При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю . Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).

Например, дана такая сумма алгебраических дробей:

Требуется упростить выражение, т. е. сложить две алгебраические дроби. Для этого в первую очередь надо привести слагаемые-дроби к общему знаменателю. Первым делом следует найти одночлен, который делится и на 3x и на 2y. При этом желательно, чтобы он был наименьший, т. е. найти наименьшее общее кратное (НОК) для 3x и 2y.

Для числовых коэффициентов и переменных НОК ищется отдельно. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далее найденные значения перемножаются: 6xy.

Теперь надо определить, на какой множитель надо умножить 3x, чтобы получить 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Значит, при приведении первой алгебраической дроби к общему знаменателю ее числитель надо умножить на 2y (знаменатель уже был умножен при приведении к общему знаменателю). Аналогично ищется множитель для числителя второй дроби. Он будет равен 3x.

Таким образом, получаем:

Далее уже можно действовать как с дробями с одинаковыми знаменателями: складываются числители, а в знаменателе пишется один общий:

После преобразований получается упрощенное выражение, представляющее собой одну алгебраическую дробь, являющуюся суммой двух исходных:

Алгебраические дроби в исходном выражении могут содержать знаменатели, представляющие собой многочлены, а не одночлены (как в приведенном выше примере). В таком случае, перед поиском общего знаменателя следует разложить знаменатели на множители (если это возможно). Далее общий знаменатель собирается из разных множителей. Если множитель есть в нескольких исходных знаменателях, то его берут единожды. Если множитель имеет разные степени в исходных знаменателях, то его берут с большей. Например:

Здесь многочлен a 2 – b 2 можно представить как произведение (a – b)(a + b). Множитель 2a – 2b раскладывается как 2(a – b). Таким образом, общий знаменатель будет равен 2(a – b)(a + b).

Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются - этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
2. Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
3. Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них - в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую - на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом - так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

Единственный недостаток данного метода - приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

1. Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
2. Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
3. При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать - в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 84: 21 = 4; 72: 12 = 6 . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

Метод наименьшего общего кратного

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24: 8 = 3; 24: 12 = 2 . Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96 .

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a ; b ) . Например, НОК(16; 24) = 48 ; НОК(8; 12) = 24 .

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 - общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4 . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

1. Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
2. Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702 , следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи - не предел!

Единственная проблема - как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

Для решения примеров с дробями необходимо уметь находить наименьший общий знаменатель. Ниже приведена подробная инструкция.

Как найти наименьший общий знаменатель – понятие

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) простыми словами – это минимальное число, которое делится на знаменатели всех дробей данного примера. Другими словами его называют Наименьшим Общим Кратным (НОК). НОЗ используют только в том случае, если знаменатели у дробей различны.

Как найти наименьший общий знаменатель – примеры

Рассмотрим примеры нахождения НОЗ.

Вычислить: 3/5 + 2/15.

Решение (Последовательность действий):

• Смотрим на знаменатели дробей, убеждаемся, что они разные и выражения максимально сокращены.
• Находим наименьшее число, которое делится и на 5, и на 15. Таким числом будет 15. Таким образом, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Со знаменателем разобрались. Что будет в числителе? Помочь выяснить это нам поможет дополнительный множитель. Дополнительный множитель – это число, получившееся при делении НОЗ на знаменатель конкретной дроби. Для 3/5 дополнительный множитель равен 3, так как 15/5 = 3. Для второй дроби дополнительным множителем будет 1, так как 15/15 = 1.
• Выяснив дополнительный множитель, умножаем его на числители дробей и складываем получившиеся значения. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Ответ: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Если в примере складываются или вычитаются не 2, а 3 или больше дробей, то НОЗ нужно искать уже для стольких дробей, сколько дано.

Вычислить: 1/2 – 5/12 + 3/6

Решение (последовательность действий):

• Находим наименьший общий знаменатель. Минимальным числом, делящимся на 2, 12 и 6 будет 12.
• Получим: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Ищем дополнительные множители. Для 1/2 – 6; для 5/12 – 1; для 3/6 – 2.
• Умножаем на числители и приписываем соответствующие знаки: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Ответ: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.