Der Videokurs „Get an A“ beinhaltet alle notwendigen Themen, um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit 60-65 Punkten erfolgreich zu bestehen. Vollständig alle Aufgaben 1-13 des Profileinheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Auch zum Bestehen der Grundprüfung in Mathematik geeignet. Wenn Sie das Einheitliche Staatsexamen mit 90-100 Punkten bestehen möchten, müssen Sie Teil 1 in 30 Minuten und ohne Fehler lösen!
Vorbereitungskurs für das Einheitliche Staatsexamen für die Klassen 10-11 sowie für Lehrer. Alles, was Sie zum Lösen von Teil 1 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) benötigen. Und das sind mehr als 70 Punkte beim Einheitlichen Staatsexamen, auf die weder ein 100-Punkte-Student noch ein Geisteswissenschaftler verzichten können.
Die ganze nötige Theorie. Schnelle Lösungen, Fallstricke und Geheimnisse des Einheitlichen Staatsexamens. Alle aktuellen Aufgaben von Teil 1 aus der FIPI Task Bank wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des Einheitlichen Staatsexamens 2018.
Der Kurs umfasst 5 große Themen zu je 2,5 Stunden. Jedes Thema wird von Grund auf einfach und klar vermittelt.
Hunderte von Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen. Textaufgaben und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Algorithmen zur Lösung von Problemen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens. Stereometrie. Knifflige Lösungen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf bis zum Problem 13. Verstehen statt pauken. Klare Erklärungen komplexer Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Eine Grundlage zur Lösung komplexer Probleme von Teil 2 des Einheitlichen Staatsexamens.
Dieses Mal schlage ich vor, so etwas wie einen „evidenzbasierten Marathon“ zu organisieren, um Probleme zu lösen, die Neuntklässlern in der staatlichen akademischen Prüfung in Mathematik angeboten werden. Sie sind mit dem Beweis einfacher, aber gleichzeitig sehr nützlicher geometrischer Tatsachen verbunden. Der Artikel liefert bewusst keine detaillierten Problemlösungen, sondern lediglich einige Skizzen und Tipps. Versuchen Sie, diese Marathondistanz alleine, fehlerfrei und in einem Ansatz zu bewältigen.
Aufgabe 1. Beweisen Sie, dass die Winkelhalbierenden benachbarter Winkel senkrecht zueinander stehen.
Der Winkel α wird durch einen Bogen bezeichnet, β durch zwei
Nachweisen: Aus der Abbildung geht hervor, dass α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (gerader Winkel), also α + β = 90 0 . Q.E.D.
Aufgabe 2. Zwei Segmente A.C. Und BD sich in einem Punkt schneiden Ö, das ist die Mitte von jedem von ihnen. Beweisen Sie die Gleichheit von Dreiecken ACD Und TAXI.
ABCD wird natürlich ein Parallelogramm sein, aber das ist in der Bedingung nicht gegeben
Nachweisen: Seitendreiecke sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen ( B.O. = Außendurchmesser- nach Bedingung, A.O. = O.C.— nach Bedingung, ∠ DOC = ∠AOB- vertikal), also ∠ ACD = ∠TAXI, und da sie kreuzweise auf geraden Linien liegen AB, CD und Sekante A.C., Das AB parallel Gleichstrom. Wir beweisen auf ähnliche Weise die Parallelität von Geraden B.C. Und ANZEIGE. Also, A B C D ist per Definition ein Parallelogramm. B.C. = ANZEIGE, AB = CD(in einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich), A.C.- üblich für Dreiecke ACD Und TAXI, also sind sie auf drei Seiten gleich. Q.E.D.
Aufgabe 3. Beweisen Sie, dass der zur Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gezogene Median die Winkelhalbierende des Winkels gegenüber der Basis ist und auch senkrecht zur Basis steht.
Die durch den Median und die Basis gebildeten Winkel werden als „unten“ bezeichnet, der Median und die Seiten als „oben“.
Nachweisen: Die Seitendreiecke in der Abbildung sind auf drei Seiten gleich, woraus folgt, dass erstens die „oberen“ Winkel gleich sind (sie haben die Winkelhalbierende bewiesen), zweitens die „unteren“ Winkel, insgesamt als benachbarte, was 180 ergibt 0 und daher in jeweils 90 0 gleich (nachgewiesene Rechtwinkligkeit). Q.E.D.
Aufgabe 4. Beweisen Sie, dass die Mediane an den Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind.
Die Dreiecke, die durch die Mittellinien, die Basis und die unteren Hälften der Seiten des ursprünglichen Dreiecks gebildet werden, werden „untere“ genannt.
Nachweisen: Die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich, daher sind die „unteren“ Dreiecke auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen, was die Gleichheit der gezeichneten Mediane impliziert. Q.E.D.
Aufgabe 5. Beweisen Sie, dass die Winkelhalbierenden, die von den Eckpunkten der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gezogen werden, gleich sind.
Alle in der Abbildung markierten Winkel sind selbstverständlich gleich, obwohl sie durch unterschiedliche Bögen gekennzeichnet sind
Nachweisen: Das „untere“ Dreieck ist gleichschenklig, was sich aus der Gleichheit der Winkel an seiner Basis ergibt. Die „seitlichen“ Dreiecke sind gleich in der Seite (gleich aus den oben bewiesenen Winkelhalbierenden) und in zwei Winkeln (der erste ist aufgrund der Bedingung gleich, der zweite). sind vertikal), daher sind auch die übrigen Teile der Winkelhalbierenden einander gleich, was bedeutet, dass die gesamten Winkelhalbierenden selbst gleich sind. Q.E.D.
Aufgabe 6. Beweisen Sie, dass die Länge des Segments, das die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, gleich der Hälfte der dritten Seite ist.
Die sauberen Seiten nennen wir „Basen“, die durchgestrichenen „Seiten“
Nachweisen: Die Seiten des kleinen und großen Dreiecks in der Abbildung stehen im Verhältnis 1:2 zueinander, außerdem haben sie einen gemeinsamen Winkel, was bedeutet, dass sie im zweiten Attribut mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten von 1:2 ähnlich sind, daher sind die Basen gleich bezogen auf 1:2. Was bewiesen werden musste.
Aufgabe 7. Beweisen Sie, dass die Diagonale eines Parallelogramms es in zwei gleiche Dreiecke teilt.
Ein Parallelogramm mit Diagonale, dem ist wohl nichts mehr hinzuzufügen
Nachweisen: Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind gleich, die Diagonale ist die gemeinsame Seite dieser Dreiecke, sie sind also auf drei Seiten gleich. Q.E.D.
Aufgabe 8. Beweisen Sie, dass der Median eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, gleich der Hälfte der Hypotenuse ist.
Mit anderen Worten: Der Median wird vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen
Nachweisen: Wenn wir einen Kreis um ein gegebenes rechtwinkliges Dreieck beschreiben, dann wird der rechte Winkel des in diesen Kreis eingeschriebenen Dreiecks durch einen Halbkreis beschrieben, sodass die Hypotenuse der Durchmesser dieses Kreises ist und die Hälften der Hypotenuse und der Median gegeben sind Für uns wird das Problem Radien sein, also sind sie alle gleich. Q.E.D.
Aufgabe 9. Beweisen Sie, dass die Tangentensegmente, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, gleich sind.
Zusätzliche Konstruktion: Punkt C mit Punkt O verbinden (mental)
Nachweisen: Winkel B Und A gerade Linien (die Radien des zum Schwenkpunkt gezeichneten Kreises stehen senkrecht zu den Tangenten), also rechtwinklige Dreiecke AOC Und BOC gleich in der Hypotenuse (die Seite, die wir uns vorstellen, ist ihnen gemeinsam). O.C.) und Bein (Radien des Kreises O.B. = O.A.), was bedeutet A.C. = C.B.. Q.E.D.
Aufgabe 10. Beweisen Sie, dass der Durchmesser, der durch den Mittelpunkt einer Kreissehne verläuft, senkrecht dazu steht.
Die Linie, die zwei Punkte in der Abbildung verbindet, ist der Median des Dreiecks, das wir betrachten werden
Nachweisen: In einem gleichschenkligen Dreieck, das durch die Schnittpunkte einer Sehne mit einem Kreis und dem Mittelpunkt dieses Kreises gebildet wird, ist der dargestellte Median die Höhe, was bedeutet, dass der Durchmesser, der diese Höhe enthält, senkrecht zur Sehne steht. Q.E.D.
Aufgabe 11. Beweisen Sie, dass, wenn zwei Kreise eine gemeinsame Sehne haben, die Linie durch den Mittelpunkt dieser Kreise senkrecht zu dieser Sehne steht.
Verbinden Sie gedanklich alle in der Abbildung markierten Punkte miteinander, nennen wir den Schnittpunkt der horizontalen und vertikalen H
Nachweisen: Dreiecke Ö 1 A.O. 2 und Ö 1 B.O. 2 sind auf drei Seiten gleich, daher ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, dann Dreiecke HAO 2 und HBO 2 sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen, was ∠ bedeutet AHO 2 = ∠BHO 2, und insgesamt können zwei gleiche Winkel nur dann 180 0 ergeben, wenn jeder von ihnen gleich 90 0 ist. Q.E.D.
Aufgabe 12. Beweisen Sie, dass, wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, die Summen der Längen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind.
Umschriebenes Viereck. Nennen wir es ABCD. Seien M, E, X und L Tangentenpunkte
Nachweisen: Wir verwenden den Satz über Tangentensegmente (Aufgabe 9). VC = VR, SR = CH, DX = D.L. Und BEI = AK. Fassen wir die Seiten zusammen AB Und CD: AB + CD= (BIN.+ M.B.) + (DX+ XC) = AL+ SEI+ D.L.+ C.E.= (AL+ LD) + (SEI+ E.C.) = ANZEIGE+ B.C. Q.E.D.
Aufgabe 13. Beweisen Sie, dass, wenn ein Kreis um ein Viereck herum beschrieben werden kann, die Summen seiner entgegengesetzten Winkel gleich sind.
Umkreis
Nachweisen: Nach dem eingeschriebenen Winkelsatz beträgt die Summe der entgegengesetzten Winkel dieses Vierecks 180 0, da sie zusammen auf einem vollständigen Kreis ruhen, dessen Gradmaß 360 0 beträgt. Q.E.D.
Aufgabe 14. Beweisen Sie, dass, wenn ein Kreis um ein Trapez herum beschrieben werden kann, das Trapez gleichschenklig ist.
Nachweisen: die Summe der entgegengesetzten Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks ist gleich α + β = 180 0 (siehe Aufgabe 13), die Summe der Winkel an der lateralen Seite des Trapezes ist ebenfalls gleich α + γ = 180 0 (diese Winkel sind einseitig mit parallelen Grundflächen und einer Sekantenseite), aus dem Vergleich dieser Formeln finden wir das β = γ , das heißt, die Winkel an der Basis eines solchen Trapezes sind gleich, und es ist wirklich gleichschenklig. Q.E.D.
Aufgabe 15. Kariert A B C D Punkte ZU Und E- Mittelpunkte der Seiten AB Und ANZEIGE jeweils. Beweise das KD aufrecht C.E..
Satz 1 . Die Größe des eingeschriebenen Winkels ist gleich der Hälfte der Größe des Mittelpunktswinkels, der von demselben Bogen begrenzt wird.
Nachweisen . Betrachten wir zunächst den eingeschriebenen Winkel ABC, Seite B.C. Das ist der Durchmesser des Kreises und der Mittelpunktswinkel AOC(Abb. 5).
Da die Segmente A.O. Und B.O. sind die Radien des Kreises, dann des Dreiecks AOB– Gleichschenklige und der Winkel ABO gleich Winkel OAB. Wegen dem Winkel AOC ist der Außenwinkel des Dreiecks AOB, dann sind die Gleichheiten wahr
Für den Fall, dass eine der Seiten des eingeschriebenen Winkels durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, ist Satz 1 bewiesen.
Betrachten Sie nun den Fall, dass der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des eingeschriebenen Winkels liegt (Abb. 6).
und Satz 1 ist in diesem Fall bewiesen.
Es bleibt der Fall zu betrachten, dass der Mittelpunkt des Kreises außerhalb des eingeschriebenen Winkels liegt (Abb. 7).
In diesem Fall sind die Gleichheiten wahr
womit der Beweis von Satz 1 abgeschlossen ist.
Satz 2 . Die Größe des Winkels, der durch sich schneidende Sehnen gebildet wird, ist gleich der Hälfte der Summe der Größen der zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bögen.
Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 8.
Uns interessiert der Winkel AED E Akkorde AB Und CD. Wegen dem Winkel AED– Außenwinkel eines Dreiecks BETT, und die Winkel CDB Und ABD
Q.E.D.
Satz 3 . Die Größe des Winkels, den die Sekanten bilden, die sich außerhalb des Kreises schneiden, ist gleich der Hälfte der Größendifferenz der zwischen den Seiten dieses Winkels eingeschlossenen Bögen.
Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 9.
Uns interessiert der Winkel BETT, gebildet durch Schnittpunkt an einem Punkt E Sekanten AB Und CD. Wegen dem Winkel ADC– Außenwinkel eines Dreiecks ADE, und die Winkel ADC , DCB Und TUPFEN sind eingeschriebene Winkel, dann sind die Gleichheiten wahr
Q.E.D.
Satz 4 . Die Größe des Winkels, den eine Tangente und eine durch den Berührungspunkt verlaufende Sehne bilden, ist gleich der Hälfte der Größe des zwischen ihren Seiten eingeschlossenen Bogens.
Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 10.
Uns interessiert der Winkel BAC durch die Tangente gebildet AB und Akkord A.C.. Weil das ANZEIGE ist der Durchmesser, der durch den Kontaktpunkt verläuft, und der Winkel ACD ist ein eingeschriebener Winkel basierend auf dem Durchmesser, dann die Winkel TUPFEN Und DCA- gerade. Daher sind die Gleichheiten wahr
Q.E.D.
Satz 5 . Die Größe des durch eine Tangente und eine Sekante gebildeten Winkels entspricht der Hälfte der Größendifferenz der zwischen den Seiten dieses Winkels eingeschlossenen Bögen.
Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 11.
Uns interessiert der Winkel BETT durch die Tangente gebildet AB und Sekante CD. Beachten Sie den Winkel BDC– Außenwinkel eines Dreiecks DBE, und die Winkel BDC Und BCD sind eingeschriebene Winkel. Außerdem die Winkel DBE Und DCB sind aufgrund von Satz 4 gleich. Daher sind die Gleichheiten wahr
Anweisungen
Wenn die Seite AB der Dreiecke ABC und DEF gleich der Seite DE ist und die Winkel neben der Seite AB gleich den Winkeln neben der Seite DE sind, dann gelten diese Dreiecke als kongruent.
Wenn die Seiten AB, BC und CD der Dreiecke ABC den entsprechenden Seiten des Dreiecks DEF entsprechen, dann sind diese Dreiecke kongruent.
beachten Sie
Wenn Sie die Gleichheit zweier rechtwinkliger Dreiecke beweisen müssen, können Sie dies mithilfe der folgenden Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke beweisen:
Eines der Beine und die Hypotenuse;
- auf zwei bekannten Seiten;
- entlang eines der Beine und dem spitzen Winkel daneben;
- entlang der Hypotenuse und einem der spitzen Winkel.
Dreiecke sind spitz (wenn alle Winkel kleiner als 90 Grad sind), stumpf (wenn einer ihrer Winkel mehr als 90 Grad beträgt), gleichseitig und gleichschenklig (wenn zwei ihrer Seiten gleich sind).
Hilfreicher Rat
Abgesehen davon, dass die Dreiecke einander gleich sind, sind gleiche Dreiecke auch ähnlich. Ähnliche Dreiecke sind solche, deren Winkel untereinander gleich sind und bei denen die Seiten des einen Dreiecks proportional zu den Seiten des anderen sind. Es ist erwähnenswert, dass die Gleichheit zweier Dreiecke nicht garantiert ist, wenn sie einander ähnlich sind. Wenn man ähnliche Seiten von Dreiecken durcheinander dividiert, wird der sogenannte Ähnlichkeitskoeffizient berechnet. Dieser Koeffizient kann auch durch Teilen der Flächen ähnlicher Dreiecke ermittelt werden.
Quellen:
- Beweisen Sie die Flächengleichheit von Dreiecken
Zwei Dreiecke sind gleich, wenn alle Elemente des einen gleich den Elementen des anderen sind. Es ist jedoch nicht notwendig, alle Größen der Dreiecke zu kennen, um auf ihre Gleichheit schließen zu können. Es reicht aus, bestimmte Parametersätze für gegebene Zahlen zu haben.
Anweisungen
Wenn bekannt ist, dass zwei Seiten eines Dreiecks einander gleich sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind die betreffenden Dreiecke kongruent. Um dies zu beweisen, richten Sie die Eckpunkte gleicher Winkel zweier Figuren aus. Weiter schichten. Richten Sie vom resultierenden gemeinsamen Punkt der beiden Dreiecke aus eine Seite der Ecke des überlappenden Dreiecks entlang der entsprechenden Seite der unteren Figur. Aufgrund der Bedingung sind diese beiden Seiten gleich. Das bedeutet, dass die Enden der Segmente zusammenfallen. Folglich ist ein weiteres Eckpunktpaar in den gegebenen Dreiecken zusammengefallen. Die Richtungen der zweiten Seiten des Winkels, von dem aus es begonnen hat, werden aufgrund der Gleichheit dieser Winkel übereinstimmen. Und da diese Seiten gleich sind, überlappt sich der letzte Scheitelpunkt. Zwischen zwei Punkten kann eine einzelne gerade Linie gezeichnet werden. Daher fallen die dritten Seiten der beiden Dreiecke zusammen. Sie haben zwei völlig übereinstimmende Figuren und das nachgewiesene erste Zeichen der Dreiecksgleichheit erhalten.
Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel in einem Dreieck gleich den entsprechenden Winkeln in einem anderen Dreieck sind, dann sind diese beiden Dreiecke deckungsgleich. Um die Richtigkeit dieser Aussage zu beweisen, überlagern Sie zwei Figuren und richten Sie die Scheitelpunkte gleicher Winkel an gleichen Seiten aus. Aufgrund der Winkelgleichheit fallen die Richtungen der zweiten und dritten Seite zusammen und der Ort ihres Schnittpunkts wird eindeutig bestimmt, d. h. der dritte Scheitelpunkt des ersten der Dreiecke fällt notwendigerweise mit einem ähnlichen Punkt zusammen zweite. Das zweite Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken ist bewiesen.
