Условия задач

Равномерное прямолинейное движение

11 . Из пунктов A и B , расположенных на расстоянии l = 120 км друг от друга, одновременно навстречу друг другу начали двигаться два автомобиля. Скорость первого автомобиля v 1 = 70 км/ч, второго v 2 = 50 км/ч. Определить, через какое время и на каком расстоянии от пункта A они встретятся. Какое расстояние до встречи пройдет один автомобиль в системе координат связанной с другим автомобилем? решение

12 . Автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью v 1 = 45 км/ч, в течение времени t 1 = 10 c , прошел такой же путь, какой автобус, двигающийся в том же направлении, прошел за время t 2 = 15 с. Какова их относительная скорость? решение

13 . Эскалатор метрополитена поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение t 1 = 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за время t 2 = 3 мин. Сколько времени будет подниматься пассажир по движущемуся эскалатору? решение

14 . Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал n 1 = 50 ступенек, второй раз, двигаясь со скоростью втрое большей, он насчитал n 2 = 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитает на неподвижном эскалаторе? решение

15 . Теплоход курсирует по реке между двумя пристанями, находящимися на расстоянии l = 60 км. По течению реки этот теплоход проходит за время t 1 = 3 ч, а против течения – за время t 2 = 6 ч. сколько времени потребовалось теплоходу для того, чтобы проплыть это расстояние между пристанями по течению при выключенном двигателе? Какова скорость течения реки и скорость теплохода относительно воды? решение

16 . С катера, движущегося по течению реки, упал круг. Через 15 минут после этого катер повернул обратно. Через какое время он снова поравняется с кругом? решение

17 . Мимо пристани проплывает плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии l = 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она доплыла до поселка за время t = 3/4 часа и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии S = 9 км от поселка. Какова скорость течения реки и скорость лодки относительно воды? решение

18 . Лодка движется по реке держа курс перпендикулярно берегу со скоростью v . Скорость течения реки u . Определите, под каким углом к берегу движется лодка. решение

19 . Лодка, двигаясь перпендикулярно берегу, оказалась на другом берегу на расстоянии S = 25 м ниже по течению реки через время t = 1 мин 40 с. Ширина реки l = 100 м. Определить скорость лодки и скорость течения реки. решение

20 . Из пункта A по взаимно перпендикулярным дорогам выехали два автомобиля: один со скоростью 30 км/ч, другой со скоростью 40 км/ч. С какой относительной скоростью они удаляются друг от друга? решение

<<< предыдущая десятка следующая десятка >>>

В некоторых задачах рассматривается движение тела относительно другого тела, которое также движется в выбранной системе отсчета. Рассмотрим пример.

По реке плывет плот, а по плоту идет человек в направлении течения реки – в том направлении, куда плывет плот (рис. 3.1, а). Используя установленный на плоту столб, можно отмечать как перемещение плота относительно берега, так и перемещение человека относительно плота.

Обозначим чп скорость человека относительно плота, а пб – скорость плота относительно берега. (Обычно принимают, что скорость плота относительно берега равна скорости течения реки. Скорость и перемещение тела 1 относительно тела 2 мы будем обозначать с помощью двух индексов: первый индекс относится к телу 1, а второй – к телу 2. Например, 12 обозначает скорость тела 1 относительно тела 2.)

Рассмотрим перемещения человека и плота за некоторый промежуток времени t.

Обозначим пб перемещение плота относительно берега, а чп – перемещение человека относительно плота (рис. 3.1, б).

Векторы перемещений изображены на рисунках пунктирными стрелками, чтобы отличить их от векторов скоростей, изображенных сплошными стрелками.

Перемещение чб человека относительно берега равно векторной сумме перемещения человека относительно плота и перемещения плота относительно берега (рис. 3.1, в):

Чб = пб + чп (1)

Свяжем теперь перемещения со скоростями и промежутком времени t. Мы получим:

Чп = чп t, (2)
пб = пб t, (3)
чб = чб t, (4)

где чб – скорость человека относительно берега.
Подставляя формулы (2–4) в формулу (1), получаем:

Чб t = пб t + чп t.

Сократим обе части этого уравнения на t и получим:

Чб = пб + чп. (5)

Правило сложение скоростей

Соотношение (5) представляет собой правило сложения скоростей. Оно является следствием сложения перемещений (см. рис. 3.1, в, внизу). В общем виде правило сложения скоростей выглядит так:

1 = 12 + 2 . (6)

где 1 и 2 – скорости тел 1 и 2 в одной и той же системе отсчета, а 12 – скорость тела 1 относительно тела 2.

Итак, скорость 1 тела 1 в данной системе отсчета равна векторной сумме скорости 12 тела 1 относительно тела 2 и скорости 2 тела 2 в той же системе отсчета.

В рассмотренном выше примере скорость человека относительно плота и скорость плота относительно берега были направлены одинаково. Рассмотрите теперь случай, когда они направлены противоположно, Не забудьте, что скорости надо складывать по правилу сложения векторов!

1. Человек идет по плоту против течения (рис. 3.2). Сделайте в тетради чертеж, с помощью которого можно найти скорость человека относительно берега. Масштаб для вектора скорости: две клетки соответствуют 1 м/с.

Уметь складывать скорости необходимо при решении задач, в которых рассматривается движение лодок или судов по реке или полет самолета при наличии ветра. При этом текущую воду или движущийся воздух можно представлять себе как «плот», который движется с постоянной скоростью относительно земли, «неся» на себе суда, самолеты и пр.

Например, скорость плывущей по реке лодки относительно берега равна векторной сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки.

2. Скорость моторной лодки относительно воды равна 8 км/ч, а скорость течения равна 4 км/ч. За сколько времени лодка проплывет от пристани А до пристани Б и обратно, если расстояние между ними 12 км?

3. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. За то время, пока лодка доплыла до пристани Б, плот проплыл треть этого расстояния.

б) Во сколько раз время движения лодки из Б в А больше, чем время ее движения из А в Б?

4. Самолет пролетел из города М в город Н за 1,5 ч при попутном ветре. Обратный перелет при встречном ветре занял 1 ч 50 мин. Скорость самолета относительно воздуха и скорость ветра оставались постоянными.
а) Во сколько раз скорость самолета относительно воздуха больше скорости ветра?
б) Сколько времени занял бы перелет из М в Н в безветренную погоду?

2. Переход в другую систему отсчета

Проследить за движением двух тел намного проще, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из этих тел. Тело, с которым связана система отсчета, покоится относительно нее, поэтому следить надо только за другим телом.

Рассмотрим примеры.

Моторная лодка обгоняет плывущий по реке плот. Через час после этого она разворачивается и плывет обратно. Скорость лодки относительно воды 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Через какое время после разворота лодка встретит плот?

Если решать эту задачу в системе отсчета, связанной с берегом, то пришлось бы следить за движением двух тел – плота и лодки, да еще учесть при этом, что скорость лодки относительно берега зависит от скорости течения.

Если же перейти в систему отсчета, связанную с плотом, то плот и река «остановятся»: ведь плот движется по реке как раз со скоростью течения. Поэтому в этой системе отсчета все происходит как в озере, где течения нет: лодка плывет от плота и к плоту с одинаковой по модулю скоростью! И раз она удалялась в течение часа, то через час она приплывет обратно.

Как видим, для решения задачи не понадобились ни скорость течения, ни скорость лодки.

5. Проезжая под мостом на лодке, человек уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он обнаружил пропажу, поплыл обратно и нашел плывущую шляпу на расстоянии 1 км от моста. Сначала лодка плыла по течению и ее скорость относительно воды была равна 6 км/ч.
Перейдите в систему отсчета, связанную со шляпой (рис. 3.3), и ответьте на следующие вопросы.
а) Сколько времени человек плыл к шляпе?
б) Чему равна скорость течения?
в) Какая информация в условии не нужна для ответа на эти вопросы?

6. По прямой дороге со скоростью 1 м/с идет пешая колонна длиной 200 м. Находящийся во главе колонны командир посылает всадника с поручением к замыкающему. Через сколько времени всадник вернется обратно, если он скачет со скоростью 9 м/с?

Выведем общую формулу для нахождения скорости тела в системе отсчета, связанной с другим телом. Воспользуемся для этого правилом сложения скоростей.

Напомним, что оно выражается формулой

1 = 2 + 12 , (7)

где 12 – скорость тела 1 относительно тела 2.

Перепишем формулу (1) в виде

12 = 1 – 2 , (8)

где 12 – скорость тела 1 в системе отсчета, связанной с телом 2.

Эта формула позволяет найти скорость 12 тела 1 относительно тела 2, если известны скорость 1 тела 1 и скорость 2 тела 2.

7. На рисунке 3.4 изображены три автомобиля, скорости которых даны в масштабе: двум клеткам соответствует скорость 10 м/с.


Найдите:
а) скорость синего и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с красным автомобилем;
б) скорость синего и красного автомобилей в системе отсчета, связанной с фиолетовым автомобилем;
в) скорость красного и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с синим автомобилем;
г) какая (какие) из найденных скоростей наибольшая по модулю? наименьшая?

Дополнительные вопросы и задания

8. Человек прошел по плоту длиной b и вернулся в начальную точку. Скорость человека относительно плота все время направлена вдоль реки и равна по модулю vч, а скорость течения равна vт. Найдите выражение для пути, пройденного человеком относительно берега, если:
а) сначала человек шел по направлению течения;
б) сначала человек шел в направлении, противоположном течению (рассмотрите все возможные случаи!).
в) Найдите весь путь, пройденный человеком относительно берега: 1) при b = 30 м, v ч = 1,5 м/с, v т = 1 м/с; 2) при b = З0 м, v ч = 0,5 м/с, v т = 1 м/с.

9. Пассажир идущего поезда заметил, что мимо его окна промчались две встречные электрички с интервалом 6 мин. С каким интервалом они проехали мимо станции2 Скорость поезда 100 км/ч, скорость электричек 60 км/ч.

10. Два человека одновременно начали спуск на эскалаторе. Первый стоял на одной ступеньке. С какой скоростью шел по эскалатору второй, если он спустился в 3 раза быстрее, чем первый? Скорость эскалатора 0,5 м/с.

11. На эскалаторе 100 ступеней. Идущий вниз по эскалатору человек насчитал 80 ступеней. Во сколько раз скорость человека больше скорости эскалатора?

12. От пристани А одновременно отправились плот и моторная лодка. Пока плот доплыл до пристани Б, лодка сплавала от А до Б и обратно. Расстояние АБ равно 10 км.
а) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения?
б) Какое расстояние проплыл плот, когда: 1) лодка доплыла до Б? 2) плот встретил лодку, плывущую обратно?

13. Самый быстрый зверь – гепард (рис. 3.5): он может мчаться со скоростью 30 м/с, но не более одной минуты. Гепард заметил антилопу, находящуюся от него на расстоянии 500 м. С какой скоростью должна бежать антилопа, чтобы спастись?

Задача 1 . Минимальное время, которое необходимо, чтобы переплыть в лодке реку, равно t o . Ширина русла реки равна H . Скорость течения реки постоянна в любом месте русла u в β раз больше скорости лодки (β > 1 ), плывущей в стоячей воде.

1. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
2. На какое расстояние снесет лодку за минимальное время переправы?
3. Определите наименьшее расстояние, на которое может снести лодку за время переправы.
4. Найдите время переправы лодки в том случае, когда ее сносит на минимальное расстояние.

1. Минимальное расстояние между берегами − это ширина реки. Если направить лодку перпендикулярно берегу, то время ее движения будет минимальным t = H/v o , так как H − минимально, а v Л − максимальна, тогда
v Л = H/t o . (1)

2. Так как вектор скорости лодки направлен перпендикулярно берегу, то снос лодки зависит только от скорости течения. Скорость течения реки v T = βv Л ; за время переправы лодку снесет на расстояние
L = v T t o = βv Л t o = βHt o /t o = βH .
Снос лодки (за минимальное время движения) составит
L = βH . (2)

3. Снос лодки во время переправы будет зависеть от двух факторов: скорости лодки в направлении течения и скорости лодки в направлении перпендикулярном берегу. Необходимо определиться с углом вектора скорости лодки. Относительно простым способом нахождения угла является графический метод. Скорость лодки относительно системы координат, связанной с берегом, равна векторной сумме скоростей течения и лодки (рис.). Из рисунка видно, что минимальное расстояние L min сноса лодки соответствует случаю, когда относительная скорость лодки направлена по касательной к окружности радиуса v Л . Из подобия треугольников скоростей и расстояний, имеющих общий угол α , получим
L min /H = v/v Л ,
и так как v ⊥ v o , находим
L min = Hv/v Л = H√{v T 2 − v Л 2 } = H√{β 2 (H/t o) 2 − (H/t o) 2 } = H√{β 2 − 1} . (3)

4. Время переправы лодки, когда ее сносит на минимальное расстояние, зависит от проекции скорости лодки на ось Oy .
Проекция скорости лодки на Oy равна
v y = v Л cosα .
С другой стороны
.
Время переправы в этом случае
t = Hβ/(v Л √{β 2 − 1}) = βt o /√{β 2 − 1} . (4)

Замечание 1 . Минимальное время переправы лодки через реку будет в случае движения лодки перпендикулярной берегу.
Замечание 2 . Минимальный снос лодки будет в случае, когда вектор скорости лодки будет перпендикулярен вектору относительной скорости лодки.
Замечание 3 . Определение угла между вектором скорости лодки и (например) вертикалью, для минимального сноса при переправе через реку возможно следующими способами:
Через исследование функции. При переправе на другой берег
H = v Л cosα × t и L = (v T − v Л sinα)t .
Составим уравнение траектории L(H)
L = (v T − v Л sinα)H/(v Л cosα) = v T H/(v Л cosα) − Htgα .
Окончательно , L = v T H/(v Л cosα) − Htgα .

Продифференцировав последнее уравнение по углу α и, приравняв к нулю производную, найдем, при каких значениях угла α расстояние L будет минимальным.
(v T H/(v Л cosα) − Htgα) / = v T Hsinα/(v Л cos 2 α − H/cos 2 α), sinα = v Л /v T = 1/β .
Через тригонометрическую единицу
sin 2 α + cos 2 α = 1 , найдем cosα = √{β 2 − 1}/β .

Методом дискриминанта . Уравнение траектории перепишем в виде
L = v T H/(v Л cosα − Hsinα/cosα)
или
Lcosα = βH − Hsinα .
Возведем уравнение в квадрат
L 2 cos 2 α = β 2 H 2 + H 2 sin 2 α − 2βH 2 sinα .
Воспользовавшись тригонометрической единицей
sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Тогда
L 2 (1 − sin 2 α) = β 2 H 2 + H 2 sin 2 α − 2βH 2 sinα .
Мы получили квадратное уравнение относительно искомого угла α . Преобразуем его к «нормальному» (удобному виду).
(L 2 + H 2)sin 2 α − 2βH 2 sinα − (L 2 − (βH) 2) = 0 .
Решение квадратного уравнения имеет вид:
sinα 1,2 = (βH 2 ± √{(βH 2) 2) − (β 2 H 2 − L 2)(L 2 + H 2)})/(L 2 + H 2) .
При этом D ≥ 0 :
β 2 H 4) − (β 2 H 2 − L 2)(L 2 + H 2) = L 2 (L 2 − β 2 H 2 + H 2) ≥ 0 .
При уменьшении L уменьшается дискриминант. Минимальное значение D = 0 . Тогда,
L 2 = β 2 H 2 − H 2 , и L = H√{β 2 − 1} ,
что соответствует минимальному сносу.
Из рисунка видно, что
cosα = L min /√{L min 2 + H 2 } = H√{β 2 − 1}/√{H 2 (β 2 − 1) + H 2 } = √{β 2 − 1}/β .

Замечание 4 . Если скорость течения меньше скорости лодки, то минимальный снос возможен только при движении лодки за минимальное время (см. решение 1).

 Задачи для самостоятельного решения .
 1. Катер, переправляясь через реку шириной 800 м, двигался со скоростью 4 м/с так, что время его переправы оказалось минимальным. На сколько будет снесен катер течением, если скорость течения реки равна 1,5 м/с?

 2. При переправе через реку шириной 60 м надо попасть в точку, лежащую на 80 м ниже по течению, чем точка старта. Лодочник управляет моторной лодкой так, что она движется точно к цели со скоростью 8 м/с относительно берега. Какова при этом скорость лодки относительно воды, если скорость течения реки 2,8 м/с?

 3. Под каким углом к берегу должна идти моторная лодка, чтобы пересечь реку шириной 300 м за минимальное время, если скорость лодки относительно воды 18 км/ч, а скорость течения 2 м/с? На сколько при этом сместится лодка вдоль берега?

 4. На лодке переплывают реку, отправляясь из пункта A. Скорость лодки в стоячей воде 5 м/с, скорость течения реки 3 м/с, ширина реки 200 м. а) В какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам? б) Какой курс следует держать, чтобы попасть в точку B, находящуюся на противоположном берегу напротив точки A? Для обоих случаев найдите время переправы.

 5. Пловец хочет переплыть реку шириной h. Под каким углом α к направлению течения реки он должен плыть, чтобы переправиться за наименьшее время? Какой путь он проплывет? Скорость течения реки u, скорость пловца относительно воды v. За какое время он переплывет реку по наикратчайшему пути? [α = 90°; l = h√(u 2 + v 2)/v]

 6. Два катера вышли одновременно из пунктов A и B находящихся на разных берегах, причем пункт B ниже по течению. Оба катера движутся по прямой AB, длина которой равна l = 1 км. Прямая AB образует угол α = 60° с направлением скорости течения, которая равна v = 2 м/с. Катера встретились через 3 мин после отхода от причалов. На каком расстоянии от пункта B произошла встреча?

 7. Турист, сплавлявшийся на байдарке по реке, заметил, что поток несет его к середине упавшего и перегородившего ему путь дерева в тот момент, когда расстояние от носа байдарки до дерева было S = 30 м. Оценить, под каким углом к скорости течения он должен направить байдарку, чтобы обойти преграду. Скорость течения реки u = 3 км/ч, скорость байдарки относительно воды 6 км/ч, длина дерева l = 20 м. [α = 31°]

 8. Скорость течения реки 5 м/с, ее ширина 32 м. Переправляясь через реку на лодке, скорость которой относительно воды 4 м/с, рулевой обеспечил наименьший возможный снос лодки течением. Чему равен этот снос?

 9. Из пункта A, расположенного на берегу реки, необходимо попасть в пункт в пункт B, находящийся на противоположном берегу, выше по течению на расстоянии 2 км от перпендикуляра, проведенного из точки A к противоположному берегу. Ширина реки 1 км, максимальная скорость лодки относительно воды 5 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Сможет ли лодка переплыть за 30 мин на другой берег, двигаясь по прямой AB.

 10. Две моторные лодки, расположенные друг против друга на противоположных берегах прямолинейного участка шириной H = 200 м, совершают переправу так, что время переправы одной лодки и перемещение другой лодки за время ее переправы минимальны. Скорость v = 5 м/с каждой лодки относительно воды в n = 2 раза больше скорости течения. Найти минимальное расстояние между лодками и время T их движения для сближения на это расстояние, если лодки начинают переправу одновременно. Скорость течения и скорость движения каждой лодки в течение переправы считать постоянными.

 Смотрите еще:

Памятка к выполнению задач:

· Прочитай внимательно условие задачи;

· Повтори условие задачи и вопросы;

· Подумай, что известно, а что нужно найти;

· Проанализируй решение задачи: что надо найти вначале, а что в конце;

· Составь план решения задачи, реши задачу;

· Проверь ход решения, ответ.

Решение и ответы вносит в текстовый документ расположенный ниже. Не забудьте указать ФИО и номер задачи. Задача №3 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи: известно, что масса Солнца в 330 000 раз больше массы Земли. Верно ли, что Солнце притягивает Землю в 330 000 раз сильней, чем Земля притягивает Солнце? Ответ поясните.

Задача №4 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи:

Катер переместился относительно пристани из точки А(-8; -2) в точку В(4; 3). Сделайте чертеж, совместив начало координат с пристанью и указав на нем точки А и В. Определите перемещение катера АВ. Мог ли путь, проделанный катером, быть больше совершенного им перемещения? меньше перемещения? равен перемещению? Все ответы обоснуйте.

Задача №5 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи: Известно, что для определения координаты прямолинейно движущегося тела используется уравнение х = х0 + sx. Докажите, что координата тела при его прямолинейном равномерном движении для любого момента времени определяется с помощью уравнения х = х0 + vxt

Задача №6 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи:

Запишите уравнение для определения координаты тела, движущегося прямолинейно со скоростью 5 м/с вдоль оси X, если в момент начала наблюдения его координата была равна 3 м.

Задача №7 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи:

Два поезда - пассажирский и товарный - движутся по параллельным путям. Относительно здания вокзала движение пассажирского поезда описывается уравнением x п = 260 - 10t, а товарного - уравнением х т = -100 + 8t. Приняв вокзал и поезда за материальные точки, укажите на оси X их положения в момент начала наблюдения. Через какой промежуток времени от начала наблюдения поезда встретились? Какова координата места их встречи? Укажите положение места встречи на оси X. Считать, что ось X параллельна рельсам.

Задача №9 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи:

Мальчик съезжает с горы на санках, двигаясь из состояния покоя прямолинейно и равноускоренно. За первые 2 с после начала движения его скорость возрастает до 3 м/с. Через какой промежуток времени от начала движения скорость мальчика станет равной 4,5 м/с? Какой путь он пройдет за этот промежуток времени?

Задача №13 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи:

Два лифта - обычный и скоростной - одновременно приходят в движение и в течение одного и того же промежутка времени движутся равноускоренно. Во сколько раз путь, который пройдет за это время скоростной лифт, больше пути, пройденного обычным лифтом, если его ускорение в 3 раза превышает ускорение обычного лифта? Во сколько раз большую скорость по сравнению с обычным лифтом приобретет скоростной лифт к концу этого промежутка времени?

Задача №16 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи: От удара клюшкой шайба приобрела начальную скорость 5 м/с и стала скользить по льду с ускорением 1 м/с2. Запишите уравнение зависимости проекции вектора скорости шайбы от времени и постройте соответствующий этому уравнению график.

Задача №18 из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи: Лыжник скатывается с горы, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением 0,1 м/с2. Напишите уравнения, выражающие зависимость от времени координаты и проекции вектора скорости движения лыжника, если его начальные координата и скорость равны нулю.

Задача № из решебника "Физика. 9 класс" А.В. Перышкин для 9 класса. Условие задачи:

Велосипедист движется по шоссе прямолинейно со скоростью, модуль которой равен 40 км/ч относительно земли. Параллельно ему движется автомобиль. Что можно сказать о модуле вектора скорости и направлении движения автомобиля относительно земли, если относительно велосипедиста модуль его (автомобиля) скорости равен: а) 0; б) 10 км/ч; в) 40 км/ч; г) 60 км/ч?

1. Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянииs 1 = 15 км от пристани, вниз по реке отправляетсямоторная лодка. Она дошла до поселка за времяt = 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянииs 2 = 9 км от поселка. Каковы скорость течения рекиV и скорость лодки относительно водыv"?

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с плотом (с водой). В этой системе отсчета плот покоится, а лодка движется вверх и вниз по реке с одинаковой по величине скоростью. Следовательно, время удаления лодки от плота равно времени приближения к нему. Поэтому время движения плота до встречи с лодкой равно 2t и его скорость (скорость течения) равна

По закону сложения скоростей скорость лодки при ее движении вниз по реке относительно берега равна

v = v" + V .

С другой стороны

Cледовательно,

2. Скорость лодки в стоячей водеv" меньше скорости течения рекиV вn = 2 раза. Под каким угломк берегу нужно держать корпус лодки во время переправы, чтобы снос лодки был минимальным?

Р
ешение. Если лодку направить по течению реки, то, очевидно, снос будет бесконечно большим (лодка никогда не переправится на противоположный берег).

Такой же результат получается в случае, если направить лодку вверх по течению реки. Значит, существует некоторое направление, при котором снос лодки минимален. Если - скорость лодки в стоячей воде, а- скорость течения реки, то скорость лодки относительно берега определится законом сложения скоростей:

.

Векторное сложение скоростей, соответствующее этому закону, показано на рисунке. Там же показаны система отсчета x 0y , связанная с берегом, и угол, определяющий направление вектора. Очевидно, что величина сноса лодки равна

s = v х  t ,

где v x = V – vcos - проекция скорости на осьx ,
- время переправы. Здесьd - ширина реки, v y - проекция скорости на осьy .

Запишем выражение для величины сноса в явном виде:

Минимум сноса соответствует минимуму выражения в скобках. Найдем угол , при котором достигается этот минимум из условия, что производная поот этого выражения должна равняться нулю в точке минимума. Дифференцирование дает:

Отсюда следует:

3. Приборы, установленные на корабле, идущем на север со скоростью V = 10 м/с, показывают скорость ветра v" = 5 м/с, а его направление - восточное. Что покажут аналогичные приборы, установленные на берегу?

Решение. По закону сложения скоростей скорость ветра относительно берега равна

Найдем эту скорость построением (см. рис.). Из рисунка следует:

4. Два корабля движутся перпендикулярными курсами с постоянными скоростямиv 1 = 15 км/ч иv 2 = 20 км/ч. В некоторый момент времени они находятся на расстоянииS = 10 км друг от друга, а вектор скорости первого корабля составляет с линией, соединяющие корабли, угол= 30. На какое минимальное расстояниеd корабли сблизятся при своем движении?

Р

ешение. Положение кораблей в момент времени, соответствующий условию задачи, показано на верхнем рисунке. Рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с первым кораблем (см. нижний рис.). В этой системе первый корабль покоится, а второй движется прямолинейно со скоростью, определяемой из закона сложения скоростей:

И

скомое расстояниеd - это расстояние от первого корабля до прямой линии, по которой движется второй корабль в системе отсчета, в которой первый корабль покоится. Из рисунка и элементарных геометрических соображений находим:

Следовательно,

5. Скорость лодки в стоячей воде
, скорость течения рекиv= 4 м/с, а ширина рекиL = 360 м. Под каким угломк берегу нужно держать нос лодки, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Чему равно это времяT min ? Какой путьS проплывет за это время лодка?

Решение. По закону сложения скоростей скорость лодкиотносительно берега равна

Движение лодки можно рассматривать как наложение двух движений, одно из которых происходит перпендикулярно берегу, а другое - по течению реки. Первое происходит со скоростью
, а второе - со скоростью
. Тогда времяT переправы на противоположный берег

Это время будет минимально в том случае, когда проекция скорости на ось y , перпендикулярную к берегу, максимальна, т.е. равна. В этом случае скоростьперпендикулярна берегу, т.е.= 90, а

Скорость лодки относительно берега
Следовательно, за времяT min лодка пройдет путь

6
. Два пешехода движутся к перекрёстку по дорогам, пересекающимися под прямым углом. Найти их относительную скорость
, если скорость первого пешехода
км/ч, а скорость второго -
км/ч.

Решение. Изобразим на рисунке скорости пешеходов. По определению скорость первого пешехода относительно второго равна:

.

Найдем построением эту скорость (см. рис.).

И
з рисунка видно, что

км/ч.