Определение параллельных прямых . Параллельными называются две прямые линии, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся на всем своем протяжении.
Прямые AB и CD (черт. 57) будут параллельными. То обстоятельство, что они параллельны, выражают иногда письменно: AB || CD.
Теорема 34 . Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей, параллельны .
Даны прямые CD и EF перпендикулярные к AB (черт. 58)
CD ⊥ AB и EF ⊥ AB.
Требуется доказать, что CD || EF.
Доказательство . Если бы прямые CD и EF не были параллельны, они пересеклись бы в какой нибудь точке M. В этом случае из точки M на прямую AB были бы опущены два перпендикуляра, что невозможно (теорема 11), следовательно прямая CD || EF (ЧТД).
Теорема 35 . Две прямые, из которых одна перпендикулярна, а другая наклонна к третьей, всегда пересекаются.
Даны две прямые EF и CG, из которых EF ⊥ AB, а CG наклонна к AB (черт. 59).
Требуется доказать, что CG встретится с линией EF или что CG не параллельна EF.
Доказательство . Из точки C восставим к линии AB перпендикуляр CD, тогда при точке C образуется угол DCG, который станем повторять столько раз, чтобы линия CK упала ниже линии AB. Положим, что мы для этого угол DCG повторим n раз, как что
Подобным же образом отложим на прямой AB прямую CE тоже n раз так что CN = nCE.
Из точек C, E, L, M, N восставим перпендикуляры LL", MM", NN". Пространство, содержащееся между двумя параллельными отрезками CD, NN" и отрезком CN, будет в n раз больше пространства, заключающегося между двумя перпендикулярами CD, EF и отрезком CE, так что DCNN" = nDCEF.
Пространство, заключающееся в угол DCK, содержит в себе пространство DCNN", следовательно,
DCK > CDNN" или
nDCG > nDCEF, откуда
DCG > DCEF.
Последнее неравенство может иметь место только тогда, когда прямая CG выйдет при своем продолжении из пределов пространства DCEF, т. е. когда прямая CG встретится с прямой EF, следовательно прямая CG не параллельна CF (ЧТД).
Теорема 36 . Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой.
Даны две параллельные прямые AB и CD и прямая EF перпендикулярная к CD (черт. 60).
AB || CD, EF ⊥ CD
Требуется доказать, что EF ⊥ AB.
Доказательство . Если бы прямая AB была наклонна к EF, то две прямые CD и AB пересеклись бы, ибо CD ⊥ EF и AB наклонна к EF (теорема 35), и прямые AB и CD не были бы параллельны, что противоречило бы данному условию, следовательно, прямая EF перпендикулярна CD (ЧТД).
Углы, образуемые пересечением двух прямых третьей прямой . При пересечении двух прямых AB и CD третьей прямой EF (черт. 61) образуется восемь углов α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ . Эти углы получают особые названия.
Четыре угла α, β, ν и ρ называются внешними .
Четыре угла γ, δ, λ, μ называются внутренними .
Четыре угла β, γ, μ, ν и четыре угла α, δ, λ, ρ называются односторонними , ибо лежат по одну сторону прямой EF.
Кроме того, углы, будучи взяты попарно, получают следующие названия:
Углы β и μ называются соответственными . Кроме этой пары такими же соответственными углами будут пары углов: γ и ν, α и λ, δ и ρ.
П ары углов δ и μ , а также γ и λ называются внутренними накрест-лежащими .
Пары углов β и ρ , а также α и ν называются внешними накрест-лежащими .
Пары углов γ и μ , а также δ и λ называются внутренними односторонними .
Пары углов β и ν , а также α и ρ называются внешними односторонними .
Условия параллельности двух прямых
Теорема 37 . Две прямые параллельны, если при пересечении их третьей у них равны: 1) соответственные углы, 2) внутренние накрест-лежащие, 3) внешние накрест-лежащие, и, наконец, если 4) сумма внутренних односторонних равна двум прямым, 5) сумма внешних односторонних равна двум прямым.
Докажем каждую из этих частей теоремы отдельно.
1-й случай . Соответственные углы равны (черт. 62).
Дано. Углы β и μ равны.
Доказательство . Если бы линии AB и CD пересекались в точке Q, то получился бы треугольник GQH, у которого внешний угол β равнялся бы внутреннему углу μ, что противоречило бы теореме 22, следовательно, прямые AB и CD не пересекаются или AB || CD (ЧТД).
2-й случай . Внутренние накрест-лежащие углы равны , то есть δ = μ.
Доказательство . δ = β как вертикальные, δ = μ по условию, следовательно, β = μ. То есть соответственные углы равны, а в этом случае линии параллельны (1-й случай).
3-й случай . Внешние накрест-лежащие углы равны , то есть β = ρ.
Доказательство . β = ρ по условию, μ = ρ как вертикальные, следовательно, β = μ, т. к. соответственные углы равны. Отсюда следует, что AB || CD (1-й случай).
4-й случай . Сумма внутренних односторонних равна двум прямым или γ + μ = 2d.
Доказательство . β + γ = 2d как сумма смежных, γ + μ = 2d по условию. Следовательно, β + γ = γ + μ, откуда β = μ. Соответственные углы равны, следовательно, AB || CD.
5-й случай . Сумма внешних односторонних равна двум прямым , то есть β + ν = 2d.
Доказательство . μ + ν = 2d как сумма смежных, β + ν = 2d по условию. Следовательно, μ + ν = β + ν, откуда μ = β. Соответственные углы равны, следовательно, AB || CD.
Таким образом, во всех случаях AB || CD (ЧТД).
Теорема 38 (обратная 37). Если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей прямой будут равны: 1) внутренние накрест-лежащие углы, 2) внешние накрест-лежащие, 3) соответственные углы и равны двум прямым 4) сумма внутренних односторонних и 5) сумма внешних односторонних углов.
Даны две параллельные прямые AB и CD, то есть AB || CD (черт. 63).
Требуется доказать, что все вышеописанные условия выполняются.
1-й случай . Пересечем две параллельные прямые AB и CD третьей наклонной прямой EF. Обозначим через G и Н точки пересечения прямых AB и CD прямой EF. Из точки O середины прямой GH опустим перпендикуляр на прямую CD и продолжим его до пересечения с прямой AB в точке P. Прямая OQ перпендикулярная к CD перпендикулярна и к AB (теорема 36). Прямоугольные треугольника OPG и OHQ равны, ибо OG = OH по построению, ∠ HOQ = ∠ POG как вертикальные углы, следовательно, OP = OQ.
Отсюда следует, что δ = μ, т. е. внутренние накрест-лежащие углы равны .
2-й случай . Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ = β, и μ = ρ, то β = ρ, т. е. внешние накрест-лежащие углы равны .
3-й случай . Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ = β, то и β = μ, следовательно, соответственные углы равны .
4-й случай . Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ + γ = 2d, то и μ + γ = 2d, т. е. сумма внутренних односторонних равна двум прямым .
5-й случай . Если AB || CD, то δ = μ.
Так как μ + ν = 2d, μ = δ = β, следовательно, ν + β = 2d, т. е. сумма внешних односторонних равна двум прямым .
Из этих теорем вытекает следствие . Через точку можно провести только одну прямую, параллельную другой прямой.
Теорема 39 . Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Даны три прямые (черт. 64) AB, CD и EF, из которых AB || EF, CD || EF.
Требуется доказать, что AB || CD.
Доказательство . Пересечем эти прямые четвертой прямой GH.
Если AB || EF, то ∠ α = ∠ γ как соответственные. Если CD || EF, то ∠ β = ∠ γ также как соответственные. Следовательно, ∠ α = ∠ β .
Если же соответственные углы равны, то прямые параллельны, следовательно, AB || CD (ЧТД).
Теорема 40 . Одноименные углы с параллельными сторонами равны.
Даны одноименные (оба острые или оба тупые) углы ABC и DEF, их стороны параллельны, т. е. AB || DE, BC || EF (черт. 65).
Требуется доказать, что ∠ B = ∠ E.
Доказательство . Продолжим сторону DE до пересечения ее с прямой BC в точке G, тогда
∠ E = ∠ G как соответственные от пересечения сторон параллельных BC и EF третьей прямой DG.
∠ B = ∠ G как соответственные от пересечения параллельных сторон AB и DG прямой BC, следовательно,
∠ E = ∠ B (ЧТД).
Теорема 41 . Разноименные углы с параллельными сторонами дополняют друг друга до двух прямых.
Даны два разноименные угла ABC и DEF (черт. 66) с параллельными сторонами, следовательно, AB || DE и BC || EF.
Требуется доказать, что ABC + DEF = 2d.
Доказательство . Продолжим прямую DE до пересечения с прямой BC в точке G.
∠ B + ∠ DGB = 2d как сумма внутренних односторонних углов, образуемых пересечением параллельных AB и DG третьей прямой BC.
∠ DGB = ∠ DEF как соответственные, следовательно,
∠ B + ∠ DEF = 2d (ЧТД).
Теорема 42 . Одноименные углы с перпендикулярными сторонами равны и разноименные дополняют друг друга до двух прямых.
Рассмотрим два случая: когда А) углы одноименны и когда B) они разноименны.
1-й случай . Стороны двух одноименных углов DEF и ABC (черт. 67) перпендикулярны, т. е. DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
Требуется доказать, что ∠ DEF = ∠ ABC.
Доказательство . Проведем из точки B прямые BM и BN параллельно прямым DE и EF так, что
BM || DE, BN || EF.
Прямые эти также перпендикулярны к сторонам данного угла ABC, т. е.
BM ⊥ AB и BN ⊥ BC.
Так как ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, то
∠ NBC = ∠ MBA (a)
Вычтя из обоих частей равенства (а) по углу NBA, находим
∠ MBN = ∠ ABC
Так как углы MBN и DEF одноименны и с параллельными сторонами, то они равны (теорема 40).
∠ MBN = ∠ DEF (b)
Из равенств (a) и (b) вытекает равенство
∠ ABC = ∠ DEF (ЧТД).
2-й случай . Углы GED и ABC с перпендикулярными сторонами разноименны.
Требуется доказать, что ∠ GED + ∠ ABC = 2d (черт. 67).
Доказательство . Сумма углов GED и DEF равна двум прямым.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC, следовательно,
GED + ABC = 2d (ЧТД).
Теорема 43 . Части параллельных прямых между другими параллельными равны.
Даны четыре прямые AB, BD, CD, AC (черт. 68), из которых AB || CD и BD || AC.
Требуется доказать, что AB = CD и BD = AC.
Доказательство . Соединив точку C с точкой B отрезком BC, получим два равных треугольника ABC и BCD, ибо
BC - сторона общая,
∠ α = ∠ β (как внутренние накрест-лежащие от пересечения параллельных прямых AB и CD третьей прямой BC),
∠ γ = ∠ δ (как внутренние накрест-лежащие от пересечения параллельных прямых BD и AC прямой BC).
Таким образом, треугольники имеют по равной стороне и по двум равным углам, лежащим на ней.
Против равных углов α и β лежат равные стороны AC и BD, и против равных углов γ и δ - равные стороны AB и CD, следовательно,
AC = BD, AB = CD (ЧТД).
Теорема 44 . Параллельные прямые на всем своем протяжении находятся на равном расстоянии друг от друга.
Расстояние точки от прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Чтобы определить расстояние каких угодно двух точек A и B параллельной AB от CD, из точек A и B опустим перпендикуляры AC и BD.
Дана прямая AB параллельная CD, отрезки AC и BD перпендикулярны к прямой CD, т. е. AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (черт. 69).
Требуется доказать, что AC = BD.
Доказательство . Прямые AC и BD, будучи обе перпендикулярными к CD, параллельны, а следовательно, AC и BD как части параллельных между параллельными, равны, т. е. AC = BD (ЧТД).
Теорема 45 (обратная 43). Если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.
Даны четыре пересекающиеся прямые, противоположные части которых равны: AB = CD и BD = AC (черт. 68).
Требуется доказать, что AB || CD и BD || AC.
Доказательство . Соединим точки B и C прямой BC. Треугольники ABC и BDC равны, ибо
BC - общая сторона,
AB = CD и BD = AC по условию.
Отсюда
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Следовательно,
AC || BD, AB || CD (ЧТД).
Теорема 46 . Сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник ABC (черт. 70).
Требуется доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство . Проведем из точки C прямую CF параллельную стороне AB. При точке C образуется три угла BCA, α и β . Сумма их равна двум прямым:
BCA + α + β = 2d
α = B (как внутренние накрест-лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CF прямой BC);
β = A (как соответственные углы при пересечении прямых AB и CF прямой AD).
Заменяя углы α и β их величинами, получим:
BCA + A + B = 2d (ЧТД).
Из этой теоремы вытекают следующие следствия:
Следствие 1 . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних не смежных с ним.
Доказательство . Действительно, из чертежа 70,
∠ BCD = ∠ α + ∠ β
Так как ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, то
∠ BCD = ∠ A + ∠ B.
Следствие 2 . В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна прямому.
Действительно, в прямоугольном треугольнике (черт. 40)
A + B + C = 2d, A = d, следовательно,
B + C = d.
Следствие 3 . В треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.
Следствие 4 . В равностороннем треугольнике каждый угол равен 2/3 d .
Действительно, в равностороннем треугольнике
A + B + C = 2d.
Так как A = B = C, то
3A = 2d, A = 2/3 d.
111*. Провести перпендикуляр из точки А к плоскости, заданной: а) треугольником BCD (рис. 109, а); б) следами (рис. 109,6); в) треугольником BCD (рис. 109, в). Во всех случаях построить основание перпендикуляра на заданной плоскости.
Решение, а) Через точку В (рис. 109, г) проводим фронталь В-1 заданной плоскости, а через точку D - горизонталь D-2. фронт. проекция искомого перпендикуляра проходит через а" перпендикулярно к b"1" а горизонтальная - через а перпендикулярно к d-2. Основание перпендикуляра (рис. 109, д) определяется как точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью. Заключаем его в гориэонтально-проецирующую плоскость R (задаем ее следом R h) и находим линию пересе-
чения этой плоскости с плоскостью треугольника - прямую NM. Получаем точку k" - фронт. проекцию основания перпендикуляра - и по k" находим k.
б) На рис. 109, е фронт. проекция перпендикуляра проведена под прямым углом к следу P ϑ , а горизонтальная - под прямым углом к P h . Для построения основания перпендикуляра заключаем его (рис. 109, ж) во фронтально-проецирующую плоскость R, строим линию пересечения плоскостей R и Р - прямую MN. Получаем точку k - горизонт. проекцию основания перпендикуляра; по ней находим k".
в) Проведя горизонталь В-1 (рис. 109, а), видим, что эта прямая параллельна оси х. Из этого заключаем, что плоскость треугольника является профильно-проецирующей. Следовательно, перпендикуляр к ней - прямая профильная.
Строим профильные проекции треугольника и точки А. Из a" проводим перпендикуляр на с"d". Точка k" - профильиая проекция основания перпендикуляра. По k" находим k" и k на одноименных с ними проекциях искомого перпендикуляра.
112. Найти основания перпендикуляров, проведенных из точки А:
а) к плоскости, заданной параллельными прямыми ВС и DE (рис. 110, а);
б) к плоскости грани SCD пирамиды SBCD (рис. 110, б);
в) к плоскости грани SBD пирамиды SBCD (рис. 110, в).
113*. Построить на плоскости, заданной параллельными прямыми CD и EF, геометрическое место оснований перпендикуляров, проведенных из точек прямой АВ к этой плоскости (рис. 111, а)
Решение. Искомым геометрическим местом точек является (рис. 111, б) линия пересечения K 1 K 2 плоскостей, 1) заданной и 2) перпендикулярной к ней, проведенной через прямую АВ.
Проводим (рис. 111, в) в заданной плоскости горизонталь С-1 и фронталь С-2. фронт. проекции перпендикуляров перпендикулярны к с"2", а горизонтальные - к с-1.
Для построения искомого геометрического места точек находим (рио. 111, г) точки К 1 и K 2 пересечения проведенных перпендикуляров с заданной плоскостью. Прямая К 1 К 2 и есть искомое геометрическое место.
114. Построить на плоскости, заданной треугольником CDE, геометрическое место оснований перпендикуляров, проведенных из точек прямой АВ к этой плоскости (рис. 112).
115*. Из вершины А провести перпендикуляр к плоскости треугольника ABC (рис. 113, а) и отложить на нем отрезок длиной l.
Решение. Для построения перпендикуляра проводим (рис. 113, 6) горизонталь А- 1 и фраяталь А-2 плоскости треугольника; фронт. проекция перпендикуляра перпендикулярна к a"2", а горизонтальная - к а-1.
Дальнейшее построение (рис. 113, в) аналогично выполненному в задаче 20. Прямые a"d" и ad являются проекциями искомого отрезка.
Эта задача имеет два решения. Во втором случае надо продолжить перпендикуляр в другую сторову от заданной плоскости.
116. Из точки D провести перпендикуляр к плоскости, заданной параллельными прямыми АВ и CD, и отложить на нем отрезок длиной l (рис. 114).
117*. Построить геометрическое место точек, удаленных от некоторой плоскости на расстояние l. Дать решение для случаев, когда плоскость задана треугольником ABC (рис. 115, а) или следами (рис. 115, б).
Решение. Искомым геометрическим местом точек являются две плоскости, параллельные данной и расположенные по обе стороны от нее на расстоянии l.
На рис. 115, в показана одна из таких плоскостей. Для построения этой плоскости (рис. 115, г) проводим из любой точки данной плоскости (например, С) перпендикуляр
к плоскости (обратите внимание на то, что в заданном треугольнике сторона АС является горизонталью, а ВС- фронталью) и откладываем на нем отрезок КС длиной l. Затем через точку К (рис, 115, д) проводим прямые КN и КМ, параллельные хотя бы сторонам ВС и АС треугольника ABC.
Если плоскость задана следами (рис. 115, б), то удобно взять точку на одном из следов. На рис. 115, е взята точка N на следе P ϑ . Проведя из этой точки перпендикуляр к пл. Р и отложив на нем отрезок, равный l, проводим через точку К (рис. 1\5,ж) горизонталь CD и фронталь АВ искомой плоскости
118. Построить геометрическое место точек, удаленных от пл. Р (рис. 116) на расстояние l. Дать два решения.
119*. Провести перпендикуляр к прямой ВС из ее точки А до пересечения его с прямой EF (рис. 117, а).
Решение. Геометрическим местом перпендикуляров к прямой ВС, проведенных из точки А, является пл. Р, проходящая через точку А перпендикулярно к прямой ВС (рис. 117, б). Точка К пересечения этой плоскости с прямой EF является точкой пересечения искомого перпендикуляра с прямой EF.
на рис. 117, в задаем плоскость, перепендикулярную к BC, фронталью AM и горизонталью AN. Определяем точку K пересечения прямой EF с этой плоскостью (рис. 117,г), заключая EF во фронтально-проецирующую плоскость R(задаем ее следом R ϑ); k"a" и ka - проекции искомого перпендикуляра.
120. Из точки A провести перпендикуляр к прямой BC до пересечения его с прямой EF (рис. 118).
121*. Через точку А провести прямую, пересекающую прямые ВС и ED (рис. 119, а).
Решение. Геометрическим местом прямых, проходящих через точку А и пересекающих прямую ED, является плоскость, задаваемая этими элементами (рис. 119, б). Если построить такую плоскость и найти точку К ее пересечения со второй прямой (ВС), то искомая прямая пройдет через точки А а К. Такое построение выполнено на рис. 119, в и 119, г, где сначала плоскость, определяемая точкой А и прямой ED, выражена треугольником AED, а затем найдена точка К пересечения второй прямой (ВС) с плоскостью этого треугольника.
Искомая прямая проходит через точки А и К и пересекает прямую ED в точке М (ряс. 119,6). Конечно, при точном построении проекции m и m" должны оказаться на линии связи m"m, перпендикулярной к оси х.
Данную задачу можно решить и иначе: взять две плоскости - одну, определяемую точкой А и прямой ED (как это сделано на рис. 119, в), а другую - точкой А я прямой ВС. Линия пересечения этих двух плоскостей н будет искомой прямой, проходящей через точку А и пересекающей ВС в ED,
122. Через точку А провести прямую, пересекающую:
а) ребро SD и сторону ВС основания пирамиды SBCD (рис. 120, а),
б) ребро BG и сторону EF верхнего основания призмы (рис. 120,6).
123*. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В (рис, 121, а).
Решение. Искомым геометрическим местом является плоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему.
Делим проекции отрезка АВ пополам (рис. 121, б). Через середину (точку С) проводим горизонталь CD ⊥ АВ и фронталь СЕ ⊥ АВ (рис.121, в) искомой плоскости. Чтобы выразить эту плоскость следами, надо задаться осью проекций и построить хотя бы фронт. след горизонтали (точка N, рис. 121,а) и через него провести соответствующий след пл. p. След Р ϑ ⊥ a"b", а след P h ⊥ ab (или || nс).
124. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и В (рис. 122, а и б). В первом случае ответ дать без следов, А во втором - в следах.
125*. Построить недостающую проекцию точки К, равноудаленной от точек А и В (рис. 123, а).
Решение. Так как геометрическим местом всех точек пространства, равноудаленных от точек А и В, является плоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему, то точка К должна принадлежать этой плоскости.
На рис. 123, б такая плоскость определена фронталью СЕ и горизонталью CD, проходящими через середину отрезка АВ.
Проводим {рис. 123, в) через k" фронт. проекцию к"1" горизонтали плоскости и строим ее горизонт. проекцию, на которой отметим точку k - искомую проекцию точки К-
126. Построить недостающую проекцию отрезка CD, каждая точка которого равноудалена от точек А и В (рис. 124).
127*. Построить на плоскости геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек А и В: а) плоскость задана параллельными прямыми (рис. 125, а); б) плоскость задана следами (рис. 125, б).
Решение. Так как геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А и В, является плоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему (рис. 125, в), то искомым геометрическим местом будет линия пересечения этой плоскости с заданной (прямая MN).
На рис. 125, г плоскость, перпендикулярная к отрезку АВ в его середине, выражена фронталью КС и горизонталью ТС.
Теперь надо найти линию пересечения двух плоскостей, что сделано путем нахождения точек пересечения прямых DE и FG (рис. 125, д), определяющих заданную плоскость, с плоскостью, выраженной горизонталью ТС и фронталью КС (см. задачу 86).
На рис. 125, е плоскость Q, перпендикулярная к отрезку АВ в его середине, выражена следами. Находим точки М и N пересечения одноименных следов плоскостей Р и Q и проводим через них искомую прямую MN (рис. 125, ж).
128. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B:
а) на плоскости, заданной треугольником CDE (рис. 126, а);
б) на пл. Р (рис. 126, б).
129* Дана плоскость треугольника CDE и прямая АВ (рис. 127, а). Провести в этой плоскости прямую, пересекающую АВ под прямым углом.
Решение. Искомая прямая получится (рис. 127, б) как линия пересечения плоскости треугольника (Р) с пл. Q, перпендикулярной к АВ и проходящей через точку (K) пересечения АВ с заданной плоскостью.
Поэтому находим (рис. 127, в) точку К пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника CDE. В качестве вспомогательной плоскости взята фроятально-проецирующая плоскость R, проведенная через прямую АВ. Найдя проекции k и k", проводим через них проекции горизонтали и фронтали плоскости, перпендикулярной к АВ (рис. 127, г). Для построения искомой линии пересечения плоскостей находим (рис. 127, д) точку (m"; m) пересечения стороны треугольника ED с проведенной через точку К плоскостью. Прямая МК (m"k"; mk) является искомой прямой
130. Дана прямая АВ и плоскость, заданная параллельными прямыми CD и EF. Провести в этой плоскости прямую, пересекающую прямую АВ под прямым углом (рис. 128).
131. Дана прямая АВ и пл. Р. Провести в этой плоскости прямую, пересекающую прямую АВ под прямым углом (рис. 129).
132*. Даны плоскость треугольника LMN и прямые АЕ и FG. Построить параллелограмм, у которого сторона AD лежит на прямой АЕ, сторона АВ параллельна плоскости треугольника, вершина В принадлежит прямой FG, диагональ BD перпендикулярна к стороне AD (рис. 130, а).
Решение. Наметим план решения (рис. 130, б и в).
1. Через точку А пронести плоскость (P), параллельную плоскости треугольника LMN.
2. Найти точку пересечения (В) прямой FG с пл. Р.
3. Через, точку В провести плоскость (Q), перпендикулярную к прямой АЕ.
4. Найти точку пересечения (D) прямой АЕ с пл. Q.
5. Провести отрезок АВ и параллельно ему прямую через точку D, а через В - прямую, параллельную AD.
На рис. 130, в и г показано построение пл. P, параллельной плоскости треугольника LMN. Пл. P, проведенная через точку А, задана двумя пересекающимися прямыми А- 1 и А- 2, из которых А-1 параллельна LM, а А-2 параллельнаLN.
На тех же рисунках показано нахождение точки В пересечения прямой FG с пл. Р, для чего через FG проведена фронтально-проецирующая плоскость S, заданная следом S ϑ . горизонт. проекция 1-2 линии пересечения плоскостей Р и S пересекает горизонт. проекцию fg в точке b. По точке b находим проекцию b" на f"g".
На рис. 130, д показано построение пл. Q, перпендикулярной к АЕ. Эта плоскость проведена через точку В и выражена горизонталью В-4 и фронталью В-3, перпендикулярными к АЕ. На том же чертеже показано построение точки D, в которой прямая АЕ пересекает пл. Q, выраженную горизонталью В-4 и фронталью В-3.
Через АЕ проведена горизонтально-проецирующая плоскость Т, выраженная ее следом Т h , построены проекции 3-4 и 3"4" линии пересечения плоскостей Т и Q и проекции d" и d.
На рис. 130, е показано построение искомого параллелограмма, для чего проведены проекции а"b" и ab, a"d" и ad двух сторон параллелограмма, а затем b"с"|| а"d"; bc || ad; d"c" || а"b и dc || ab. Точки с" и с должны оказаться на линии связи сс", перпенди-кулярной к оси x.
133. Даны треугольник LMN и прямые АЕ и FG. Построить параллелограмм, у которого сторона AD лежит на прямой АЕ, сторона АВ параллельна плоскости треугольника, вершина В принадлежит прямой FG, диагональ BD перпендикулярна к стороне AD (рис. 131).
134*. Через точку А провести прямую, параллельную пл. Р и плоскости треугольника CDE (рис. 132, а).
Решение. Если искомая прямая должна быть одновременно параллельна двум плоскостям, то она должна быть параллельна линии пересечения этих плоскостей
(рис, 132, б). Вводя две вспомогательные плоскости Т и S, находим линию пересечения MN плоскостей (рис. 132, в). Проекции искомой прямой b"f" и bf проходят через а" и a параллельно одноименным с ними проекциям прямой MN (рис. 132,г).
I3S. Через точку А провести прямую, параллельную пл. Р и плоскости, заданной пересекающимися прямыми DE и DF (рис, 133).
136. Через точку А провести прямую, параллельную пл. Р и плоскости, заданной параллельными прямыми DE и FG (рис. 134).
137*. Провести прямые, каждая из которых отстоит от пл. Р на расстояние l 1 , а от плоскости, заданной прямой ВС и точкой А, на расстояние l 2 (рис. 135, а).
Решение. В основе решения лежит представление о геометрическом месте прямых, отстоящих от данной плоскости на определенное расстояние, т. е. от плоскости параллельной данной.
Искомыми прямыми являются линии MN пересечения двух плоскостей Q, параллельных пл. Р и расположенных по обе стороны от нее.на расстоянии l 1 , с двумя
плоскостями S, параллельными второй из заданных плоскостей и отстоящими от нее на расстояние l 2 . Всего таких прямых может быть четыре. На рис. 135, б изображена одна из них.
На рис. 135, в показано: 1) проведение перпендикуляра к пл. Р из взятой в ней точки М 1 и построение точки К 1 на этом перпендикуляре на расстоянии М 1 K 1 = l 1 ; 2) проведение перпендикуляра к плоскости, заданной точкой А и прямой ВС, из точки А (при помощи горизонтали А-2 и фронтали А-3) и построение точки K 2 на этом перпендикуляре на расстоянии АК 2 = l 2
На рис. 135, г показано проведение через точку K 1 пл.Q параллельно пл. P и через точку плоскости K 2 , выраженной горизонталью К 2 5 и фронталью К 2 6, соответственно параллельными горизонтали А-2 и фронтали А-3, принадлежащим плоскости, заданной точкой А и прямой ВС.
На рис. 135, д построена линия пересечения пл. Q и плоскости S, выраженной горизонталью К 2 5 и фронталью К 2 6. Полученная прямая МN параллельна обеим заданным плоскостям.
138. Провести одну из прямых, отстоящих от пл. Р на расстояние l 1 и от плоскости треугольника ABC на расстояние l 2 (Рис. 136).
139*. Провести прямую, пересекающую заданные прямые АВ и CD и параллельную прямой EF (рис. 137, а).
Решение. Наметим план решения задачи {рнс. 137, б).
1. Через прямую CD провести плоскость (Q), параллельную прямой ЕF.
2. Найти точку (К), в которой прямая АВ пересечет пл. Q.
3. Через точку К провести прямую (КМ), параллельную заданной прямой ЕF.
На рис. 137, в показано построение пл. Q, проходящей через прямую CD и параллельной прямой EF Пл. Q выражена прямой CD и пересекающей ее прямой DG, проведенной через точку D параллельно EF.
На рис. 137, в показано построение точки К, в которой прямая АВ пересекает пл. Q. Прямая АВ заключена в фронтально-проецирукпцую плоскость R, выраженную ее следом R ϑ . Пл. R пересекает пл. Q по прямой 1-2. В пересечении 1-2 и ab получается проекция k; по точке k находим фронт. проекцию k".
Наконец, на рис. 137, д показаны проекции km и k"m" искомой прямой: k"m" || e"f" и km || ef. Конечно, проекции m" и m должны получиться на линии связи m"m, перпендикулярной к оси х.
140. Провести прямую, пересекающую заданные прямые АВ и CD и параллельную прямой EF (рис. 138).
141. Провести прямую, пересекающую заданные прямые АВ и CD, параллельно прямой EF (рис. 139).
142*. Даны прямые EF, MN, KL и HI. Построить прямоугольник ABCD, у которого сторона АВ параллельна прямой EF, вершина А лежит на прямой KL, вершина В - на прямой MN и вершина С - на прямой HI (рис. 140, а).
Решение. Сторона АВ должна пересечь KL и МN и быть параллельной ЕF (см. задачу 139).
Если (рис. 140,6) провести хотя бы через точку G, лежащую на KL, прямую, параллельную EF, то получим пл. Q, параллельную EF. Далее надо найти точку В пересечения этой плоскости с прямой MN и через точку В провести в пл. Q. Прямую, параллельную EF. Эта прямая АВ пересекает прямые MN и KL и параллельна EF.
Построение показано на рис. 140, в. Так как стороны ВС и АВ должны быть взаимно перпендикулярны, то проводим (рис. 140,гид) через точку В пл. Р, перпендикулярную к стороне АВ, и строим точку С пересечения ее с прямой HI.
Через точки А и С проводим прямые (рис. 140, г и ё), параллельные прямым ВС и АВ, до пересечения их в точке D.
143.. Даны пирамида SEFG и прямая MN (рис. 141). Построить прямоугольник ABCD, у которого сторона АВ параллельна прямой MN, вершина А лежит на ребре SF, вершинАВ - на стороне основания EG, вершина D - на ребре SE.
144. Даны пирамида SEFG и прямая MN (рис. 142). Построить прямоугольник ABCD, у которого сторона АВ параллельна прямой MN, вершина А лежит на ребре SG, вершина В - на стороне основании EF и вершина D - на ребре SF.
145*. Через точку А провести прямую, параллельную плоскости, заданной параллельными прямыми ED и FG, и пересекающую прямую ВС (рис. 143, а).
Решение. Можно составить следующий план решения задачи (рис. 143, б):
1) через точку А провести плоскость (Р), параллельную заданной плоскости;
2) найти точку (К) пересечения ВС о пл. Р;
3) провести искомую прямую АК.
На рис. 143, в пл. Р, проведенная через точку A, выражена прямой АМ || ED (a"m" || e"d", am || ed) и горизонталью AN, для проведения горизонт. проекции которой
взята горизонталь E-1 в плоскости, заданной прямыми ED я FG (an || ef). На рис. 143, г показано построение точки К, в которой заданная прямая ВС пересекает пл. Р: через ВС проведена фронтально-проецирующая плоскость (она выражена
следом R ϑ), построены проекции 2"3" и 2-3 прямой пересечения плоскостей Р и R, получена точка к в пересечении прямой 2-3 и bс. По проекции k найдена проекция k". Проекции искомой прямой а"k"и аk.
146. Через точку А (рис. 144) провести прямую, параллельную пл. Р и пересекающую прямую ВС.
147. Через точку А (рис. 145) провести прямую, параллельную плоскости, заданной пересекающимися прямыми DE и DF, и пересекающую прямую ВС.
148*. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от заданных точек А, В и С (рис. 146, а),
Решение. Искомым геометрическим местом является линия пересечения MN (рис. 146, б) плоскостей Р и Q, соответственно перпендикулярных к отрезкам АВ и ВС и проходящих через точки K 1 и K 2 в серединах этих отрезков. На рис. 146, в эти
плоскости выражены их следами. Используя (рис. 146, г) точки пересечения одноименных следов плоскостей, строим линию их пересечения MN.
149. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от заданных точек А, В и С (рис. 147).
150*. Дан треугольник ABC (рис. 148, а). Построить пирамиду SABC, вершина S которой равноудалена от точек А, В и С. Расстояние от точки S до пл. V в 1,7 раза больше расстояния ее до пл. Н.
Решение. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А, В и С (см. задачу 148*), является линия пересечения MN плоскостей Q и Р, проведенных через середины (K 1 и К 2) отрезков АВ и ВС перпендикулярно к ним (риc. 148, б и в). Вершина S должна лежать на этой прямой. Геометрическим местом точек, для которых ордината в 1,7 раза больше апликаты, является осевая плоскость T; ее профильный след T ω проходит (риc. 148, в) через точку О и точку, расстояние которой до
оси у равно 10 единицам, а до оси z - 17 единицам. Точка S принадлежит этой плоскости. Профильная проекция s" вершины пирамиды находится на пересечении m"n" со следом T ω (на рисунке для упрощения чертежа построена профильная проекция точки D, лежащей на прямой MN). По s" находим s" и s. На рис. 148, г показаны проекции искомой пирамиды.
151. Дан треугольник ABC (рис. 149). Построить проекции пирамиды SABC, вершина S которой равноудалена от вершин основания ABC и лежит в пл. V.
152*. Даны точки A, L, М и N (рис. 150,а). Построить параллелограмм ABCD, у которого вершина В лежит на пл. Н, сторона CD - на прямой, равноудаленной от точек L, М и N, вершина D равноудалена от плоскостей V и Н.
Решение. Так как сторона CD искомого параллелограмма должна лежать на прямой, равноудаленной от трех точек, то начинаем с построения этой прямой. Подобное построение уже встречалось: прямая EF получается как линия пересечен ния двух плоскостей (рис. 150, 6 и в) Р и Q, проведенных перпендикулярно к отрезкам LM и MN через их середины. Точку D на этой прямой находим из условия, что
она равноудалена от пл. V и пл. Н (рис. 150, г): проведем через точку f вспомогательную прямую f"5 под тем же углом к оси х, что и прямая f"e", получаем на проекции ef точку d, а по ней d", причем d"6 = d-6.
Итак, мы получили одну из вершин искомого параллелограмма (точку D) и направление стороны, проходящей через эту точку (прямая EF). Проведя через заданную
точку А прямую, параллельную EF, получаем сторону АВ, зная, что по условию точка В должна быть в пл. Н.
Остается закончить построение проекций параллелограмма, проведя а"b" и ab (рис. 150,6), b"с" || a"d" и bc || ad. Точки с" и с должны оказаться на линии связи с"c, перпендикулярной к оси х.
153. Даны точки A, L, М и N (рио. 151). Построить параллелограмм ABCD, у которого вершина В лежит на пл. Н, сторона CD лежит на прямой, равноудаленной от точек L, М и N, вершина D равноудалена от пл. V и пл.H
154. Дан треугольник ABC (рис. 152). Построить проекции пирамиды SABC, вершина S которой равноудалена от точек А, В и С и находится на равных расстояниях от пл. V и пл. H.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224,а показано построение точки пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника АВС (перпендикулярной плоскости V) На плоскость V треугольник АВС проецируется в отрезок а"с" прямой линии, и точка k" будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения е"f" с а"с". Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC и прямой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224,а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки k" проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости H этот участок видимый.
На рис. 224, б прямая EF пересекает горизонтальную плоскость Р. Фронтальная проекция k" точки К - точки пересечения прямой EF с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f" со следом плоскости Рv, так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k точки K находят с помощью линии проекционной связи.
Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция m"n" линии пересечения MN совпадает со следом Pv фронтально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225,б горизонтальная проекция kl совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи.
Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис. 226, а) выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF - заданная прямая и 12 - построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке К.
Нахождение проекций точки К показано на рис. 226,б. Построения выполняют в следующей последовательности.
Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след R H совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.
Строят фронтальную проекцию 1"2" линии пересечения 12 плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H плоскости R.
Определяют фронтальную проекцию k" искомой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1"2" линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.
Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226,б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К" прямая закрыта плоскостью треугольника ABC.
Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z 1 > Z 5 , точка 1 видимая. Следовательно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.
Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227,а. Одна плоскость задана треугольником ABC, другая - параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12 и 34, которые в пересечении дают точку К, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q. Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.
На рис. 227,б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2" и 3"4 плоскости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом Rv плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след Rv. Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4" до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки К, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе Rv.
Для построения второй точки, принадлежащей линии пересечения, проводят вторую вспомогательную плоскость Q. Для удобства построений плоскость Q проведена через точку С параллельно плоскости R. Тогда для построения горизонтальных проекций линий пересечения плоскости Q с плоскостью треугольника АВС и с плоскостью, заданной параллельными прямыми, достаточно найти две точки: с и 5 и провести через них прямые, параллельные ранее построенным проекциям линий пересечения 12 и 34, так как плоскость Q ║ R. Продолжив эти прямые до пересечения друг с другом, получают горизонтальную проекцию l точки L, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция l" точки L лежит на следе Q v и строится с помощью линии проекционной связи. Соединив одноименные проекции точек К и L, получают проекции искомой линии пересечения.
Если в одной из пересекающихся плоскостей взять прямую и построить точку пересечения этой прямой с другой плоскостью, то эта точка будет принадлежать линии пересечения этих плоскостей, так как она принадлежит обеим заданным плоскостям. Построим таким же образом вторую точку, можно найти линию пересечения двух плоскостей, так как для построения прямой достаточно двух точек. На рис. 228 показано такое построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками.
Для данного построения берут одну из сторон треугольника и строят точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника. Если это не удается, берут другую сторону этого же треугольника, затем третью. Если и это не привело к нахождению искомой точки, строят точки пересечения сторон второго треугольника с первым.
На рис. 228 построена точка пересечения прямой EF с плоскостью треугольника ABC. Для этого через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость S и строят фронтальную проекцию 1"2" линии пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС. Фронтальная проекция 1"2" линии пересечения, пересекаясь с фронтальной проекцией e"f" прямой EF, дает фронтальную проекцию m" точки пересечения М. Горизонтальную проекцию m точки М находят с помощью линии проекционной связи. Вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей заданных треугольников, - точка N - точка пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEF. Через прямую ВС проводят фронтально-проецирующую плоскость R, и на плоскости H пересечение горизонтальных проекций прямой ВС и линии пересечения 34 дает точку n - горизонтальную проекцию искомой точки. Фронтальная проекция построена с помощью линии проекционной связи. Видимые участки заданных треугольников определяют с помощью конкурирующих точек для каждой плоскости проекций отдельно. Для этого выбирают точку на одной из плоскостей проекций, которая является проекцией двух конкурирующих точек. По вторым проекциям этих точек определяют видимость, сравнивая их координаты.
Например, точки 5 и 6 - точки пересечения горизонтальных проекций bc и de. На фронтальной плоскости проекций проекции этих точек не совпадают. Сравнив их координаты Z, выясняют, что точка 5 закрывает точку 6, так как координата Z 5 , больше координаты Z 6 . Следовательно, левее точки 5 сторона DE невидимая.
Видимость на фронтальной плоскости проекций определяю с помощью конкурирующих точек 4 и 7, принадлежащих отрезкам DE и ВС, сравнивая их координаты Y 4 и Y 7 Так как Y 4 >Y 7 , сторона DE на плоскости V видимая.
Следует отметить, что при построении точки пересечения прямой с плоскостью треугольника точка пересечения может оказаться за пределами плоскости треугольника. В этом случае, соединив полученные точки, принадлежащие линии пересечения, обводят только тот ее участок, который принадлежит обоим треугольникам.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Какие координаты точки определяют ее положение в плоскости V?
2. Что определяют координата Y и координата Z точки?
3. Как располагаются на эпюре проекции отрезка, перпендикулярного плоскости проекций Н? Перпендикулярного плоскости проекций V?
4. Как располагаются на эпюре проекции горизонтали, фронтали?
5. Сформулируйте основное положение о принадлежности точки прямой.
6. Как отличить на эпюре пересекающиеся прямые от скрещивающихся?
7. Какие точки называют конкурирующими?
8. Как определить, какая из двух точек видимая, если их проекции на фронтальной плоскости проекций совпали?
9. Сформулируйте основное положение о параллельности прямой и плоскости.
10. Какой порядок построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?
11. Какой порядок построении линии пересечения двух плоскостей общего положения?
