В этой статье для вас представлены задачи по стереометрии с – правильной четырёхугольной пирамидой и конусом, который около неё описан (или вписан в неё). Ставятся вопросы о вычислении объёма.

Необходимая теория: формула , теорема Пифагора. Понятно, что если речь идёт о конусе, который описан или вписан в пирамиду, то их высоты будут равны (высота у них общая). Объём конуса:

Рассмотрим задачи:

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 12 и высотой 10. Найдите его объем, деленный на Пи.

Объём конуса равен произведению одной трети его основания и высоты:

Высота нам известна, необходимо найти радиус основания конуса. Он равен половине диагонали квадрата ABCD. По теореме Пифагора мы можем её вычислить:

Значит радиус основания конуса будет равен:

Таким образом, объем конуса:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Объём конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, равен 64. Найдите объём конуса, вписанного в эту пирамиду.

Объём конуса равен произведению одной трети площади его основания и высоты:

Высоты конусов равны. Получается, что единственная величина от которой зависят объёмы конусов это площади их оснований. Если мы определим как они взаимосвязаны, то тогда без труда ответим на поставленный вопрос.

Пусть радиус основания вписанного конуса равен r. Тогда площадь основания вписанного конуса равна:

Радиус основания описанного конуса будет равен:

Мы получили, что площадь основания описанного конуса в 2 раза больше площади основания вписанного конуса.

Вывод: объём конуса описанного около правильной четырёхугольной пирамиды будет в 2 раза больше объёма вписанного конуса.

Таким образом, объём конуса вписанного в пирамиду будет равен 32.

Разберём второй подход к решению:

Нам известен объём описанного конуса, нет никаких других данных. Необходимо установить как взаимосвязаны объёмы конусов.

Обозначим сторону квадрата в основании пирамиды как а, запишем чему будет равен объём вписанного конуса:

Диаметр основания описанного конуса – это диагональ квадрата. По теореме Пифагора она будет равна.

Отличие производных предлогов
от других чаcтей речи

Тест № 1

Укажите номера предложений, в которых выделенные слова являются предлогами.

А) 1. Кругом все бело от выпавшего снега.

2. Цветы на лугу росли пестрым кругом.

3. Долго мы стояли кругом старика, слушая его тихие речи.

Б) 1. Он все бродил около моего дома.

2. Замолчи и сядь около.

3. Что ты все ходишь вокруг да около!

В) 1. Рядом с домом был большой тенистый сад.

2. Его квартира была рядом.

3. Долго он любовался рядом стройных березок около школы.

Г) 1. Он прошел мимо, даже не глянув в мою сторону.

2. Этот поезд проследует мимо нашей станции.

3. Не проходите мимо!

Д) 1. Вечером отправляюсь на встречу выпускников.

2. Я пойду тебе навстречу.

3. Ветер дул навстречу.

У учащихся практически не бывает затруднений при определении предлогов первообразных (непроизводных). Иное дело предлоги производные. Как помочь ребятам определить, когда перед ними предлог, а когда – другая часть речи?

Во-первых, надо хорошо понимать, для чего служат предлоги. Функция предлога – связывать существительное, местоимение , числительное с другими словами в словосочетании и предложении. Во-вторых, нужно помнить, что предлог – это служебная часть речи, следовательно, мы не можем к нему задать вопрос. В-третьих, следует знать, что предлоги и их компоненты нередко отличаются от производящего слова сочетаемостью. Предлоги стоят либо перед существительным, либо перед определением, относящимся к этому существительному, если определение предшествует существительному. (Лишь некоторые предлоги употребляются также и после существительных.) Например, предлог вокруг употребляется с существительным (вокруг сада, вокруг меня), а наречие вокруг – без него (вокруг был глухой забор). Аналогичное различие есть между всеми наречными предлогами и наречиями. И, наконец, хорошо бы иметь список производных предлогов, которые чаще всего встречаются в речи.

(Ответы к тесту № 1: А) 3, Б) 1, В) 1, Г) 2, Д) 2.)

Тест № 2

В каких предложениях выделенные слова являются предлогами?

1. Спустя час нам объявили наши результаты.

2. Благодаря дождям посевы были спасены.

3. Он долго прощался, благодаря за заботу.

4. Несмотря на продолжительные дожди, по- ехать было можно.

5. Он шел почти механически, не смотря по сторонам.

6. Несмотря на хладнокровие своей натуры, он терпеть не мог физической расправы.

7. Начиная с вечера пошел дождь.

8. Невзирая на страшный ветер, он собрался уезжать.

9. Долго так молчал он, взирая на всех грозно и сурово.

10. Стали готовить дорожку, начиная посыпать ее от самой калитки.

Глагольные предлоги, в отличие от исходных деепричастий, не могут быть заменены соответствующим глаголом. Кроме того, глагольные предлоги отличаются от исходных деепричастий разной сочетаемостью. Так, «предлог благодаря сочетается с д.п. любого существительного (благодаря другу, дождю, своевременному отдыху, доброте, удачному стечению обстоятельств), а деепричастие благодаря, как и все остальные формы этого глагола, – с в.п. существительного, называющего либо человека, либо нечто, воспринимаемое как разумная сила (благодаря друга, дождь; но неправильно: благодаря своевременный отдых, доброту, удачное стечение обстоятельств) » (Русский язык: Учебное пособие для старших классов школ гуманитарного профиля / В.А. Багрянцева и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 344–345).

(Ответы к тесту № 2: 1, 2, 4, 6, 7, 8.)

Тест № 3

Укажите номера предложений, в которых в выделенных словах пишется е.

1. Он вечно опаздывал вследстви _ постоянной занятости.

2. Все ждали перелома в течени _ болезни.

3. Они не виделись в течени _ десяти лет.

4. В заключени _ врача много было неясного.

5. В продолжени _ романа появился новый герой.

6. В следстви _ по делу о краже был допущен ряд ошибок.

7. В заключени _ статьи приводятся наиболее убедительные факты.

8. Он молчал в продолжени_ минуты.

9. В заключени_ концерта было исполнено новое произведение молодого автора.

10. Вследстви _ этого он принял решение покинуть большие улицы.

В данных предложениях все выделенные слова стоят перед существительными, поэтому по данному признаку (расположению предлогов обычно перед существительными) определить принадлежность к той или иной части речи сложно. В таком случае можно обратить внимание на разницу в правописании предлогов и исходных существительных: на конце предлогов пишется е, на конце существительных (в данном случае они стоят в п.п.) пишется и . Слова в течение, в продолжение, в заключение являются предлогами и имеют на конце е в том случае, если обозначают время. Предлог вследствие можно заменить предлогом из-за .

(Ответы к тесту № 3: 1, 3, 8, 9, 10.)

Тест № 4 (обобщающий)

Укажите номера предложений, в которых выделенные слова являются предлогами .

1. У нас все еще впереди.

2. Рядом с тобой я становлюсь лучше.

3. Все вокруг казалось таинственным.

4. Это была брошка наподобие розы.

5. По пути к дому встретил приятеля.

6. Хочется сказать в заключение еще несколько слов.

7. Он вслушивался не в слова, а в течение ее речи.

8. Радостно улыбаясь, он вышел навстречу гостям.

9. Внутри коробки кто-то есть!

10. Корабль плыл в виду берега.

(Ответы к тесту № 4: 2, 4, 5, 8, 9 наречия: 1, 3, 6; сущ.: 7, 10.)

ЧАСТИЦА ИЛИ ДРУГАЯ ЧАСТЬ РЕЧИ?

Тест № 1

Укажите номера предложений, в которых то является частицей .

1. Кто-то неизвестный чихал в соседней комнате.

2. Напомни мне то вчерашнее сообщение.

3. Я и жив-то остался случайно.

5. То, что он принес, лежало в рюкзаке.

Как уже было сказано, частицы служат для выражения различных оттенков значений, а также для образования форм слов.

Во-первых, хорошо бы учащимся дать список слов, которые бывают только частицами. Это не, вовсе не, далеко не, отнюдь не, неужели, разве, вот, даже; слова только и лишь, как правило, тоже выступают в значении частиц (лишь изредка выполняя функцию союзов); если ни одиночное, то это частица, если повторяется – то это союз. (Интересное замечание: если не с прилагательными при слитном написании – приставка, а при раздельном – частица, то не при причастиях – всегда частица, в том числе и при слитном написании (кроме случаев, когда слово без не не употребляется) (Русский язык: Учебное пособие для старших классов школ гуманитарного профиля / В.А. Багрянцева и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 352). Во-вторых, напомним, что частица – служебная часть речи, значит, вопрос к ней задать нельзя. Рассмотрим тест № 1.

В 1-м предложении перед нами неопределенное местоимение (кто-то), а значит, то является частью слова, а именно суффиксом. Во 2-м предложении к слову то мы можем задать вопрос сообщение какое? – то. Значит, перед нами самостоятельная часть речи, а именно – местоимение. В 3-м предложении пред нами частица (хотя не пишется отдельно). В 4-м предложении то – повторяющийся союз, связывающий однородные члены. В 5-м предложении к то опять можно задать вопрос – перед нами местоимение.

Тест № 2

Укажите номера предложений, в которых слово просто является частицей.

1. Управление не так просто.

2. Пример решается просто.

3. Ты просто не знаешь, как решать.

4. Просто невероятно, как ты быстро решил.

5. Ты просто напиши сразу ответ.

(Ответ: 3, 4, 5; № 1 – краткое прилагательное, № 2 – наречие.)

Тест № 3

В каких предложениях слово все является частицей?

2. Все кажется ему родным.

3. Ты все хорошеешь!

4. Лето кончалось, и мальчик становился все печальнее.

5. Что ты все грустишь?

(Ответ: 3, 5; № 1, 4 – в значении наречия (= еще); № 2 – местоимение.)

Тест № 4

В каких предложениях слово это является частицей?

1. Книга – это верный друг.

2. Принеси мне это платье.

3. Это правда.

4. Что это ты все плачешь?

5. И откуда это такие умники берутся?

(Ответ: 1, 4, 5; № 2, 3 – местоимения.)

Тест № 5

Из каждого предложения выпишите частицы .

1. Разве можно так небрежно писать? (Разве.)

2. Я летел к вам целую неделю как на крыльях, лишь изредка останавливаясь на короткий ночлег. (Лишь.)

3. Даже по его походке было заметно, что он взволнован. (Даже.)

4. Долго они решали, как с ним поступить, и наконец решили: пускай отправляется куда хочет. (Пускай.)

5. Что же ты сидишь как чужой? (Же.)

М.Ю. ОХЛОПКОВА,
г. Дубна,
Московская обл.

ВОЗЛЕ, ряз. возле, возля предл. и нареч. подле, близ, близко, около, обапол, вплоть, рядом, вокруг, ниж. возлебок; у, при; требует род., а на севере иногда вин. Возле печи или возле печь. Окрик на лошадь в сохе: возле! держись борозды, ближе… … Толковый словарь Даля

См. около... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. возле близко, около, вблизи, рядом, поблизости, недалеко, недалече, неподалёку; рядышком, рядком, плечо в плечо, соприкасаясь … Словарь синонимов

ВОЗЛЕ, нареч. Рядом, около. Стоять возле. || Предлог с род. в том же знач. Возле речки. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

- (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

I. нареч. Очень близко, рядом. На полу разбросаны вещи, возле стоит чемодан. II. предлог. кого чего. Жить возле речки. Остановить машину возле дома … Энциклопедический словарь

возле - 1. нареч. Очень близко, рядом. На полу разбросаны вещи, возле стоит чемодан. 2. предлог. кого чего Жить возле речки. Остановить машину возле дома … Словарь многих выражений

возле - дякпадоани; возле дома дё̄ дякпадоани … Русско-нанайский словарь

возле - во/зле Он живёт возле … Правописание трудных наречий

Предл., нареч., диал. зля, зли, возли (севск.) и водли, укр. вiзля, вiзлi, вiдля, блр. водле, водлi, сербохорв. ва̀дље тотчас, словен. vàdlje, vèdle, др. чеш. vedle, чеш. vedle, слвц. vedl a, польск. wedle, wedla. Русск. возле, укр. вiзлi,… … Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера

I нареч. обстоят. места Близко, рядом, подле. II предл. с род. Соответствует по значению сл.: около, вблизи кого либо или чего либо. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Книги

• Возле вождей , Сергей Красиков. Книга Сергея Павловича Красикова `Возле вождей` по-своему уникальна. В ней исследуется феномен кремлевских вождей. Исследование это не умозрительно. Она базируетсяна личном опыте автора, его…
• Возле Тьмы. Чужой , Андрей Круз, Мария Круз. Мир, почти погибший, но все же уцелевший, разделившийся на Свет и Тьму, Своих и Чужих, Добро и Зло. И человек, идущий сквозь этот мир в поисках любимой женщины. Готовыйна все ради того, чтобы…