Praktische Probleme bei der Abschätzung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch mehrere gleichwertige Versuche lassen sich mit der Bernoulli-Formel oder (bei einer großen Anzahl solcher Versuche) mit der Näherungs-Poisson-Formel analysieren. Um mit diesem Material zu arbeiten, benötigen Sie wiederum Kenntnisse.

Das Bernoulli-Schema ist wie folgt: Es wird eine Reihe von Versuchen durchgeführt, bei denen die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses A gleich und gleich p ist. Die Studien werden als unabhängig angenommen (d. h. es wird angenommen, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A in jeder der Studien nicht davon abhängt, ob dieses Ereignis in anderen Studien aufgetreten ist oder nicht). Das Eintreten von Ereignis A wird üblicherweise als Erfolg bezeichnet, und das Nichteintreten wird als Misserfolg bezeichnet. Bezeichne die Ausfallwahrscheinlichkeit q=1-P(A)=(1-p). Die Wahrscheinlichkeit, dass in n unabhängige Tests Erfolg wird genau m kommen mal ausgedrückt Bernoulli-Formel :

Die Wahrscheinlichkeit P n (m) für ein gegebenes n nimmt zuerst zu, wenn m von 0 auf einen Wert m 0 ansteigt, und nimmt dann ab, wenn sich m von m 0 auf n ändert.

Daher wird m 0 aufgerufen wahrscheinlichste Zahl Erfolg bei Experimenten. Diese Zahl m 0 ist eingeschlossen zwischen den Zahlen np-q und np+p (oder, was dasselbe ist, zwischen den Zahlen n(p+1)-1 und n(p+1) ).Wenn die Zahl np-q eine ganze Zahl ist, dann gibt es zwei wahrscheinlichste Zahlen: np-q und np+p.

Wichtiger Hinweis. Wenn np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Beispiel.Ein Würfel wird 4 Mal geworfen. Uns interessiert bei jedem Wurf das Ereignis A = (sechs fiel aus).

Lösung: Es gibt vier Versuche hier und seitdem Würfel ist symmetrisch

p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6.

Die Wahrscheinlichkeit, dass 4 unabhängige Versuche genau m mal gelingen (m< 4), выражается формулой Бернулли:

Lassen Sie uns diese Werte berechnen und in einer Tabelle aufschreiben.

Die wahrscheinlichste Erfolgszahl ist in unserem Fall m 0 =0.

Beispiel.Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 3/5. Finden Sie die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen, wenn die Anzahl der Versuche 19, 20 beträgt.

Lösung: für n = 19 finden wir

Somit wird die maximale Wahrscheinlichkeit für zwei Werte von m 0 gleich 11 und 12 erreicht. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich P 19 (11) = P 19 (12) = 0,1797. Für n=20 wird die maximale Wahrscheinlichkeit nur für einen Wert m 0 erreicht, weil

Ist keine ganze Zahl. Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen m 0 ist 12. Die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens ist P 20 (12) = 0,1797. Die Koinzidenz der Zahlen P 20 (12) und P 19 (12) wird nur durch eine Kombination der Werte von n und p verursacht und ist nicht allgemeiner Natur.

In der Praxis, wenn n groß und p klein ist (normalerweise p< 0,1; npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближеннуюPoisson-Formel

Beispiel 4 Funkgeräte bestehen aus 1000 Elementen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Elements im Laufe des Jahres beträgt 0,002. Wie hoch ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von zwei Elementen in einem Jahr? Wie hoch ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von mindestens zwei Elementen in einem Jahr?

Lösung: Wir betrachten den Betrieb jedes Elements als separaten Test. Lassen Sie uns A = (Elementausfall pro Jahr) bezeichnen.

P(A)=p=0,002, l=np=1000*0,002=2

Über die Poisson-Formel

Bezeichnen Sie mit P 1000 (> 2) die Ausfallwahrscheinlichkeit von mindestens zwei Elementen pro Jahr.
Indem wir zum entgegengesetzten Ereignis übergehen, berechnen wir P 1000 (> 2) als.

Zeit elektrische Energie verbrauchen. Um eine ungefähre Vorstellung von der zu erwartenden Arbeitsbelastung zu bekommen, stellen Sie sich vor, dass jeder Arbeiter zu einem beliebigen Zeitpunkt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p eine Energieeinheit benötigen kann. Wenn sie unabhängig voneinander arbeiten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Energie gleichzeitig von k Arbeitern benötigt wird, gleich b (k ;n ,p ). Hier ist „Test“ eine Überprüfung der Tatsache des Energieverbrauchs zu einem gegebenen Zeitpunkt durch den j-ten Arbeiter (j = 1,2,...,n ), und „Erfolg“ ist ein positives Ergebnis der Überprüfung. Wenn also ein Arbeiter durchschnittlich 12 Minuten pro Stunde40 Energie verbraucht, sollte man p = 1260 = 0,2 setzen. In diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 7 von 10 Arbeitnehmern

Mit anderen Worten, wenn die Versorgung für 6 Energieeinheiten ausgelegt ist, beträgt die Überlastungswahrscheinlichkeit 0,000864. Das bedeutet, dass im Mittel alle 10,000864≈ 1157 Minuten eine Überlast auftritt, d.h. ungefähr 12 Stunden Arbeit. Wenn daher häufiger Überlastungen beobachtet werden, sollte dies ein Signal für eine verstärkte Kontrolle über den Produktionszyklus sein.

Das nächste Beispiel ist etwas anders. Beim Werfen von zwei richtigen Würfeln beträgt die Wahrscheinlichkeit, 12 Punkte zu erhalten,

offensichtlich ist 1 6 2 ≈ 0,0278 , d.h. durchschnittlich ein Auftritt in 36 Würfen. Wenn drin

Casino am Spieltisch während des Spiels dieses Verhältnis erheblich überschritten wird, bedeutet dies entweder, dass die Würfel defekt sind und ersetzt werden müssen, oder dass das Spiel nicht fair ist. Es gibt in jedem Fall einen Grund, das Spiel an diesem Spieltisch genauer zu beobachten.

6.2. Verallgemeinertes Bernoulli-Schema

Nehmen Sie wie oben an, dass eine Reihe von n unabhängig ist

40 Dieser Wert kann beispielsweise durch den Produktionszyklus oder die Produktionstechnologie bestimmt werden.

Tests untereinander. Im Gegensatz zum vorherigen nehmen wir jedoch an, dass das Ergebnis jedes Versuchs eines und nur eines von k paarweise inkompatiblen Ereignissen A 1 , A 2 , ..., Ak und den Wahrscheinlichkeiten des Auftretens jedes dieser Ereignisse sein kann in jedem einzelnen Versuch konstant bzw. gleich sind

p 1 ,p 2 , ...,p k ;p j > 0;p 1 + p 2 + ...+ p k = 1.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit finden, dass als Ergebnis von n Versuchen das Ereignis A 1 auftritt

m 1 +m 2 +... +m k =n .

Beachten Sie zunächst, dass die Argumentation des vorherigen Absatzes uns zu dem Schluss führt, dass die Wahrscheinlichkeit jeder gültigen Kombination sein wird

		Uhr 1	Uhr 2	P m k . Auf der anderen Seite ist die Anzahl der möglichen Kombinationen
		Möglichkeiten, wie n Elemente aufgeteilt werden können					k-Gruppen
m 1 ,m 2 ,...,m k				Elemente bzw. Diese Zahl gem			Satz 5.5,
		m! m!... m!
				Somit ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass			Ergebnis

unabhängige Versuche, Ereignis A 1 erscheint genau m 1 mal, Ereignis A 2 – genau m 2 mal usw., Ereignis A k erscheint genau m k mal, wird gleich sein

Pn (m1 , m2

p j > 0;

m j ≥ 0;

	M )=				Uhr 1	Uhr 2	P m k ;
		m! m!... m!
	p 1 + p 2 + ... + p k

m 1 +m 2 +... +m k =n .

p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,35, p 3 \u003d 0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler in einem Match mit 12 Spielen 5 Siege, 4 Niederlagen und 3 Unentschieden hat?

Lösung. Wir befinden uns genau in der Situation eines verallgemeinerten Bernoulli-Schemas mit n = 12. Setzt man die Werte aus den Problemdaten in Formel (6.2) ein,

wir erhalten: P 12 (5, 4, 3)= 5!4!3! 12! (0,4)5 (0,35)4 (0,25)3 ≈ 0,067 .

6.3. Einige Folgen

Kehren wir zum klassischen Bernoulli-Schema zurück, Sec. 6.1 und werfen folgendes Problem auf. Seien die ganzen Zahlen a,b so, dass 0≤ a< b ≤ n . Чему равна вероятность того, что в результатеn независимых испытаний Бернулли число «успехов» будет заключено между числамиa иb ? Ответ на этот вопрос дается легко, поскольку допустимые комбинации для различных чисел «успехов» несовместимы. Соответствующая вероятность, очевидно, равна

P n (a , b ) = ∑ C n kp kq n− k=

C n ap aq n− a+ C n a+ 1 p a+ 1 q n− a− 1 + C n a+ 2 p a+ 2 q n− a− 2 + ... + C n bp bq n− b.

Anmerkung . Je nach Kontext der betrachteten Probleme werden verschiedene Notationen verwendet, um die Wahrscheinlichkeit der Anzahl von Erfolgen in n Bernoulli-Versuchen anzugeben. Somit ist durch P n (k< m ) часто обозначается вероятность того,чтоврезультатеn испытанийчислоk успеховбудетменьше ,чемm ;черезP n (m 1 ≤ k < m 2 ) обозначается вероятность того, в результатеn испытаний числоk успехов будетgrößer oder gleich m 1 aber weniger als m 2 ; statt der Schreibweise P n (a ,b ) kann auch die Schreibweise P n (a ≤ k ≤ b ) verwendet werden usw. In der Regel gibt es keine Probleme, die Bedeutung solcher Bezeichnungen im Kontext einer bestimmten Aufgabe eindeutig zu verstehen.

Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen. Wir berechnen nun den Wert der Zahl m=m0 , für die die Funktion b(m;n,p ) erreicht seinen Maximalwert. In diesem Fall die Nummer m0 heißt die wahrscheinlichste Zahl

Erfolge (in n Versuchen).

Erinnern Sie sich, dass die Funktion b (m ;n ,p ) als die Wahrscheinlichkeit m des "Erfolgs" in n Bernoulli-Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit des "Erfolgs" p definiert und berechnet wird

nach Formel (6.1).
Betrachten Sie die Menge
	b (m ;n ,p )		(n− m+ 1) p		(n + 1) p − m
	b (m − 1;n ,p )

wobei berücksichtigt wird, dass q = 1− p . Dies zeigt, dass die Funktion b (m ;n ,p ) mit m zunimmt wie m< (n + 1)p и убывает приm >(n + 1)p . Unter Berücksichtigung, dass m 0 eine nicht negative ganze Zahl sein muss, erhalten wir, dass die wahrscheinlichste Anzahl von "Erfolgen" m 0 die (einzigartige) nicht negative ganze Zahl ist, die die Ungleichung erfüllt

(n + 1)p − 1< m 0 ≤ (n + 1)p .

Betrachten wir nun einige Beispiele.

1. Das bloße Problem. Wie oft muss man mit einem Würfelpaar würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als ½ mindestens einmal eine Gesamtzahl von 12 zu erwarten?

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit p des "Erfolgs", d. h. des Verlustes von 12 Punkten, ist für jeden Wurf gleich und beträgt p = 1 36 . Sei n die gewünschte Anzahl der Würfe, k die Anzahl der "Erfolge". Dann ist Pn (k ≥ 1)= 1− Pn (k = 0) . Aber

P n (k = 0)= C n 0 p 0 (1− p )n = (35 36 ) n ≈ (0,972)n .

Somit wird der erforderliche Wert von n aus der Ungleichung gefunden

(0,972)n ≤ 0,5 .

Durch Auflösen dieser Ungleichung erhalten wir: n ≥ 25.

2. Drei Schützen treffen beim Schießen auf eine Scheibe mit einem Schuss mit Wahrscheinlichkeiten von 0,2, 0,3 bzw. 0,4. Welcher der drei auf das Ziel schießt, wird durch sechs Münzwürfe bestimmt,

außerdem schießt bei mehr Wappen als Schwänzen der erste Schütze, bei weniger Wappen als Schwänzen schießt der zweite Schütze, andernfalls der dritte Schütze. Der Schütze gibt 3 Schüsse ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kugeln das Ziel treffen.

Lösung. Sei A das Ereignis, dass zwei Kugeln das Ziel treffen. Bezeichnen Sie mit B 1 , B 2 , B 3 - die Ereignisse, die darin bestehen, dass der erste, zweite und dritte Schütze jeweils schießen. Da die Ereignisse B 1 , B 2 , B 3 eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, gilt nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (2.6):

P (A )= P (A /B 1 )P (B 1 )+ P (A /B 2 )P (B 2 )+ P (A /B 3 )P (B 3 ) .

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten in Formel (6.5) separat berechnen. Beginnen wir mit den Wahrscheinlichkeiten P (B j ) . Da die Erteilung des Schießrechts an den einen oder anderen Schützen von den Ergebnissen einer Reihe unabhängiger Tests abhängt - sechs Münzwürfe -, sollten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nach dem Bernoulli-Schema berechnet werden. „Erfolg“ sei nämlich der Verlust des Wappens; dann, entsprechend den Bedingungen des Problems:

P (B 1 )= P 6 (k ≥ 4)= C 6 4 (0,5)6 + C 6 5 (0,5)6 + C 6 6 (0,5)6 = 11 32 ;P (B 2 )= P 6 ( k ≤ 2)= C 6 0 (0,5)6 + C 6 1 (0,5)6 + C 6 2 (0,5)6 = 11 32 ;P (B 3 )= P 6 (k = 3)= C 6 3 ( 0,5)6 = 5 16 .

P (A / B) \u003d b (2; 3, 0,2)		(0,2)2 0,8= 0,096;
P (A / B) \u003d b (2; 3, 0,3)		(0,3)2 0,7= 0,189 ;
P (A / B) \u003d b (2; 3, 0,4) \u003d C 2		(0,4)2 0,6= 0,288.
Unter Verwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (6.5) erhalten wir schließlich
P(A) \u003d 0,188.
3. Jeder von n = 50		Eingeladene kommen zum Treffen mit

Experimente werden als unabhängig bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit des einen oder anderen Ergebnisses jedes Experiments nicht davon abhängt, welche Ergebnisse andere Experimente hatten.

Kommentar. Unabhängige Experimente können sowohl unter gleichen als auch unter unterschiedlichen Bedingungen durchgeführt werden. Im ersten Fall die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ABER bei allen Versuchen gleich, im zweiten Fall von Erfahrung zu Erfahrung verschieden.

Lassen Sie es jetzt produzieren n unabhängige Experimente, bei denen jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht p einige Ereignisse können eintreten ABER. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit finden Pn (k) was drin ist n erlebt Veranstaltung ABER kommt genau zu Zeiten (Veranstaltung BEI).

Das beschriebene Schema wird aufgerufen Schema unabhängiger Tests, oder Bernoulli-Schema, Benannt nach dem Schweizer Mathematiker des späten 17. und frühen 18. Jahrhunderts, Jacob Bernoulli, der sie studierte.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit finden Pn (k). Vorfall BEI kann als Summe einer Reihe von Elementarereignissen dargestellt werden - Varianten des Ereignisses ABER. Jede Event-Option ABER kann als Zeichenfolge der Länge geschrieben werden n(Anzahl der Experimente), in denen zu Komponenten-Match-Event ABER, und der Rest n-zu Ereigniskomponente. Eine der Optionen ist beispielsweise

(Erfolg und 1,2,…, k Versuche und Scheitern im Rest).

Die Anzahl aller Optionen ist gleich (der Anzahl der Kombinationen von n Elemente von zu), und die Wahrscheinlichkeit jeder Variante ist angesichts der Unabhängigkeit der Experimente gleich p k q n-k(wo q=1-R). Daher die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses BEI wird gleich sein

Formel (1) wird aufgerufen Bernoulli-Formeln.

Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens eines Eintritts eines Ereignisses ist ABER bei n unabhängigen Tests (Experimenten) unter gleichen Bedingungen gleich

Beispiel 1. Die Münze wird 5 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen dreimal erscheint?

Lösung. In diesem Fall das Ereignis ABER Der Verlust des Wappens wird als wahrscheinlich angesehen p dieses Ereignis in jeder Erfahrung ist gleich . Von hier

P= .

Aus Gründen der Klarheit werden wir uns bei jedem Auftreten des Ereignisses einigen ABER als Erfolg gewertet werden. Wenn behoben n, dann, Pn (k). eine Argumentfunktion haben zu, die die Werte übernimmt . Lassen Sie uns herausfinden, für welchen Wert zu Funktion Pn (k) den größten Wert annimmt, also wie viele Erfolge zu 0 ist höchstwahrscheinlich mit einer bestimmten Anzahl von Experimenten n. Es stellt sich heraus, dass die Nummer k=k 0 kann aus der doppelten Ungleichung bestimmt werden.

(3)

Die Differenz der Grenzwerte in dieser doppelten Ungleichung ist gleich 1. Wenn np+p keine ganze Zahl ist, dann bestimmt die doppelte Ungleichung nur einen wahrscheinlichsten Wert zu 0 .Wenn np+p eine Ganzzahl ist, dann gibt es zwei wahrscheinlichste Werte: und .

Beispiel 2. Ein Würfel wird 20 Mal geworfen. Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Vorkommen des Gesichts „6“?

Lösung. In diesem Fall n= 20, woher . Weil die np + p keine ganze Zahl, dann die größte unter den Zahlen R 20 (0), R 20 (1),…, R 20 (20) wird die Nummer sein R 20(3). Daher ist die wahrscheinlichste Anzahl von Vorkommen des „6“-Gesichts 3. Lassen Sie uns herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine solche Anzahl von Vorkommen ist. Nach der Bernoulli-Formel hat:

.

Aus Formel (3) ist ersichtlich, dass einer der beiden am nächsten kommt np ganze Zahlen ist die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen.

Es stellt sich heraus, dass die Nummer np lässt eine andere Deutung zu. Nämlich: np kann in gewissem Sinne als gesehen werden durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in n Versuchen. Wir gehen von der Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit aus. Lass uns anrufen (der Kürze halber) n- mehrmalige Wiederholung dieses Versuchs durch eine Serie. Lassen Sie uns produzieren N Serie. Lassen Sie die erste Serie ein, die es erhalten hat zu 1 Erfolg, der zweite - zu 2 , ….., hinein N-oh - zu N. Bilden Sie das arithmetische Mittel dieser Zahlen

. (4)

Gleichheit (4) ist die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in N Serie. Es stellt sich heraus, dass mit zunehmender N das angezeigte arithmetische Mittel nähert sich einem bestimmten konstanten Wert, nämlich der Zahl np.

Tatsächlich schreiben wir (4) in der Form:

. (5)

Da ist jede Serie n experimentieren, dann produzieren N Serie führen wir dieses Erlebnis einmal durch.

Geschriebener Bruch (5) mit Nenner Nn ist etwas anderes als das Verhältnis der Gesamtzahl der Erfolge in diesen Experimenten zur Anzahl aller Experimente. Mit der Erhöhung N(und deshalb Nn) nähert sich dieser Bruchteil der Zahl R- Erfolgswahrscheinlichkeit. Daher wird sich die Zahl (4) nähern Pn was erforderlich war.

Beispiel 3. Die Maschine stempelt Produkte. Wahrscheinlichkeit R Ehe eines Produkts ist gleich 0,05. Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl fehlerhafter Artikel pro Hundert?

Lösung. Die gewünschte Anzahl fehlerhafter Produkte entspricht: .

Bemerkung 1. Ein allgemeineres Schema unabhängiger Versuche kann in Erwägung gezogen werden. In Betracht ziehen n unabhängige Tests (unter verschiedenen Bedingungen) und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER("Erfolg in ich-te Erfahrung ist gleich Pi, a qi=1-Pi- Ausfallwahrscheinlichkeit ich-te Prüfung ( ich=1,2,…,n). Dann kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit Pn (k) dass die Veranstaltung ABER wird in diesen erscheinen n Experimente genau zu mal, gleich dem Koeffizienten bei zk bei der Leistungserweiterung z Funktionen

Dieses Schema unabhängiger Tests wird aufgerufen Poisson-Schema. Poissonsches Schema bei pi =p verwandelt sich in ein Bernoulli-Schema. Wahrscheinlichkeiten Pn (k) im Poisson-Schema werden nicht in kompakter Form ähnlich Formel (1) geschrieben. Aus (6) folgt beispielsweise:

Bemerkung 2. Die Bernoulli- und Poisson-Schemata können auf den Fall verallgemeinert werden, wenn es als Ergebnis jedes Experiments mehr als zwei mögliche Ergebnisse gibt ( ABER oder ), aber mehrere Ergebnisse.

Falls produziert n unabhängige Experimente (Bernoulli-Schema) und jedes Experiment haben kann zu sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeiten , dann die Wahrscheinlichkeit, dass m 1 Erlebnisereignis wird angezeigt ABER 1 in m 2 Erlebniserlebnisse ABER 2 usw., ein m k erlebt Veranstaltung A bis wird durch die Formel ausgedrückt

Unter anderen Versuchsbedingungen (Poisson-Schema), d.h.

in ich- die Veranstaltung erleben Ein j hat eine Wahrscheinlichkeit p ji(ich=1,2,…,n; j=1,2,…,k), dann die Wahrscheinlichkeit wird als Koeffizient des Terms berechnet in der Potenzerweiterung der Funktion:

Beispiel 4 Das Werk stellt Produkte her, die jeweils vier Arten von Tests unterzogen werden. Der erste Test des Produkts besteht sicher mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9; die zweite mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95; der dritte ist 0,8 und der vierte ist 0,85. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt sicher durchgeht:

EIN- alle vier Prüfungen

B- genau zwei Versuche (von vier)

C- mindestens zwei Tests (von vier)

Lösung. Unter den Bedingungen der Problemstellung werden vier unabhängige Experimente (Tests) unter verschiedenen Bedingungen durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. ABER- der Test verlief gut, jede Erfahrung ist anders. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus Formel (6)

Von hier erhalten wir:

§12. Wahrscheinlichkeiten Pn (k) für große Werte n. Ungefähre Formeln von Laplace und Poisson.

In Anwendungen ist es oft notwendig, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen Pn (k) für sehr große Werte n und k. Betrachten Sie zum Beispiel ein solches Problem.

Eine Aufgabe. In manchen Unternehmen beträgt die Heiratswahrscheinlichkeit 0,02. 500 fertige Produkte werden untersucht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 10 davon defekt sind.

Betrachtet man die Inspektion jedes Produkts als separates Experiment, können wir sagen, dass 500 unabhängige Experimente durchgeführt werden, und in jedem von ihnen ein Ereignis ABER(das Produkt hat sich als defekt herausgestellt) tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 auf, dann erhalten wir nach der Bernoulli-Formel

Die direkte Berechnung dieses Ausdrucks ist schwierig. Eine noch größere Schwierigkeit würde auftreten, wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit suchen würden, dass die Anzahl fehlerhafter Artikel unter 500 beispielsweise im Bereich von 10 bis 20 liegt. In diesem Fall müsste die Summe berechnet werden, die ist schwieriger.

Probleme dieser Art sind in Anwendungen durchaus üblich. Daher muss gesucht werden Näherungsformeln für die Wahrscheinlichkeiten P n (k), sowie für Summen der Form

(1)

im Großen und Ganzen n.

1. Ungefähre Formeln von Laplace. Sie werden für große verwendet n(in der Größenordnung von Hunderten oder Tausenden), Wahrscheinlichkeiten p oder q nicht zu nahe an 0 oder 1 (in der Größenordnung von Hundertsteln). Üblicherweise ist die Bedingung für die Anwendung dieser Näherungen die Bedingung npq>9.

a) Lokale ungefähre Laplace-Formel. Im Großen und Ganzen n faire Gleichberechtigung.

, (2)

wo ein φ (X) steht für folgende Funktion: .

Beachten Sie, dass die Funktion φ(x) tabelliert, d.h. Eine Tabelle mit seinen Werten wurde dafür zusammengestellt.

Die zweite ungefähre Laplace-Formel gibt ungefähre Werte für die Menge an -Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Vorkommen des Ereignisses ABER in n Experimente (die Anzahl der "Erfolge") werden zwischen den angegebenen Grenzen eingeschlossen zu 1 und zu 2 .

b) Integrale ungefähre Laplace-Formel. Im Großen und Ganzen n faire ungefähre Gleichheit

, (3)

wo Φ(x) bezeichnet die folgende Funktion

. (4)

Funktion Φ(x) hat die folgenden Eigenschaften, die für die Berechnung nützlich sind:

1. Φ(x)- komische Funktion: ,

2. Aufsteigend X 0 bis ∞ Funktion Φ(x) wächst von 0

bis 0,5, und schon bei X= 5 Funktionswert Φ(x)

sich von 0,5 um weniger als unterscheidet (d.h. wenn die Funktion Ф(x) fast gleich 0,5).

Beispiel 1 Eine Münze wird 100 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen genau 50 Mal vorkommt?

Lösung. Wir haben: npq= 100 · · = 25 > 9. Unter Verwendung der Näherungsformel (2) erhalten wir. . Vom Tisch zur Funktion φ(x) wir finden, dass φ(0) = 0,3989…. Von hier bekommen wir .

Beispiel 2. Vervollständigen wir die Lösung des zu Beginn dieses Abschnitts gegebenen Problems. Es war erforderlich, sowie die Wahrscheinlichkeit zu finden P 500 (10≤ zu≤20).

Lösung. In diesem Fall npq\u003d 500 0,02 0,98 \u003d 9,8. Unter Verwendung der Näherungsformeln (2) und (3) erhalten wir: ,

Kommentar. Wenn wir erfahren n mal und k- Häufigkeit des Ereignisses ABER in diesem Fall ist der Bruch dann allgemein gesprochen die relative Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses

ABER- wird in der Nähe sein R(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ABER). Wie eng diese Nähe ausfallen wird, lässt sich jedoch nicht vorhersagen.

Der Integralsatz von Laplace ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit hinreichend groß abzuschätzen n und Werte R nicht zu nahe an 0 oder 1, d.h. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses von seiner Wahrscheinlichkeit abweicht R im absoluten Wert einige nicht überschreitet. Wir haben

So bekommen wir

(5)

Die Wahrscheinlichkeit wird in diesem Fall genannt Verlässlichkeit Schätzungen und die Schätzung selbst Vertrauensbewertung Frequenzen zuverlässig.

In der Praxis ist die Zuverlässigkeit der Schätzung vorbestimmt. Dann können Sie für eine gegebene Zuverlässigkeit den entsprechenden Wert aus der Gleichung finden, indem Sie die Tabellen der Laplace-Funktion verwenden. In diesem Fall nimmt die Vertrauensschätzung mit einer gegebenen Zuverlässigkeit die Form p oder an q auf Null, daher werden in diesem Fall ungefähre Poisson-Formeln verwendet. Im Großen und Ganzen n(in der Größenordnung von Tausenden, Zehntausenden und mehr) und klein R(in der Größenordnung von Tausendsteln und weniger) gelten ungefähre Gleichheiten. Üblicherweise ist die Bedingung für die Anwendung dieser Näherungen die Bedingung npq<9.

, (7).

, (8)

wo λ=np.

Ein Merkmal der Formeln (7) und (8) besteht darin, dass es überhaupt nicht notwendig ist, sie zu kennen, um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen zu finden n und R. Alles wird durch die Zahl λ= bestimmt np, das ist (siehe §11) durchschnittliche Anzahl an Erfolgen.

Für einen Ausdruck, der als Funktion zweier Variablen betrachtet wird zu und λ werden Wertetabellen erstellt.

Beispiel 5. Der Spinner neigt zu 1000 Spindeln. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fadenbruch auf einer Spindel innerhalb einer Minute beträgt 0,004. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute fünf Spindeln brechen.

Lösung. Die Bernoulli-Formel führt zu umständlichen Berechnungen, daher verwenden wir die Poisson-Formel (7). Hier zu= 5, R =0.004, n= 1000, dann λ = np = 4.

Von hier: .

Beispiel 6. Ein 1000-seitiges Buch hat 100 Druckfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Seite mindestens vier Tippfehler enthält? BEI).

Lösung: Die durchschnittliche Anzahl an Tippfehlern pro Seite beträgt . In diesem Fall sollte die Poisson-Formel angewendet werden. Dann die Wahrscheinlichkeit p zu haben zu Tippfehler auf einer Seite werden gleich sein .

Summe R= p0 + p1 + p2 + p3 Es besteht die Möglichkeit, dass sich auf der Seite nicht mehr als drei Tippfehler befinden. Mit Tabellen (oder einem Taschenrechner) erhalten wir R= 0,999996 (in diesem Fall haben wir einen Taschenrechner verwendet, die Tabellen geben R=0,9048+0,0905+0,0045+0,0002=1). Die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf einer zufällig ausgewählten Seite mindestens vier Tippfehler befinden, ist 1- R\u003d 1-0,999996 \u003d 0,0000004 (Tabellen geben 1- R=1-1=0). Daraus kann geschlossen werden, dass das Ereignis BEI nahezu unmöglich.

Weiter oben in Abschnitt 1.4 wurden die Konzepte abhängiger und unabhängiger Ereignisse eingeführt. Das Konzept der unabhängigen Experimente oder Versuche ist mit dem Konzept der unabhängigen Ereignisse verbunden und hat eine breite Anwendung.

Experimente α 1 , α 2 , … , α n werden als unabhängig bezeichnet, wenn eine beliebige Kombination ihrer Ergebnisse eine Sammlung unabhängiger Ereignisse ist. Andernfalls, wenn mehrere wiederholt wiederholte Tests im Problem durchgeführt werden α 1 , α 2 , …, α n unter konstanten Bedingungen und bei jedem Test irgendein Ereignis ABER kann mit einiger Wahrscheinlichkeit auftreten p = p(ABER) unabhängig von anderen Tests und treten nicht mit einer Wahrscheinlichkeit auf p(Ā ), dann werden diese Tests als unabhängig bezeichnet. Dieses Schema unabhängiger Versuche wird als Bernoulli-Schema bezeichnet.

Das Programm ist nach Jacob Bernoulli benannt, dem Vorfahren einer Familie prominenter Schweizer Wissenschaftler. (Jacob B., Johann B., Nikolai B., Daniel B. und andere). Jacob Bernoulli bewies den sogenannten Satz von Bernoulli, einen wichtigen Spezialfall des Gesetzes der großen Zahlen (siehe § 3.11). Dieses Theorem bezieht sich auf die hier betrachtete Abfolge unabhängiger Versuche.

Beispiele für unabhängige Tests sind: a) mehrere ( n mal) eine Münze werfen; b) Extraktion ( n Zeiten) identisch mit den Berührungsbällen aus der Urne mit ihrer anschließenden Rückkehr; c) jede Reihe unabhängiger Tests (Experimente), bei denen die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich ist, z. B. eine Reihe von Schüssen auf ein Ziel, eine Auswahl n Details aus ihrer Gesamtheit, studieren n Gesteinsanalysen einer bestimmten Liegenschaft usw.

Im Bernoulli-Schema das Eintreten eines Ereignisses ABER mit Wahrscheinlichkeit p = p(ABER) wird bedingt als Erfolg bezeichnet, und sein Nichteintreten (entgegengesetztes Ereignis Ā ) ist ein Fehler. Die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns in jedem Experiment dieser Art ist q = 1 – p.

In der Praxis treten meist Probleme bei komplexen Veranstaltungen auf, bei denen n Experimente, die das Bernoulli-Schema ausmachen, in m Experimente ( m < n) Veranstaltung ABER kommt (d.h. endet mit Erfolg) und in ( n – m)-Experimente, tritt dieses Ereignis nicht auf (schlägt fehl). Lassen P n ( k) - bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Produktion n Erfolgserlebnisse stellen sich ein k Experimente (Erfolg stellt sich ein k einmal). Folgende Aufgabe ist gestellt: einlassennTests nach dem Bernoulli-Schema,kTests waren erfolgreich. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit findenPn(k) (lautet: „PausnPrüfungenkerfolgreich"). Diese Wahrscheinlichkeit wird durch die Bernoulli-Formel berechnet, die dem gleichnamigen Theorem entspricht.

Satz von Bernoulli. Wenn die Wahrscheinlichkeit p Veranstaltung ABER in jeder Folge n Prüfungen α 1 , α 2 , … , α n konstant, dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis ABER wird kommen k einmal und wird nicht kommen n – k mal, wird nach der Bernoulli-Formel berechnet:

P n ( k) = AUSnk p k qn-k , (2.1)

wo q = 1- p.

Nachweisen. In der Tat, lassen Sie die Ereignisse EIN Ich und Ā į – Eintritt bzw. Nichteintritt des Ereignisses ABER in į te Prüfung α ich ( ich = 1, 2, … , n). Lass auch BEI k bezeichnet ein Ereignis, das darin besteht, dass in n unabhängige Testveranstaltung ABER erschien k einmal. Bei n= 3 und k= 2 Ereignisse BEI 2 wird in Elementarereignissen ausgedrückt ABER į ( į = 1, 2, 3) nach der Formel:

BEI 2 = ABER 1 ABER 2 Ā 3 + ABER 1 Ā 2 ABER 3 + Ā 1 ABER 2 ABER 3 .

Im Allgemeinen wird die letzte Formel sein

d.h. jeder Term der Summe (2.2) entspricht dem Auftreten eines Ereignisses ABER k mal und ( n – k) Zeiten des Nichterscheinens. Die Anzahl aller Kombinationen (Terme) in (2.2) ist gleich der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten n Prüfungen k Studien, in denen das Ereignis ABER passiert, d. h. die Anzahl der Kombinationen C n k. Die Wahrscheinlichkeit jeder solchen Kombination ist nach dem Theorem der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse gleich p k × q n – k, als p(ABER į) = p, p(Ā į) = q, ich = 1,2,…,n. Aber Kombinationen in (2.2) sind inkompatible Ereignisse. Daher erhalten wir nach dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz

Somit gilt die Bernoulli-Formel

P n (k) = C n k p k q n-k .

Q.E.D.

Bemerkung 1. Das oben formulierte Theorem bezieht sich auf den Fall, wenn in jedem Versuch die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermittelt wird ABER Konstante. Dann um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen P n ( k) gilt die Bernoulli-Formel (2.1). Wenn die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses ABER in Studien α 1 , α 2 , … , α n anders, d.h. Wahrscheinlichkeiten bilden die Werte p 1 , p 2 , … , p n , dann gilt statt (2.1) die Formel:

Bemerkung 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass in n Versuche, die nach dem Bernoulli-Schema durchgeführt werden, werden Erfolg bringen k 1 zu k 2 Mal , wird nach der Formel P n ( k)) für bestimmte Werte n und p. Seit dem Streit k nimmt nur ganzzahlige Werte an, der Graph wird als Punkte auf der Ebene dargestellt ( k, P n ( k)). Zur Verdeutlichung sind die Punkte durch eine gestrichelte Linie verbunden, und ein solcher Graph wird aufgerufen Verteilungspolygon(Abb.2.1). Bei p = 0,5, n= 6, wie in Abbildung 2.1 gezeigt, ist das Polygon symmetrisch um die Linie x = np(wenn p nahe 0,5, dann ist das Polygon nahezu symmetrisch). Bei klein p das Polygon ist signifikant asymmetrisch, und am wahrscheinlichsten sind Frequenzen nahe Null. Abbildung 2.2 zeigt das Verteilungspolygon für p= 0,2 mit der Anzahl der Versuche n= 6. Für große p nahe 1, die wahrscheinlichsten Maximalwerte. Auf Abb. 2.3 zeigt das Verbreitungsgebiet, z p= 0,8 und n= 6.

Reis. 2.3.