Der Beweis der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion ist gegeben. Fälle, in denen eine komplexe Funktion von einer oder zwei Variablen abhängt, werden ausführlich betrachtet. Es wird eine Verallgemeinerung auf den Fall einer beliebigen Anzahl von Variablen vorgenommen.

Hier präsentieren wir die Ableitung der folgenden Formeln für die Ableitung einer komplexen Funktion.
Wenn, dann
.
Wenn, dann
.
Wenn, dann
.

Ableitung einer komplexen Funktion einer Variablen

Eine Funktion einer Variablen x sei als komplexe Funktion in folgender Form dargestellt:
,
wo und es gibt einige Funktionen. Die Funktion ist für einen Wert der Variablen x differenzierbar. Die Funktion ist für den Wert der Variablen differenzierbar.
Dann ist die komplexe (zusammengesetzte) Funktion im Punkt x differenzierbar und ihre Ableitung wird durch die Formel bestimmt:
(1) .

Formel (1) kann auch wie folgt geschrieben werden:
;
.

Nachweisen

Führen wir die folgende Notation ein.
;
.
Hier gibt es eine Funktion der Variablen und , es gibt eine Funktion der Variablen und . Aber wir werden die Argumente dieser Funktionen weglassen, um die Berechnungen nicht zu überladen.

Da die Funktionen und an den Punkten x bzw. differenzierbar sind, gibt es an diesen Punkten Ableitungen dieser Funktionen, die folgende Grenzwerte sind:
;
.

Betrachten Sie die folgende Funktion:
.
Für einen festen Wert der Variablen u ist eine Funktion von . Es ist klar, dass
.
Dann
.

Da die Funktion an der Stelle differenzierbar ist, ist sie an dieser Stelle stetig. Deshalb
.
Dann
.

Jetzt finden wir die Ableitung.

.

Die Formel hat sich bewährt.

Folge

Wenn eine Funktion der Variablen x als komplexe Funktion einer komplexen Funktion dargestellt werden kann
,
dann wird seine Ableitung durch die Formel bestimmt
.
Hier und dort gibt es einige differenzierbare Funktionen.

Um diese Formel zu beweisen, berechnen wir sequentiell die Ableitung nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion.
Betrachten Sie eine komplexe Funktion
.
Sein Derivat
.
Betrachten Sie die ursprüngliche Funktion
.
Sein Derivat
.

Ableitung einer komplexen Funktion in zwei Variablen

Lassen Sie nun eine komplexe Funktion von mehreren Variablen abhängen. Erst überlegen Fall einer komplexen Funktion zweier Variablen.

Die von der Variablen x abhängige Funktion sei als komplexe Funktion zweier Variablen in folgender Form dargestellt:
,
wo
und es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x ;
ist eine Funktion zweier Variablen, differenzierbar an der Stelle , . Dann ist die komplexe Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes definiert und hat eine Ableitung, die durch die Formel bestimmt wird:
(2) .

Nachweisen

Da die Funktionen und am Punkt differenzierbar sind, sind sie in irgendeiner Umgebung dieses Punktes definiert, sind am Punkt stetig und ihre Ableitungen am Punkt existieren, die die folgenden Grenzen sind:
;
.
Hier
;
.
Aufgrund der Kontinuität dieser Funktionen an einem Punkt haben wir:
;
.

Da die Funktion am Punkt differenzierbar ist, ist sie in irgendeiner Umgebung dieses Punktes definiert, an diesem Punkt stetig, und ihr Inkrement kann in der folgenden Form geschrieben werden:
(3) .
Hier

- Funktionsinkrement, wenn seine Argumente um die Werte und erhöht werden;
;

- partielle Ableitungen der Funktion nach den Variablen und .
Für feste Werte von und , und gibt es Funktionen der Variablen und . Sie tendieren zu Null als und :
;
.
Seit und dann
;
.

Funktionsinkrement :

. :
.
Ersatz (3):



.

Die Formel hat sich bewährt.

Ableitung einer komplexen Funktion mehrerer Variablen

Die obige Ableitung lässt sich leicht auf den Fall verallgemeinern, wenn die Anzahl der Variablen einer komplexen Funktion mehr als zwei beträgt.

Wenn zum Beispiel f ist Funktion von drei Variablen, dann
,
wo
, und es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x ;
ist eine differenzierbare Funktion in drei Variablen am Punkt , , .
Dann haben wir aus der Definition der Differenzierbarkeit der Funktion:
(4)
.
Da aus Kontinuitätsgründen
; ; ,
dann
;
;
.

Dividiert man (4) durch und geht man zum Grenzwert über, erhält man:
.

Und schließlich überlegen der allgemeinste Fall.
Eine Funktion einer Variablen x sei als komplexe Funktion von n Variablen in folgender Form dargestellt:
,
wo
es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x ;
- differenzierbare Funktion von n Variablen an einem Punkt
, , ... , .
Dann
.

Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem Intervall definiert, das den Punkt \(x_0 \) enthält. Lassen Sie uns \(\Delta x \) zum Argument erhöhen, um dieses Intervall nicht zu verlassen. Finde das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und bilde die Beziehung \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Gibt es einen Grenzwert dieser Relation bei \(\Delta x \rightarrow 0 \), so heißt der angegebene Grenzwert Ableitungsfunktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) verbunden ist, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y \u003d f (x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung besteht aus folgendem. Wenn eine Tangente, die nicht parallel zur y-Achse ist, an einem Punkt mit der Abszisse x \u003d a in den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gezeichnet werden kann, dann drückt f (a) die Steigung der Tangente aus:
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), ist die Gleichheit \(f"(a) = tg(a) \) wahr.

Und jetzt interpretieren wir die Definition der Ableitung in Bezug auf ungefähre Gleichheiten. Die Funktion \(y = f(x) \) habe an einem bestimmten Punkt \(x \) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Das bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), also \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta\). Die sinnvolle Bedeutung der erhaltenen ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „fast proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise ist für die Funktion \(y = x^2 \) die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) wahr. Wenn wir die Definition der Ableitung sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass sie einen Algorithmus enthält, um sie zu finden.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) ?

1. Wert \(x \) fixieren, \(f(x) \) finden
2. Erhöhe \(x \) Argument \(\Delta x \), gehe zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finde \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Funktionsinkrement: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Bilden Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechne $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion bei x.

Wenn die Funktion y = f(x) an der Stelle x eine Ableitung hat, dann heißt sie an der Stelle x differenzierbar. Das Verfahren zum Ermitteln der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen Unterscheidung Funktionen y = f(x).

Diskutieren wir folgende Frage: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei an der Stelle x differenzierbar. Dann kann eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt M (x; f (x)) gezogen werden, und, erinnern Sie sich, die Steigung der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht "brechen". Punkt M, d.h. die Funktion muss bei x stetig sein.

Es war Argumentation "an den Fingern". Lassen Sie uns ein strengeres Argument präsentieren. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Null, dann ist \(\Delta y \ ) wird ebenfalls gegen Null gehen, und dies ist die Bedingung für die Stetigkeit der Funktion in einem Punkt.

So, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Zum Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion im „Gelenkpunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn es an einer Stelle unmöglich ist, eine Tangente an den Funktionsgraphen zu ziehen, dann gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x) \) ist stetig auf dem gesamten Zahlenstrahl, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, dh sie steht senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x \u003d 0. Für eine solche gerade Linie gibt es keine Steigung, was bedeutet, dass \ ( f "(0) \) existiert auch nicht

Wir haben also eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt - die Differenzierbarkeit. Wie können Sie feststellen, ob eine Funktion vom Graphen einer Funktion differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Lässt sich an irgendeiner Stelle eine Tangente an den Graphen einer Funktion ziehen, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Wenn an einer Stelle die Tangente an den Graphen der Funktion nicht existiert oder senkrecht auf der x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Abgrenzungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) einige differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Unterscheidungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung zusammengesetzter Funktionen:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung der Exponentialfunktion

Wir verbessern unsere Differenzierungstechnik weiter. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, betrachten komplexere Ableitungen und lernen auch neue Tricks und Kniffe zum Auffinden der Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten den Artikel lesen Wie finde ich die Ableitung? Lösungsbeispiele wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer zusammengesetzten Funktion, verstehen und lösen alle die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, an der Position „Wo sonst? Ja, und das reicht!“, denn alle Beispiele und Lösungen stammen aus realen Tests und sind oft in der Praxis zu finden.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer zusammengesetzten Funktion Wir haben eine Reihe von Beispielen mit detaillierten Kommentaren betrachtet. Im Laufe des Studiums der Differentialrechnung und anderer Bereiche der mathematischen Analyse müssen Sie sehr oft differenzieren, und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele sehr detailliert zu malen. Daher werden wir in der mündlichen Findung von Derivaten üben. Die geeignetsten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster von komplexen Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion :

Beim Studium anderer Matan-Themen in der Zukunft ist eine solche detaillierte Aufzeichnung meistens nicht erforderlich, es wird davon ausgegangen, dass der Student in der Lage ist, ähnliche Ableitungen im Autopiloten zu finden. Stellen wir uns vor, dass um 3 Uhr morgens das Telefon klingelte und eine angenehme Stimme fragte: "Was ist die Ableitung des Tangens von zwei x?". Darauf sollte eine fast sofortige und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel ist gleich für eine eigenständige Lösung gedacht.

Beispiel 1

Finden Sie zum Beispiel die folgenden Ableitungen mündlich in einem Schritt: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls sie sich nicht schon erinnert hat). Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, empfehle ich, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Nach der vorbereitenden Vorbereitung der Artillerie werden Beispiele mit 3-4-5 Anhängen von Funktionen weniger beängstigend sein. Vielleicht werden die folgenden zwei Beispiele für einige kompliziert erscheinen, aber wenn sie verstanden werden (jemand leidet), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es zunächst notwendig, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden Rechts INVESTITIONEN VERSTEHEN. In Zweifelsfällen erinnere ich Sie an einen nützlichen Trick: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert "x" und versuchen (gedanklich oder auf einem Entwurf), diesen Wert in den "schrecklichen Ausdruck" zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, also ist die Summe die tiefste Verschachtelung.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Dann würfeln Sie den Kosinus:

5) Im fünften Schritt die Differenz:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Differenzierungsformel für komplexe Funktionen werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Scheint kein Fehler zu sein...

(1) Wir ziehen die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir leiten die Differenz nach der Regel ab

(3) Die Ableitung des Tripels ist gleich Null. Im zweiten Term nehmen wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Wir nehmen die Ableitung des Kosinus.

(5) Wir leiten den Logarithmus ab.

(6) Schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Verschachtelung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel Kuznetsovs Sammlung und Sie werden den ganzen Charme und die Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie bei der Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob der Schüler versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion findet, oder ob er es nicht versteht.

Das folgende Beispiel gilt für eine eigenständige Lösung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitäts- und die Differentiationsregel des Produkts an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kompakterem und Hübscherem überzugehen.
Nicht selten kommt es vor, dass in einem Beispiel das Produkt von nicht zwei, sondern drei Funktionen angegeben wird. Wie findet man die Ableitung des Produkts von drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Zuerst schauen wir, aber ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in ein Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Hätten wir zum Beispiel zwei Polynome im Produkt, könnten wir die Klammern öffnen. Aber in diesem Beispiel sind alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig nacheinander Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick ist, dass wir für "y" das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: , und für "ve" - ​​​​den Logarithmus:. Warum ist das möglich? Ist es - das ist nicht das Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun bleibt die Regel ein zweites Mal anzuwenden zu klammern:

Sie können immer noch pervertieren und etwas aus den Klammern nehmen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort in dieser Form zu belassen - es ist einfacher zu überprüfen.

Das obige Beispiel kann auf die zweite Art gelöst werden:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, im Beispiel wird es auf die erste Art gelöst.

Betrachten Sie ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie auf mehreren Wegen vorgehen:

Oder so:

Die Lösung lässt sich aber kompakter schreiben, wenn wir zunächst die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , wobei für den ganzen Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn es in dieser Form belassen wird, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, einen Entwurf zu überprüfen, aber ist es möglich, die Antwort zu vereinfachen? Wir bringen den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Befreien Sie sich von der dreistöckigen Fraktion:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht beim Auffinden eines Derivats, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Auf der anderen Seite lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Techniken zum Finden der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem ein „schrecklicher“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie einen langen Weg gehen, indem Sie die Ableitungsregel einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt Sie sofort in Verzweiflung - Sie müssen eine unangenehme Ableitung von einem Bruchteil und dann auch von einem Bruch nehmen.

Deshalb Vor wie man die Ableitung des „ausgefallenen“ Logarithmus bildet, wird zuvor mit bekannten Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, zeichnen Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann wie folgt formuliert werden:

Transformieren wir die Funktion:

Wir finden die Ableitung:

Die vorläufige Transformation der Funktion selbst hat die Lösung stark vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, ist es immer ratsam, ihn „zu zerlegen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten am Ende der Lektion.

logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so süße Musik ist, stellt sich die Frage, ob es in einigen Fällen möglich ist, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Ähnliche Beispiele haben wir kürzlich betrachtet. Was zu tun ist? Man kann nacheinander die Ableitungsregel des Quotienten und dann die Ableitungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode ist, dass Sie einen riesigen dreistöckigen Bruch erhalten, mit dem Sie sich überhaupt nicht beschäftigen möchten.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten "aufhängt":

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Vorgang ausführlich beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Beide Teile schließen wir mit einem Strich ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach, ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum gibt es einen Buchstaben „y“ unter dem Logarithmus?“.

Tatsache ist, dass dieser "ein Buchstabe y" - IST EINE FUNKTION FÜR SICH(Wenn es nicht sehr klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion und "y" eine interne Funktion. Und wir verwenden die Differenzierungsregel für zusammengesetzte Funktionen :

Auf der linken Seite haben wir wie durch Zauberei eine Ableitung. Außerdem werfen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und jetzt erinnern wir uns, über was für eine "Spiel"-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Beispieldesign eines solchen Beispiels am Ende der Lektion.

Mit Hilfe der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, eine andere Sache ist, dass die Funktionen dort einfacher sind und die Verwendung der logarithmischen Ableitung möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt ist.

Ableitung der Exponentialfunktion

Diese Funktion haben wir noch nicht berücksichtigt. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die hat und der Grad und die Basis hängen von "x" ab. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder bei jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie findet man die Ableitung einer Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade betrachtete Technik zu verwenden - die logarithmische Ableitung. Wir hängen Logarithmen auf beiden Seiten auf:

In der Regel wird der Grad unter dem Logarithmus auf der rechten Seite herausgenommen:

Als Ergebnis haben wir auf der rechten Seite ein Produkt zweier Funktionen, die nach der Standardformel differenziert werden .

Wir finden die Ableitung, dazu schließen wir beide Teile unter Striche ein:

Die nächsten Schritte sind einfach:

Endlich:

Wenn eine Transformation nicht ganz klar ist, lesen Sie bitte die Erklärungen von Beispiel #11 noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus von x“ (ein weiterer Logarithmus ist unter dem Logarithmus verschachtelt). Beim Ableiten einer Konstanten ist es, wie wir uns erinnern, besser, sie gleich aus dem Vorzeichen der Ableitung herauszunehmen, damit sie nicht stört; und wenden Sie natürlich die bekannte Regel an :

Wie Sie sehen können, enthält der Algorithmus zum Anwenden der logarithmischen Ableitung keine besonderen Tricks oder Tricks, und das Finden der Ableitung der Exponentialfunktion ist normalerweise nicht mit "Qual" verbunden.

Wenn wir der Definition folgen, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ x:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, nach dieser Formel zu berechnen, sagen wir, die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x Sünde x. Wenn Sie per Definition alles tun, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Wege.

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass die sogenannten Elementarfunktionen von der ganzen Vielfalt der Funktionen unterschieden werden können. Dies sind relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen sind leicht zu merken, zusammen mit ihren Ableitungen.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alle unten aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen - deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = Sünde x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− Sünde x(minus Sinus)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natürlicher Logarithmus	f(x) = Protokoll x	1/x
Beliebiger Logarithmus	f(x) = Protokoll a x	1/(x ln a)
Exponentialfunktion	f(x) = e x	e x(nichts hat sich verändert)

Multipliziert man eine elementare Funktion mit einer beliebigen Konstanten, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · f)’ = C · f ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Zum Beispiel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natürlich lassen sich elementare Funktionen addieren, multiplizieren, dividieren und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber auch nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden unten diskutiert.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen f(x) und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen elementaren Funktionen verwenden. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen finden:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Genau genommen gibt es in der Algebra keinen Begriff der "Subtraktion". Es gibt ein Konzept des "negativen Elements". Daher der Unterschied f − g kann als Summe umgeschrieben werden f+ (−1) g, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig - die Ableitung der Summe.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktion f(x) ist die Summe zweier elementarer Funktionen, also:

f ’(x) = (x 2+ Sünde x)’ = (x 2)' + (sünde x)’ = 2x+ cosx;

Ähnlich argumentieren wir für die Funktion g(x). Nur gibt es bereits drei Terme (aus algebraischer Sicht):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Antworten:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Ableitung eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, so viele Leute glauben, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts schlagen"\u003e gleich dem Produkt von Derivaten. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird mit einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Das Ergebnis sind falsch gelöste Probleme.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktion f(x) ist ein Produkt zweier elementarer Funktionen, also ist alles einfach:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (Kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sünde x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x)

Funktion g(x) ist der erste Multiplikator etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion g(x) ist ein Polynom, und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Antworten:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht für sich allein berechnet, sondern um die Funktion zu untersuchen. Das bedeutet, dass weiterhin die Ableitung gleich Null gesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. Für einen solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zerlegen zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt f(x) und g(x), und g(x) ≠ 0 auf der uns interessierenden Menge können wir eine neue Funktion definieren h(x) = f(x)/g(x). Für eine solche Funktion finden Sie auch die Ableitung:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum g 2? Aber so! Dies ist eine der komplexesten Formeln - Sie können es ohne eine Flasche nicht herausfinden. Daher ist es besser, es mit konkreten Beispielen zu studieren.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Es gibt elementare Funktionen im Zähler und Nenner jedes Bruchs, also brauchen wir nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell faktorisieren wir den Zähler in Faktoren - dies vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine einen halben Kilometer lange Formel. Beispielsweise genügt es, die Funktion zu übernehmen f(x) = Sünde x und ersetzen Sie die Variable x, sagen wir, auf x 2+ln x. Es stellt sich heraus f(x) = Sünde ( x 2+ln x) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch ein Derivat, aber es wird nicht funktionieren, es nach den oben diskutierten Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft die Ersetzung einer Variablen und die Formel zur Ableitung einer komplexen Funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', wenn x wird ersetzt durch t(x).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es mit konkreten Beispielen zu erklären, mit einer detaillierten Beschreibung jedes Schritts.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = Sünde ( x 2+ln x)

Beachten Sie, dass if in der Funktion f(x) anstelle von Ausdruck 2 x+ 3 wird einfach sein x, dann erhalten wir eine elementare Funktion f(x) = e x. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Und jetzt - Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: t = 2x+ 3. Wir erhalten:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an g(x). Muss natürlich ausgetauscht werden. x 2+ln x = t. Wir haben:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (Sünde t)’ · t' = cos t · t ’

Umgekehrter Ersatz: t = x 2+ln x. Dann:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das ganze Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) weil ( x 2+ln x).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Strich“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das übersichtlicher? Das ist gut.

Daher läuft die Berechnung der Ableitung darauf hinaus, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln loszuwerden. Als letztes Beispiel kehren wir zur Potenz der Ableitung mit einem rationalen Exponenten zurück:

(x n)’ = n · x n − 1

Das wissen die wenigsten in der Rolle n kann durchaus eine Bruchzahl sein. Die Wurzel ist zum Beispiel x 0,5 . Aber was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas kniffliges befindet? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen - sie geben solche Konstruktionen gerne in Tests und Prüfungen.

Eine Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lassen Sie uns zuerst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten umschreiben:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let x 2 + 8x − 7 = t. Wir finden die Ableitung durch die Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: t = x 2 + 8x− 7. Wir haben:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Abschließend zurück zu den Wurzeln:

In den „alten“ Lehrbüchern wird sie auch „Kettenregel“ genannt. Also wenn y \u003d f (u) und u \u003d φ (x), also

y \u003d f (φ (x))

Komplex - zusammengesetzte Funktion (Zusammensetzung von Funktionen) dann

wo , nach Berechnung wird bei berücksichtigt u = φ(x).

Beachten Sie, dass wir hier „unterschiedliche“ Zusammensetzungen aus denselben Funktionen genommen haben und das Ergebnis der Differenzierung sich natürlich als abhängig von der Reihenfolge des „Mischens“ herausstellte.

Die Kettenregel erstreckt sich natürlich auf die Zusammensetzung von drei oder mehr Funktionen. In diesem Fall gibt es drei oder mehr „Glieder“ in der „Kette“, die jeweils das Derivat bilden. Hier ist eine Analogie zur Multiplikation: „wir haben“ - eine Ableitungstabelle; "dort" - Einmaleins; „bei uns“ ist eine Kettenregel und „dort“ ist eine Multiplikationsregel mit einer „Spalte“. Bei der Berechnung solcher „komplexer“ Ableitungen werden natürlich keine Hilfsargumente (u¸v usw.) eingeführt, sondern sie „fädeln“ die entsprechenden Verknüpfungen ein, nachdem sie sich die Anzahl und Reihenfolge der an der Komposition beteiligten Funktionen notiert haben die angegebene Reihenfolge.

. Hier werden fünf Operationen mit „x“ durchgeführt, um den Wert von „y“ zu erhalten, dh es findet eine Zusammensetzung von fünf Funktionen statt: „extern“ (die letzte von ihnen) - Exponential - e ; dann ist in umgekehrter Reihenfolge ein Potenzgesetz. (♦) 2 ; trigonometrische Sünde (); Energie. () 3 und schließlich das logarithmische ln.(). Deshalb

Die folgenden Beispiele werden „zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen“: Wir üben das Differenzieren komplexer Funktionen und ergänzen die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. So:

4. Für eine Potenzfunktion - y \u003d x α - Umschreiben unter Verwendung der bekannten "logarithmischen Grundidentität" - b \u003d e ln b - in der Form x α \u003d x α ln x erhalten wir

5. Für eine beliebige Exponentialfunktion mit der gleichen Technik haben wir

6. Für eine beliebige logarithmische Funktion erhalten wir nach der bekannten Formel für den Übergang zu einer neuen Basis sukzessive

.

7. Zur Ableitung des Tangens (Cotangens) wenden wir die Ableitungsregel des Quotienten an:

Um Ableitungen von inversen trigonometrischen Funktionen zu erhalten, verwenden wir die Beziehung, die durch die Ableitungen zweier zueinander inverser Funktionen erfüllt wird, d. h. die Funktionen φ (x) und f (x), die durch die Beziehungen verbunden sind:

Hier ist das Verhältnis

Es ist aus dieser Formel für gegenseitig inverse Funktionen

und
,

Abschließend fassen wir diese und einige weitere, ebenso einfach zu beschaffende Derivate in der folgenden Tabelle zusammen.