Materialentwickler:

Matveeva Maria Wiktorowna

Mathematiklehrer

GBOU Shi "Olympische Reserve"

Programmierte Unterrichtsstunde für die 10. Klasse zum Thema:

Das Konzept des Arkuskosinus. Gleichung der Form mit os x = a.

Wie beim Lösen gewöhnlicher Gleichungen kommt es beim Lösen trigonometrischer Gleichungen auf die Fähigkeit an, einfache Gleichungen zu lösen.

Definition: Eine Gleichung heißt trigonometrisch, wenn die Unbekannte unter dem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen steht.

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind: mit os x = a, sinx = a, tgx = a.

Jeder von ihnen hat seine eigene Lösungsformel. Das einzige, was klar sein muss denken Sie daran- das passiert, wenn sie gelöst werden unendlich viele Wurzeln.

Aber Sie können spezifische Lösungen finden.

Um zu lernen, wie man die erste einfache trigonometrische Gleichung löst, müssen Sie sich mit einem Konzept wie dem Arkuskosinus einer Zahl vertraut machen.

Es sollte erwähnt werden, dass Nummer, für die der Arkuskosinus betrachtet wird, gehört zum Intervall [-1; eines].

Definition: Der Arkuskosinus von a [-eines; 1] (bezeichnet arccos a ) ist eine solche Zahl α , dessen Kosinus gleich a ist.Also cos ( arccos a ) = ein.

Zum Beispiel, arccos (-1) = π;als cos π= -1

arccos = , als cos =

Auf diese Weise, Der Arkuskosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus.

Schreiben Sie in ein theoretisches Notizbuch: Definition und Beispiele.

Finden Sie tatsächlich den Wert arccos kann uns schmerzlich vertraut verwendet werden Tisch Werte trigonometrischer Funktionen.

Wenn gefunden arccos man muss sich die frage stellen, zu welchem ​​wert cos gleich ? Und schau dir den Tisch an. Antwort: "bei 45° oder im Bogenmaß ».

Es sollte daran erinnert werden, dass der Wert des Arkuskosinus normalerweise geschrieben wird nur in Radiant. Daher sollten Sie sich an die Entsprechung zwischen Grad und Bogenmaß von Winkeln erinnern.

Wenn die Zahl, aus der Sie den Arkuskosinus finden möchten, negativ ist, müssen Sie die Formel verwenden, um sie zu finden:

arccos (-a) \u003d π - arccos a.

Zum Beispiel, arccos ( = π = .

arccos ( = π = .

Schreiben Sie in ein theoretisches Notizbuch: Formel und Beispiele.

Lösen Sie die Aufgaben laut Lehrbuch. 168 Nr. 568 - 570.

Lösung einer trigonometrischen Gleichung der Form cos x = a reduziert sich auf die Formel:

x = ±

Diese Formel kann in Abbildung 68 S. 165 nach Lehrbuch dargestellt werden. Öffnen Sie das Lehrbuch.

Die Zeichnung zeigt, dass auf der Kosinusachse ein Punkt markiert ist . Eine senkrecht durch diesen Punkt gezogene Gerade zeigt den Kosinus für die Werte ich und VI Viertel übereinstimmen.

Aber wie können wir diese Winkel erhalten, wenn wir den Punkt drehen? Ja, genau drin ich Viertel an der "+"-Ecke und innen VI Viertel auf "-". Daher das Zeichen „±". Das heißt mit s und cos passen.

Schreiben Sie in ein theoretisches Heft: eine Formel und eine Zeichnung aus einem Lehrbuch mit Erläuterungen.

Analysieren wir die Lösung der trigonometrischen Gleichung anhand eines Beispiels:co s x= x = ± (Siehe Wert laut Tabelle)x=± Antwort: x =± Schreiben Sie in ein theoretisches Notizbuch: die Lösung der Gleichung mit Erklärungen.

Da eine unendliche Anzahl von Wurzeln erhalten wird, werden manchmal Aufgaben gestellt, um bestimmte Werte der Wurzeln zu finden, die beispielsweise zum Intervall gehören ich Viertel oder Lücke.

Diese Aufgaben sind sehr häufig in der Prüfung. Sie können durch Ersetzen gefunden werden n spezifische Nummern (hervorgehoben, um Ihnen zu helfen).

Betrachten Sie zum Beispiel die Lösung unserer Gleichung x =± 1. Lassen n =0 . Dann x =± ± , also x 1 = + Sie 2 = . Daraus ist ersichtlich, dass es 45 ° und - 45 ° ausfällt. Von diesen beiden Zahlen gehört nur eine zum Intervall, d.h. ich Viertel. Nur Nummer+ . 2. Lassen n =1 . Dann x =± ± , d.h. x 1 = + Sie 2 = , X 1 = = Sie 2 = =

Daraus ist ersichtlich, dass x 1 \u003d 405 ° und x 2 \u003d 315 ° erhalten werden. Also gehört keine der Nummern dazu ich ein Viertel, also ein Intervall. Daher können sie nicht als Antwort geschrieben werden.

Schreiben Sie in ein theoretisches Notizbuch: eine Möglichkeit, bestimmte Wurzeln (die zu einem bestimmten Intervall gehören) einer trigonometrischen Gleichung zu finden. Zum Beispiel 1 , löse die Gleichungco s x= und finde die Wurzeln, die zum Intervall [ ]. Zuerst, Was Sie tun müssen, ist einfach die Gleichung mit der Formel zu lösen und die Lücke für eine Weile zu vergessen.co s x= x = ± (Siehe Wert laut Tabelle)x=± Zweite, müssen Sie sich für das Viertel entscheiden, zu dem die Wurzeln gehören sollen. dies ist das Intervall von 90° bis 180°. Also das II zweites Viertel. Dritte, Sie müssen bestimmte Werte ersetzen n(Hervorgehoben, um Ihnen zu helfen).

Lassen Sie n=0.

Dann gilt x =± = ± , also x 1 = Sie 2 = . Wenn in Grad umgewandelt, dann x 1 gehört ich Viertel und x 2 - IV Viertel. Und unser Quartier II . Daher müssen Sie einen anderen Wert ersetzen n . 2. Sei n=1. Dann gilt x =± = ± , also X 1 = + Sie 2 = , X 1 = = Sie 2 = = x 1 = 420° und x 2 = 300°Antwort: x =±
Zum Beispiel 2 , löse die Gleichungco s x= . co s x= x = ± (Siehe Wert laut Tabelle, aber es gibt keine solchen Werte in der Tabelle, also berechnen Sie den Wert Ist nicht möglich).Antworten:x = ± Schreiben Sie in ein theoretisches Heft: Beispiel 2 mit Erläuterungen.Wenn der Kosinus gleich einer negativen Zahl ist, muss beim Lösen der Gleichung eine andere Formel verwendet werden:

x = ± ± Lösen Sie die Aufgaben laut Lehrbuch: S. 169 #571, 572. Gleichungen sind nicht immer so einfach, es gibt Gleichungen unterschiedlicher Komplexität.Zum Beispiel 3 . Löse die Gleichung2so s 3x = . co s 3x = ( Sie müssen beide Seiten der Gleichung durch die Zahl teilen, die vor dem Kosinus steht.)3x = ± Teilungszeichen kann als durchgezogene Linie s geschrieben werden x= ,5 co s x= ,5 Es ist nicht möglich, eine solche Gleichung zu lösen, da der Wert des Kosinus im Intervall [-1; eines].Antwort: keine Lösungen.Schreiben Sie in ein theoretisches Heft: Beispiele mit Erklärungen. Lösen Sie die Aufgaben laut Lehrbuch: S. 169 #573.

Unterrichtstyp: eine Lernaufgabe stellen.

Unterrichtsziele:

lehrreich: das Wissen der Schüler über die Methoden zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu systematisieren, die Fähigkeiten der Arbeit mit einem Kreis und einer Tabelle zu festigen.

Lehrreich: Fortsetzung der Arbeit an der Bildung kreativer intellektueller Fähigkeiten von Schülern durch den Einsatz verschiedener Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Lehrreich: Entwicklung der Fähigkeiten zu kollektiver geistiger Aktivität, gegenseitiger Unterstützung und Akzeptanz einer anderen Sichtweise als der eigenen.

Während des Unterrichts

1. Die Erfolgssituation.

Lösen Sie die Gleichung: cosx=1; cox=0; cosx = -1.

2. Situation, Kluft“ zwischen Wissen und Nichtwissen.

Lösen Sie die Gleichung: cosx=½; cosx=a.

Diskussion.

3. Formulierung der Lernaufgabe.

Wie löst man eine solche Gleichung?

1) Wie groß ist die Abszisse des Einheitskreispunktes, den man erhält, indem man den Punkt (1; 0) um den Ursprung um einen Winkel dreht, der gleich ist: ?

2). Was ist gleich: ?

Antworten:

3) Was ist gleich: .

Antworten:

;

;

(1) .

Worte des Lehrers: Mathematiker nannten Wörter, umgekehrt cos „das Wort arccosine (arccos). Der Arkuskosinus einer Zahl ist eine Zahl, deren Kosinus gleich a ist:
arccosa=α wenn cosα=a und 0≤α≤π.

vier). Schreiben Sie Gleichheit (1) mit dem Symbol arccos .

5). Gleichungen lösen: cosx=½, cosx=α.

Antwort: x=arccos½, x=arccosa.

6). Nennen Sie die Drehwinkel des Punktes (1; 0) des Einheitskreises mit der Abszisse gleich ½.

Antwort: Die Abszisse ist ½, wenn der Punkt um einen Winkel gedreht wird, der gleich π / 3 und -π / 3 ist.

d.h. cosx=½ für x=±arccos½
cosx=a wenn x=±arccosa.

7). Wie lauten die Abszissen der Punkte, die man erhält, wenn man den Punkt (1; 0) um die Winkel dreht: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

Antwort: Die Abszisse ist ½, und cosx=½ für x=±arccos½+2πn,.
cosx=a für x=±arccosa+2πn,.

acht). Fazit: Gleichung cosx=a

1) hat Wurzeln falls ≤1,
2) hat keine Wurzeln, wenn >1.

9). Zusammenfassung der Lektion:

a) Für welche Werte von a und α ist die Gleichheit arccosа=α sinnvoll?
b) Wie heißt der Arkuskosinus der Zahl a?
c) Für welche Werte von a hat die Gleichung cosx=a Wurzeln?
d) Die Formel zum Finden der Wurzeln der Gleichung cosx=a.

• Zusammenfassung Lektion 1 (Shelest S.V.)

  Fachname: Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis Klasse 10 EMC: Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis A.G. Mordkovich, P. V. Semenov, 2015 Studienniveau (Grundkenntnisse) Unterrichtsthema: Das Konzept des Arkuskosinus und das Lösen der Gleichung kosten = a Die Gesamtzahl der Stunden, die für das Studium des Themas vorgesehen sind: 2 Ort der Unterrichtsstunde im Unterrichtssystem zum Thema: 1 Unterrichtsziel: Einführung in das Konzept des Arkuskosinus, Ableitung einer Formel zum Finden der Wurzeln der Gleichung cos t \u003d a Unterrichtsziel 1. Pädagogisch: a) Bildung der Fähigkeit zur Berechnung des Arkuskosinus, b) Unterrichten wie man die Formel beim Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen anwendet; 2. Entwicklung: a) Entwicklung der Fähigkeit, Gedanken und Urteile kurz, logisch und konsequent auszudrücken; b) die Fähigkeit entwickeln, ihre Aussagen zu argumentieren; 3. Bildung: a) Vermittlung der Fähigkeiten zur Planung von Aktivitäten, Arbeit in einem optimalen Tempo, b) Förderung der Fähigkeit, die eigenen Fähigkeiten und die Ergebnisse von Bildungsaktivitäten richtig einzuschätzen, Kommunikationsfähigkeiten zu entwickeln; Ausstattung: Handout, Einheitskreismodell. Ablauf der Lektion 1. Organisatorischer Moment. 2. Aktualisierung des Wissens der Schüler. Mündliches Zählen (Aufgaben an der Tafel) 1. Rechne. a) Berechnen Sie die Werte: cos ; cos ; cos. b) Berechnen Sie die Werte: cos ; cos; cos 2. Nennen Sie mehrere Winkel, deren Kosinus gleich ist: a) 0; b) c) d) –1. 3. Überprüfung der Hausaufgaben (3-4min) (3 Schüler bereiten im Voraus an der Tafel Lösungen für Gleichungen unter Verwendung eines Einheitskreises vor) 1 Schüler kostet t \u003d t \u003d + 2πk, wobei kZ (Erklärung erfolgt entlang eines Einheitskreises) Antwort: t \u003d + 2πk, wobei kZ. 2 Student kostet t = 1,5, hat da keine Lösung -1≤а≤1 Antwort: keine Lösungen. cos t = 1, t = 2πk, wobei kZ. Antwort: t = 2πk, wobei kZ. 3 Schülerkosten t = 0, t = + πk, k; Antwort: t = + πk, k; Kosten t \u003d -1, t \u003d π + 2πk, k. Antwort: t = π + 2πk, k. 4. Studieren von neuem Material Erklärung des Problems Problem. Nachdem sich die Schüler an das Prinzip des Lösens von Gleichungen des Formulars cos t \u003d a erinnert haben, laden Sie sie ein, die Gleichung des Formulars an der Tafel zu lösen, schreiben Sie auf die Haupttafel neben dem Beispiel cos t \u003d 0,5, alle anderen Schüler hören zu (Das Beispiel und der Einheitskreis werden im Voraus geschrieben.) Der Schüler sagt, dass der Algorithmus die einfachste trigonometrische Gleichung löst, und löst die Gleichung unter Verwendung des Einheitskreises. t = t1 +2πk, t = t2 +2πk, wobei k., weil t1= - t2, dann t = ± t1 +2πk, wobei k. Was für eine Zahl t1 ist, ist noch unbekannt, klar ist nur, dass t1. Angesichts einer solchen Situation erkannten die Mathematiker, dass sie einen Weg finden mussten, sie in mathematischer Sprache zu beschreiben. Daher wurde ein neues Symbol arccos a zur Überlegung eingeführt, das lautet: Arccosinus a. Schreiben wir das Thema der heutigen Lektion auf: „Der Arkuskosinus der Zahl a. Das Lösen der Gleichungen kostet t \u003d a “- Heute werden wir in der Lektion das Konzept des Arkuskosinus der Zahl a untersuchen, lernen, wie man es berechnet und anwendet, wenn man die einfachsten trigonometrischen Gleichungen löst. Arcus bedeutet im Lateinischen Bogen, vergleiche mit dem Wort Bogen. Das von Mathematikern eingeführte Symbol arcсosа enthält das Zeichen (arc), сosа - eine Erinnerung an die ursprüngliche Funktion Öffnen Sie das Lehrbuch auf Seite 89 und lesen Sie die Definition des Arkuskosinus (Schüler öffnen das Lehrbuch und lesen die Definition aus dem Buch, markieren die Hauptsache) 5. Festigung und Entwicklung des Konzepts des Arkuskosinus der Zahl a und des Algorithmus zu seiner Berechnung (Frontalarbeit mit der Klasse) Lehrer Schüler Also, wenn Sie den Arkuskosinus der Zahl a berechnen, welche Frage sollten Sie stellen? dich selbst? Was ist der Kosinus von a? Finden Sie mit der gelernten Definition den Wert des Ausdrucks arccos ();arccos() arccos() arccos () = arccos() = arccos() = Alle Werte von a gehören zum Intervall von -1 bis 0 Zu welchem ​​Viertel gehören die Werte des Arccosinus a? Die Werte von arccosà gehören zum Segment von 0 bis Aber wie berechnet man den Wert von arccos(–а)? Wenden wir uns dem Lehrbuch zu und finden Sie die Formel, mit der der Wert von arccos (-a) berechnet wird (lesen und markieren Sie die Formel). Berechnen: arccos(-); arccos(-); arccos(-); arccos (-)= arccos(-) = arccos(-) = Alle Werte (-a) gehören zum Segment von -1 bis 0. Zu welchem ​​Viertel gehören die Werte von arccos(-a)? Referenzmaterial aufschreiben (Folie 6) Werte arcсos(-а) gehören zum Segment von bis π Die Schüler schreiben die Formel in ein Heft. Festigung und Entwicklung des Konzepts des Arkuskosinus der Zahl a und des Algorithmus zu seiner Berechnung (Frontalarbeit mit der Klasse) Aufgabe Finden Sie den Wert des Ausdrucks: a) arccos ()-arccos (-)++arcos1 b) 2arccos 0 + 3 arccos 1 –arcos (-) 5. Selbständiges Arbeiten (mit anschließender Selbstkontrolle) 2 Personen arbeiten alleine an der Tafel, der Rest arbeitet in Heften, dann Kontrolle der korrekten Ausführung. Wer Hausaufgaben gemacht hat, schreibt Zettel an die Tafel und gibt sie dann zur Kontrolle ab Lehrer Schüler Zurück zur Gleichung kosten t =. was gelöst... Da wir die Konzepte des Arkuskosinus kennen, können wir nun die Antwort auf die Lösung dieser Gleichung wie folgt schreiben. Kosten t =. t = ±arccos + 2πk, wobei kZ . Antwort: t = ±arccos + 2πk, wobei kZ Wir haben die Gleichung auf zwei Arten gelöst: mit dem Einheitskreis und mit der Formel. Notieren Sie die Lösung für den Lehrer in einem Notizbuch Also schreiben wir das Referenzmaterial auf und wählen es aus, indem wir die Gleichung cos t = a lösen, wobei a. t = ± arccos a + 2πk, k. Antwort: t \u003d ± arccos a + 2πk, k. Schreiben Sie in einem Notizbuch ein Modell zur Lösung der Gleichung für den Lehrer auf. 6. Festigung des gelernten Stoffes (13 min) Nr. 15.5 (b, d), 15.6 (a, b). (2 Schüler arbeiten einzeln an der Tafel) 1 Schüler: a) cos t = ; b) Kosten t = -; 2 Rechnung: a) cos t = ; b) Kosten t = . (achten Sie auf dieses Beispiel, wenn Sie eine Zahl auswerten) Lösen Sie die Gleichung: #15.5(b,d) b) cos t = . d) Kosten t = ; 15.6 (à, b) a) cos t =1; (Achten Sie auf die Antwort und markieren Sie Sonderfälle) b) Kosten = - 7. Zusammenfassung des Unterrichts (Reflexion) (3-4 min) (mündliche Frontalarbeit mit der Klasse) Lehrer Schüler Welche neuen Konzepte haben Sie gelernt? der Unterricht? Wir haben ein neues Konzept des Arkuskosinus a kennengelernt. Welche neue Methode zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben wir in der Lektion betrachtet? Verwenden von Formeln Sehen Sie sich noch einmal sorgfältig das Referenzmaterial an, das wir aufgezeichnet haben. Schließen Sie Ihre Notizbücher, machen Sie einen Test auf den Schreibtischen, jede Option und füllen Sie die Lücken aus. Für diese Arbeit haben Sie 3 Minuten Zeit (Peer-Review) (nach 3 Minuten Arbeit wechseln die Studierenden die Blätter und überprüfen die Richtigkeit, die Antworten werden auf ein interaktives Whiteboard projiziert) (fehlende Testpunkte sind schwarz hinterlegt) Führen Sie den Test jetzt durch Sie haben Wissenslücken festgestellt, und ich bitte Sie, dies zu Hause zu beachten. 8. Hausaufgaben (differenziert) (1 min) Wir haben den Unterrichtsstoff der Pflichtstufe studiert und die Aufgaben der Prüfungsstufe B im USE-Format gelöst, gleichzeitig wurden Sie aufgefordert, trigonometrische Gleichungen zu lösen, die auf die reduziert sind einfachste §16, Nr. 15.3, 15.4,15.5 (in ,d), 15.6(c,d), *15.12

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• Lektion 2 (Shelest S.V.)

  Fachname: Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis Klasse 10 EMC: Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis A.G. Mordkovich, P. V. Semenov, 2015 Bildungsniveau (Grundkenntnisse) Unterrichtsthema: Lösen der Gleichung Kosten = a Gesamtzahl der Stunden, die für das Studium des Themas vorgesehen sind: 2 Ort der Unterrichtsstunde im Unterrichtssystem zum Thema: 2 Zweck der Unterrichtsstunde: die Fähigkeit zu konsolidieren, den Arkuskosinus zu berechnen; die Fähigkeit zu bilden, Gleichungen der Form cos t = a zu lösen. Unterrichtsziele 1. Unterricht: a) lehren, wie man die Formel anwendet, wenn man die einfachsten trigonometrischen Gleichungen löst; Betrachten Sie Spezialfälle solcher Gleichungen. 2. Entwicklung: a) Entwicklung der Fähigkeit, Gedanken und Urteile kurz, logisch und konsequent auszudrücken; b) die Fähigkeit entwickeln, ihre Aussagen zu argumentieren; 3. Bildung: a) Vermittlung der Fähigkeiten zur Planung von Aktivitäten, Arbeit in einem optimalen Tempo, b) Förderung der Fähigkeit, die eigenen Fähigkeiten und die Ergebnisse von Bildungsaktivitäten richtig einzuschätzen, Kommunikationsfähigkeiten zu entwickeln; Ausstattung: Einheitskreismodell. Ablauf der Lektion 1. Organisatorischer Moment. 2. Aktualisierung des Wissens der Schüler. Mündliche Arbeit. 1. Macht der Ausdruck Sinn. 2. Berechnen. 3. Erläuterung des neuen Materials. Fast das gesamte neue Material wurde in der vorherigen Lektion behandelt. In dieser Lektion muss man sich auf das Lösen von Gleichungen der Form cos t \u003d a konzentrieren und Sonderfälle solcher Gleichungen betrachten. Zunächst müssen Sie das Wissen der Schüler über den Arkuskosinus und das Lösen der Gleichungen cos t = a aktualisieren. Die Schüler sollten sich die in der vorherigen Lektion hergeleitete Formel zum Lösen dieser Gleichungen merken, die an der Tafel steht: Dann sollten Sie spezielle Fälle zum Lösen der Gleichung cos t = a betrachten. Machen Sie entsprechende Notizen an der Tafel und in Heften: 4. Bildung von Fertigkeiten und Fähigkeiten. 1. Nr. 15.5 (a; c), Nr. 15.6 (b; d). 2. Nr. 15.7. Lösung: Durch Lösen mehrerer Gleichungen der Form cos t = a, wobei Schüler oft aufhören, dem Wert von a zu folgen. Daher ist es sinnvoll, ihnen regelmäßig anzubieten, solche Gleichungen zu lösen, in denen a) b) c) cos t = -1,1; keine Lösungen seit -1.1< –1. г) cos t = 2,04. нет решений, так как 2,04 >1. 3. Nr. 15.12 (a). Lösung: cos t = 1 Antwort: 4. Nr. 15.4 (a; b). Lösung: a) wenn k = 0, dann (in) (nicht enthalten) wenn k = 1, dann (nicht enthalten) (einschließlich) Antwort: b) wenn k = 0, dann (nicht enthalten) (nicht enthalten) wenn k = 1, dann (eingeschlossen) (nicht eingeschlossen) wenn k = 2, dann (nicht eingeschlossen) (eingeschlossen) Antwort: 5. Nr. 15.15 (d). Lösung: wenn k = 0, dann (enthalten) (enthalten) wenn k = 1, dann (nicht inbegriffen) (nicht inbegriffen) wenn k = –1, dann (enthalten) (nicht inbegriffen) Antwort: 6. Nr. 15.17. Sie können die Schüler bitten, zusätzliche Aufgaben mit erhöhter Komplexität zu erledigen. 7.* Nr. 15.18 (a; b). Lösung: Diese Ungleichungen werden mit einem Zahlenkreis gelöst. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, die den Zahlen und 8.* Nr. 15.19 (a) entsprechenden Winkel richtig zu bestimmen. Entscheidung: Machen wir einen Ersatz cos t = x und lösen die Ungleichung: Wir erhalten: Unter Berücksichtigung des Wertebereichs der Funktion cos t erhalten wir die Ungleichung: Antwort: 5. Die Ergebnisse der Lektion. Fragen an die Schüler: - Wie heißt der Arkuskosinus der Zahl a? – Wie berechnet man arccos (–a)? - Wie lautet die Formel für die Wurzeln der Gleichung cos t = a. – Formulieren Sie einen Algorithmus zur Lösung einfachster trigonometrischer Ungleichungen. Hausaufgaben: Nr. 15.5 (b; d), Nr. 15.6 (a; c), Nr. 15.12 (b), Nr. 15.15 (b; c). Zusätzlich: Nr. 15.18 (c; d), Nr. 15.19 (d).

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• Lektion 1 (Bakeyeva I. R.)

  Fachname: Algebra und der Beginn der Analyse Note: 10 TMC: Mordkovich A.G. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. 10-11 Klassen. Um 2 Uhr Lehr- und Aufgabenbuch für Studierende von Bildungseinrichtungen (Grundstufe). -M.: Mnemozina, 2011. Bildungsniveau: Basis. Unterrichtsthema: Das Konzept des Arkuskosinus. Die Gesamtzahl der Stunden, die für das Studium des Themas vorgesehen sind: 10 Stunden. Der Platz der Lektion im Unterrichtssystem zum Thema: 1 Lektion. Unterrichtsziele: Einführung in das Konzept des Arcuscosinus, Ausbildung der Fähigkeit zur Berechnung des Arcuscosinus; Leiten Sie eine Formel her, um die Wurzeln der Gleichung cos t = a zu finden. 1) Pädagogische Ziele des Unterrichts: organisatorische und inhaltliche Voraussetzungen für die Ausbildung der Fähigkeiten der Schüler schaffen, den Arkuskosinus einer Zahl, den Arkuskosinus einer negativen Zahl zu finden, die Werte des Arkuskosinus zu vergleichen 2) Entwickeln Unterrichtsziele: Förderung der Bildung von Fähigkeiten zur Anwendung des erworbenen Wissens in einer neuen Situation, Entwicklung von logischem Denken, mathematischer Sprache. schaffen Sie Bedingungen für die Entwicklung der kognitiven Aktivität der Schüler, des kognitiven Interesses an dem Thema; eine intellektuelle, reflektierende Kultur zu entwickeln; Entwicklung der Fähigkeiten zur selbstständigen Tätigkeit der Schüler; Fähigkeiten zur Selbstkontrolle entwickeln; 3) Pädagogische Aufgaben des Unterrichts: Entwicklung von Mobilität, Kommunikationsfähigkeiten. eine Kultur der geistigen Arbeit fördern; die Fähigkeit zu entwickeln, die Ergebnisse ihrer eigenen Aktivitäten zu analysieren; den humanistischen Charakter der Bildung sicherzustellen. Erwartete Ergebnisse: 1. In der Lage sein, den Arkuskosinus einer Zahl, den Arkuskosinus einer negativen Zahl zu finden. 2. Die Werte des Arkuskosinus vergleichen können. Technische Unterstützung des Unterrichts: Computer, Beamer, Leinwand. Zusätzliche methodische und didaktische Unterstützung für den Unterricht: Präsentation in PowerPoint Unterrichtsplan: I. Organisatorisches Moment. Selbstbestimmung für Aktivitäten, Festlegung von Zielen und Zielen des Unterrichts. II. Mündliche Arbeit. 1. Berechnen. 2. Nennen Sie mehrere Winkel, deren Kosinus gleich ist: a) 0; b) c) d) –1. III. Erklärung des neuen Materials. Die Erklärung erfolgt gemäß dem Paragraphen des Lehrbuchs in mehreren Stufen. 1. Aktualisierung von Wissen. Sie sollten die Methode zum Lösen von Gleichungen der Form cos t = a mit einem Zahlenkreis wiederholen. Betrachten Sie ein Lehrbuchbeispiel, das die Lösung der Gleichung cos t = zeigt. 2. Angabe des problematischen Problems. Nachdem sich die Schüler an das Prinzip des Lösens von Gleichungen der Form cos t \u003d a erinnert haben, laden Sie sie ein, eine Gleichung der Form cos t \u003d zu lösen. Führen Sie dann gemäß dem Absatz des Lehrbuchs das Konzept des Arkuskosinus ein. Bei der Bestimmung des Arkuskosinus ist darauf hinzuweisen, dass der Winkel aus dem Intervall genommen wird. Erklären Sie: Berücksichtigt man diese Tatsache nicht, so nimmt der Arkuskosinus unendlich viele Werte an. 3. Lösung der Gleichung cos t = a. Leiten Sie eine Formel zur Lösung der Gleichung cos t = a her und schreiben Sie sie an die Tafel. 4. Ermitteln von arccos(-a). Sehr oft machen Schüler Fehler, wenn sie den Arkuskosinus einer negativen Zahl berechnen. Diese Fehler sind von zwei Arten. Bei der Berechnung von Arcos erhalten die Schüler beispielsweise (weiter mit dem Arkussinus verwechselt) oder (erinnern Sie sich an die Parität der Funktion y \u003d cos x). Um diese Fehler zu vermeiden, hilft ein Hinweis auf die Definition des Arkuskosinus und auf den Zahlenkreis. Der Arkuskosinus liegt definitionsgemäß im Intervall, kann also nicht negativ sein. Auf dem Zahlenkreis ist zu erkennen, dass arcos Nach dem Auffinden der Werte mehrerer Arkuskosinus negativer Zahlen erfolgt eine Eintragung an der Tafel: IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten. In dieser Lektion sollte der Fokus darauf liegen, den Arkuskosinus zu finden. Die Lösung der Gleichungen cos t = a kann auf die nächste Unterrichtsstunde verschoben werden. 1. Nr. 15.1, Nr. 15.2, Nr. 15.3 (b, d). 2. Berechnen. 3. Nr. 15.8 (a). Beschluss: 4. Nr. 15.10. Es ist sehr wichtig, dass die Schüler erkennen, was der Bereich gültiger Werte des Ausdrucks arccos a ist. Erst dann können Sie zur nächsten Zahl übergehen. 5. Nr. 15.9 (a, d). Lösung: a) arccos x Offensichtlich b) arccos (3 - 2x) 1 ≤ x ≤ 2 Antwort: . 6. Nr. 15.11. Lösung: tg (arccos 0,1 + arccos (- 0,1) + x) = tg x. Mit der Formel arccos a + arccos (- a) = π transformieren wir die linke Seite der Gleichung: tg (arccos 0,1 + arccos (- 0,1) + x) = tg (π + x) = tg x. Bewährt. In einer Klasse mit hohem Vorbereitungsgrad können Sie zusätzlich mehrere Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad anbieten. 7.* Nr. 15.16. Lösung: a) y \u003d arccos x + arccos (- x). Es ist durchaus üblich, dass Schüler einen gegebenen Ausdruck einfach umwandeln und den Umfang und die Reichweite der Funktion vergessen. Wir haben: arccos x + arccos (- x) = π, und D (y): und E (y): . Dann sieht der Graph so aus: b) y = cos(arccos x). Es ist offensichtlich, dass cos(arccos x) = x ist, aber auch hier dürfen wir den Definitionsbereich und den Wertebereich der ursprünglichen Funktion nicht vergessen. 8.* Nr. 15.21 (a), Nr. 15.22 (a). Entscheidung: Nr. 15.21 (a). Aufgaben dieser Art bereiten Schülern oft Schwierigkeiten. Für deren Umsetzung ist ein bewusstes Verständnis der Definition des Arkuskosinus notwendig. Um den Schülern zu helfen, einen Weg zur Lösung dieses Problems zu finden, können Sie wie folgt argumentieren: - Arccos ist ein Winkel, und wir müssen den Sinus dieses Winkels finden; – sei arccos= α, das ist laut Definition ein Winkel aus dem Intervall, so dass cosα = – da ˃ 0, dann liegt α im ersten Viertel; – wir wissen, dass cos α = und 0 ˂ α ˂ , aber wir müssen sin α finden; - Die Aufgabe wurde darauf reduziert, den Sinus eines bestimmten Winkels zu finden, wenn der Kosinus dieses Winkels bekannt ist. Zur Verdeutlichung kann die Lösung dieses Problems wie folgt formuliert werden: - ? Wir haben: Also, sin α = . Antworten: . Nr. 15.22 (a). Wir argumentieren wie in der vorherigen Aufgabe. - ? Daher ist tan α = - . Antworten: - . V. Die Ergebnisse des Unterrichts. Fragen für Schüler: - Wie löst man die Gleichung cos t \u003d a mit einem Zahlenkreis? Wie heißt der Arkuskosinus einer Zahl? - Warum ist das Intervall in der Definition des Arkuskosinus enthalten? – Wie berechnet man arccos (–a)? – Was ist der Bereich gültiger Werte des Ausdrucks arccos a? VI. Betrachtung. „10 Punkte“ Bewerten Sie die Arbeit im Unterricht auf einer 10er-Skala ab der Position: „Ich“ 0________10 „Wir“ 0________10 „Geschäftlich“ 0________10 Hausaufgabe: Nr. 15.3 (a, c), Nr. 15.4, Nr. 15.8 (b), Nr. 15.9 (b, c) Zusätzlich: Nr. 15.21 (b), Nr. 15.22 (b).

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• Lektion 2 (Bakeeva I. R.)

  Fachname: Algebra und der Beginn der Analyse Note: 10 TMC: Mordkovich A.G. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. 10-11 Klassen. Um 2 Uhr Lehr- und Aufgabenbuch für Studierende von Bildungseinrichtungen (Grundstufe). -M.: Mnemozina, 2011. Bildungsniveau: Basis. Unterrichtsthema: Lösen der Gleichung cos t = a. Die Gesamtzahl der Stunden, die für das Studium des Themas vorgesehen sind: 10 Stunden. Der Platz des Unterrichts im System des Unterrichts

RUSSISCHE FÖDERATION

Autonomer Bezirk Jamal-Nenets

ABTEILUNG FÜR BILDUNG DER VERWALTUNG DER STADT NOJABRSK

STÄDTISCHE BILDUNGSEINRICHTUNG

SEKUNDÄRE BILDUNGSSCHULE №7

DER GEMEINDE DER STADT NOJABRSK»

Methodische Entwicklung

Algebra-Unterricht (Klasse 10)

Thema: „Arkuskosinus von a.

Lösen der Gleichungen cos x = a "

Mathematiklehrer,

Nojabrsk

2009 Lektion zum Studium neuen Materials und primäre Festigung des Wissens.

Eine offene Stunde zu Algebra und den Anfängen der Analysis in der 10. Klasse.

Unterrichtsthema: Arkuskosinus der Zahl a. Lösung der Gleichungen cos x = a.

Unterrichtsziele:

1. Tutorials:

a) Führen Sie den Begriff des Arkuskosinus von a ein;

b) die Fähigkeit entwickeln, den Arkussinus der Zahl a zu berechnen;

c) Leiten Sie die Formel für die Wurzeln der einfachsten trigonometrischen Gleichungen her, die Formel cos x = a;

d) lehren, wie man die Formel anwendet, wenn man die einfachsten trigonometrischen Gleichungen löst;

e) Untersuchen Sie einen Spezialfall der Lösungtrigonometrische Gleichungen für und gleich 0, -1, 1.

1. Entwicklung:

a) die Fähigkeit zu entwickeln, Gedanken kurz, logisch und konsequent auszudrücken und Urteile;

b) die Fähigkeit entwickeln, ihre Aussagen zu argumentieren;

c) die Fähigkeit zu entwickeln, zu klassifizieren, zu vergleichen, zu analysieren und Schlussfolgerungen zu ziehen.

3. Bildung:

a) die Fähigkeit zu vermitteln, Aktivitäten zu planen und in einem optimalen Tempo zu arbeiten,

b) die Fähigkeit zu kultivieren, ihre Fähigkeiten, die Ergebnisse von Bildungsaktivitäten richtig einzuschätzen und Kommunikationsfähigkeiten zu entwickeln;

c) Fleiß und Zielstrebigkeit erziehen.

Ausrüstung: Computer, interaktives Whiteboard, Handouts, Karten zur Reflexion von Bildungsaktivitäten (für jeden Schüler), ein Poster mit einem Einheitskreis.

Tafelschrift:

Jeder Schüler hat das Recht:

• Wissen Sie mehr als der Lehrer und verteidigen Sie Ihre Hypothesen.

Während des Unterrichts:

1. Zeit organisieren(2 Minuten)

Lehrer: Hallo Leute.

Heute in der Lektion werden wir lernen(Folie 1)

a) kurz, logisch, konsequent Gedanken und Urteile ausdrücken;

b) um Aussagen zu argumentieren;

c) vergleichen, analysieren und Schlussfolgerungen ziehen;

d) evaluieren die Ergebnisse ihrer Bildungsaktivitäten.

Wir erinnern uns daran, dass jeder Schüler wie immer das Recht hat:

• Äußern Sie Ihre Meinung und werden Sie gehört;
• Eigenständiges Planen des Selbststudiums zu Hause;
• Wissen Sie mehr als ein Lehrer und verteidigen Sie Ihre Hypothesen(auf die Tafel schreiben)

2. Aktualisierung des Wissens(3-4 Minuten)

Mündliches Zählen (Aufgaben werden auf eine interaktive Leinwand projiziert(Folie 2)

Lehrer	Student
Punkte des Einheitskreises, , gehören zu welchem ​​Viertel?	Punkte des Einheitskreises, , gehören zu 1 Quartal?
Der Kosinus welchen Winkels ist ein positiver Wert? Fazit: Der Kosinus eines spitzen Winkels ist ein positiver Wert.	Wenn der Winkel zum 1. Quadranten gehört

2. Werte berechnen: cos ; cos ; cos

Lehrer	Student
Punkte des Einheitskreises, , gehören zu welchem ​​Viertel?	Punkte des Einheitskreises, , gehören zu 2 Quartalen.
Der Kosinus welchen Winkels ist negativ? Fazit: Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist negativ	Wenn der Winkel zu 2 Vierteln gehört

2. Der Kosinus dessen Winkel ist; 0; ; eines; ; - ; - , wenn ?

3. Überprüfung der Hausaufgaben(3-4 Minuten) (3 Schüler bereiten vorab an der Tafel Lösungen zu Gleichungen mit Hilfe eines Einheitskreises vor)

1 Schüler

t = +2πk , wobei k Z ( Erklärung ist auf einem Einheitskreis)

Antwort: t = +2πk , wobei k Z .

2 Schüler

• Kosten t = 1,5,

Hat keine Lösung. -1≤a≤1

Antwort: keine Lösung.

• Kosten t = 1,

T = 2πk, wobei k Z.

Antwort: t = 2πk, wobei k Z.

3 Schüler

• Kosten t = 0,

t = + πk, k ;

Antwort: t = + πk, k ;

• cos t = -1,

t = π + 2πk, k .

Antwort: t = π + 2πk, k .

4. Neues Material lernen(13-15 Minuten)

Lehrer	Student
Jetzt lösen wir die Gleichung Kosten t = .	auf der Tafel schreibt auf der Haupttafel neben dem Beispiel Kosten t = , alle anderen Schüler hören zu (das Beispiel und der Einheitskreis werden vorab geschrieben) Der Schüler spricht den Algorithmus zum Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichung und löst die Gleichung mit einem Einheitskreis. t = t 1 +2πk, t = t 2 +2πk, wobei k Z, weil t 1= - t 2, dann t = ± t 1 +2πk, wobei k Z,
Ist dieser Eintrag Antworten Lösung der Gleichung?	Dieser Eintrag ist nicht die Antwort auf die Lösung der Gleichung, da die Werte nicht definiert sind t1.

Lehrer: Was ist diese Zahl t 1 , ist noch unbekannt, es ist nur klar, dass t 1 . Angesichts einer solchen Situation erkannten die Mathematiker, dass sie einen Weg finden mussten, sie in mathematischer Sprache zu beschreiben. Daher wurde ein neues Symbol arccos zur Überlegung eingeführt a , was lautet: Arkuskosinus a .

Schreiben wir das Thema der heutigen Lektion auf: „Der Arkuskosinus der Zahl a. Lösung der Gleichungen cos t = a "(Folie 3.4)

Lehrer	Student
Welche Frage sollten Sie sich also stellen, wenn Sie den Arkuskosinus der Zahl a berechnen?	Was ist der Kosinus von a?
Finden Sie den Wert des Ausdrucks, indem Sie die erlernte Definition anwenden arccos(); arccos() arccos() (Folie 5)	arccos() = arccos() = arccos() =
Alle Werte von a gehören zum Segment von -1 bis 0. Zu welchem ​​Viertel gehören die Werte des Arkuskosinus a?	Arccosa-Werte gehören zum Intervall von 0 bis
Aber wie berechnet man den Wert von arccos (-a)? Wenden wir uns dem Lehrbuch zu und finden die Formel, mit der der Wert von arccos (-a) (Formel lesen und markieren).(Folie 6) Berechnen: arccos(-); arccos(-); arccos(-); (Folie 6)	arccos(-)= arccos(-) = arccos(-) =
Alle Werte (-a) gehören zum Segment von -1 bis 0. Welches Viertel haben die Werte von arccos (-a) ? Referenzmaterial aufzeichnen (Folie 6)	Arcсos(-а)-Werte gehören zum Segment from bis zu π Die Schüler schreiben die Formel in ihr Heft.

Festigung und Weiterentwicklung des Konzepts des Arkuskosinus der Zahl a und des Algorithmus zu seiner Berechnung (Frontalarbeit mit der Klasse)

Computing auf einer Folie auf einem interaktiven Whiteboard

Übung

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:(Folie 7) a) arccos () - arccos (-) + + arcos1

b) 2 arccos 0 + 3 arccos 1 - arcos (-) (Folie 8)

5. Eigenständiges Arbeiten (mit anschließender Selbstprüfung)(Folie 9)

2 Personen arbeiten alleine an der Tafel, der Rest arbeitet in Heften, überprüft dann die Korrektheit der Ausführung. Wer mit Hausaufgaben gearbeitet hat, schreibt an die TafelMerkblätter, dann übergeben Sie sie zur Überprüfung

Lehrer	Student
Kehren wir zur Gleichung cos t = zurück. was gelöst... Da wir die Konzepte des Arkuskosinus kennen, können wir nun die Antwort auf die Lösung dieser Gleichung wie folgt schreiben. Kosten t = . t = ±arccos + 2πk , wobei k Z . Antwort: t = ±arccos + 2πk , wobei k Z Wir haben die Gleichung auf zwei Arten gelöst: mit dem Einheitskreis und mit der Formel.	Schreiben Sie die Lösung für den Lehrer in ein Heft
Schreiben wir also das Referenzmaterial auf und wählen es aus, indem wir die Gleichung lösen(Folie 10) cos t = a, wobei a . t \u003d ± arccos a + 2πk, k. Antwort: t \u003d ± arccos a + 2πk, k.	Schreiben Sie in ein Heft ein Modell zum Lösen der Gleichung für den Lehrer

6. Konsolidierung des studierten Materials(13 Minuten)

Nr. 15.5 (b, d), 15.6 (a, b).

(2 Studierende arbeiten einzeln an der Tafel)

1 Konto: a) cos t = ; b) Kosten t = - ;

2 Rechnung: a) cos t = ; b) Kosten t = . ( achten Sie bei der Auswertung der Zahl auf dieses Beispiel)

Löse die Gleichung:

№15.5(b,d)

b) Kosten t = .

d) Kosten t = ;

15.6 (a,b)

a) Kosten t = 1; (Achten Sie auf die Antwort und markieren Sie Sonderfälle)

b) Kosten t = -

7. Zusammenfassung der Lektion (Reflexion).(3-4min)

(mündliche Frontalarbeit mit der Klasse)

Lehrer	Student
Welche neuen Konzepte hast du im Unterricht gelernt?	Wir haben ein neues Konzept des Arkuskosinus a kennengelernt.
Welche neue Methode zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben wir in der Lektion betrachtet?	Formeln verwenden
Überprüfen Sie noch einmal sorgfältig das von uns aufgezeichnete Referenzmaterial. Schließen Sie Ihre Notizbücher, machen Sie einen Test auf den Schreibtischen, jede Option und füllen Sie die Lücken aus. Für diese Arbeit haben Sie 3 Minuten Zeit (Peer Review) (nach 3 Minuten Arbeit wechseln die Studierenden die Blätter und überprüfen die Korrektheit, die Antworten werden auf ein interaktives Whiteboard projiziert)(fehlende Testpunkte sind schwarz markiert)	Führen Sie den Test durch (Folie 11)
Nun haben Sie Wissenslücken festgestellt, und ich bitte Sie, zu Hause darauf zu achten.

8. Hausaufgaben (differenziert)(1min) (Folie 12)

Lehrer: Wir haben das Unterrichtsmaterial der Pflichtstufe studiert und die Aufgaben der Prüfung der Stufe B im USE-Format gelöst, gleichzeitig wurden Sie aufgefordert, trigonometrische Gleichungen zu lösen, die auf das Einfachste reduziert sind

§16, #15.3, 15.4,15.5(c,d), 15.6(c,d), *15.12

Vorschau:

Berechnen: ein rc mit os - arc mit os + + ein rc mit os 1 =

Rechne: 2) 2 Bogen mit os 0 + 3 Bogen mit os 1 - Bogen mit os =

Eigenständige Arbeit Nr. 15.1 (a, b, c), 15.2 (c, d)

cos t \u003d a, wobei a ϵ [-1; 1] t \u003d ± Bogen mit os a + 2 π k, k ϵ Z Antwort: ± Bogen mit os a + 2π k, k ϵ Z Nr. 15.5 (b ), 15.6 (b), 15.5 (d), 15.6 (a)

Option 1 Option 2 Wenn a ϵ [-1;1], dann ist arc co os a eine solche Zahl aus der Strecke [ 0; π], dessen Kosinus gleich a ist. if in ϵ [-1;0], then arc mit os in ϵ if a ¢ [-1;1], dann hat die Gleichung cos t = a keine Lösungen if cos t = 1, then t = 2π k , k ϵ Z ; wenn a ϵ , dann ar mit cos a ϵ wenn a ϵ , dann ar mit cos (-a)= π- ar mit cos und wenn cos t = 0, dann t = + π k , k ϵ Z ; wenn a ϵ [-1;1], dann hat die Gleichung cos t = a Lösungen t = ± arc mit os a + 2π k , k ϵ Z

Hausaufgaben §16, #15.3, 15.4, 15.5(c,d), 15.6(c,d), *15.12

Danke für die Lektion

Wenn | ein | 1, dann hat die Gleichung cos t = a keine reellen Wurzeln

Spezialfälle if cos t = 1 , then t = 2 π k , k ϵ Z if cos t = -1 , then t = π + 2 π k , k ϵ Z if cos t = 0 , then t = + π k , k ϵ Z

In Fortsetzung des vorherigen Themas, in dem Beispiele zur Lösung trigonometrischer Funktionen behandelt wurden, führt dieses Video-Tutorial die Schüler in den inversen Kosinus und die Lösung der Gleichung cos t = a ein.

Es wird ein Beispiel zum Lösen der Gleichung cos t = 1/4 betrachtet. Unter Verwendung des Zahlenkreises finden wir die Punkte mit der Koordinate x = 1/4, markieren diese Punkte in der Grafik als M (t 1) und N (t 2).

Der Graph zeigt, dass t 1 die Länge von AM ist und t 2 die Länge von AN ist. Auf andere Weise können wir sagen, dass t 1 \u003d arccos 1/4; t 2 \u003d - arccos 1/4. Lösung der Gleichung t = ± arccos ¼ + 2πk.

Arccos 1/4 ist also die Zahl (Länge von AM), deren Kosinus 1/4 ist. Diese Zahl gehört zum Segment von 0 bis π/2, d.h. erstes Viertel des Kreises.

Weiterhin wird die Lösung der Gleichung cos t = - 1/4 betrachtet. In Analogie zum vorherigen Beispiel ist t \u003d ± arccos (-1/4 + 2πk. Wir können sagen, dass arccos (-1/4 die Zahl (Länge des Bogens AM) ist), deren Kosinus - ¼ ist und zu dieser Zahl gehört zum zweiten Viertelkreis, d.h. d.h. ein Segment von π/2 nach π.

Anhand von zwei Beispielen sei die Definition des Arkuskosinus gegeben: Ist der Modul a kleiner oder gleich 1, dann ist arccos und eine solche Zahl aus dem Segment von 0 bis π, deren Kosinus gleich a ist. Dann kann der Ausdruck cos t \u003d a mit Modul a kleiner oder gleich 1 aussehen wie t \u003d ± arccos a + 2πk. Unten sind die Werte von t bei cos t = 0; Kosten t = 1; Kosten t = - 1.

Der Autor gibt ein Beispiel 1. Finden Sie die Lösung des Ausdrucks arccos. Wir geben an, dass der gegebene Wert von arccos gleich ist t, daher ist cos t gleich diesem Wert, wobei t zum Segment von 0 bis π gehört. Anhand der Wertetabelle finden wir, dass cos t dem Wert t = π/6 entspricht. Finden Sie den entsprechenden Kosinuswert, wobei π/6 zum Segment von 0 bis π gehört.

Lassen Sie uns Beispiel 2 analysieren. Berechnen Sie die arccos einer negativen Zahl. Nehmen wir an, dass der arccos dieser Zahl gleich ist, also ist cos t gleich dieser Zahl, wobei t zu der Strecke von 0 bis π gehört. Gemäß der Wertetabelle werden wir sehen, welcher Wert cos t entspricht, dies ist t \u003d 5π / 6. Diese. cos 5π/6 ist minus die Quadratwurzel von drei dividiert durch zwei, wobei 5π/6 zum Segment von 0 bis π gehört.

Weiter betrachtet der Autor den Satz: Für jedes a, das zur Strecke von minus eins bis eins gehört, gilt die Gleichheit arccos a + arccos (-a) = π Im Beweis nehmen wir zur Eindeutigkeit an, dass a > 0, dann ein< 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Wenn a > 0, gehört arccos a zum ersten Viertel des Kreises (in der Abbildung markiert), und wenn a< 0, arccos a принадлежит II четверти.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Lösen Sie den Ausdruck, wobei cos t eine negative Zahl ist. Schreiben wir auf, was in diesem Fall t entspricht, dann finden wir den Wert des Arkuskosinus, das ist 3π / 4. Lassen Sie uns den gefundenen Wert von arccos in den Wert von t einsetzen und erhalten, dass t = ± 3π/4+ 2πk.

Analysieren wir die Lösung der Kostenungleichung. Zum Lösen müssen wir Punkte auf dem Zahlenkreis finden, wo x gleich dem Kosinuswert ist. Das sind Punkte mit den Werten π/4 und - π/4. Wie Sie in der Abbildung sehen können, ist die Länge des Bogens MN - π/4≤ t ≤π/4. Die Antwort der Ungleichung lautet also - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

TEXTEINTERPRETATION:

Arkkosinus. Lösung der Gleichung Kosten = a

Betrachten Sie die Lösung der Gleichung cost = .

Unter Berücksichtigung, dass cos t die Abszisse des Punktes M(t) (em von te) des Zahlenkreises ist, finden wir Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse

Auf dem numerischen Kreis markieren wir die Punkte M (t 1), N (t 2) - die Schnittpunkte der Linie x \u003d mit diesem Kreis.

t 1 ist die Länge des Bogens AM, t 2 ist die Länge des Bogens AN, t 2 = - t 1.

Als Mathematiker zum ersten Mal auf diese Situation stießen, führten sie das neue Symbol arccos ein

arccos (Arccosinus von einem Viertel).

Dann ist t 1 = arccos; t 2 \u003d - arccos

Und dann können die Wurzeln der Kosten = Gleichung in zwei Formeln geschrieben werden:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk oder t = arccos + 2πk.

Was bedeutet Arcos?

Diese Nummer

(Bogenlänge AM), dessen Kosinus gleich einem Viertel ist und diese Zahl zum ersten Viertel, also dem Segment, gehört.

Betrachten Sie nun die Gleichung

kosten = - . Ähnlich wie bei der Lösung der vorherigen Gleichung schreiben wir

t = arccos) + 2πk.

Wie ist arccos(-) zu verstehen? Diese Nummer

(die Länge des Bogens AM), dessen Kosinus gleich minus einem Viertel ist und diese Zahl zum zweiten Viertel gehört, dh dem Segment [; ].

Lassen Sie uns den Arkuskosinus definieren:

DEFINITION. Lassen Sie | ein | 1 (Modul a ist kleiner oder gleich eins). Der Arkuskosinus a ist eine solche Zahl aus dem Segment, dessen Kosinus gleich a ist (Abb. 1).

BEISPIEL 1. Arccos berechnen (Arc-Cosinus-Wurzel von drei mal zwei)

Lösung. Sei arccos = t. Dann kosten = und t [ ; ](te gehört zum Segment von Null bis Pi). Denken Sie daran, dass der Wert von cos entspricht

(Wertetabelle anzeigen) Also t = (pi mal sechs) weil cos = und . Also arccos = .

arcos ist die Länge des Bogens, aber die Länge des Kreisbogens ist das t in der Definition von Kosten

(Herkömmlicherweise können wir sagen, dass der Arkuskosinus der „Winkelwert“ ist, den der Punkt von M den Punkt A verlassen hat. Wenn Sie sich erinnern, haben wir die Zahl t als Teil des Umfangs eingegeben, den Radius gleich 1 (eins) und dann 2π- der ganze Kreis ist 360° , π- Halbkreis =180°, ==60°)

BEISPIEL 2. Arccos berechnen (- (Arccosinus minus Wurzel aus drei mal zwei).

Lösung. Sei arccos(-) = t. Dann kosten = und t [ ; ](te gehört zum Segment von Null bis Pi). Daher ist t = (fünf Pi mal sechs), da cos = - und [; ]. Also arccos) = .

Beweisen wir THEOREM. Für ein beliebiges [; ](und aus der Strecke von minus eins nach eins) die Gleichheit arccosа + arccos(-а) = π(die Summe aus Arccosinus a und Arccosinus minus a ist gleich pi) erfüllt.

Nachweisen. Zur Sicherheit nehmen wir an, dass eine 0, dann - eine 0. Markieren Sie auf dem Zahlenkreis arcos a (dies ist die Länge des Bogens AK) und

arccos(-a) (das ist die Länge des Bogens AT) (siehe Abb. 2)

Aus dem bewiesenen Theorem folgt: arcos (-a) \u003d π - arcos a (der Arkuskosinus minus a ist gleich der Differenz zwischen pi und dem Arkuskosinus a), wobei 0 a 1 (wobei a größer oder gleich ist auf null und kleiner oder gleich eins).

Wenn a > 0 ist, betrachte arcos a gehört zum ersten Viertel des Zahlenkreises.

Wenn ein< 0 считают, что arcosa gehört zum zweiten Viertel des Zahlenkreises.

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung kosten = - .

Lösung. Machen wir eine Lösungsformel: t = arccos(-)+ 2πk.

Berechnen wir die Werte des Arkuskosinus: arccos(-) = π - arccos = π - = .

(Nach der Beziehung arccos(-) = π - arccos arccos , dann setzen wir diesen Wert in die Formel ein und erhalten arccos(-) =) .

Setzen wir den gefundenen Wert in die Lösungsformel t = arccos(-)+ 2πk ein und erhalten den Wert von t: t = + 2πk.

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Kostenungleichheit.

Lösung. Wir wissen, dass die Kosten die Abszisse des Punktes M(t) auf dem Zahlenkreis sind. Das bedeutet, dass Sie auf dem Zahlenkreis solche Punkte M(t) finden müssen, die die Ungleichung x erfüllen.

Die Gerade x = schneidet den Zahlenkreis in zwei Punkten M und N.

Die Ungleichung x entspricht den Punkten des offenen Bogens MN. Punkt M entspricht und Punkt N -

- (minus Pi mal vier).

Daher ist der Kern der analytischen Darstellung des Bogens MN die Ungleichung

T , und die analytische Notation des Bogens MN selbst hat die Form