فرمول کلی: جریان بردار شدت میدان الکتریکی از طریق هر سطح بسته ای که به طور دلخواه انتخاب شده باشد، متناسب با بار الکتریکی موجود در داخل این سطح است.

در سیستم SGSE:

در سیستم SI:

جریان بردار شدت میدان الکتریکی از یک سطح بسته است.

- بار کل موجود در حجمی که سطح را محدود می کند.

- ثابت الکتریکی

این عبارت بیانگر قضیه گاوس به صورت انتگرال است.

در شکل دیفرانسیل، قضیه گاوس مطابق با یکی از معادلات ماکسول است و به صورت زیر بیان می شود.

در سیستم SI:

,

در سیستم SGSE:

در اینجا چگالی بار حجمی است (در صورت وجود یک محیط، چگالی کل بارهای آزاد و محدود)، و عملگر نابلاست.

برای قضیه گاوس، اصل برهم نهی معتبر است، یعنی جریان بردار شدت از طریق سطح به توزیع بار در داخل سطح بستگی ندارد.

مبنای فیزیکی قضیه گاوس قانون کولن است یا به عبارت دیگر قضیه گاوس فرمول لاینفک قانون کولن است.

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی).

برای یک میدان در ماده، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به طور متفاوت نوشت - از طریق جریان بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی). در این مورد، فرمول قضیه به این صورت است: جریان بردار جابجایی الکتریکی از یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

اگر قضیه قدرت میدان را در یک ماده در نظر بگیریم، به عنوان بار Q، باید مجموع بار آزاد واقع در داخل سطح و بار قطبی (القایی، محدود) دی الکتریک را در نظر بگیریم:

,

جایی که ,
بردار پلاریزاسیون دی الکتریک است.

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

.

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی گردابی است.

کاربرد قضیه گاوس

برای محاسبه میدان های الکترومغناطیسی از مقادیر زیر استفاده می شود:

چگالی بار حجمی (به بالا مراجعه کنید).

چگالی بار سطحی

که در آن dS یک سطح بی نهایت کوچک است.

چگالی بار خطی

که در آن dl طول یک قطعه بی نهایت کوچک است.

بیایید میدان ایجاد شده توسط یک صفحه باردار یکنواخت بی نهایت را در نظر بگیریم. بگذارید چگالی بار سطحی صفحه یکسان و برابر با σ باشد. اجازه دهید استوانه‌ای را با ژنراتیس‌های عمود بر صفحه و پایه ΔS که به طور متقارن نسبت به صفحه واقع شده است تصور کنیم. به دلیل تقارن. شار بردار کشش برابر است با . با استفاده از قضیه گاوس، به دست می آوریم:

,

از کدام

در سیستم SSSE

ذکر این نکته حائز اهمیت است که قضیه گاوس علیرغم کلیت و کلی بودنش، به دلیل عدم استفاده از محاسبه انتگرال، کاربرد نسبتاً محدودی دارد. با این حال، در مورد یک مسئله متقارن، حل آن بسیار ساده تر از استفاده از اصل برهم نهی می شود.

اصلی ترین وظیفه کاربردی الکترواستاتیک محاسبه میدان های الکتریکی ایجاد شده در دستگاه ها و دستگاه های مختلف است. به طور کلی این مشکل با استفاده از قانون کولن و اصل برهم نهی حل می شود. با این حال، این کار با در نظر گرفتن تعداد زیادی شارژ نقطه ای یا فضایی بسیار پیچیده می شود. هنگامی که دی الکتریک ها یا هادی ها در فضا وجود دارند، زمانی که تحت تأثیر میدان خارجی E 0 توزیع مجدد بارهای میکروسکوپی رخ می دهد، مشکلات بیشتری ایجاد می شود و میدان اضافی E خود را ایجاد می کند. بنابراین، برای حل عملی این مشکلات، روش ها و تکنیک های کمکی هستند. استفاده می شود که از دستگاه پیچیده ریاضی استفاده می کند. ما ساده ترین روش را بر اساس استفاده از قضیه استروگرادسکی-گاوس در نظر خواهیم گرفت. برای فرمول بندی این قضیه چندین مفهوم جدید را معرفی می کنیم:

الف) چگالی بار

اگر جسم باردار بزرگ است، پس باید از توزیع بارها در داخل بدن مطلع شوید.

تراکم بار حجمی- اندازه گیری شده توسط شارژ در واحد حجم:

چگالی بار سطحی- با بار در واحد سطح بدن اندازه گیری می شود (زمانی که بار روی سطح توزیع می شود):

چگالی بار خطی(توزیع بار در طول هادی):

ب) بردار القای الکترواستاتیک

بردار القای الکترواستاتیک (بردار جابجایی الکتریکی) یک کمیت برداری است که میدان الکتریکی را مشخص می کند.

بردار برابر حاصلضرب بردار روی ثابت دی الکتریک مطلق محیط در یک نقطه معین:

بیایید ابعاد را بررسی کنیم Dدر واحدهای SI:

، زیرا
,

سپس ابعاد D و E با هم مطابقت ندارند و مقادیر عددی آنها نیز متفاوت است.

از تعریف نتیجه می شود که برای فیلد برداری همان اصل برهم نهی برای میدان اعمال می شود :

رشته به صورت گرافیکی با خطوط القایی، درست مانند میدان نمایش داده می شود . خطوط القایی طوری ترسیم می شوند که مماس در هر نقطه با جهت منطبق باشد ، و تعداد خطوط برابر با مقدار عددی D در یک مکان معین است.

برای درک معنای مقدمه بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

	ε> 1	در مرز حفره با دی الکتریک، بارهای منفی مرتبط متمرکز و میدان با ضریب  کاهش می یابد و چگالی به طور ناگهانی کاهش می یابد.
برای یک مورد: D = Eεε 0	، سپس: خطوط به طور مداوم ادامه دهید خطوط شروع با هزینه های رایگان (در در هر محدود یا آزاد)، و در مرز دی الکتریک چگالی آنها بدون تغییر باقی می ماند. بدین ترتیب- تداوم خطوط القایی محاسبه را بسیار تسهیل می کند ، و دانستن ارتباط با می توانید وکتور را پیدا کنید .

V) شار بردار القایی الکترواستاتیک

سطح S را در میدان الکتریکی در نظر بگیرید و جهت نرمال را انتخاب کنید

1. اگر میدان یکنواخت است، تعداد خطوط میدان از سطح S:

2. اگر میدان غیر یکنواخت باشد، سطح به عناصر بینهایت کوچک dS تقسیم می شود که مسطح در نظر گرفته می شوند و میدان اطراف آنها یکنواخت است. بنابراین، شار از طریق عنصر سطح: dN = D n dS،

و مجموع جریان از هر سطحی برابر است با:

(6)

شار القایی N یک کمیت اسکالر است. بسته به  می تواند > 0 یا باشد< 0, или = 0.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه مقدار بردار E در رابط بین دو رسانه، به عنوان مثال، هوا (ε 1) و آب (ε = 81) تغییر می کند. شدت میدان در آب به طور ناگهانی به میزان 81 کاهش می یابد. این رفتار برداری Eهنگام محاسبه فیلدها در محیط های مختلف، ناراحتی های خاصی ایجاد می کند. برای جلوگیری از این ناراحتی، یک بردار جدید معرفی شده است D– بردار القاء یا جابجایی الکتریکی میدان. اتصال برداری Dو Eبه نظر می رسد

D = ε ε 0 E.

بدیهی است که برای میدان بار نقطه ای جابجایی الکتریکی برابر خواهد بود

به راحتی می توان دید که جابجایی الکتریکی بر حسب C/m2 اندازه گیری می شود، به ویژگی ها بستگی ندارد و به صورت گرافیکی با خطوطی مشابه خطوط کششی نشان داده می شود.

جهت خطوط میدان جهت میدان را در فضا مشخص می کند (البته خطوط میدان وجود ندارد، آنها برای راحتی تصویر معرفی شده اند) یا جهت بردار قدرت میدان. با استفاده از خطوط شدت، می توانید نه تنها جهت، بلکه میزان قدرت میدان را نیز مشخص کنید. برای انجام این کار، موافقت شد که آنها را با چگالی مشخصی اجرا کنیم، به طوری که تعداد خطوط کششی که یک سطح واحد عمود بر خطوط کشش را سوراخ می کنند، متناسب با مدول بردار باشد. E(شکل 78). سپس تعداد خطوطی که در ناحیه ابتدایی dS نفوذ می کنند، که نرمال آن است nیک زاویه α با بردار تشکیل می دهد E، برابر است با E dScos α = E n dS،

که در آن E n جزء برداری است Eدر جهت عادی n. مقدار dФ E = E n dS = Eد استماس گرفت جریان بردار تنش از طریق سایتد اس(د اس= dS n).

برای یک سطح بسته دلخواه S جریان برداری Eاز طریق این سطح برابر است

یک عبارت مشابه جریان بردار جابجایی الکتریکی Ф D را دارد

.

قضیه Ostrogradsky-Gauss

این قضیه به ما اجازه می دهد تا جریان بردارهای E و D را از هر تعداد بار تعیین کنیم. بیایید بار نقطه ای Q را بگیریم و شار بردار را تعریف کنیم Eاز طریق یک سطح کروی به شعاع r که در مرکز آن قرار دارد.

برای یک سطح کروی α = 0، cos α = 1، E n = E، S = 4 πr 2 و

Ф E = E · 4 πr 2 .

با جایگزینی عبارت E دریافت می کنیم

بنابراین، از هر بار نقطه ای یک بردار F E خارج می شود Eبرابر Q/ ε 0 . با تعمیم این نتیجه‌گیری به حالت کلی تعداد دلخواه بارهای نقطه‌ای، فرمول قضیه را می‌دهیم: جریان کل بردار. Eاز طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه از نظر عددی برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی موجود در این سطح، تقسیم بر ε 0، یعنی.

برای شار برداری جابجایی الکتریکی Dمی توانید فرمول مشابهی دریافت کنید

شار بردار القایی از طریق یک سطح بسته برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی پوشیده شده توسط این سطح.

اگر سطح بسته ای را بگیریم که باری را در بر نمی گیرد، هر خط Eو Dدو بار از این سطح عبور می کند - در ورودی و خروجی، بنابراین شار کل صفر می شود. در اینجا باید مجموع جبری خطوط ورودی و خروجی را در نظر گرفت.

استفاده از قضیه Ostrogradsky-Gauss برای محاسبه میدان های الکتریکی ایجاد شده توسط صفحات، کره ها و استوانه ها

یک سطح کروی با شعاع R حامل بار Q است که به طور یکنواخت روی سطح با چگالی سطحی σ توزیع شده است.

بیایید نقطه A را در خارج از کره در فاصله r از مرکز در نظر بگیریم و به صورت ذهنی کره ای به شعاع r با بار متقارن رسم کنیم (شکل 79). مساحت آن S = 4 πr 2 است. شار بردار E برابر خواهد بود

طبق قضیه اوستروگرادسکی-گاوس
از این رو،
با در نظر گرفتن Q = σ 4 πr 2 ، به دست می آوریم

برای نقاط واقع در سطح یک کره (R = r)

D برای نقاطی که در داخل یک کره توخالی قرار دارند (در داخل کره باری وجود ندارد)، E = 0.

2 . سطح استوانه ای توخالی با شعاع R و طول لبا چگالی بار سطحی ثابت شارژ می شود
(شکل 80). اجازه دهید یک سطح استوانه ای هم محور به شعاع r > R رسم کنیم.

بردار جریان Eاز طریق این سطح

با قضیه گاوس

با مساوی کردن اضلاع سمت راست برابری های فوق، به دست می آوریم

.

اگر چگالی بار خطی سیلندر (یا نخ نازک) داده شود
که

3. میدان صفحات بی نهایت با چگالی بار سطحی σ (شکل 81).

بیایید میدان ایجاد شده توسط یک صفحه بینهایت را در نظر بگیریم. از ملاحظات تقارن به دست می آید که شدت در هر نقطه از میدان جهت عمود بر صفحه دارد.

در نقاط متقارن E از نظر قدر یکسان و در جهت مخالف خواهد بود.

اجازه دهید سطح یک استوانه را با پایه ΔS به صورت ذهنی بسازیم. سپس یک جریان از هر یک از پایه های سیلندر خارج می شود

F E = E ΔS، و کل جریان از طریق سطح استوانه ای برابر با F E = 2E ΔS خواهد بود.

در داخل سطح یک بار Q = σ · ΔS وجود دارد. طبق قضیه گاوس باید درست باشد

جایی که

نتیجه به دست آمده به ارتفاع سیلندر انتخاب شده بستگی ندارد. بنابراین، شدت میدان E در هر فاصله ای از نظر قدر یکسان است.

برای دو صفحه با بار متفاوت با چگالی بار سطحی یکسان σ، طبق اصل برهم نهی، در خارج از فضای بین صفحات قدرت میدان صفر E = 0 و در فضای بین صفحات است.
(شکل 82 الف). اگر هواپیماها با بارهای مشابه با چگالی بار سطحی یکسان شارژ شوند، تصویر مخالف مشاهده می شود (شکل 82 ب). در فضای بین صفحات E = 0 و در فضای خارج از صفحات
.

هدف درس: قضیه اوستروگرادسکی-گاوس توسط ریاضیدان و مکانیک روسی میخائیل واسیلیویچ اوستروگرادسکی در قالب یک قضیه ریاضی عمومی و توسط ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس ایجاد شد. این قضیه می تواند هنگام مطالعه فیزیک در سطح تخصصی مورد استفاده قرار گیرد، زیرا امکان محاسبات منطقی میدان های الکتریکی را فراهم می کند.

بردار القای الکتریکی

برای استخراج قضیه اوستروگرادسکی-گاوس، لازم است مفاهیم کمکی مهمی مانند بردار القای الکتریکی و شار این بردار F معرفی شوند.

مشخص است که میدان الکترواستاتیک اغلب با استفاده از خطوط نیرو به تصویر کشیده می شود. بیایید فرض کنیم که کشش را در نقطه‌ای که در سطح مشترک بین دو رسانه قرار دارد تعیین می‌کنیم: هوا (1) و آب (=81). در این مرحله، هنگام حرکت از هوا به آب، قدرت میدان الکتریکی مطابق فرمول 81 برابر کاهش خواهد یافت. اگر از رسانایی آب غافل شویم، تعداد خطوط نیرو به همان ضریب کاهش می یابد. هنگام حل مسائل مختلف محاسبه میدان ها، به دلیل ناپیوستگی بردار ولتاژ در رابط بین رسانه ها و دی الکتریک ها، ناراحتی های خاصی ایجاد می شود. برای اجتناب از آنها، بردار جدیدی معرفی شده است که بردار القایی الکتریکی نامیده می شود:

بردار القای الکتریکی برابر است با حاصلضرب بردار و ثابت الکتریکی و ثابت دی الکتریک محیط در یک نقطه معین.

بدیهی است که هنگام عبور از مرز دو دی الکتریک، تعداد خطوط القایی الکتریکی برای میدان بار نقطه ای تغییر نمی کند (1).

در سیستم SI، بردار القای الکتریکی بر حسب کولن بر متر مربع (C/m2) اندازه گیری می شود. عبارت (1) نشان می دهد که مقدار عددی بردار به ویژگی های محیط بستگی ندارد. میدان برداری به صورت گرافیکی مشابه میدان شدت نشان داده شده است (به عنوان مثال، برای بار نقطه ای، به شکل 1 مراجعه کنید). برای یک میدان برداری، اصل برهم نهی اعمال می شود:

شار القایی الکتریکی

بردار القایی الکتریکی میدان الکتریکی را در هر نقطه از فضا مشخص می کند. می توانید کمیت دیگری را معرفی کنید که به مقادیر بردار نه در یک نقطه، بلکه در تمام نقاط سطح محدود شده توسط یک کانتور بسته مسطح بستگی دارد.

برای انجام این کار، یک هادی (مدار) بسته مسطح با سطح S را در نظر بگیرید که در یک میدان الکتریکی یکنواخت قرار گرفته است. نرمال به صفحه رسانا با جهت بردار القاء الکتریکی زاویه ایجاد می کند (شکل 2).

جریان القای الکتریکی از طریق سطح S مقداری برابر با حاصلضرب مدول بردار القاء در ناحیه S و کسینوس زاویه بین بردار و نرمال است:

استنتاج قضیه اوستروگرادسکی-گاوس

این قضیه به ما اجازه می دهد تا جریان بردار القایی الکتریکی را از طریق یک سطح بسته که در داخل آن بارهای الکتریکی وجود دارد، پیدا کنیم.

بگذارید ابتدا یک بار نقطه ای q در مرکز کره ای با شعاع دلخواه r 1 قرار گیرد (شکل 3). سپس ; . بیایید کل شار القایی عبوری از کل سطح این کره را محاسبه کنیم: (). اگر کره ای با شعاع بگیریم، همچنین Ф = q. اگر کره ای را رسم کنیم که بار q را پوشش ندهد، شار کل Ф = 0 (زیرا هر خط وارد سطح می شود و بار دیگر از آن خارج می شود).

بنابراین، اگر بار در داخل سطح بسته قرار داشته باشد، F = q و اگر بار خارج از سطح بسته قرار گرفته باشد، 0 = Ф. جریان Ф به شکل سطح بستگی ندارد. همچنین مستقل از آرایش بارها در سطح است. این بدان معنی است که نتیجه به دست آمده نه تنها برای یک بار، بلکه برای هر تعداد بارهایی که خودسرانه قرار گرفته اند نیز معتبر است، اگر منظور ما از q مجموع جبری همه بارهای موجود در داخل سطح باشد.

قضیه گاوس: جریان القای الکتریکی از هر سطح بسته برابر است با مجموع جبری همه بارهای واقع در داخل سطح: .

از فرمول مشخص می شود که بعد جریان الکتریکی با بار الکتریکی یکسان است. بنابراین واحد شار القایی الکتریکی کولن (C) است.

نکته: اگر میدان غیر یکنواخت باشد و سطحی که جریان از طریق آن تعیین می شود صفحه نباشد، این سطح را می توان به عناصر بینهایت کوچک ds تقسیم کرد و هر عنصر را صاف در نظر گرفت و میدان نزدیک آن یکنواخت است. بنابراین، برای هر میدان الکتریکی، جریان بردار القایی الکتریکی از طریق عنصر سطح به صورت زیر است: dФ=. در نتیجه ادغام، شار کل از یک سطح بسته S در هر میدان الکتریکی ناهمگن برابر است با: ، که در آن q مجموع جبری همه بارهای احاطه شده توسط یک سطح بسته S است. اجازه دهید آخرین معادله را بر حسب شدت میدان الکتریکی (برای خلاء) بیان کنیم: .

این یکی از معادلات اساسی ماکسول برای میدان الکترومغناطیسی است که به شکل انتگرال نوشته شده است. نشان می دهد که منبع یک میدان الکتریکی ثابت در زمان، بارهای الکتریکی ساکن هستند.

کاربرد قضیه گاوس

حوزه شارژهای مستمر توزیع شده

اکنون با استفاده از قضیه Ostrogradsky-Gauss قدرت میدان را برای تعدادی از موارد تعیین می کنیم.

1. میدان الکتریکی یک سطح کروی باردار یکنواخت.

کره با شعاع R. اجازه دهید بار +q به طور یکنواخت روی یک سطح کروی به شعاع R توزیع شود. توزیع بار روی سطح با چگالی بار سطحی مشخص می شود (شکل 4). چگالی بار سطحی نسبت بار به سطحی است که در آن توزیع شده است. . در SI.

بیایید قدرت میدان را تعیین کنیم:

الف) خارج از سطح کروی،
ب) داخل یک سطح کروی.

الف) نقطه A را در فاصله r>R از مرکز سطح کروی باردار در نظر بگیرید. اجازه دهید به طور ذهنی از آن یک سطح کروی S به شعاع r بکشیم که مرکز مشترکی با سطح کروی باردار دارد. با توجه به تقارن، واضح است که خطوط نیرو، خطوط شعاعی عمود بر سطح S هستند و به طور یکنواخت در این سطح نفوذ می کنند، یعنی. مقدار کشش در تمام نقاط این سطح ثابت است. اجازه دهید قضیه Ostrogradsky-Gauss را روی این سطح کروی S با شعاع r اعمال کنیم. بنابراین کل شار از طریق کره N = E است؟ S; N=E. از طرف دیگر . معادل می کنیم: . از این رو: برای r>R.

بنابراین: کشش ایجاد شده توسط یک سطح کروی باردار یکنواخت در خارج از آن، همان است که اگر کل بار در مرکز آن باشد (شکل 5).

ب) اجازه دهید قدرت میدان را در نقاطی که در داخل سطح کروی باردار قرار دارند، پیدا کنیم. نقطه B را در فاصله ای از مرکز کره در نظر می گیریم . سپس، E = 0 در r

2. قدرت میدان یک صفحه بی نهایت با بار یکنواخت

بیایید میدان الکتریکی ایجاد شده توسط یک صفحه نامتناهی را در نظر بگیریم که با یک ثابت چگالی در تمام نقاط صفحه باردار شده است. به دلایل تقارن، می توانیم فرض کنیم که خطوط کشش عمود بر صفحه هستند و از آن در هر دو جهت هدایت می شوند (شکل 6).

بیایید نقطه A را در سمت راست صفحه انتخاب کنیم و در این نقطه با استفاده از قضیه اوستروگرادسکی-گاوس محاسبه کنیم. به عنوان یک سطح بسته، یک سطح استوانه ای را انتخاب می کنیم که سطح جانبی استوانه موازی با خطوط نیرو باشد و پایه آن موازی با صفحه باشد و پایه از نقطه A عبور کند (شکل 7). اجازه دهید جریان کشش را از طریق سطح استوانه ای مورد بررسی محاسبه کنیم. شار از طریق سطح جانبی 0 است، زیرا خطوط کشش موازی با سطح جانبی هستند. سپس جریان کل شامل جریان ها و عبور از پایه های استوانه و . هر دوی این جریان ها مثبت هستند =+; = = ==; N=2.

- بخشی از هواپیما که در داخل سطح استوانه ای انتخاب شده قرار دارد. بار داخل این سطح q است.

سپس ؛ – را می توان به عنوان شارژ نقطه ای در نظر گرفت) با نقطه A. برای یافتن کل فیلد، باید تمام فیلدهای ایجاد شده توسط هر عنصر را به صورت هندسی جمع کرد: ; .

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی)

برای یک میدان در یک محیط دی الکتریک، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به روش دیگری (به روشی جایگزین) - از طریق جریان بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی) نوشت. در این مورد، فرمول قضیه به این صورت است: جریان بردار جابجایی الکتریکی از یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

به شکل دیفرانسیل:

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

یا به شکل دیفرانسیل

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی (به طور کامل) است. گرداب.

قضیه گاوس برای گرانش نیوتنی

برای قدرت میدان گرانش نیوتنی (شتاب گرانشی)، قضیه گاوس عملاً با آن در الکترواستاتیک منطبق است، به استثنای تنها ثابت ها (اما، همچنان به انتخاب دلخواه سیستم واحدها بستگی دارد) و مهمتر از همه، علامت:

جایی که g- قدرت میدان گرانشی، م- بار گرانشی (یعنی جرم) در داخل سطح اس, ρ - چگالی جرمی، جی- ثابت نیوتنی

رساناها در میدان الکتریکی میدان در داخل هادی و روی سطح آن.

رساناها اجسامی هستند که بارهای الکتریکی می توانند از طریق آنها از یک جسم باردار به یک جسم بدون بار عبور کنند.توانایی هادی ها برای عبور بارهای الکتریکی از طریق خود با وجود حامل های بار آزاد در آنها توضیح داده می شود. هادی ها - اجسام فلزی در حالت جامد و مایع، محلول های مایع الکترولیت ها. بارهای آزاد یک هادی وارد شده به میدان الکتریکی تحت تأثیر آن شروع به حرکت می کنند. توزیع مجدد بارها باعث تغییر در میدان الکتریکی می شود. هنگامی که قدرت میدان الکتریکی در یک رسانا صفر شود، الکترون ها از حرکت باز می ایستند. پدیده جدایی بارهای غیرمشابه در رسانایی که در میدان الکتریکی قرار می گیرد، القای الکترواستاتیکی نامیده می شود. هیچ میدان الکتریکی در داخل هادی وجود ندارد. این برای حفاظت الکترواستاتیک استفاده می شود - حفاظت با استفاده از هادی های فلزی از میدان الکتریکی. سطح جسم رسانا به هر شکلی در میدان الکتریکی یک سطح هم پتانسیل است.

خازن ها

برای به دست آوردن وسایلی که با پتانسیل پایین نسبت به محیط، بارهای قابل توجهی را روی خود انباشته (متراکم) می کنند، از این واقعیت استفاده می کنند که ظرفیت الکتریکی یک هادی با نزدیک شدن اجسام دیگر به آن افزایش می یابد. در واقع، تحت تأثیر میدان ایجاد شده توسط هادی های باردار، بارهای القایی (روی هادی) یا مرتبط (روی دی الکتریک) روی جسمی که به آن وارد شده است ظاهر می شود (شکل 15.5). بارهای مخالف با علامت بار هادی q نسبت به بارهای همنام q نزدیکتر به هادی قرار دارند و بنابراین تأثیر زیادی بر پتانسیل آن دارند.

بنابراین، هنگامی که هر جسمی به یک هادی باردار نزدیک می شود، قدرت میدان کاهش می یابد و در نتیجه پتانسیل هادی کاهش می یابد. با توجه به معادله، این به معنای افزایش ظرفیت هادی است.

خازن از دو هادی (صفحات) تشکیل شده است (شکل 15.6) که توسط یک لایه دی الکتریک از هم جدا شده اند. هنگامی که یک اختلاف پتانسیل معین به یک هادی اعمال می شود، صفحات آن با بارهای مساوی با علامت مخالف شارژ می شوند. ظرفیت الکتریکی یک خازن به عنوان یک کمیت فیزیکی است که با بار q متناسب است و با اختلاف پتانسیل بین صفحات نسبت معکوس دارد.

بیایید ظرفیت یک خازن تخت را تعیین کنیم.

اگر مساحت صفحه S و بار روی آن q باشد، پس قدرت میدان بین صفحات

از سوی دیگر، اختلاف پتانسیل بین صفحات ناشی از

انرژی یک سیستم از بارهای نقطه ای، یک هادی باردار و یک خازن.

هر سیستم باردار دارای مقداری انرژی برهمکنش بالقوه است که برابر با کار صرف شده برای ایجاد این سیستم است. انرژی یک سیستم بارهای نقطه ای q 1 , q 2 , q 3 ,… q نبه صورت زیر تعریف می شود:

جایی که φ 1- پتانسیل میدان الکتریکی ایجاد شده توسط همه بارها به جز q 1 در نقطه ای که شارژ قرار دارد q 1 و غیره اگر پیکربندی سیستم بارها تغییر کند، انرژی سیستم نیز تغییر می کند. برای تغییر پیکربندی سیستم، باید کار انجام شود.

انرژی پتانسیل یک سیستم بارهای نقطه ای را می توان به روش دیگری محاسبه کرد. انرژی بالقوه بارهای دو نقطه ای q 1 , q 2 در فاصله از یکدیگر برابر است. اگر چندین بار وجود داشته باشد، انرژی پتانسیل این سیستم از بارها را می توان به عنوان مجموع انرژی های بالقوه همه جفت بارهایی که می توان برای این سیستم تشکیل داد، تعریف کرد. بنابراین، برای یک سیستم سه بار مثبت، انرژی سیستم برابر است با

میدان الکتریکی یک بار نقطه ای q 0 در فاصله ای از آن در محیطی با ثابت دی الکتریک ε (شکل 3.1.3 را ببینید). شکل 3.1.3	; پتانسیل یک اسکالر است، علامت آن به علامت بار ایجاد کننده میدان بستگی دارد.
شکل 3.1.4. میدان الکتریکی یک کره باردار یکنواخت با شعاع در نقطه C در فاصله ای از سطح آن (شکل 3.1.4). میدان الکتریکی یک کره شبیه میدان بار نقطه ای برابر با بار کره است q sf و در مرکز آن متمرکز شده است. فاصله تا نقطه ای که کشش تعیین می شود ( آر+آ)	خارج از محدوده: ; پتانسیل درون کره ثابت و برابر است , و کشش داخل کره صفر است
میدان الکتریکی یک صفحه بی نهایت باردار یکنواخت با چگالی سطحی σ (شکل 3.1.5 را ببینید). شکل 3.1.5.	میدانی که قدرت آن در تمام نقاط یکسان باشد نامیده می شود همگن. تراکم سطح σ - شارژ در واحد سطح (به ترتیب بار و مساحت هواپیما کجا هستند). ابعاد چگالی بار سطحی.
میدان الکتریکی یک خازن مسطح با بارهای روی صفحات با قدر مساوی اما با علامت مخالف (نگاه کنید به شکل 3.1.6). شکل 3.1.6	کشش بین صفحات یک خازن صفحه موازی، خارج از خازن E=0. اختلاف پتانسیل توبین صفحات (صفحات) خازن: ، که در آن د- فاصله بین صفحات، - ثابت دی الکتریک دی الکتریک که بین صفحات خازن قرار می گیرد. چگالی بار سطحی روی صفحات خازن برابر است با نسبت مقدار بار روی آن به مساحت صفحه:.

انرژی یک هادی و خازن منفرد باردار

اگر هادی ایزوله دارای بار q باشد، میدان الکتریکی در اطراف آن وجود دارد که پتانسیل آن در سطح رسانا برابر است و ظرفیت آن C است. اجازه دهید بار را به مقدار dq افزایش دهیم. هنگام انتقال شارژ dq از بی نهایت، کار باید برابر با . اما پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی معین در بی نهایت صفر است. سپس

هنگام انتقال بار dq از یک هادی به بی نهایت، همان کار توسط نیروهای میدان الکترواستاتیک انجام می شود. در نتیجه، وقتی بار رسانا به مقدار dq افزایش می یابد، انرژی پتانسیل میدان افزایش می یابد، به عنوان مثال.

با ادغام این عبارت، انرژی پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی باردار را با افزایش بار آن از صفر به q پیدا می کنیم:

با اعمال رابطه، می توانیم عبارات زیر را برای انرژی پتانسیل W بدست آوریم:

بنابراین برای یک خازن باردار، اختلاف پتانسیل (ولتاژ) برابر با نسبت کل انرژی میدان الکترواستاتیک آن است: