Интуитивное представление о числе, по–видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только “один”, “два” и “много”, подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово “три” использовалось только в сочетаниях “три дерева” или “три человека”; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова “один” и “первый”, равно как “два” и “второй”, во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета “один”, “два”, “много”, слова “три” и “третий”, “четыре” и “четвертый” ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по–видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово “двадцать три” – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий “два раза по десять и три”. Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерений или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Основные виды чисел

В отличие от октав, седенионы S не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности .

Для представления целого положительного числа х в памяти компьютера, оно переводится в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичной системе счисления х 2 представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа х 10 . Для записи отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера (в вычислительной технике для их обозначения используется термин число с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Так, лишь некоторые из действительных чисел могут быть без потерь в точности представлены в памяти компьютера. В наиболее распространённой схеме число с плавающей запятой записывается в виде блока битов часть из которых представляют собой мантиссу числа, часть - степень, а один бит выделяется для представления знака числа (в случае необходимости знаковый бит может отсутствовать).

Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Основные виды чисел

Получаемые при естественном счёте; натуральных чисел обозначается . Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа , получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа - числа, представленные в виде m/n (n≠0), где m - целое число, а n - натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел , не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число - алгебраическим.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут записаны в виде z = x + iy , где i - т. н. мнимая единица, для которой выполняется i 2 = − 1 . Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Натуральные числа, которые в качестве множителей имеют только себя и единицу. Ряд простых чисел имеет вид: Любое натуральное число N можно представить в виде произведения степеней простых чисел: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Это свойство широко используется в практической криптографии.

Числа – виды, понятия и операции, натуральные и другие виды чисел.

Число – фундаментальное понятие математики, служащее для определения количественной характеристики, нумерации, сравнения объектов и их частей. К числам применимы различные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и другие.

Числа, участвующие в операции, называются операндами. В зависимости от производимого действия, они получают различные наименования. В общем случае схему операции можно представить следующим образом: <операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

В операции деления первый операнд называется делимым (так называется число, которое делят). Второй (на которое делят) – делитель, а результат – частное (оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя).

Виды чисел

В операции деления могут участвовать различные числа. Результат деления может быть целым или дробным. В математике существуют следующие виды чисел:

• Натуральные – числа, используемые при счёте. Среди них выделяется подмножество простых чисел, имеющих всего два делителя: единицу и самого себя. Все остальные, кроме 1, называются составными и имеют более двух делителей (примеры простых чисел: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д.);
• Целые – множество, состоящее их отрицательных, положительных чисел и нуля. При делении одного целого числа на другое, частное может быть целым, либо вещественным (дробным). Среди них можно выделить подмножество совершенных чисел – равных сумме всех своих делителей (включая 1), кроме самого себя. Древним грекам было известно только четыре совершенных числа. Последовательность совершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336… До сих пор не известно ни одного нечётного совершенного числа;
• Рациональные – представимые в виде дроби a/b, где а – числитель, а b – знаменатель (частное таких чисел обычно не вычисляется);
• Действительные (вещественные) – содержащие целую и дробную часть. Множество включает рациональные и иррациональные числа (представимые в виде непериодической бесконечной десятичной дроби). Частное таких чисел, как правило, представляет собой вещественное значение.

Существует несколько особенностей, связанных с выполнением арифметического действия – деления. Их понимание важно для получения правильного результата:

• Делить на ноль нельзя (в математике данная операция не имеет смысла);
• Целочисленное деление – операция, в результате которой вычисляется только целая часть (дробная при этом отбрасывается);
• Вычисление остатка от целочисленного деления позволяет получить в качестве результата целое число, оставшееся после завершения операции (например, при делении 17 на 2 целая часть равна 8, остаток – 1).

Чтобы глубже понять сакральную природу числа полезно на мгновение оторваться от чисто эзотерического подхода и посмотреть как он сочетается с представлениями обычной науки о виде чисел. Энциклопедический словарь пишет о числе следующее: "Число, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем - идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4... Задачи измерения длин, площадей, а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательном числе возникло у индийцев в VI-XI вв. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привело к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила лишь во второй половине XIX века в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений в XVI веке были введены комплексные числа". Математика подразделяет числа на несколько групп или разновидностей, каждая из которых может быть рассмотрена с обычной, а может с метафизической точки зрения.

Взаимосвязь чисел

Числа действительные, представляющие собой объединение множества рациональных и множества иррациональных чисел. Любое действительное число в принципе может быть изображено на координатной прямой так, что каждое действительное число и каждая точка на этой прямой взаимно соответствуют друг другу. Действительным может быть любое либо положительное, либо отрицательное число, или нуль. С метафизической точки зрения данная группа чисел соответствует материальному вещественному плану бытия и является знаком количества. С помощью действительных чисел выражаются измерения всех физических величин.Числа рациональные, могущие быть представленными в виде бесконечной десятичной дроби. Они имеют вид m/n, где т и п целые числа и и не равно 0. Каждая бесконечная десятичная дробь является рациональным числом. Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел также считается рациональным. К рациональным числам относятся и целые, и дробные, и положительные, и отрицательные, и даже нуль. С метафизической точки зрения рациональные числа относятся к тем величинам, которые могут быть измерены с определенностью и точностью.

Виды чисел

Числа иррациональные относятся к группе действительных чисел, которые можно выразить в форме бесконечной десятичной непериодической дроби. Они не могут быть точно выраженными дробью m/n, где т и п- целые числа. Примерами таких иррациональных чисел являются числа корень из 2; 0,1010010001; lg2; cos20±; .... С метафизической точки зрения иррациональные числа относятся к области тех неуловимых явлений тонкого мира, которые не могут быть измерены с абсолютной точностью. Действительный вид числа считается разновидностью комплексных чисел, к которым относятся числа вида x+iy, где х и у - действительные числа, a i - так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называется действительной частью, а у мнимой частью комплексных чисел. Комплексные числа, не являющиеся действительными (у<>0), иногда называют мнимыми числами, при х=0 комплексные числа называют чисто мнимыми. Иначе говоря, мнимые числа - это те комплексные числа, у которых равна нулю действительная часть и которые обозначаются z=bi. С метафизической точки зрения комплексные числа являются такими величинами, которые несут в себе сакральный план. Числа подразделяются также на положительные, к которым относятся действительные числа больше нуля и отрицательные числа, противоположные положительным, меньше нежели ноль. С метафизической точки зрения все положительные числа относятся к физическому миру, а отрицательные - к тонкому плану бытия, то есть к астрально-ментальной области.

Однако выше речь шла лишь о внешней, лишенной сакральности чисто количественной природе числа. Однако есть и сугубо внутренний сакральный аспект числа, неизвестный современной математике и предопределяющий характер проявления чисел. Об этом хорошо говорит X.

"Числа в символизме - это не просто выражение количества, а идеи - силы, каждая со своим особым характером. Числа в современном понимании являются только внешней оболочкой. Все числа происходят от единицы (которая эквивалентна мистической, невыявленной и не имеющей размера точке). Далее число, возникшее из единицы, все глубже погружается в материю, в усложняющиеся процессы, в "мир". Первые десять цифр в греческой системе (или двенадцать в восточной традиции) имеют отношение к духу: они - в сущности, архетипы и символы. Остальные - это продукт комбинации этих основных чисел. Древние греки очень интересовались символикой чисел. Например, Пифагор отмечал, что "все расположено в соответствии с числами". Платон рассматривал число как сущность гармонии, а гармонию как основу космоса и человека, утверждая, что ритмы гармонии "того же рода, что и периодические колебания нашей души". Философия чисел далее развивалась иудеями, гностиками и каббалистами, захватывая также алхимиков. Те же базовые универсальные понятия обнаруживаем в восточном мышлении - например, у Лао-Цзы: "Одно рождает два, два рождает три, а из тройки приходит одно" - новое единство или новый порядок - "как четыре". Современная символическая логика и теория групп возвращаются к идее количественного измерения как основы качественного. Пире полагал, что законы природы и человеческого духа базируются на общих принципах и могут быть расположены вдоль одних и тех же линий".

Виды чисел. Действительные числа подразделяются также на алгебраические и неалгебраические числа. Алгебраическим считается число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. К таким числам относятся числа: корень из 2 ; корень из З; Неалгебраические или трансцендентные числа - это числа, не удовлетворяющие никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентные числа относятся к группе иррациональных чисел, хотя не всегда иррациональные числа относятся к трансцендентным. Число а^b считается трансцендентным, если числа а и в являются алгебраическими числами, но при этом а<>0; а<>1 и в - нерациональное число. Трансцендентными числами считаются синусы многих рациональных величин, а также десятичные логарифмы целых чисел, не изображаемые единицей с нулями. Наиболее известными примерами трансцендентных чисел являются числа s (приближенное значение которого равно 2,718281) и PI (приближенное значение которого равно 3,1415296 ...)

П. Д. Успенский подразделяет математику как науку о числах на два вида:

а) математика конечных и постоянных величин, представляющая собой искусственную дисциплину, созданную для решения конкретных задач на условных данных;

б) математика бесконечных и переменных величин, представляющая собой более точное знание о реальном мире. Примерами математики второго типа, нарушающей искусственные аксиомы математики первого типа являются так называемые "трансфинитные числа", лежащие за бесконечностью.