Die Begriffe „Polynom“ und „Faktorisierung eines Polynoms“ sind in der Algebra sehr verbreitet, da man sie kennen muss, um Berechnungen mit großen mehrwertigen Zahlen problemlos durchführen zu können. In diesem Artikel werden mehrere Dekompositionsmethoden beschrieben. Alle von ihnen sind recht einfach zu bedienen, Sie müssen nur jeweils die richtige auswählen.

Das Konzept eines Polynoms

Ein Polynom ist die Summe von Monomen, also Ausdrücken, die nur die Multiplikationsoperation enthalten.

Zum Beispiel ist 2 * x * y ein Monom, aber 2 * x * y + 25 ist ein Polynom, das aus 2 Monomen besteht: 2 * x * y und 25. Solche Polynome werden Binome genannt.

Manchmal muss der Ausdruck zum bequemen Lösen von Beispielen mit mehrwertigen Werten transformiert werden, beispielsweise in eine bestimmte Anzahl von Faktoren zerlegt werden, dh Zahlen oder Ausdrücke, zwischen denen die Multiplikationsoperation durchgeführt wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Polynom zu faktorisieren. Es lohnt sich, sie ausgehend von den primitivsten zu betrachten, die sogar in Grundschulklassen verwendet werden.

Gruppierung (allgemeiner Eintrag)

Die Formel zum Zerlegen eines Polynoms in Faktoren nach der Gruppierungsmethode sieht im Allgemeinen so aus:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Es ist notwendig, die Monome so zu gruppieren, dass in jeder Gruppe ein gemeinsamer Faktor auftritt. In der ersten Klammer ist dies der Faktor c und in der zweiten - d. Dies muss getan werden, um es dann aus der Halterung zu nehmen, wodurch die Berechnungen vereinfacht werden.

Zerlegungsalgorithmus an einem konkreten Beispiel

Das einfachste Beispiel für die Faktorisierung eines Polynoms in Faktoren mit der Gruppierungsmethode ist unten angegeben:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

In der ersten Klammer müssen Sie die Terme mit dem Faktor a nehmen, der üblich ist, und in der zweiten - mit dem Faktor b. Achten Sie im fertigen Ausdruck auf die Zeichen + und -. Wir setzen vor das Monom das Vorzeichen, das im Anfangsausdruck stand. Das heißt, Sie müssen nicht mit dem Ausdruck 25a arbeiten, sondern mit dem Ausdruck -25. Das Minuszeichen wird sozusagen an den Ausdruck dahinter „geklebt“ und bei Berechnungen immer berücksichtigt.

Im nächsten Schritt müssen Sie den Faktor, der üblich ist, aus der Klammer herausnehmen. Dafür ist die Gruppierung da. Aus der Klammer herausnehmen bedeutet, vor der Klammer (unter Weglassen des Multiplikationszeichens) all jene Faktoren auszuschreiben, die sich in allen Termen, die in der Klammer stehen, genau wiederholen. Stehen nicht 2, sondern 3 oder mehr Terme in der Klammer, muss der gemeinsame Teiler in jedem davon enthalten sein, sonst darf er nicht aus der Klammer genommen werden.

In unserem Fall nur 2 Begriffe in Klammern. Der Gesamtmultiplikator ist sofort sichtbar. Die erste Klammer ist a, die zweite ist b. Hier müssen Sie auf die digitalen Koeffizienten achten. In der ersten Klammer sind beide Koeffizienten (10 und 25) Vielfache von 5. Das bedeutet, dass nicht nur a, sondern auch 5a geklammert werden kann. Schreiben Sie vor der Klammer 5a aus und dividieren Sie dann jeden der Terme in Klammern durch den herausgenommenen gemeinsamen Teiler, und schreiben Sie auch den Quotienten in Klammern, ohne die Zeichen + und - zu vergessen. Machen Sie dasselbe mit der zweiten Klammer , nimm 7b heraus, da 14 und 35 ein Vielfaches von 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Es stellten sich 2 Terme heraus: 5a (2c - 5) und 7b (2c - 5). Jeder von ihnen enthält einen gemeinsamen Faktor (der gesamte Ausdruck in Klammern ist hier derselbe, was bedeutet, dass es sich um einen gemeinsamen Faktor handelt): 2c - 5. Es muss auch aus der Klammer genommen werden, dh die Terme 5a und 7b bleiben in der zweiten Klammer:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Der vollständige Ausdruck lautet also:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Somit wird das Polynom 10ac + 14bc - 25a - 35b in 2 Faktoren zerlegt: (2c - 5) und (5a + 7b). Das Multiplikationszeichen dazwischen kann beim Schreiben weggelassen werden

Manchmal gibt es Ausdrücke dieser Art: 5a 2 + 50a 3, hier kann man nicht nur a oder 5a einklammern, sondern sogar 5a 2. Man sollte immer versuchen, den größtmöglichen gemeinsamen Teiler aus der Klammer zu nehmen. Wenn wir in unserem Fall jeden Term durch einen gemeinsamen Faktor dividieren, erhalten wir:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(bei der Berechnung des Quotienten mehrerer Potenzen mit gleicher Basis wird die Basis beibehalten und der Exponent subtrahiert). Somit bleibt man in der Klammer (auf keinen Fall vergessen eine zu schreiben, wenn man einen der Terme ganz aus der Klammer nimmt) und der Quotient der Division: 10a. Es stellt sich heraus, dass:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Quadratische Formeln

Zur Vereinfachung der Berechnungen wurden mehrere Formeln abgeleitet. Sie werden reduzierte Multiplikationsformeln genannt und werden ziemlich oft verwendet. Diese Formeln helfen bei der Faktorisierung von Polynomen, die Potenzen enthalten. Dies ist eine weitere leistungsstarke Methode zur Faktorisierung. Hier sind sie also:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - die Formel, die als "Quadrat der Summe" bezeichnet wird, da durch die Erweiterung in ein Quadrat die Summe der in Klammern eingeschlossenen Zahlen gebildet wird, dh der Wert dieser Summe wird zweimal mit sich selbst multipliziert, was bedeutet, dass es ein Multiplikator ist.
• a2 + 2ab - b2 = (a - b) 2 - die Formel des Quadrats der Differenz, sie ist der vorherigen ähnlich. Das Ergebnis ist eine in Klammern eingeschlossene Differenz, die in einer Quadratpotenz enthalten ist.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- Dies ist die Formel für die Differenz von Quadraten, da das Polynom zunächst aus 2 Quadraten von Zahlen oder Ausdrücken besteht, zwischen denen eine Subtraktion durchgeführt wird. Es ist vielleicht das am häufigsten verwendete der drei.

Beispiele für die Berechnung nach Quadratformeln

Berechnungen auf ihnen sind ganz einfach. Zum Beispiel:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - Verwenden Sie die Formel "Quadrat der Summe".
2. 25x 2 ist das Quadrat von 5x. 20xy ist das Doppelte des Produkts von 2*(5x*2y) und 4y 2 ist das Quadrat von 2y.
3. Also 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Dieses Polynom wird in 2 Faktoren zerlegt (die Faktoren sind gleich, daher wird es als Ausdruck mit quadratischer Potenz geschrieben).

Operationen nach der Formel des Differenzquadrats werden ähnlich wie diese durchgeführt. Was bleibt, ist die Quadratdifferenzformel. Beispiele für diese Formel sind sehr einfach zu identifizieren und unter anderen Ausdrücken zu finden. Zum Beispiel:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Seit 25a 2 \u003d (5a) 2 und 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Seit 36x 2 \u003d (6x) 2 und 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Da 169b 2 = (13b) 2

Es ist wichtig, dass jeder der Terme das Quadrat eines Ausdrucks ist. Dann ist dieses Polynom durch die Quadratdifferenzformel zu faktorisieren. Dazu ist es nicht erforderlich, dass die zweite Potenz über der Zahl steht. Es gibt Polynome, die große Potenzen enthalten, aber dennoch für diese Formeln geeignet sind.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

In diesem Beispiel kann eine 8 als (a 4) 2 dargestellt werden, also als Quadrat eines bestimmten Ausdrucks. 25 ist 5 2 und 10a ist 4 - dies ist das doppelte Produkt der Terme 2*a 4 *5. Das heißt, dieser Ausdruck kann trotz des Vorhandenseins von Graden mit großen Exponenten in 2 Faktoren zerlegt werden, um später damit zu arbeiten.

Würfelformeln

Dieselben Formeln existieren zum Faktorisieren von Polynomen, die Würfel enthalten. Sie sind etwas komplizierter als die mit Quadraten:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- Diese Formel wird Würfelsumme genannt, da das Polynom in seiner ursprünglichen Form die Summe zweier Ausdrücke oder Zahlen ist, die in einem Würfel eingeschlossen sind.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - Eine Formel, die mit der vorherigen identisch ist, wird als Differenz von Kubikzahlen bezeichnet.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - Summenwürfel, als Ergebnis von Berechnungen wird die Summe von Zahlen oder Ausdrücken erhalten, in Klammern eingeschlossen und dreimal mit sich selbst multipliziert, dh im Würfel lokalisiert
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Die Formel, die analog zur vorherigen mit einer Änderung nur einiger Vorzeichen mathematischer Operationen (Plus und Minus) zusammengestellt wurde, wird als "Differenzwürfel" bezeichnet.

Die letzten beiden Formeln werden praktisch nicht zum Faktorisieren eines Polynoms verwendet, da sie komplex sind und es ziemlich selten Polynome gibt, die genau einer solchen Struktur vollständig entsprechen, so dass sie nach diesen Formeln zerlegt werden können. Aber Sie müssen sie trotzdem kennen, da sie für Aktionen in die entgegengesetzte Richtung benötigt werden - beim Öffnen von Klammern.

Beispiele für Würfelformeln

Betrachten Sie ein Beispiel: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Wir haben hier ziemlich Primzahlen genommen, sodass Sie sofort sehen können, dass 64a 3 (4a) 3 und 8b 3 (2b) 3 ist. Somit wird dieses Polynom durch die Formel Differenz von Kubikzahlen in 2 Faktoren erweitert. Aktionen auf der Formel der Würfelsumme werden analog ausgeführt.

Es ist wichtig zu verstehen, dass nicht alle Polynome auf mindestens eine der Arten zerlegt werden können. Aber es gibt solche Ausdrücke, die größere Potenzen enthalten als ein Quadrat oder ein Würfel, aber sie können auch zu abgekürzten Multiplikationsformen erweitert werden. Zum Beispiel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Dieses Beispiel enthält bis zu 12 Grad. Aber auch das lässt sich mit der Würfelsummenformel faktorisieren. Dazu müssen Sie x 12 als (x 4) 3 darstellen, also als Würfel mit einem bestimmten Ausdruck. Jetzt müssen Sie es anstelle von a in der Formel ersetzen. Nun, der Ausdruck 125y 3 ist die dritte Potenz von 5y. Der nächste Schritt besteht darin, die Formel zu schreiben und die Berechnungen durchzuführen.

Zunächst oder im Zweifelsfall können Sie immer durch umgekehrte Multiplikation prüfen. Sie müssen nur die Klammern im resultierenden Ausdruck öffnen und Aktionen mit ähnlichen Begriffen ausführen. Diese Methode gilt für alle oben genannten Reduktionsmethoden: sowohl für die Arbeit mit einem gemeinsamen Faktor und Gruppierung als auch für Operationen mit den Formeln von Kubik- und Quadratpotenzen.

Der Zweck der Lektion:  die Bildung der Fähigkeit, ein Polynom auf verschiedene Weise in Faktoren zu zerlegen;  Genauigkeit, Ausdauer, Fleiß und die Fähigkeit, in Paaren zu arbeiten, zu kultivieren. Ausstattung: Multimedia-Projektor, PC, didaktisches Material. Stundenplan: 1. Organisatorischer Moment; 2. Überprüfung der Hausaufgaben; 3. Mündliche Arbeit; 4. Neues Material lernen; 5. Leibeserziehung; 6. Konsolidierung des studierten Materials; 7. Arbeiten Sie paarweise; 8. Hausaufgaben; 9. Zusammenfassung. Ablauf der Lektion: 1. Organisatorischer Moment. Weisen Sie die Schüler der Lektion zu. Bildung besteht nicht in der Menge an Wissen, sondern im vollen Verständnis und der geschickten Anwendung von allem, was man weiß. (Georg Hegel) 2. Kontrolle der Hausaufgaben. Analyse von Aufgaben, bei deren Lösung die Schüler Schwierigkeiten hatten. 3. Mündliche Arbeit.  faktorisieren: 1) 2) 3) ; vier).  Stellen Sie eine Entsprechung zwischen den Ausdrücken der linken und rechten Spalte her: a. 1.b. 2. c. 3. T. 4. T. 5. .  Lösen Sie die Gleichungen: 1. 2. 3. 4. Neues Material lernen. Um Polynome zu faktorisieren, haben wir Klammern, Gruppierungen und abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet. Manchmal ist es möglich, ein Polynom zu faktorisieren, indem man mehrere Methoden nacheinander anwendet. Beginnen Sie die Umformung möglichst damit, dass Sie den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnehmen. Um solche Beispiele erfolgreich zu lösen, versuchen wir heute, einen Plan für deren konsequente Anwendung zu entwickeln.

150.000₽ Preisgeld 11 Ehrenurkunden Nachweis der Veröffentlichung in den Medien

UNTERRICHTSPLAN Algebra-Unterricht in der 7. Klasse

Lehrerin Prilepova O.A.

Unterrichtsziele:

Zeigen Sie die Anwendung verschiedener Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms

Wiederholen Sie die Methoden der Faktorisierung und festigen Sie Ihr Wissen in den Übungen

Entwicklung der Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler bei der Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln.

Entwickeln Sie das logische Denken und Interesse der Schüler am Fach.

Aufgaben:

in die Richtung persönliche Entwicklung:

Entwicklung des Interesses an mathematischer Kreativität und mathematischen Fähigkeiten;

Entwicklung von Eigeninitiative, Aktivität bei der Lösung mathematischer Probleme;

Kultivieren der Fähigkeit, unabhängige Entscheidungen zu treffen.

in Richtung Metasubjekt :

Bildung allgemeiner Wege intellektueller Aktivität, die für die Mathematik charakteristisch sind und die Grundlage der kognitiven Kultur bilden;

Einsatz von IKT-Technologie;

im Themenbereich:

Beherrschung der mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten, die für die Fortsetzung der Ausbildung erforderlich sind;

Bildung bei Schülern die Fähigkeit, nach Möglichkeiten zu suchen, ein Polynom zu faktorisieren und sie für ein Polynom zu finden, das faktorisiert wird.

Ausrüstung:Handreichungen, Streckenblätter mit Bewertungskriterien,Multimedia-Projektor, Präsentation.

Unterrichtsart:Wiederholung, Verallgemeinerung und Systematisierung des behandelten Materials

Arbeitsformen:Arbeit in Paaren und Gruppen, individuell, kollektiv,selbstständiges, frontales Arbeiten.

Während des Unterrichts:

Stufen	Planen		UUD
Org-Moment.	Aufteilung in Gruppen und Paare: Die Schüler wählen einen Mitschüler nach folgendem Kriterium aus: Mit diesem Mitschüler kommuniziere ich am wenigsten. Psychische Stimmung: Wählen Sie ein Emoticon Ihrer Wahl (die Stimmung zu Beginn der Unterrichtsstunde) und schauen Sie darunter auf die Note, die Sie heute in der Unterrichtsstunde erhalten möchten (FOLIE). - Tragen Sie in das Notizbuch am Rand die Note ein, die Sie heute im Unterricht erhalten möchten. Ihre Ergebnisse tragen Sie in der Tabelle (FOLIE) ein. Übung gesamt Klasse Evaluationskriterien: 1. Ich habe alles richtig gelöst, ohne Fehler - 5 2. Beim Lösen habe ich 1 bis 2 Fehler gemacht - 4 3. Beim Lösen 3 bis 4 Fehler gemacht - 3 4. Beim Lösen mehr als 4 Fehler gemacht - 2		Neue Ansätze in der Lehre (Dialog)
Aktualisierung.	Kollektive Arbeit. - Heute im Unterricht können Sie Ihr Wissen unter Beweis stellen, an der gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle Ihrer Aktivitäten teilnehmen Spiel (FOLIE): Achten Sie auf der nächsten Folie auf die Ausdrücke, was fällt Ihnen auf? (GLEITEN) 15x3y2 + 5x2y Herausnehmen des gemeinsamen Multiplikators aus Klammern p 2 + pq - 3 p -3 q Gruppierungsmethode 16m2 - 4n2 Abgekürzte Multiplikationsformel Wie lassen sich diese Aktionen in einem Wort vereinen? (Methoden zur Entwicklung von Polynomen) Erklärung der Schüler zu Thema und Zweck der Unterrichtsstunde als eigene Lernaufgabe (FOLIE). Lassen Sie uns auf dieser Grundlage das Thema unserer Lektion formulieren und Ziele festlegen. Fragen für Studierende: Nennen Sie das Thema der Lektion; Formulieren Sie den Zweck der Lektion; Jeder hat Karten mit dem Namen der Formeln. (Partnerarbeit). Geben Sie allen Formeln Formeln
Anwendung von Wissen	Partnerarbeit. Überprüfung der Folie 1. Wählen Sie die richtige Antwort (FOLIE). Karten: Übung Antworten (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5y-7)2= 25y2+49-70y 25u2-49-70u 25y2+49+70 x2-16y2= (x-4y)(x+4y) (x-16y)(x+16y) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2+в2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. Fehler finden (FOLIE): Karten Nr. Überprüfung der Folie 1 Paar: Ö ( b- j)2 = b2 - 4 by+y2 Ö 49-c2=(49-c)(49+) 2 Paar: Ö (r- 10) 2=r2- 20r+10 Ö (2a+1)2=4a2+2a+1 3 Paar: Ö (3y+1)2=9y+6y+1 Ö ( b- a) 2 =b²- 4ba+a2 4 Paar: Ö x²- 25= ( x-25)( 25+x) Ö (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a²	Bildung nach Altersmerkmalen
	3. Jedes Paar erhält Aufgaben und eine begrenzte Zeit, um sie zu lösen (FOLIE) Wir überprüfen die Antwortkarten 1. Folgen Sie den Schritten: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Faktorisiere: a) ; b) ; in 2 x - ein 2 y - 2 ein 2 x + y 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) bei p = 5.		Management und Führung
	4. Gruppenarbeit. Sehen Sie, machen Sie keinen Fehler (SLIDE). Karten. Lassen Sie uns die Folie überprüfen. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2m)²=9+…+4m² (n + 2v)²= n²+…+4v²		Kritisches Denken lehren. Management und Führung
	5. Gruppenarbeit (Beratung zur Lösung, Besprechung von Aufgaben und deren Lösungen) Jedes Gruppenmitglied erhält Aufgaben der Stufen A, B, C. Jedes Gruppenmitglied wählt für sich eine machbare Aufgabe aus. Karten. (Folie) Kontrolle mit Antwortkarten Stufe A 1. Faktorisiere es heraus: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Gehen Sie wie folgt vor: a) (x - 3) (x + 3); b) (x - 3)2; c) x (x - 4). Stufe B 1. Vereinfache: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Berechnen Sie: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Stufe C 1. Lösen Sie die Gleichung: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Lösen Sie die Gleichung: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Talentierte und Begabte lehren
Zusammenfassung der Lektion	- Fassen wir zusammen, wir werden Schätzungen gemäß den Ergebnissen der Tabelle ableiten. Vergleichen Sie Ihre Punktzahl mit Ihrer geschätzten Punktzahl. Wählen Sie das Emoticon, das Ihrer Bewertung entspricht (SLIDE). c) die Lehrkraft bewertet die Arbeit der Klasse (Tätigkeit, Wissensstand, Fertigkeiten, Selbstorganisation, Fleiß) Eigenständiges Arbeiten in Form eines Tests mit RESERVE-Check		Bewertung für das Lernen und Bewertung für das Lernen
Hausaufgaben	Fahre fort, abgekürzte Multiplikationsformeln zu unterrichten.
Betrachtung	Leute, hört euch bitte das Gleichnis an: (FOLIE) Ein Weiser ging, und drei Leute kamen ihm entgegen, die Karren mit sich trugen Steine ​​für den Bau des Tempels. Der Weise blieb stehen und fragte jeden Frage. Der erste fragte: - Was hast du den ganzen Tag gemacht? Und er antwortete mit einem Grinsen, dass er den ganzen Tag verfluchte Steine ​​getragen habe. Der zweite fragte: „Und was hast du den ganzen Tag gemacht? ” Und er antwortete: „Ich habe meine Arbeit gewissenhaft gemacht.“ Und der dritte lächelte ihn an, sein Gesicht leuchtete vor Freude und Vergnügen, und antwortete: „A Ich war am Bau des Tempels beteiligt.“ Was ist dein Tempel? (Wissen) Leute! Wer hat seit der ersten Person gearbeitet? (Emoticons anzeigen) (Ergebnis 3 oder 2) (FOLIE) Wer hat nach Treu und Glauben gearbeitet? (Punktzahl 4) Und wer war am Bau des Tempels des Wissens beteiligt? (Punktzahl 5)		Training für kritisches Denken

• Ausbildung von Fähigkeiten zur Anwendung verschiedener Methoden zur Faktorisierung.
• Tragen Sie zur Bildung einer Sprachkultur, Genauigkeit der Aufzeichnung, Unabhängigkeit bei.
• Bildung von Fähigkeiten der partiellen Suchtätigkeit: sich des Problems bewusst zu sein, zu analysieren, Schlussfolgerungen zu ziehen.

Ausstattung: Lehrbuch, Tafel, Heft, Aufgabenkarten.

Unterrichtstyp: Unterricht zur Anwendung von ZUN.

Lehrmethode: problematisch, teilweise explorativ.

Organisationsform der Bildungsaktivitäten: Gruppe, frontal, individuell, Paararbeit.

Dauer: 1 Lektion (45 min)

Unterrichtsplan:

1. Organisation des Unterrichtsbeginns. (1 Minute)
2. Überprüfung der Hausaufgaben. (2 Minuten)
3. Aktualisierung. (5 Minuten)
4. Neues Material lernen. (10 Minuten)
5. Konsolidierung von neuem Material. (15 Minuten)
6. Kontrolle und Selbstprüfung des Wissens. (8 Minuten)
7. Zusammenfassend. (2 Minuten)
8. Hausaufgaben. (2 Minuten)

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment

Hallo Leute.

Das Thema der Lektion ist „Anwendung verschiedener Methoden zur Faktorisierung“. Heute werden wir die Fähigkeiten zur Anwendung verschiedener Methoden der Faktorisierung erlernen und uns erneut von der Nützlichkeit der Fähigkeit, ein Polynom zu faktorisieren, überzeugen.

Ich wünsche Ihnen eine aktive Mitarbeit im Unterricht. (Schreiben Sie das Thema in ein Notizbuch).

II. Überprüfung der Hausaufgaben

Vor Unterrichtsbeginn geben die Schülerinnen und Schüler Hefte mit erledigten Hausaufgaben zur Kontrolle ab. Probleme, die Schwierigkeiten verursacht haben, werden besprochen.

III. Aktualisierung des Grundwissens.

Bevor wir mit der Lösung von Problemen beginnen, prüfen wir, wie bereit wir dafür sind. Erinnern wir uns, was wir über das Thema der Lektion wissen.

3.1. Umfrage vorne:

a) Was bedeutet es, ein Polynom zu faktorisieren?
b) Welche grundlegenden Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms kennen Sie?
c) Jedes Polynom kann faktorisiert werden? Zum Beispiel?
d) Bei welchen Aufgaben ist die Faktorisierung manchmal sinnvoll?

3.2. Zeichnen Sie Linien, um die Polynome mit ihren entsprechenden Faktorisierungsmethoden zu verbinden.

3.3. Finden Sie die falsche Aussage:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2mn - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 = (p - t) 2

d) 25 - 16 s 2 = (5 - 4 s) (5 - 4 s) (Fehler b, d)

3.4. Als Produkt präsentieren: a) 64 x 2 - 1; b) (d-3) 2-36;

3.5. Löse die Gleichung x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks 34 2 – 24 2 (580)

IV. Studium des Stoffes

Um Polynome zu faktorisieren, haben wir Klammern, Gruppierungen und abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet.

Was denken Sie, gibt es Situationen, in denen es möglich ist, ein Polynom zu faktorisieren, indem man nacheinander mehrere Methoden anwendet?

Die folgende Aufgabe hilft uns, die Antwort auf diese Frage zu finden:

Faktorisiere das Polynom und gib an, welche Methoden in diesem Fall verwendet wurden. ( Arbeiten Sie zu zweit mit der anschließenden Lösung an der Tafel)

Beispiel 1. 9x 3 - 36x verwendet 2 Methoden:

Beispiel 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 verwendet 2 Methoden:

• Gruppierung;
• Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln.

Beispiel 3. y 3 - 3y 2 + 6y - 18 verwendete 3 Methoden:

• Gruppierung;
• Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln;
• indem man den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnimmt.

Beispiel 4. x 3 + 3x 2 + 2x auf 3 Arten verwendet:

• Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus Klammern;
• vorläufige Transformation;
• Gruppierung.

Wir schließen: Manchmal ist es möglich, ein Polynom zu faktorisieren, indem man nacheinander mehrere Methoden anwendet. Um solche Beispiele erfolgreich zu lösen, entwickeln wir heute einen Plan für deren konsequente Anwendung:

1. Nimm den gemeinsamen Teiler aus der Klammer (falls vorhanden).
2. Versuchen Sie, das Polynom mit den abgekürzten Multiplikationsformeln zu faktorisieren.
3. Versuchen Sie, die Gruppierungsmethode anzuwenden (wenn die vorherigen Methoden nicht zum Ziel geführt haben).

V. Übungen zur Vertiefung des genannten Themas

5.1. Die Kombination verschiedener Faktorisierungsmethoden ermöglicht es Ihnen, arithmetische Berechnungen einfach und elegant durchzuführen und Gleichungen der Form ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) zu lösen (solche Gleichungen werden als quadratisch bezeichnet, wir werden sie in Klasse 8 untersuchen ).

* Lösen Sie die Gleichung: a) x 2 - 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

Hinweis: Einige Terme des Polynoms werden in die notwendigen Terme zerlegt oder durch Hinzufügung eines Terms ergänzt. Im letzteren Fall wird, damit sich das Polynom nicht ändert, derselbe Term davon subtrahiert.

(Zwei Schüler lösen selbstständig Gleichungen in einem Heft. Antwort: a) 8; 9; b) - 1; - 5).

Vervollständigen Sie die Übung aus dem Lehrbuch Nr. 1016 (c), 1017 (c), S. 186

(Zwei Schüler entscheiden an der Tafel, der Rest nach den Möglichkeiten im Heft).

5.2. Gleichungen lösen ( Schüler arbeiten in Zweiergruppen mit anschließender Selbstkontrolle)

Nr. 949, S.177 a) x 3 - x = 0 b) 9x - x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (Individuelle Aufgaben für besser vorbereitete Schüler)

Karte 1	Karte 2	Karte 3
Lösen Sie die Gleichung und schreiben Sie die Summe der Wurzeln x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Lösen Sie die Gleichung und schreiben Sie die Summe der Wurzeln

x(x+3) +2(3+x) =0 die Summe ist -5

Die Summe der Wurzeln dieser Gleichung:

Die Summe der Wurzeln der Gleichung:.

VI. Kontrolle und Selbstprüfung des Wissens.

Das behandelte Thema ist ein fester Bestandteil des GIA in Mathematik. Um das Wissen zu diesem Thema zu kontrollieren und selbst zu testen, werden Sie eingeladen, Testaufgaben aus den GIA-Trainingsaufgaben zu bearbeiten. Kreisen Sie Ihre Antwort auf die Testfragen ein.

Individuelle Arbeit an Karten: (Schüler führen GIA-Testaufgaben durch, + Selbsttest)

Welche dieser Ausdrücke sind identisch gleich 4x-10y 2(2x-5y) -2(5y-2x) -10y-4x -10y+4x? a) 1, 3; b) alle; c) 1;2;4; Unterdrückung	Welche dieser Ausdrücke sind identisch gleich - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3y 3(2a-y) 3u-6a? und alles; b) 2; j) 2;3; c)1;4	Welche dieser Ausdrücke sind identisch gleich -6a + 12p -6(a-2p) 12r-6a 6(-a+2p) -6(-p+a) ? a) 1; überhaupt; c) 2;4; d)1;3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. a) (a-1) (3a 2 +5); b) (a + 1) (3a 2 -5); c) (a-1) (5-3a 2); e) (a-1) (3a 2 +5).	Als Produkt von Polynomen ausdrücken 13ah-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6)(4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Als Produkt von Polynomen ausdrücken by-6b-5ó 2 +30ó. a) (6-j) (b-5j); b) (y -6) (b + 5y); c) (y-6)(b-5y); d) (y -6) (5y - b).
Folgen Sie den Schritten: (5a-c) 2 . a) 25a 2 + 10ac + s 2; b) 25a 2 + 10ac-c 2; p) 25a 2 -10ac + c 2; d) 25a 2 -5ac + s 2.	Gehen Sie wie folgt vor: (5x + 2y) 2 . a) 25x2 + 20xy + 4y2; Erfolg

Lehrer: Lassen Sie uns die Antworten überprüfen. Lesen Sie die Wörter, die Sie haben. Das sind genau die Worte, die Siebtklässler bei der Vorbereitung auf das GIA in der 9. Klasse begleiten.

VII. Zusammenfassung der Lektion

Der Lehrer führt eine frontale Überprüfung der Hauptphasen des Unterrichts durch, bewertet die Arbeit der Schüler und orientiert die Schüler bei den Hausaufgaben.

VIII. Hausaufgaben: 38, Nr. 950 (S. 177), Nr. 1016 (g), 1017 (g), S. 186.

** Finden Sie den Wert des Ausdrucks (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 bei x=100.

Der Wert dieses Ausdrucks hängt nicht von der Wahl von x ab.

Der Unterricht ist vorbei. Vielen Dank für die Lektion und denken Sie daran, dass Wissen, das nicht täglich aufgefüllt wird, jeden Tag abnimmt.

Gebrauchte Bücher:

1. Lehrbuch "Algebra Klasse 7". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk und andere Ed. S.A. Teljakowski. - M.; Aufklärung, 2009.
2. Sammlung von Testaufgaben zur thematischen und abschließenden Kontrolle. Algebra 7. I.L. Guseva und andere - M.; Intellektzentrum, 2009.
3. Staatliches Abschlusszeugnis (nach neuem Formular): Note 9. Thematische Trainingsaufgaben. Algebra / FIPI Autor-Compiler: V.L. Kuznetsova. – M.: Eksmo, 2010.

Abschnitte: Mathe

Unterrichtsart:

• nach der Dirigiermethode - eine praktische Lektion;
• für den didaktischen Zweck - eine Lektion in der Anwendung von Wissen und Fähigkeiten.

Ziel: bilden die Fähigkeit, ein Polynom zu faktorisieren.

Aufgaben:

• Didaktisch: Kenntnisse, Fähigkeiten der Studierenden systematisieren, erweitern und vertiefen, verschiedene Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms in Faktoren anwenden. Die Fähigkeit zu bilden, die Zerlegung eines Polynoms in Faktoren durch eine Kombination verschiedener Techniken anzuwenden. Umsetzung von Kenntnissen und Fähigkeiten zum Thema: „Zerlegung eines Polynoms in Faktoren“, um Aufgaben auf grundlegendem Niveau und Aufgaben mit erhöhter Komplexität zu erledigen.
• Lehrreich: geistige Aktivität durch das Lösen von Problemen verschiedener Art zu entwickeln, zu lernen, die rationalsten Lösungsansätze zu finden und zu analysieren, zur Bildung der Fähigkeit beizutragen, die untersuchten Fakten zu verallgemeinern, seine Gedanken klar und deutlich auszudrücken.
• Lehrreich: Fähigkeiten zur Selbstständigkeit und Teamarbeit entwickeln, Selbstbeherrschungsfähigkeiten.

Arbeitsmethoden:

• verbal;
• visuell;
• praktisch.

Unterrichtsausstattung: interaktives Whiteboard oder Overhead-Scope, Tabellen mit abgekürzten Multiplikationsformeln, Anleitung, Handout für Gruppenarbeiten.

Unterrichtsstruktur:

1. Zeit organisieren. 1 Minute
2. Formulierung des Themas, der Ziele und Ziele der Unterrichtspraxis. 2 Minuten
3. Überprüfung der Hausaufgaben. 4 Minuten
4. Aktualisierung der Grundkenntnisse und Fähigkeiten der Schüler. 12 Minuten
5. Fiskultminutka. 2 Minuten
6. Anleitung zur Erledigung der Aufgaben des Workshops. 2 Minuten
7. Aufgaben in Gruppen erledigen. 15 Minuten
8. Überprüfung und Besprechung der Aufgabenerfüllung. Arbeitsanalyse. 3 Minuten
9. Hausaufgaben machen. 1 Minute
10. Aufgaben reservieren. 3 Minuten

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment

Der Lehrer überprüft die Bereitschaft des Klassenzimmers und der Schüler für den Unterricht.

2. Formulierung des Themas, der Ziele und Ziele der Unterrichtspraxis

• Nachricht über die letzte Lektion zum Thema.
• Motivation der Bildungstätigkeit der Schüler.
• Formulieren des Ziels und Festlegen der Unterrichtsziele (gemeinsam mit den Schülern).

3. Überprüfung der Hausaufgaben

An der Tafel sind Beispiele für das Lösen der Hausaufgaben Nr. 943 (a, c); Nr. 945 (c, d). Die Proben wurden von den Schülern der Klasse hergestellt. (Diese Gruppe von Schülern wurde in der vorherigen Stunde identifiziert, sie haben ihre Entscheidung in der Pause formalisiert). Die Schüler bereiten sich darauf vor, die Lösungen zu „verteidigen“.

Lehrer:

Überprüft die Hausaufgaben in den Schülerheften.

Lädt die Schüler der Klasse ein, die Frage zu beantworten: „Welche Schwierigkeiten hat die Aufgabe verursacht?“.

Bietet an, seine Lösung mit der Lösung an der Tafel zu vergleichen.

Lädt die Schüler an der Tafel ein, die Fragen zu beantworten, die die Schüler im Feld hatten, als sie die Proben überprüften.

Er kommentiert die Antworten der Studierenden, ergänzt die Antworten, erklärt (falls nötig).

Fasst Hausaufgaben zusammen.

Studenten:

Präsentieren Sie dem Lehrer die Hausaufgaben.

Wechseln Sie die Notizbücher (zu zweit) und überprüfen Sie sich gegenseitig.

Beantworte die Frage des Lehrers.

Überprüfen Sie Ihre Lösung anhand von Mustern.

Sie treten als Gegner auf, machen Ergänzungen, Korrekturen, schreiben eine andere Methode auf, wenn die Lösungsmethode im Heft von der Methode an der Tafel abweicht.

Bitten Sie die Schüler, den Lehrer um die notwendigen Erklärungen.

Finden Sie Wege, um die Ergebnisse zu überprüfen.

Beteiligen Sie sich an der Bewertung der Qualität der Aufgaben an der Tafel.

4. Aktualisierung der grundlegenden Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler

1. Mündliche Arbeit

Lehrer:

Beantworten Sie die Fragen:

1. Was bedeutet es, ein Polynom zu faktorisieren?
2. Wie viele Zerlegungsmethoden kennen Sie?
3. Wie heissen sie?
4. Was ist am häufigsten?

2. Polynome werden an die Tafel geschrieben:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Lehrer lädt die Schüler ein, die Polynome Nr. 1-3 zu faktorisieren:

• Option I - durch Herausnehmen eines gemeinsamen Faktors;
• Option II – Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln;
• III-Variante - durch Gruppierung.

Einem Schüler wird angeboten, das Polynom Nr. 4 zu faktorisieren (eine individuelle Aufgabe mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad, die Aufgabe wird im Format A 4 bearbeitet). Dann erscheint eine Musterlösung für die Aufgaben Nr. 1-3 (vom Lehrer erledigt), eine Musterlösung für die Aufgabe Nr. 4 (vom Schüler erledigt) an der Tafel.

3. Aufwärmen

Der Lehrer gibt Anweisungen zum Faktorisieren und Auswählen des Buchstabens, der der richtigen Antwort zugeordnet ist. Durch Hinzufügen der Buchstaben erhalten Sie den Namen des größten Mathematikers des 17. Jahrhunderts, der einen großen Beitrag zur Entwicklung der Theorie der Lösung von Gleichungen geleistet hat. (Descartes)

5. Sportunterricht Die Schüler lesen die Aussagen. Wenn die Aussage wahr ist, sollen die Schüler ihre Hände heben, und wenn sie nicht wahr ist, sich an den Tisch setzen. (Anhang 2)

6. Anleitung zur Bearbeitung der Aufgaben des Workshops.

Auf einem interaktiven Whiteboard oder einem separaten Poster, einer Tabelle mit Anweisungen.

Bei der Zerlegung eines Polynoms in Faktoren ist folgende Reihenfolge einzuhalten:

1. Setzen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern (falls vorhanden);

2. abgekürzte Multiplikationsformeln anwenden (wenn möglich);

3. die Gruppierungsmethode anwenden;

4. Überprüfen Sie das Ergebnis der Multiplikation.

Lehrer:

Bietet Unterricht für Schüler an (betont Schritt 4).

Bietet die Durchführung von Workshop-Aufgaben in Gruppen an.

Verteilt Arbeitsblätter in Gruppen, Blätter mit Kohlepapier zum Abschließen von Aufgaben in Notizbüchern und deren anschließende Überprüfung.

Bestimmt die Zeit für die Arbeit in Gruppen, für die Arbeit in Notizbüchern.

Studenten:

Sie lesen die Anweisungen.

Lehrer hören aufmerksam zu.

Sie sitzen in Gruppen (jeweils 4-5 Personen).

Bereiten Sie sich auf die praktische Arbeit vor.

7. Aufgaben in Gruppen erledigen

Arbeitsblätter mit Aufgaben für Gruppen. (Anhang 3)

Lehrer:

Verwaltet selbstständiges Arbeiten in Gruppen.

Bewertet die Fähigkeit der Schüler, selbstständig zu arbeiten, die Fähigkeit, in einer Gruppe zu arbeiten, die Qualität der Gestaltung des Arbeitsblatts.

Studenten:

Führen Sie Aufgaben auf Kohlepapierbögen aus, die einem Arbeitsbuch beiliegen.

Diskutieren Sie rationale Lösungen.

Bereiten Sie ein Arbeitsblatt für die Gruppe vor.

Bereiten Sie sich darauf vor, Ihre Arbeit zu verteidigen.

8. Prüfung und Besprechung der Aufgabenstellung

Antworten auf dem Whiteboard.

Lehrer:

Sammelt Kopien von Entscheidungen.

Verwaltet die Arbeit von Schülern, die auf Arbeitsblättern berichten.

Bietet an, eine Selbsteinschätzung ihrer Arbeit durchzuführen, Antworten in Notizbüchern, Arbeitsblättern und Mustern an der Tafel zu vergleichen.

Erinnert an die Kriterien für die Einstufung der Arbeit, für die Teilnahme an ihrer Umsetzung.

Bietet Erläuterungen zu neu auftretenden Entscheidungs- oder Selbsteinschätzungsproblemen.

Fasst erste Ergebnisse der praktischen Arbeit und Reflexion zusammen.

Fasst (zusammen mit den Schülern) die Lektion zusammen.

Sagt, dass die Endergebnisse zusammengefasst werden, nachdem die Kopien der von den Schülern geleisteten Arbeit überprüft wurden.

Studenten:

Geben Sie dem Lehrer Kopien.

Arbeitsblätter sind der Tafel beigefügt.

Berichterstattung über die Arbeitsleistung.

Führen Sie eine Selbsteinschätzung und eine Selbsteinschätzung der Arbeitsleistung durch.

9. Hausaufgaben machen

Hausaufgaben werden an die Tafel geschrieben: Nr. 1016 (a, b); 1017 (c, d); Nr. 1021 (d, e, f)*

Lehrer:

Bietet an, den obligatorischen Teil der Hausarbeit zu Hause aufzuschreiben.

Gibt einen Kommentar zu seiner Implementierung.

Fordert besser vorbereitete Schüler auf, Nr. 1021 (d, e, f)* aufzuschreiben.

Weist darauf hin, dass Sie sich auf die nächste Wiederholungsprüfungsstunde vorbereiten sollen