgende Aussage:
Wie genau fließt es? Aber schau: Zwei Winkelhalbierende schneiden sich bestimmt, oder?
Und die dritte Winkelhalbierende könnte so aussehen:
Aber in Wirklichkeit ist alles viel besser!
Betrachten wir den Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender. Rufen wir sie an.
Was haben wir hier beide Male verwendet? Ja Absatz 1, Natürlich! Liegt ein Punkt auf der Winkelhalbierenden, so ist er von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt.
Und so geschah es.
Aber schauen Sie sich diese beiden Gleichheiten genau an! Schließlich folgt aus ihnen, dass und damit .
Und jetzt wird es funktionieren Punkt 2: Wenn die Abstände zu den Seiten des Winkels gleich sind, dann liegt der Punkt auf der Winkelhalbierenden ... welchen Winkels? Schau dir nochmal das Bild an:
und sind die Abstände zu den Seiten des Winkels, und sie sind gleich, was bedeutet, dass der Punkt auf der Winkelhalbierenden liegt. Die dritte Winkelhalbierende ging durch denselben Punkt! Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt! Und als zusätzliches Geschenk -
Radien eingeschrieben Kreise.
(Für Genauigkeit schauen Sie sich ein anderes Thema an).
Nun, jetzt wirst du nie vergessen:
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises.
Kommen wir zur nächsten Eigenschaft ... Wow, und eine Winkelhalbierende hat viele Eigenschaften, richtig? Und das ist großartig, denn je mehr Eigenschaften, desto mehr Werkzeuge zum Lösen von Problemen mit der Winkelhalbierenden.
4. Winkelhalbierende und Parallelität, Winkelhalbierende benachbarter Winkel
Die Tatsache, dass die Winkelhalbierende den Winkel teilweise halbiert, führt zu völlig unerwarteten Ergebnissen. Zum Beispiel,
Fall 1
Es ist großartig, oder? Lassen Sie uns verstehen, warum.
Einerseits zeichnen wir eine Winkelhalbierende!
Aber andererseits - wie quer liegende Ecken (denke an das Thema).
Und jetzt stellt sich heraus, dass; schmeiß die Mitte raus: ! - gleichschenklig!
Fall 2
Stellen Sie sich ein Dreieck vor (oder schauen Sie sich ein Bild an)
Lassen Sie uns Punkt für Punkt weitermachen. Jetzt gibt es zwei Ecken:
- - innere Ecke
- - äußere Ecke - es ist draußen, oder?
Also, und jetzt wollte jemand nicht eine, sondern zwei Winkelhalbierende auf einmal zeichnen: sowohl für als auch für. Was wird passieren?
Und es wird sich herausstellen rechteckig!
Überraschenderweise ist es genau das.
Wir verstehen.
Was glaubst du wie hoch der Betrag ist?
Natürlich, weil sie alle zusammen einen solchen Winkel bilden, dass sich herausstellt, dass es sich um eine gerade Linie handelt.
Und jetzt erinnern wir uns daran, dass und Winkelhalbierende sind, und wir werden sehen, dass innerhalb des Winkels genau ist halb aus der Summe aller vier Winkel: und - - also genau. Es kann auch als Gleichung geschrieben werden:
Also, unglaublich aber wahr:
Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels des Dreiecks ist gleich.
Fall 3
Sehen Sie, dass hier alles gleich ist wie bei den Innen- und Außenecken?
Oder überlegen wir nochmal, warum das so ist?
Auch hier gilt für benachbarte Ecken:
(entspricht parallelen Basen).
Und wieder vertragen genau die Hälfte aus der Summe
Fazit: Wenn das Problem Winkelhalbierende enthält verbunden Winkel oder Winkelhalbierende jeweilig Winkel eines Parallelogramms oder Trapezes, dann in diesem Problem sicherlich es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, vielleicht sogar um ein ganzes Rechteck.
5. Winkelhalbierende und gegenüberliegende Seite
Es stellt sich heraus, dass die Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite nicht irgendwie, sondern auf besondere und sehr interessante Weise teilt:
Also:
Erstaunliche Tatsache, nicht wahr?
Jetzt werden wir diese Tatsache beweisen, aber machen Sie sich bereit: Es wird etwas schwieriger als zuvor.
Wieder - ein Ausgang zum "Raum" - ein zusätzliches Gebäude!
Gehen wir geradeaus.
Wozu? Jetzt werden wir sehen.
Wir setzen die Winkelhalbierende bis zum Schnittpunkt mit der Linie fort.
Ein bekanntes Bild? Ja, ja, ja, genau das gleiche wie in Absatz 4, Fall 1 - es stellt sich heraus, dass (- Winkelhalbierende)
Wie querliegend
Das ist es also auch.
Schauen wir uns nun die Dreiecke und an.
Was kann man über sie sagen?
Sie sind sich ähnlich. Nun ja, ihre Winkel sind gleich vertikal. Also zwei Ecken.
Jetzt haben wir das Recht, die Beziehungen der entsprechenden Parteien zu schreiben.
Und jetzt in Kurzform:
Autsch! Erinnert mich an etwas, oder? Wollten wir das nicht beweisen? Ja, ja, das ist es!
Sie sehen, wie toll der "Weltraumspaziergang" war - der Bau einer zusätzlichen geraden Linie - ohne ihn wäre nichts passiert! Und das haben wir bewiesen
Jetzt können Sie es sicher verwenden! Analysieren wir noch eine Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks - keine Angst, jetzt ist das Schwierigste vorbei - es wird einfacher.
Das verstehen wir
Satz 1:
Satz 2:
Satz 3:
Satz 4:
Satz 5:
Satz 6:
So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.
Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!
Jetzt das Wichtigste.
Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.
Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...
Wofür?
Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme ins Institut auf Kosten des Budgets und vor allem auf Lebenszeit.
Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...
Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.
Aber das ist nicht die Hauptsache.
Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...
Aber denkt selbst...
Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?
FÜLLEN SIE IHRE HAND, LÖSEN SIE PROBLEME ZU DIESEM THEMA.
Bei der Prüfung wird dir keine Theorie abverlangt.
Du wirst brauchen Probleme rechtzeitig lösen.
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Probleme finden und lösen!
In dieser Lektion werden wir im Detail betrachten, welche Eigenschaften die Punkte haben, die auf der Winkelhalbierenden und den Punkten liegen, die auf der Mittelsenkrechten zur Strecke liegen.
Thema: Kreis
Lektion: Eigenschaften der Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten einer Strecke
Betrachten Sie die Eigenschaften eines Punktes, der auf der Winkelhalbierenden liegt (siehe Abb. 1).
Reis. eines
Bei gegebenem Winkel , seiner Winkelhalbierenden AL, liegt der Punkt M auf der Winkelhalbierenden.
Satz:
Liegt der Punkt M auf der Winkelhalbierenden, so ist er von den Winkelseiten gleich weit entfernt, das heißt, die Abstände der Winkelseiten vom Punkt M zu AC und zu BC sind gleich.
Nachweisen:
Betrachten Sie Dreiecke und . Dies sind rechtwinklige Dreiecke, und sie sind gleich, weil. haben eine gemeinsame Hypotenuse AM, und die Winkel und sind gleich, da AL die Winkelhalbierende von Winkel ist. Somit sind rechtwinklige Dreiecke in Hypotenuse und spitzem Winkel gleich, daraus folgt, dass , was bewiesen werden musste. Somit ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.
Der Umkehrsatz ist wahr.
Wenn ein Punkt von den Seiten eines nicht erweiterten Winkels gleich weit entfernt ist, liegt er auf seiner Winkelhalbierenden.
Reis. 2
Gegeben ist ein entfalteter Winkel, Punkt M, so dass der Abstand von ihm zu den Seiten des Winkels gleich ist (siehe Abb. 2).
Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Winkelhalbierenden liegt.
Nachweisen:
Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Zeichnen Sie vom Punkt M aus die Senkrechten MK zur Seite AB und MP zur Seite AC.
Betrachten Sie Dreiecke und . Dies sind rechtwinklige Dreiecke, und sie sind gleich, weil. haben eine gemeinsame Hypotenuse AM, die Beine MK und MR sind bedingt gleich. Rechtwinklige Dreiecke sind also in Hypotenuse und Schenkel gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der zugehörigen Elemente, gleiche Winkel stehen gleichen Schenkeln gegenüber, also 
, also liegt der Punkt M auf der Winkelhalbierenden des gegebenen Winkels.
Der direkte und der inverse Satz können kombiniert werden.
Satz
Die Winkelhalbierende eines nicht erweiterten Winkels ist der Ort der Punkte, die von den Seiten des gegebenen Winkels gleich weit entfernt sind.
Satz
Die Winkelhalbierenden AA 1 , BB 1 , CC 1 des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt O (siehe 3 ).
Reis. 3
Nachweisen:
Betrachten Sie die ersten beiden Winkelhalbierenden BB 1 und СС 1 . Sie schneiden sich, der Schnittpunkt O existiert. Um dies zu beweisen, nehmen Sie das Gegenteil an - lassen Sie die gegebenen Winkelhalbierenden sich nicht schneiden, in diesem Fall sind sie parallel. Dann ist die Linie BC eine Sekante und die Summe der Winkel 
, dies widerspricht der Tatsache, dass im ganzen Dreieck die Summe der Winkel ist.
Also existiert der Schnittpunkt O zweier Winkelhalbierender. Betrachten Sie seine Eigenschaften:
Punkt O liegt auf der Winkelhalbierenden von Winkel , was bedeutet, dass er von seinen Seiten BA und BC gleich weit entfernt ist. Wenn OK senkrecht zu BC ist, OL senkrecht zu BA, dann sind die Längen dieser Senkrechten gleich -. Auch der Punkt O liegt auf der Winkelhalbierenden und ist von seinen Seiten CB und CA gleich weit entfernt, die Senkrechten OM und OK sind gleich.
Wir haben die folgenden Gleichheiten:
, das heißt, alle drei Senkrechten, die vom Punkt O zu den Seiten des Dreiecks fallen, sind einander gleich.
Uns interessiert die Gleichheit der Lote OL und OM. Diese Gleichheit besagt, dass der Punkt O von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist, also auf seiner Winkelhalbierenden AA 1 liegt.
Damit haben wir bewiesen, dass sich alle drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.
Kommen wir zur Betrachtung der Strecke, ihrer Mittelsenkrechten und den Eigenschaften des Punktes, der auf der Mittelsenkrechten liegt.
Die Strecke AB ist gegeben, p ist die Mittelsenkrechte. Das bedeutet, dass die Gerade p durch den Mittelpunkt der Strecke AB geht und senkrecht dazu steht.
Satz
Reis. vier
Jeder Punkt, der auf der Mittelsenkrechten liegt, ist von den Enden der Strecke gleich weit entfernt (siehe Abb. 4).
Beweise das
Nachweisen:
Betrachten Sie Dreiecke und . Sie sind rechteckig und gleich, weil. haben ein gemeinsames Bein OM, und die Beine von AO und OB sind durch die Bedingung gleich, also haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke, die in zwei Beinen gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Hypotenusen der Dreiecke gleich sind, was zu beweisen war.
Beachten Sie, dass das Segment AB ein gemeinsamer Akkord für viele Kreise ist.
Zum Beispiel der erste Kreis zentriert bei Punkt M und Radius MA und MB; zweiter Kreis zentriert bei Punkt N, Radius NA und NB.
Damit haben wir bewiesen, dass ein Punkt, der auf der Mittelsenkrechten zu einer Strecke liegt, von den Enden der Strecke gleich weit entfernt ist (siehe Abb. 5).
Reis. 5
Der Umkehrsatz ist wahr.
Satz
Wenn ein Punkt M von den Enden einer Strecke gleich weit entfernt ist, dann liegt er auf der Mittelsenkrechten zu dieser Strecke.
Die Strecke AB ist gegeben, die Mediane senkrecht dazu p, der Punkt M, gleich weit von den Enden der Strecke entfernt (siehe Abb. 6).
Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Mittelsenkrechten zur Strecke liegt.
Reis. 6
Nachweisen:
Betrachten wir ein Dreieck. Es ist gleichschenklig, wie durch Bedingung. Betrachten Sie den Median des Dreiecks: Punkt O ist der Mittelpunkt der Basis AB, OM ist der Median. Gemäß der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks ist die zu seiner Basis gezogene Seitenhalbierende sowohl eine Höhe als auch eine Winkelhalbierende. Daraus folgt das. Aber die Gerade p steht auch senkrecht auf AB. Wir wissen, dass eine einzige Senkrechte zur Strecke AB zum Punkt O gezogen werden kann, was bedeutet, dass die Linien OM und p zusammenfallen, daraus folgt, dass der Punkt M zur Linie p gehört, was bewiesen werden musste.
Der direkte und der inverse Satz können verallgemeinert werden.
Satz
Die Mittelsenkrechte eines Segments ist der Ort der Punkte, die von seinen Enden gleich weit entfernt sind.
Wie Sie wissen, besteht ein Dreieck aus drei Segmenten, was bedeutet, dass drei Mittelsenkrechte darin gezeichnet werden können. Es stellt sich heraus, dass sie sich an einem Punkt schneiden.
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Gegeben ist ein Dreieck. Senkrecht zu seinen Seiten: P 1 zur Seite BC, P 2 zur Seite AC, P 3 zur Seite AB (siehe Abb. 7).
Beweisen Sie, dass sich die Senkrechten Ð 1 , Ð 2 und Ð 3 im Punkt O schneiden.
Heute wird eine sehr einfache Lektion sein. Wir werden nur ein Objekt betrachten – die Winkelhalbierende – und ihre wichtigste Eigenschaft beweisen, die uns in Zukunft sehr nützlich sein wird.
Entspannen Sie sich nicht: Manchmal können Schüler, die in der ersten Lektion eine hohe Punktzahl bei derselben OGE oder USE erzielen möchten, nicht einmal die genaue Definition der Winkelhalbierenden formulieren.
Und anstatt wirklich interessante Aufgaben zu erledigen, verbringen wir Zeit mit solch einfachen Dingen. Also lesen, anschauen - und übernehmen. :)
Zunächst eine etwas seltsame Frage: Was ist ein Winkel? Das ist richtig: Ein Winkel besteht nur aus zwei Strahlen, die aus demselben Punkt kommen. Zum Beispiel:
Beispiele für Winkel: spitz, stumpf und rechts Wie Sie auf dem Bild sehen können, können die Ecken scharf, stumpf, gerade sein - das spielt jetzt keine Rolle. Der Einfachheit halber wird oft ein zusätzlicher Punkt auf jedem Strahl markiert und sie sagen, sie sagen, wir haben einen Winkel $AOB$ (geschrieben als $\angle AOB$).
Der Kapitän scheint anzudeuten, dass man zusätzlich zu den Strahlen $OA$ und $OB$ immer ein Strahlenbündel vom Punkt $O$ aus ziehen kann. Aber unter ihnen wird es einen besonderen geben - er heißt Bisektor.
Definition. Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der aus dem Scheitel dieses Winkels kommt und den Winkel halbiert.
Für die obigen Winkel sehen die Winkelhalbierenden so aus:
Beispiele für Winkelhalbierende für spitze, stumpfe und rechte Winkel
Da es in realen Zeichnungen bei weitem nicht immer offensichtlich ist, dass ein bestimmter Strahl (in unserem Fall der $OM$-Strahl) den Anfangswinkel in zwei gleiche aufteilt, ist es in der Geometrie üblich, gleiche Winkel mit der gleichen Anzahl von zu kennzeichnen Bögen (in unserer Zeichnung ist dies 1 Bogen für einen spitzen Winkel, zwei für einen stumpfen, drei für einen geraden Winkel).
Okay, wir haben die Definition herausgefunden. Jetzt müssen Sie verstehen, welche Eigenschaften die Winkelhalbierende hat.
Grundeigenschaft der Winkelhalbierenden
Tatsächlich hat die Winkelhalbierende viele Eigenschaften. Und wir werden sie definitiv in der nächsten Lektion berücksichtigen. Aber es gibt einen Trick, den Sie jetzt verstehen müssen:
Satz. Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten des gegebenen Winkels gleich weit entfernt sind.
Aus dem Mathematischen ins Russische übersetzt bedeutet dies gleich zwei Tatsachen:
- Jeder Punkt, der auf der Winkelhalbierenden liegt, ist von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.
- Und umgekehrt: Wenn ein Punkt von den Seiten eines gegebenen Winkels den gleichen Abstand hat, dann liegt er garantiert auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.
Bevor wir diese Aussagen beweisen, wollen wir einen Punkt klären: Was heißt eigentlich der Abstand von einem Punkt zu einer Seite eines Winkels? Dabei hilft uns die gute alte Definition des Abstandes von einem Punkt zu einer Geraden:
Definition. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge der Senkrechten, die von diesem Punkt zu dieser Linie gezogen wird.
Betrachten Sie zum Beispiel eine Linie $l$ und einen Punkt $A$, der nicht auf dieser Linie liegt. Zeichnen Sie eine Senkrechte $AH$, wobei $H\in l$ ist. Dann ist die Länge dieser Senkrechten der Abstand vom Punkt $A$ zur Geraden $l$.
Grafische Darstellung des Abstands von einem Punkt zu einer Linie Da ein Winkel nur aus zwei Strahlen besteht und jeder Strahl ein Stück einer Linie ist, ist es einfach, den Abstand von einem Punkt zu den Seiten des Winkels zu bestimmen. Es sind nur zwei Senkrechte:
Bestimmen Sie den Abstand von einem Punkt zu den Seiten eines Winkels Das ist alles! Jetzt wissen wir, was Distanz ist und was eine Winkelhalbierende ist. Daher können wir die Haupteigenschaft beweisen.
Wie versprochen teilen wir den Beweis in zwei Teile auf:
1. Die Abstände von einem Punkt auf der Winkelhalbierenden zu den Seiten des Winkels sind gleich
Betrachten Sie einen beliebigen Winkel mit dem Scheitelpunkt $O$ und der Winkelhalbierenden $OM$:
Beweisen wir, dass der gleiche Punkt $M$ den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels hat.
Nachweisen. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt $M$ zu den Seiten des Winkels. Nennen wir sie $M((H)_(1))$ und $M((H)_(2))$:
Zeichnen Sie Senkrechte zu den Seiten der Ecke
Wir haben zwei rechtwinklige Dreiecke: $\vartriangle OM((H)_(1))$ und $\vartriangle OM((H)_(2))$. Sie haben eine gemeinsame Hypotenuse $OM$ und gleiche Winkel:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ nach Annahme (da $OM$ eine Winkelhalbierende ist);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ durch Konstruktion;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ weil die Summe spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind immer gleich 90 Grad.
Daher haben Dreiecke die gleiche Seite und zwei benachbarte Winkel (siehe Zeichen der Gleichheit von Dreiecken). Also insbesondere $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, also die Abstände vom Punkt $O$ zu den Seiten des Winkels sind tatsächlich gleich. Q.E.D. :)
2. Sind die Abstände gleich, liegt der Punkt auf der Winkelhalbierenden
Jetzt ist die Situation umgekehrt. Gegeben seien ein Winkel $O$ und ein Punkt $M$, die von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt sind:
Beweisen wir, dass der Strahl $OM$ eine Winkelhalbierende ist, d.h. $\Winkel MO((H)_(1))=\Winkel MO((H)_(2))$.
Nachweisen. Lassen Sie uns zunächst genau diesen Strahl $OM$ zeichnen, sonst gibt es nichts zu beweisen:
Verbringe den Strahl $OM$ in der Ecke
Wir haben wieder zwei rechtwinklige Dreiecke: $\vartriangle OM((H)_(1))$ und $\vartriangle OM((H)_(2))$. Offensichtlich sind sie gleich, weil:
- Die Hypotenuse $OM$ ist üblich;
- Die Beine $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ durch Bedingung (weil der Punkt $M$ gleich weit von den Seiten der Ecke entfernt ist);
- Die restlichen Beine sind auch gleich, weil nach dem Satz des Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Also Dreiecke $\vartriangle OM((H)_(1))$ und $\vartriangle OM((H)_(2))$ auf drei Seiten. Insbesondere sind ihre Winkel gleich: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Und das bedeutet nur, dass $OM$ eine Winkelhalbierende ist.
Zum Abschluss des Beweises markieren wir die gebildeten gleichen Winkel mit roten Bögen:
Die Winkelhalbierende teilt den Winkel $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ in zwei gleiche
Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes. Wir haben bewiesen, dass die Winkelhalbierende der Ort der Punkte ist, die gleich weit von den Seiten dieses Winkels entfernt sind. :) :)
Nachdem wir uns nun mehr oder weniger für die Terminologie entschieden haben, ist es an der Zeit, auf eine neue Ebene zu gehen. In der nächsten Lektion werden wir komplexere Eigenschaften der Winkelhalbierenden analysieren und lernen, wie man sie anwendet, um echte Probleme zu lösen.
Winkelhalbierende eines Dreiecks - ein Segment der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, das zwischen der Spitze des Dreiecks und der ihm gegenüberliegenden Seite eingeschlossen ist.
Bisektoreigenschaften
1. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks halbiert den Winkel.
2. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis zweier benachbarter Seiten entspricht ()
3. Die Winkelhalbierenden eines Winkels eines Dreiecks sind von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.
4. Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt - dem Mittelpunkt des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.
Einige Formeln beziehen sich auf die Winkelhalbierende eines Dreiecks
(Beweis der Formel - )
, wo
- die Länge der zur Seite gezogenen Winkelhalbierenden,
- die Seiten des Dreiecks jeweils gegen die Eckpunkte,
- die Länge der Segmente, in die die Winkelhalbierende die Seite teilt,
Ich lade Sie ein, zuzuschauen Videounterricht, was die Anwendung aller obigen Winkelhalbierenden-Eigenschaften demonstriert.
Im Video behandelte Aufgaben:
1. Im Dreieck ABC mit den Seiten AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm wird die Winkelhalbierende BM eingezeichnet. Finde die Längen der Segmente AM und MC
2. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels am Scheitelpunkt A und die Winkelhalbierende des Außenwinkels am Scheitelpunkt C des Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt M. Finden Sie den Winkel BMC, wenn Winkel B 40 Grad beträgt, ist Winkel C 80 Grad
3. Finden Sie den Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist, indem Sie die Seiten der quadratischen Zellen gleich 1 berücksichtigen 
Sie könnten auch an einem kurzen Video-Tutorial interessiert sein, in dem eine der Eigenschaften der Winkelhalbierenden angewendet wird
In dieser Lektion erinnern wir uns an das Konzept der Winkelhalbierenden, formulieren und beweisen direkte und inverse Sätze über die Eigenschaften der Winkelhalbierenden und verallgemeinern sie. Wir werden ein Problem lösen, bei dem wir zusätzlich zu den Tatsachen über die Winkelhalbierende andere geometrische Tatsachen anwenden.
Thema: Kreis
Lektion: Eigenschaften einer Winkelhalbierenden. Aufgaben
Das Dreieck ist die zentrale Figur aller Geometrie, und man sagt scherzhaft, es sei unerschöpflich wie ein Atom. Seine Eigenschaften sind zahlreich, interessant, unterhaltsam. Wir betrachten einige dieser Eigenschaften.
Jedes Dreieck besteht hauptsächlich aus drei Winkeln und drei Segmenten (siehe Abb. 1).
Reis. eines
Betrachten Sie einen Winkel mit dem Scheitelpunkt A und den Seiten B und C - Winkel.
In jedem Winkel, einschließlich des Winkels eines Dreiecks, können Sie eine Winkelhalbierende zeichnen – also eine gerade Linie, die den Winkel halbiert (siehe Abb. 2).
Reis. 2
Betrachten Sie die Eigenschaften eines Punktes, der auf der Winkelhalbierenden liegt (siehe Abb. 3).
Betrachten Sie einen Punkt M, der auf der Winkelhalbierenden liegt.
Erinnere dich daran, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Linie die Länge der Senkrechten ist, die von diesem Punkt auf die Linie fallen gelassen wird.
Reis. 3
Wenn wir einen Punkt nehmen, der nicht auf der Winkelhalbierenden liegt, dann sind die Abstände von diesem Punkt zu den Seiten des Winkels natürlich unterschiedlich. Der Abstand vom Punkt M zu den Seiten der Ecke ist gleich.
Satz
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht erweiterten Winkels ist von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, das heißt, die Abstände der Seiten des Winkels vom Punkt M zu AC und zu BC sind gleich.
Ein Winkel ist gegeben, seine Winkelhalbierende ist AL, Punkt M liegt auf der Winkelhalbierenden (siehe Abb. 4).
Beweise das .
Reis. vier
Nachweisen:
Betrachten Sie Dreiecke und . Dies sind rechtwinklige Dreiecke, und sie sind gleich, weil sie eine gemeinsame Hypotenuse AM haben, und die Winkel und sind gleich, da AL die Winkelhalbierende ist. Somit sind rechtwinklige Dreiecke in Hypotenuse und spitzem Winkel gleich, daraus folgt, dass , was bewiesen werden musste. Somit ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.
Der Umkehrsatz ist wahr.
Satz
Wenn ein Punkt von den Seiten eines nicht erweiterten Winkels gleich weit entfernt ist, liegt er auf seiner Winkelhalbierenden.
Ein nicht entwickelter Winkel ist gegeben, Punkt M, so dass der Abstand von ihm zu den Seiten des Winkels gleich ist.
Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Winkelhalbierenden liegt (siehe Abb. 5).
Reis. 5
Nachweisen:
Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Zeichnen Sie vom Punkt M aus die Senkrechten MK zur Seite AB und MP zur Seite AC.
Betrachten Sie Dreiecke und . Dies sind rechtwinklige Dreiecke, und sie sind gleich, weil sie eine gemeinsame Hypotenuse AM haben, die Beine von MK und MR sind bedingt gleich. Rechtwinklige Dreiecke sind also in Hypotenuse und Schenkel gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der zugehörigen Elemente, gleiche Winkel stehen gleichen Schenkeln gegenüber, also 
, also liegt der Punkt M auf der Winkelhalbierenden des gegebenen Winkels.
Manchmal werden der direkte und der inverse Satz wie folgt kombiniert:
Satz
Ein Punkt ist von den Seiten eines Winkels genau dann gleich weit entfernt, wenn er auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels liegt.
Die Äquidistanz der Winkelhalbierenden von den Seiten des Winkels wird häufig bei verschiedenen Problemen verwendet.
Problem Nr. 674 aus Atanasyans Lehrbuch, Geometrie, Klasse 7-9:
Vom Punkt M der Winkelhalbierenden eines nicht erweiterten Winkels werden Senkrechte MA und MB zu den Seiten dieses Winkels gezogen (siehe Abb. 6). Beweise das .
Gegeben: Winkel, Winkelhalbierende OM, Lote MA und MB zu den Seiten des Winkels.
Reis. 6
Beweise das:
Nachweisen:
Nach dem direkten Satz ist der Punkt M von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, da er bedingt auf seiner Winkelhalbierenden liegt. .
Betrachten Sie rechtwinklige Dreiecke und (siehe Abb. 7). Sie haben eine gemeinsame Hypotenuse OM, die Beine MA und MB sind gleich, wie wir bereits bewiesen haben. Also zwei Rechteckige
Reis. 7
Dreiecke sind in Bein und Hypotenuse gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit ihrer entsprechenden Elemente, also die Gleichheit der Winkel 
und Gleichheit der anderen Beine.
Aus der Gleichheit der Schenkel OA und OB folgt, dass das Dreieck gleichschenklig ist und AB seine Basis ist. Die Gerade OM ist die Winkelhalbierende eines Dreiecks. Nach der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks ist diese Winkelhalbierende auch eine Höhe, was bedeutet, dass sich die Geraden OM und AB im rechten Winkel schneiden, was zu beweisen war.
Wir haben also den direkten und den inversen Satz über die Eigenschaft eines auf der Winkelhalbierenden liegenden Punktes betrachtet, sie verallgemeinert und das Problem gelöst, indem wir verschiedene geometrische Tatsachen, einschließlich dieses Satzes, angewendet haben.
Referenzliste
- Alexandrow A.D. usw. Geometrie, Klasse 8. -M.: Bildung, 2006.
- Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Prasolov V. V. Geometrie, Klasse 8. -M.: Bildung, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, Klasse 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Bymath.net().
- Oldskola1.narod.ru ().
Hausaufgaben
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry, 7-9, Nr. 676-678, Art.-Nr. 180.
