Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.

Решение

Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a 3 .

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен V ш = (4/3)πR 3 и равен 8π, поэтому

(4/3)πR 3 = 8π,

А объем куба равен V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Рассмотрим задачи:

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Другие задачи с жидкостями.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Объём конуса. Вот мы с вами добрались до конусов и цилиндров. Ещё, кроме тех, что уже опубликованы, будет около девяти статей, рассмотрим все типы заданий. Если в течение года в открытый банк будут добавляться новые задачи, конечно же, они также будут размещены на блоге. В этой статье представлена теория, а в примеры в которых она используется. Мало знать формулу объёма конуса, кстати вот она:

Можем записать:

Для решения некоторых примеров нужно понимать как соотносятся объёмы подобных тел. Именно понимать, а не просто выучить формулу:

То есть, если мы увеличим (уменьшим) линейные размеры тела в k раз, то отношение объёма полученного тела к объёму исходного будет равно k 3 .

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Не важно как вы обозначите объёмы:

Дело в том, что в процессе решения задач при рассмотре подобных тел, у некоторых может возникает путаница с коэффициентом k. Может появиться вопрос – Чему он равен?

(в зависимости от величины указанной в условии)

Всё зависит от того, с «какой стороны» посмотреть. Важно понимать вот что! Рассмотрим на примере – дан куб, ребро второго куба в три раза больше:

В данном случае, коэффициент подобия равен трём (ребро увеличено в три раза), а значит соотношение будет выглядеть следующим образом:

То есть объём полученного (большего) куба будет в 27 раз больше.

Можно посмотреть с другой стороны.

Дан куб, ребро второго куба в три раза меньше:

Коэффициент подобия равен одной трети (уменьшение ребра в три раза), а значит соотношение будет выглядеть:

То есть объём полученного куба будет в 27 раз меньше.

Заключение! Неважны индексы при обозначении объёмов, важно понимать как тела рассматриваются относительно друг друга.

Понятно, что:

— если исходное тело увеличивается, то коэффициент будет больше единицы.

— если исходное тело уменьшается, то коэффициент будет меньше единицы.

Про отношения объёмов можно сказать следующее:

— если в задаче будем делить объём большего тела на меньший, то получим куб коэффициента подобия, при чём сам коэффициент получится больше единицы.

— если будем делить объём меньшего тела на больший, то получим куб коэффициента подобия, при чём сам коэффициент получится меньше единицы.

Самое главное это запомнить – что когда речь идёт об ОБЪЁМАХ подобных тел, то коэффициент подобия имеет ТРЕТЬЮ степень, а не вторую, как в случае с площадями.

Ещё один момент касающийся .

В условии присутствует такое понятие как образующая конуса. Это отрезок соединяющий вершину конуса с точками окружности основания (на рисунке обозначен буквой L).

Здесь стоит отметить, что разбирать задачи мы будем только с прямым конусом (далее просто конус). Образующие у прямого конуса равны

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.