Мы рассмотрели решение нескольких задач на работу. Это задачи, которые присутствуют в составе ЕГЭ по математике. Ознакомьтесь с теоретическим материалом, который в ней изложен, это важно. Здесь продолжим, и рассмотрим ещё задачи.
Повторим формулу и правила решения задач на работу:
*Работа равна произведению её производительности и времени за которое она совершается.
Из этой формулы легко найти время и производительность:
Ещё раз повторим правила, которые работают в таких задачах:
1. Если объем работы не важен и в задаче нет никаких данных, позволяющих его найти - работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар (один). А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды, покрашенных метрах - работа как раз и равна этому количеству.
2. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) - их производительности складываются.
3. В качестве переменной «х» удобно взять производительность.
4. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) - их производительности складываются.
Рассмотрим задачи:
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за один день выполняет такую же часть работы, какую второй - за три дня?
В этой задаче ничего не сказано о том, какая это работа и чему равен её объем. Значит, работу можем принять за единицу.
Пусть х - производительность первого рабочего.
Производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у.
По условию, первый рабочий за день делает такую же часть работы, какую второй - за три дня. Значит производительность первого в три раза больше, чем у второго х = 3у. Отсюда у = (1/3)х.
Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 9 дней. При совместной работе производительности складываются. Значит,
Итак, первый рабочий за день выполняет 1/12 всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 12 дней.
Ответ: 12
Решите самостоятельно:
Игорь и Паша красят забор за 21 час. Паша и Володя красят этот же забор за 28 часов, а Володя и Игорь - за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Здесь работают трое, и переменных будет тоже три.
Пусть х - производительность Игоря, у - производительность Паши, а z - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.
Игорь и Паша покрасили забор за 21 час. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
Можно искать х, у и z по отдельности, но лучше использовать такой приём – сложить все три уравнения. Получим:
Значит, работая втроем, Игорь, Паша и Володя красят за час одну восемнадцатую часть забора. Весь забор они покрасят за 18 часов.
Ответ: 18
Решите самостоятельно:
Даша и Маша пропалывают грядку за 36 минут, а одна Маша - за 108 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Обозначаем, производительность Маши х, производительность Даши у. Можем составить уравнение:
То есть, они совместно делают работу за 36 минут.
Сказано, что Маша одна тратит 108 минут, значит х ∙108 = 1.
Можем решить систему:
Решив её, получим:
Даша за одну минуту пропалывает 1/54 грядки. Значит, всю грядку прополет за 54 минуты.
Ответ: 54
Решите самостоятельно:
За 12 часов 6 рабочих сделали 960 деталей, сколько рабочих сделают 4200 деталей за 35 часов.
Рассуждаем логически:
Один рабочий за 12 часов делает 960/6=160 деталей. Тогда за час он делает 160/12 деталей — это есть его производительность. Как известно работа равна произведению производительности и времени. *Здесь у нас имеется ещё и число рабочих, которое нужно найти. Число рабочих обозначим за х. Можем записать:
Ответ: 9
Две трубы наполняют бассейн за 7 часа 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 38 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Не забываем перевести минуты в часы. Кроме того, в этой задаче составим таблицу. Производительность первой трубы равна за 1/38 бассейна в час. Производительность второй трубы обозначим y.
Переведём минуты в часы.
Понятно, что 55 минут составляют 55/60 часа.
Можно составить пропорцию:
60 минута ––– 1 час
55 минут ––– t часов
Заполним таблицу для первой трубы и двух труб работающих одновременно. Помним, что при совместной работе производительности складывают:
Можем записать уравнение:
Получили производительность второй трубы 1/10 (бассейна в час). Значит, весь бассейн она заполнит за 10 часов.
Ответ: 10
Решите самостоятельно:
Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 40 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Примем производительность первой трубы за х (резервуара в минуту), второй трубы у.
Составим таблицу, для первой и второй трубы заполним графу «время».
Первая труба будет заполнять резервуар за 1/х минут, вторая за 1/у минут.
Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая, то есть времени затрачивается больше
Можем записать два уравнения и решить систему:
Выразим из второго уравнения х:
Подставим в первое уравнение и решим:
Решаем квадратное уравнение:
Подставим найденные значения у в уравнение:
Система имеет два решения:
Понятно, что производительность не может быть отрицательной. Решением является первая пара. Таким образом, первая труба заполнит 1/120 резервуара в минуту, а вторая 1/60 резервуара в минуту.
Следовательно весь резервуар второй трубой будет заполнен за 60 минут.
Конечно, мало уметь просто составить таблицу и заполнить её соответствующими данными. Кроме этого, необходимо уметь делать выводы из этой информации. Как вы видите, одни задачи сводятся к решению простого линейного уравнения, другие к решению системы уравнений.
Поэтому важно:
— уметь сопоставлять информацию данную в условии;
— понимать сам процесс совешения работы и формулу связывающую её с временем и производительностью;
— знать правила решения, оговоренные в начале статьи.
На этом закончим. В данной рубрике продолжим рассматривать задачи (прогрессии, проценты, смеси и сплавы), не пропустите! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Решение задач на совместную работу. Задание 11
Задачи на работу делятся на два типа:
- задачи, в которых выполняется - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
- задачи на совместную работу.
Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.
В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.
1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:
- объем работы,
- время,
- производительность,
которые связаны между собой формулой:
объем работы=производительность время.
2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.
3. Вводим два неизвестных:
х - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым
y - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.
(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)
Производительность кого-то (или чего-то) первого
И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность
совместная производительность равна
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для :
1 . Задание 11 (№ 99617)
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна .
Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .
Тогда совместная производительность равна
Объем работы примем равным 1.
Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:
Решим его:
2 . Классическая задача на совместную работу:
Задание 11 (№ 99619)
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Введем неизвестные:
х - время заполнения резервуара первой трубой
y - время заполнения резервуара второй трубой
Производительность первой трубы
Производительность второй трубы
Совместная производительность
2. Примем объем резервуара равным 1.
3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.
По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:
Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:
Получили систему уравнений:
Не подходит по смыслу задачи.
3 . Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:
Задание 11 (№ 99616)
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь - за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
4.
И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?
Прототип Задания B14 (№99617 )
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Решение
Пусть x (минут) - время, за которое пропалывает грядку одна Даша.
Примем всю прополотую грядку за 1. Тогда 1/20 - скорость, с которой Маша пропалывает грядку (т.е. за 1 минуту Маша пропалывает 1/20 часть грядки). 1/x - скорость, с которой Даша пропалывает грядку.
Так как Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, то составим и решим уравнение:
12*(1/x +1/20)= 1,
1/x +1/20 = 1/12,
1/x = 1/12 - 1/20,
1/x = 1/30 -> x = 30, т.е. Даша пропалывает одна грядку за 30 минут.
Прототип Задания B14 (№99616 )
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение
Примем покрашенный забор за 1.
Пусть x - скорость, с которой красит забор Игорь, y - скорость, с которой красит забор Паша, z- скорость с которой красит забор Володя.
Так как Игорь и Паша красят забор за 9 часов, то
Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, значит
И так как Володя и Игорь красят забор за 18 часов, то получаем еще одно уравнение:
Совместная скорость Игоря, Паши и Володи равна (x+y+z). Значит, время, за которое они покрасят забор, работая втроем равно 1/(x+y+z). Таким образом нам нужно найти величину 1/(x+y+z).
Перепишем все три уравнения в следующем виде:
Сложим все уравнения:
x+y+y+z+x+z = 1/9+1/12+1/18,
т.е.работая втроем мальчики покрасят забор за 8 часов.
Прототип Задания B14 (№99615 )
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение
Примем бак за 1. Тогда, так как первый насос наполняет бак за 20 минут, то скорость, с которой он наполняет бак равна 1/20 (т.е. за минуту первый насос наполняет 1/20 бака). Скорость второго насоса равна 1/30, а третьего - 1/60 (так как третий насос наполняет бак за 1 час, т.е. за 60 минут).
Совместная скорость наполнения бака тремя насосами равна: 1/20+1/30+1/60 = 1/10.
Тогда 1:(1/10) = 1/0,1 = 10 (минут) - время, за которое наполнят бак три насоса, работая одновременно.
Прототип Задания B14 (№99614 )
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение
Примем заказ за 1. Так как один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов, то скорость первого мастера равна 1/12, а скорсть второго - 1/6. Совместная скорость двух мастеров (т.е. скорость выполнения заказа, когда оба мастера работают вместе) равна 1/12+1/6 = 1/4 = 0,25.
Тогда 1:(1/4) = 1/0,25 = 4 (часа) - время, которое потребуется обоим мастерам, чтобы выполнить заказ, работая вместе.
Прототип Задания B14 (№99613 )
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Решение
Пусть x (часов) - время, которое работали рабочие вместе . Примем весь заказ за 1. Так как каждый из двух рабочих может выполнить заказ за 15 часов, то скорость выполнения заказа каждым из двух рабочих равна 1/15. А совместная скорость (когда оба рабочих рабтают вместе) равна 1/15+1/15 = 2/15.
Так как один из рабочих работала сам 3 часа до того, как они стали работать вместе, то составим и решим уравнение:
3*1/15+x*2/15 = 1,
3/15+x*2/15 = 1,
x = (4/5):(2/15),
x = (4/5)*(15/2),
Получили, что 6 часов рабочие работали вместе и еще по условию задачи 3 часа работал один рабочий. Поэтому для выполнения всего заказа потребовалось 6+3 = 9 часов.
Прототип Задания B14 (№99612 )
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение
36 секунд = 36/3600 = 0,01 часа,
700 метров = 0,7 км.
Пусть x - длина скорого поезда.
Общая скорость поездов равна 65 + 35 = 100 км/ч.
Оба поезда вместе прошли расстояние, равное сумме их длин, т.е. (x+0,7) км.
И так как время, за которое скорый поезд прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам, т.е. 0,01 часа, то составим и решим уравнение.
Условие
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение
$\text{работа}=\text{производительность}\cdot \text{время}$
Так как в задаче ничего не сказано о том, чему равна величина забора, то примем ее за единицу.
Игорь и Паша красят забор за 9 часов:
\[\left({{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)\cdot 9=1;\]
Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов:
\[\left({{v}_{3}}+{{v}_{2}} \right)\cdot 12=1;\]
а Володя и Игорь — за 18 часов:
\[\left({{v}_{1}}+{{v}_{3}} \right)\cdot 18=1;\]
Получаем систему уравнений:
\[\begin{align}& \left\{ \begin{align}& {{v}_{1}}+{{v}_{2}}=\frac{1}{9}, \\ & {{v}_{3}}+{{v}_{2}}=\frac{1}{12}, \\ & {{v}_{1}}+{{v}_{3}}=\frac{1}{15}. \\ \end{align} \right. \\ &\\ \end{align}\]
Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:
\[{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}}=\frac{1}{8};\]
Чтобы найти время $t$, за которое мальчики покрасят забор, работая втроем, решим уравнение:
$\left({{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}} \right)\cdot t=1;$ $\frac{1}{8}\cdot t=1;$ $t=8.$
Приведём ещё одно решение
За один час Игорь и Паша красят 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:
\[\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{9}{39}=\frac{1}{4}\] забора.
Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.
Примечание Дмитрия Гущина
Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора, а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов.
