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Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

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Unterricht und Präsentation zum Thema: "Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen"

Zusätzliche Materialien
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Was werden wir studieren:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Betrachten wir nun allgemeine trigonometrische Gleichungen.

Trigonometrische Gleichungen - Gleichungen, in denen die Variable unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wir wiederholen die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: Т(kx+m)=a, T- eine beliebige trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Gleichungen lösen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Lassen Sie uns 3x=t bezeichnen, dann werden wir unsere Gleichung in der Form umschreiben:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kommen wir zurück zu unserer Variablen: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n - minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösung:

A) Dieses Mal gehen wir direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung über:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Das wissen wir: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Gleichungen lösen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment .

Lösung:

Lösen wir unsere Gleichung in allgemeiner Form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Mal sehen, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Für k Für k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment .
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen sie wieder.
Für k=2 ist x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir auch für große k nicht treffen werden.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben die einfachsten trigonometrischen Gleichungen betrachtet, aber es gibt komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen, bezeichnet als: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir haben die einfachste trigonometrische Gleichung, lasst uns ihre Wurzeln finden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung lautet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Führen wir die Ersetzung t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Da Cosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Eine Gleichung der Form a sin(x)+b cos(x) heißt homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, teilen wir sie durch cos(x): Es ist unmöglich, durch Kosinus zu dividieren, wenn es gleich Null ist, stellen wir sicher, dass dies nicht so ist:
Sei cos(x)=0, dann asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir haben einen Widerspruch, also können wir sicher dividieren um null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 für x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0 Dividieren Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, haltet euch immer an diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a gleich ist, wenn a \u003d 0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) an, ein Beispiel für die Lösung davon ist oben gleiten

2. Wenn a≠0, müssen Sie beide Teile der Gleichung durch den quadrierten Kosinus dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel #:3

Löse die Gleichung:
Lösung:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Lösen Sie Beispiel #:4

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Lösen Sie Beispiel #:5

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir führen die Ersetzung tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Gleichungen lösen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

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Einmal habe ich ein Gespräch zwischen zwei Bewerbern miterlebt:

– Wann müssen Sie 2πn addieren, und wann - πn? Ich kann mich nicht erinnern!

- Und ich habe das gleiche Problem.

Ich wollte ihnen sagen: „Man muss nicht auswendig lernen, sondern verstehen!“

Dieser Artikel richtet sich in erster Linie an Gymnasiasten und hilft ihnen hoffentlich beim "Verstehen", die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen:

Zahlenkreis

Neben dem Begriff des Zahlenstrahls gibt es auch den Begriff des Zahlenkreises. Wie wir wissen, In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt (0; 0) und einem Radius von 1 als Einheitskreis bezeichnet. Stellen Sie sich einen Zahlenstrahl mit einem dünnen Faden vor und wickeln Sie ihn um diesen Kreis: den Bezugspunkt (Punkt 0), befestigen Sie ihn am „rechten“ Punkt des Einheitskreises, wickeln Sie die positive Halbachse gegen den Uhrzeigersinn und die negative Halbachse in Richtung ( Abb. 1). Einen solchen Einheitskreis nennt man Zahlenkreis.

Zahlenkreiseigenschaften

• Jede reelle Zahl steht an einem Punkt des Zahlenkreises.
• Auf jedem Punkt des Zahlenkreises gibt es unendlich viele reelle Zahlen. Da die Länge des Einheitskreises 2π ist, ist die Differenz zwischen zwei beliebigen Zahlen an einem Punkt auf dem Kreis gleich einer der Zahlen ±2π; ±4π; ±6π; …

Lassen Sie uns schließen: Wenn wir eine der Nummern von Punkt A kennen, können wir alle Nummern von Punkt A finden.

Lassen Sie uns den AC-Durchmesser zeichnen (Abb. 2). Da x_0 eine der Zahlen des Punktes A ist, sind die Zahlen x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … und nur sie werden die Nummern des Punktes C sein. Wählen wir eine dieser Nummern, sagen wir x_0+π, und schreiben wir damit alle Nummern des Punktes C auf: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Beachten Sie, dass die Zahlen an den Punkten A und C zu einer Formel kombiniert werden können: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (für k = 0; ±2; ±4; ... erhalten wir die Zahlen von Punkt A, und für k = ±1, ±3, ±5, … sind die Nummern des Punktes C).

Lassen Sie uns schließen: Wenn wir eine der Zahlen an einem der Punkte A oder C des Durchmessers AC kennen, können wir alle Zahlen an diesen Punkten finden.

• Zwei entgegengesetzte Zahlen befinden sich auf Punkten des Kreises, die symmetrisch zur Abszissenachse sind.

Lassen Sie uns eine vertikale Sehne AB zeichnen (Abb. 2). Da die Punkte A und B symmetrisch um die Ox-Achse liegen, befindet sich die Zahl -x_0 am Punkt B und daher sind alle Zahlen des Punktes B durch die Formel gegeben: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Wir schreiben die Zahlen an den Punkten A und B mit einer Formel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Fassen wir zusammen: Wenn wir eine der Zahlen an einem der Punkte A oder B der vertikalen Sehne AB kennen, können wir alle Zahlen an diesen Punkten finden. Betrachten Sie die horizontale Sehne AD und finden Sie die Nummern des Punktes D (Abb. 2). Da BD der Durchmesser ist und die Zahl -x_0 zu Punkt B gehört, ist -x_0 + π eine der Zahlen von Punkt D und daher sind alle Zahlen dieses Punktes durch die Formel x_D=-x_0+π+2πk gegeben ,k∈Z. Zahlen an den Punkten A und D können mit einer Formel geschrieben werden: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (für k= 0; ±2; ±4; ... erhalten wir die Nummern von Punkt A und für k = ±1; ±3; ±5; ... - die Nummern von Punkt D).

Lassen Sie uns schließen: Wenn wir eine der Zahlen an einem der Punkte A oder D der horizontalen Sehne AD kennen, können wir alle Zahlen an diesen Punkten finden.

Sechzehn Hauptpunkte des Zahlenkreises

In der Praxis ist die Lösung der meisten der einfachsten trigonometrischen Gleichungen sechzehn Punkten des Kreises zugeordnet (Abb. 3). Was sind das für Punkte? Rote, blaue und grüne Punkte teilen den Kreis in 12 gleiche Teile. Da die Länge des Halbkreises π ist, ist die Länge des Bogens A1A2 π/2, die Länge des Bogens A1B1 ist π/6 und die Länge des Bogens A1C1 ist π/3.

Jetzt können wir eine Zahl für die Punkte angeben:

π/3 auf С1 und

Die Eckpunkte des orangefarbenen Quadrats sind die Mittelpunkte der Bögen jedes Viertels, also ist die Länge des Bogens A1D1 gleich π/4, und daher ist π/4 eine der Nummern des Punktes D1. Über die Eigenschaften des Zahlenkreises können wir alle Zahlen an allen markierten Punkten unseres Kreises mit Formeln aufschreiben. Die Abbildung zeigt auch die Koordinaten dieser Punkte (wir verzichten auf die Beschreibung ihrer Erfassung).

Nachdem wir das oben Gesagte gelernt haben, haben wir jetzt eine ausreichende Vorbereitung, um Spezialfälle zu lösen (für neun Werte der Zahl a) die einfachsten Gleichungen.

Gleichungen lösen

1)sinx=1⁄(2).

– Was wird von uns verlangt?

– Finden Sie alle Zahlen x, deren Sinus 1/2 ist.

Erinnern Sie sich an die Definition von Sinus: sinx - die Ordinate des Punktes des Zahlenkreises, auf dem sich die Zahl x befindet. Auf dem Kreis haben wir zwei Punkte, deren Ordinate gleich 1/2 ist. Dies sind die Enden des horizontalen Akkords B1B2. Das bedeutet, dass die Anforderung „löse die Gleichung sinx=1⁄2“ der Anforderung „finde alle Zahlen am Punkt B1 und alle Zahlen am Punkt B2“ entspricht.

2)sinx=-√3⁄2 .

Wir müssen alle Zahlen an den Punkten C4 und C3 finden.

3) sinx=1. Auf dem Kreis haben wir nur einen Punkt mit der Ordinate 1 - Punkt A2 und müssen daher nur alle Zahlen dieses Punktes finden.

Antwort: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Nur der Punkt A_4 hat die Ordinate -1. Alle Zahlen dieses Punktes sind die Pferde der Gleichung.

Antwort: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

Auf dem Kreis haben wir zwei Punkte mit der Ordinate 0 - die Punkte A1 und A3. Sie können die Zahlen für jeden der Punkte separat angeben, aber da diese Punkte diametral entgegengesetzt sind, ist es besser, sie in einer Formel zusammenzufassen: x=πk ,k∈Z .

Antwort: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Erinnern Sie sich an die Definition des Kosinus: cosx - Abszisse des Punktes des Zahlenkreises, auf dem sich die Zahl x befindet. Auf dem Kreis haben wir zwei Punkte mit der Abszisse √2⁄2 – die Enden der horizontalen Sehne D1D4. Wir müssen alle Zahlen an diesen Punkten finden. Wir schreiben sie auf, indem wir sie zu einer Formel kombinieren.

Antwort: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Wir müssen die Zahlen an den Punkten C_2 und C_3 finden.

Antwort: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Nur die Punkte A2 und A4 haben die Abszisse 0, was bedeutet, dass alle Zahlen an jedem dieser Punkte Lösungen der Gleichung sind.
.

Die Lösungen der Gleichung des Systems sind die Zahlen an den Punkten B_3 und B_4 Ungleichung cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Antwort: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Beachten Sie, dass für jeden zulässigen Wert von x der zweite Faktor positiv ist und daher die Gleichung dem System entspricht

Die Lösungen der Systemgleichung sind die Anzahl der Punkte D_2 und D_3 . Die Zahlen des Punktes D_2 erfüllen die Ungleichung sinx≤0.5 nicht, die Zahlen des Punktes D_3 aber schon.

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