Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь \(\frac{m}{n}\) (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Например, квадратный корень из двух - является числом иррациональным.

Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой \(I\) .

Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой \(R\) .

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\) . \(\displaystyle (\sqrt{a}=x,\ {{x}^{2}}=a;\ x,a\ge 0)\) .

Приближенными значениями квадратного корня из данного числа с точностью до единицы называются два последовательных натуральных числа, из которых квадрат первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.

Первое из этих чисел называется приближенным значением корня с недостатком, второе — приближенным значением корня с избытком.

Записываются приближенные значения корня так: \(\sqrt{10}\approx3 (\ с \ нед.); \ \sqrt{10}\approx4 (\ с \ изб.)\) .

Пример 1 . Найдем приближенное значение \(\sqrt3\) с двумя знаками после запятой. Оценим подкоренное выражение 3 сначала целыми числами. Так как 1 < 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .

Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; ... до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 3. Имеем: 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Так как 2,89 < 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .

Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,71; 1,72; 1,73; ..., вновь оценивая подкоренное выражение 3. Имеем: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Так как 1,732 < 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .

Пример 2. Вычислить \(\sqrt{138384}\) .

Решение: Разобьем число на грани: 13 " 83 " 84 — их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как 3 2 < 13, тогда как 4 2 > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x , чтобы произведение двузначного числа ax на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 * 7 = 469 — это меньше 483, тогда как 68 * 8 = 544 — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.

Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y , чтобы произведение трехзначного числа by на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 * 2 = 1484. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.

\(\sqrt{138384}=372\) .

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 39 Извлечение квадратных корней из рациональных чисел

Как мы знаем, в множестве рациональных чисел всегда выполнимо действие умножения. В частности, определено произведение m / n m / n . Это произведение, как известно, называется квадратом числа m / n и обозначается ( m / n ) 2:

( m / n ) 2 = m / n m / n

Таким образом, если некоторое число является рациональным, то квадрат его еcть также рациональное число. Это число, очевидно, положительно. А теперь поставим обратную задачу: всякое ли положительное рациональное число является квадратом некоторого рационального числа? На языке алгебраических уравнений эта задача может быть сформулирована следующим образом. Дано уравнение

х 2 = а ,

где а - некоторое положительное рациональное число, а х - неизвестная величина. Спрашивается: всегда ли это уравнение имеет р а ц и о н а л ь н ы е корни? Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным. Рациональное число а можно выбрать так, что уравнение х 2 = а не будет иметь ни одного рационального корня. В этом нас убеждает, в частности, следующая теорема.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что существует рациональное число m / n , квадрат которого равен 2: ( m / n ) 2 = 2.

Если целые числа т и п имеют одинаковые множители, то дробь m / n можно сократить. Поэтому с самого начала мы вправе предположить, что дробь m / n несократима.

Из условия ( m / n ) 2 = 2 вытекает, что

т 2 = 2п 2 . .

Поскольку число 2п 2 четно, то число т 2 должно быть четным. Но тогда будет четным и число т . (Докажите это!) Таким образом, т = 2k , где k - некоторое целое число. Подставляя это выражение для т в формулу т 2 = 2п 2 получаем: 4k 2 = 2п 2 , откуда

п 2 =2k 2 .

В таком случае число п 2 будет четным; но тогда должно быть четным и число п . Выходит, что числа т и п четные. А это противоречит тому, что дробь m / n несократима. Следовательно, наше исходное предположение о существовании дроби m / n , удовлетворяющей условию ( m / n ) 2 = 2., неверно. Остается признать, что среди всех рациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2. Поэтому уравнение

х 2 = 2

в множестве рациональных чисел неразрешимо. Аналогичное заключение можно было бы сделать и о многих других уравнениях вида

х 2 = а ,

где а - положительное целое число. Тем не менее в VIII классе мы неоднократно говорили о корнях таких уравнений. А положительному корню уравнения х 2 = а мы даже дали специальное название «корень квадратный из числа а » и ввели для него специальное обозначение: √a .

Итак, к рациональным числам √2 не принадлежит. А как же в таком случае можно охарактеризовать √2 ? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним правило для извлечения квадратных корней. Применительно к числу 2 это правило дает:

Процесс извлечения,корня в данном случае не может закончиться ни на каком шаге. В противном случае √2 был бы равен некоторой конечной десятичной дроби и потому был бы рациональным числом. А это противоречит доказанной выше теореме. Таким образом, при извлечении корня квадратного из 2 получается бесконечная десятичная дробь. Эта дробь не может быть периодической, иначе ее, как и всякую другую бесконечную периодическую дробь, можно было бы представить в виде отношения двух целых чисел. А это также находится в противоречии с доказанной выше теоремой. Таким образом, √2 можно рассматривать как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Итак, к бесконечным непериодическим десятичным дробям нас приводит, например, действие извлечения корней из целых чисел.

В последующих параграфах мы рассмотрим еще одну задачу, которая, вообще говоря, никак не связана с извлечением корней, но которая также приводит нас к бесконечным непериодическим десятичным дробям.

Упражнения

305. Укажите несколько натуральных чисел, квадратные корни из которых были бы рациональными числами.

306. Докажите, что если корень квадратный из натурального числа представляет собой рациональное число, то это рациональное число является непременно целым.

307. Докажите, что уравнение х 3 = 5 в множестве рациональных чисел не имеет корней.

Ранее мы уже показали, что $1\frac25$ — близко к $\sqrt2$. Если бы оно точно равнялось $\sqrt2$, . Тогда соотношение — $\frac{1\frac25}{1}$, которое можно превратить в соотношение целых чисел $\frac75$, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.

Но, к сожалению, $1\frac25$ не является точной величиной $\sqrt2$. Более точный ответ $1\frac{41}{100}$, дает нам соотношение $\frac{141}{100}$. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем $\sqrt2$ к $1\frac{207}{500}$. В этом случае соотношение в целых числах будет равно $\frac{707}{500}$. Но и $1\frac{207}{500}$ не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение $\sqrt2$, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение $\frac{\sqrt2}{1}$ в виде соотношения целых чисел.

Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение $\sqrt2$ невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.

Но если число $\frac{\sqrt2}{1}$ не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая , содержащая $\sqrt2$, например $\frac{\sqrt2}{2}$ или $\frac{4}{\sqrt2}$ также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в $\frac{\sqrt2}{1}$, умноженное на какое нибудь число. Так $\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{1} \times \frac12$. Или $\frac{\sqrt2}{1} \times 2=2\frac{\sqrt2}{1}$, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на $\sqrt2$, и получить $\frac{4}{\sqrt2}$. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число $\sqrt2$, если мы умножим его на $\sqrt2$, то получим 2.)

Поскольку число $\sqrt2$ нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа . С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными .

Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.

Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у чисел, входящих в ряд квадратных чисел. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, $\sqrt{1\frac79}$ является рациональным числом, так как $\sqrt{1\frac79}=\frac{\sqrt16}{\sqrt9}=\frac43$ или $1\frac13$ (4 - это корень квадратный из 16, а 3 - корень квадратный из 9).