من فکر می کنم ما باید با تاریخچه چنین ابزار ریاضی باشکوهی مانند معادلات دیفرانسیل شروع کنیم. مانند تمام محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، این معادلات توسط نیوتن در اواخر قرن هفدهم اختراع شد. او این کشف خاص خود را آنقدر مهم دانست که حتی پیامی را رمزگذاری کرد که امروزه می توان آن را به این شکل ترجمه کرد: "همه قوانین طبیعت با معادلات دیفرانسیل توصیف می شوند." این ممکن است اغراق آمیز به نظر برسد، اما حقیقت دارد. هر قانون فیزیک، شیمی، زیست شناسی را می توان با این معادلات توصیف کرد.

اویلر و لاگرانژ ریاضیدانان سهم بزرگی در توسعه و ایجاد نظریه معادلات دیفرانسیل داشتند. آنها قبلاً در قرن 18 آنچه را که اکنون در دوره های ارشد دانشگاهی مطالعه می کنند کشف و توسعه دادند.

نقطه عطف جدیدی در مطالعه معادلات دیفرانسیل به لطف هانری پوانکاره آغاز شد. او "نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل" را ایجاد کرد که با تئوری توابع یک متغیر مختلط ترکیب شد، سهم قابل توجهی در پایه و اساس توپولوژی - علم فضا و خواص آن داشت.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

بسیاری از مردم از یک عبارت می‌ترسند، با این حال، در این مقاله به طور مفصل تمام ماهیت این دستگاه ریاضی بسیار مفید را که در واقع آنقدرها هم که از نام آن به نظر می‌رسد پیچیده نیست، شرح می‌دهیم. برای شروع صحبت در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، ابتدا باید با مفاهیم اساسی که ذاتاً با این تعریف مرتبط هستند آشنا شوید. و ما با دیفرانسیل شروع می کنیم.

دیفرانسیل

بسیاری از مردم این مفهوم را از دوران مدرسه می دانستند. با این حال، بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. نمودار یک تابع را تصور کنید. ما می توانیم آن را به حدی افزایش دهیم که هر بخش از آن به شکل یک خط مستقیم درآید. بیایید دو نقطه از آن را در نظر بگیریم که بی نهایت به هم نزدیک هستند. تفاوت بین مختصات آنها (x یا y) بی نهایت کوچک خواهد بود. دیفرانسیل نامیده می شود و با علائم dy (دیفرانسیل y) و dx (دیفرانسیل x) نشان داده می شود. درک این نکته بسیار مهم است که دیفرانسیل یک کمیت محدود نیست و این معنی و عملکرد اصلی آن است.

حال باید عنصر بعدی را در نظر بگیریم که در توضیح مفهوم معادله دیفرانسیل برای ما مفید خواهد بود. این یک مشتق است.

مشتق

همه ما احتمالاً این مفهوم را در مدرسه شنیده ایم. مشتق به نرخی گفته می شود که یک تابع در آن افزایش یا کاهش می یابد. با این حال، از این تعریف بسیار نامشخص می شود. بیایید سعی کنیم مشتق را از طریق دیفرانسیل توضیح دهیم. بیایید به یک بخش بی نهایت کوچک از یک تابع با دو نقطه که در حداقل فاصله از یکدیگر قرار دارند، برگردیم. اما حتی در این فاصله نیز تابع می تواند مقداری تغییر کند. و برای توصیف این تغییر، مشتقی را به دست آوردند، که در غیر این صورت می‌توان آن را به صورت نسبتی از دیفرانسیل نوشت: f(x)"=df/dx.

اکنون ارزش در نظر گرفتن ویژگی های اساسی مشتق را دارد. فقط سه مورد از آنها وجود دارد:

1. مشتق جمع یا تفاوت را می توان به صورت مجموع یا تفاوت مشتقات نشان داد: (a+b)"=a"+b" و (a-b)"=a"-b".
2. خاصیت دوم مربوط به ضرب است. مشتق یک محصول مجموع حاصلضرب یک تابع و مشتق تابع دیگر است: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. مشتق تفاوت را می توان به صورت برابری زیر نوشت: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

همه این ویژگی ها برای یافتن جواب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برای ما مفید خواهد بود.

مشتقات جزئی نیز وجود دارد. فرض کنید یک تابع z داریم که به متغیرهای x و y بستگی دارد. برای محاسبه مشتق جزئی این تابع، مثلاً با توجه به x، باید متغیر y را ثابت در نظر بگیریم و به سادگی آن را متمایز کنیم.

انتگرال

مفهوم مهم دیگر انتگرال است. در واقع، این دقیقاً برعکس مشتق است. انواع مختلفی از انتگرال وجود دارد، اما برای حل ساده ترین معادلات دیفرانسیل، به بی اهمیت ترین آنها نیاز داریم.

بنابراین، فرض کنید مقداری از f به x وابستگی داریم. انتگرال را از آن می گیریم و تابع F(x) را می گیریم (که اغلب به آن پاد مشتق می گویند) که مشتق آن برابر تابع اصلی است. بنابراین F(x)"=f(x). همچنین نتیجه می شود که انتگرال مشتق برابر با تابع اصلی است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، درک معنی و عملکرد انتگرال بسیار مهم است، زیرا برای یافتن جواب باید اغلب آنها را استفاده کنید.

معادلات بسته به ماهیت آنها متفاوت است. در بخش بعدی انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی می کنیم و سپس نحوه حل آنها را یاد می گیریم.

کلاس های معادلات دیفرانسیل

«Diffurs» بر حسب ترتیب مشتقات دخیل در آنها تقسیم می شوند. بنابراین ترتیب اول، دوم، سوم و بیشتر وجود دارد. همچنین می توان آنها را به چند دسته تقسیم کرد: مشتقات معمولی و جزئی.

در این مقاله معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را بررسی خواهیم کرد. همچنین در قسمت های بعدی به مثال ها و راه های حل آن ها خواهیم پرداخت. ما فقط ODE ها را در نظر می گیریم، زیرا این ها رایج ترین انواع معادلات هستند. معمولی به زیرگونه ها تقسیم می شوند: با متغیرهای قابل تفکیک، همگن و ناهمگن. در مرحله بعد، تفاوت آنها با یکدیگر را یاد خواهید گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهید گرفت.

علاوه بر این، این معادلات را می توان با هم ترکیب کرد تا در نهایت به یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برسیم. ما همچنین چنین سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهیم گرفت.

چرا ما فقط مرتبه اول را در نظر می گیریم؟ زیرا شما باید با چیزی ساده شروع کنید و توصیف همه چیز مربوط به معادلات دیفرانسیل در یک مقاله به سادگی غیرممکن است.

معادلات قابل تفکیک

اینها شاید ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول باشند. اینها شامل نمونه هایی هستند که می توان به صورت زیر نوشت: y"=f(x)*f(y). برای حل این معادله، به فرمولی برای نمایش مشتق به عنوان نسبت دیفرانسیل ها نیاز داریم: y"=dy/dx. با استفاده از آن معادله زیر را بدست می آوریم: dy/dx=f(x)*f(y). حالا می‌توانیم به روش حل مثال‌های استاندارد بپردازیم: متغیرها را به قسمت‌هایی تقسیم می‌کنیم، یعنی همه چیز را با متغیر y به قسمتی که dy در آن قرار دارد منتقل می‌کنیم و با متغیر x نیز همین کار را انجام می‌دهیم. معادله ای به شکل dy/f(y)=f(x)dx بدست می آوریم که با گرفتن انتگرال از هر دو طرف حل می شود. ثابتی را که باید بعد از گرفتن انتگرال تنظیم شود فراموش نکنید.

راه‌حل هر «تفاوت» تابعی از وابستگی x به y است (در مورد ما) یا اگر یک شرط عددی وجود داشته باشد، پاسخ به شکل یک عدد است. بیایید با استفاده از یک مثال خاص به کل فرآیند راه حل نگاه کنیم:

بیایید متغیرها را در جهات مختلف حرکت دهیم:

حالا بیایید انتگرال ها را در نظر بگیریم. همه آنها را می توان در جدول ویژه ای از انتگرال ها یافت. و دریافت می کنیم:

ln(y) = -2*cos(x) + C

در صورت لزوم، می توانیم "y" را به عنوان تابعی از "x" بیان کنیم. حال می توان گفت که معادله دیفرانسیل ما حل می شود اگر شرط مشخص نشده باشد. یک شرط را می توان مشخص کرد، برای مثال، y(n/2)=e. سپس به سادگی مقادیر این متغیرها را جایگزین جواب می کنیم و مقدار ثابت را پیدا می کنیم. در مثال ما 1 است.

معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

حالا بیایید به قسمت دشوارتر برویم. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول را می توان به صورت کلی به صورت زیر نوشت: y"=z(x,y) لازم به ذکر است که تابع سمت راست دو متغیر همگن است و نمی توان آن را به دو وابستگی تقسیم کرد. : z روی x و z روی y. بررسی کنید که آیا معادله همگن است یا نه بسیار ساده است: جایگزین x=k*x و y=k*y را می‌سازیم. حالا همه k را لغو می‌کنیم. اگر همه این حروف لغو شوند ، سپس معادله همگن است و می توانید با خیال راحت شروع به حل کنید.با نگاهی به آینده، فرض کنید: اصل حل این مثال ها نیز بسیار ساده است.

ما باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=t(x)*x، جایی که t تابع خاصی است که به x نیز بستگی دارد. سپس می توانیم مشتق را بیان کنیم: y"=t"(x)*x+t. با جایگزینی همه اینها به معادله اصلی خود و ساده کردن آن، مثالی با متغیرهای قابل تفکیک t و x می‌گیریم. آن را حل می کنیم و وابستگی t(x) را بدست می آوریم. هنگامی که آن را دریافت کردیم، به سادگی y=t(x)*x را با جایگزین قبلی خود جایگزین می کنیم. سپس وابستگی y را به x می گیریم.

برای روشن‌تر شدن، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم: x*y"=y-x*e y/x.

هنگام بررسی با تعویض، همه چیز کاهش می یابد. این بدان معنی است که معادله واقعاً همگن است. حالا ما جایگزین دیگری می کنیم که در مورد آن صحبت کردیم: y=t(x)*x و y"=t"(x)*x+t(x). پس از ساده سازی، معادله زیر را به دست می آوریم: t"(x)*x=-e t. مثال به دست آمده را با متغیرهای جدا شده حل می کنیم و به دست می آوریم: e -t =ln(C*x) تنها کاری که باید انجام دهیم این است که جایگزین کنیم. t با y/x (پس از همه، اگر y =t*x، آنگاه t=y/x)، و پاسخ را دریافت می کنیم: e -y/x =ln(x*C).

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

وقت آن است که به یک موضوع گسترده دیگر نگاه کنیم. ما معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه اول را تحلیل خواهیم کرد. تفاوت آنها با دو مورد قبلی چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت: y" + g(x)*y=z(x). شایان ذکر است که z(x) و g(x) می توانند کمیت های ثابت باشند.

و اکنون یک مثال: y" - y*x=x 2 .

دو راه حل وجود دارد و ما هر دو را به ترتیب بررسی خواهیم کرد. روش اول، روش تغییر دادن ثابت های دلخواه است.

برای حل معادله به این ترتیب ابتدا باید سمت راست را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید که پس از انتقال قطعات به شکل زیر در می آید:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

حالا باید ثابت C 1 را با تابع v(x) جایگزین کنیم که باید آن را پیدا کنیم.

بیایید مشتق را جایگزین کنیم:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

و این عبارات را جایگزین معادله اصلی کنید:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

می بینید که در سمت چپ دو عبارت لغو می شوند. اگر در مثالی این اتفاق نیفتاد، پس شما کار اشتباهی انجام دادید. بیا ادامه بدهیم:

v"*e x2/2 = x 2.

اکنون معادله معمولی را حل می کنیم که در آن باید متغیرها را از هم جدا کنیم:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

برای استخراج انتگرال، باید یکپارچه سازی توسط قطعات را در اینجا اعمال کنیم. با این حال، این موضوع مقاله ما نیست. اگر علاقه مند هستید، می توانید نحوه انجام چنین اقداماتی را خودتان یاد بگیرید. کار سختی نیست و با مهارت و دقت کافی زمان زیادی نمی برد.

اجازه دهید به روش دوم حل معادلات ناهمگن بپردازیم: روش برنولی. اینکه کدام روش سریعتر و آسانتر است به شما بستگی دارد که تصمیم بگیرید.

بنابراین، هنگام حل یک معادله با استفاده از این روش، باید یک جایگزین انجام دهیم: y=k*n. در اینجا k و n برخی از توابع وابسته به x هستند. سپس مشتق شبیه به این خواهد شد: y"=k"*n+k*n. هر دو جایگزین را در معادله جایگزین می کنیم:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

گروه بندی:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

حال باید آنچه را که داخل پرانتز است با صفر برابر کنیم. حال، اگر دو معادله حاصل را با هم ترکیب کنیم، سیستمی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به دست می آید که باید حل شوند:

تساوی اول را به صورت یک معادله معمولی حل می کنیم. برای این کار باید متغیرها را از هم جدا کنید:

انتگرال را می گیریم و می گیریم: ln(n)=x 2/2. سپس، اگر n را بیان کنیم:

اکنون تساوی حاصل را با معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم:

k"*e x2/2 =x 2 .

و با تبدیل، برابری مشابه روش اول را بدست می آوریم:

dk=x 2 /e x2/2 .

همچنین در مورد اقدامات بعدی بحث نخواهیم کرد. شایان ذکر است که در ابتدا حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول مشکلات قابل توجهی ایجاد می کند. با این حال، هرچه عمیق تر به موضوع بپردازید، شروع به کار بهتر و بهتر می کند.

معادلات دیفرانسیل کجا استفاده می شود؟

معادلات دیفرانسیل به طور فعال در فیزیک استفاده می شود، زیرا تقریباً همه قوانین اساسی به شکل دیفرانسیل نوشته شده اند و فرمول هایی که می بینیم راه حل این معادلات هستند. در شیمی از آنها به همین دلیل استفاده می شود: قوانین اساسی با کمک آنها استخراج می شوند. در زیست شناسی، از معادلات دیفرانسیل برای مدل سازی رفتار سیستم هایی مانند شکارچی و شکار استفاده می شود. آنها همچنین می توانند برای ایجاد مدل های تولید مثل مثلاً یک کلونی از میکروارگانیسم ها استفاده شوند.

چگونه معادلات دیفرانسیل می توانند به شما در زندگی کمک کنند؟

پاسخ به این سوال ساده است: به هیچ وجه. اگر دانشمند یا مهندس نیستید، بعید است که آنها برای شما مفید باشند. با این حال، برای توسعه عمومی، دانستن اینکه معادله دیفرانسیل چیست و چگونه حل می شود، ضرری ندارد. و سپس سؤال پسر یا دختر این است که "معادله دیفرانسیل چیست؟" شما را گیج نمی کند خوب، اگر دانشمند یا مهندس هستید، پس خودتان اهمیت این موضوع را در هر علمی درک می کنید. اما مهمترین چیز این است که اکنون این سؤال مطرح می شود که "چگونه معادله دیفرانسیل مرتبه اول را حل کنیم؟" شما همیشه می توانید پاسخ دهید موافقم، وقتی چیزی را می فهمی که مردم حتی از درک آن می ترسند، همیشه خوب است.

مشکلات اصلی در مطالعه

مشکل اصلی در درک این موضوع، مهارت ضعیف در یکپارچه سازی و تمایز توابع است. اگر در مشتقات و انتگرال ها خوب نیستید، احتمالاً ارزش مطالعه بیشتر، تسلط بر روش های مختلف ادغام و تمایز را دارد و تنها پس از آن شروع به مطالعه مطالبی که در مقاله توضیح داده شد، کنید.

برخی از مردم وقتی متوجه می شوند که dx می تواند منتقل شود شگفت زده می شوند، زیرا قبلا (در مدرسه) گفته شده بود که کسری dy/dx غیرقابل تقسیم است. در اینجا باید ادبیات مشتق را بخوانید و بفهمید که نسبتی از مقادیر بی نهایت کوچک است که می توان آن را هنگام حل معادلات دستکاری کرد.

بسیاری از مردم بلافاصله متوجه نمی شوند که حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول اغلب یک تابع یا یک انتگرال است که نمی توان آن را گرفت و این تصور اشتباه آنها را با مشکلات زیادی مواجه می کند.

برای درک بهتر چه چیز دیگری می توانید مطالعه کنید؟

بهتر است غوطه ور شدن بیشتر در دنیای حساب دیفرانسیل را با کتاب های درسی تخصصی، به عنوان مثال، در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی برای دانش آموزان دارای تخصص های غیر ریاضی آغاز کنید. سپس می توانید به سراغ ادبیات تخصصی تری بروید.

شایان ذکر است که علاوه بر معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال نیز وجود دارد، بنابراین شما همیشه چیزی برای تلاش و چیزی برای مطالعه خواهید داشت.

نتیجه

امیدواریم پس از خواندن این مقاله ایده ای در مورد اینکه معادلات دیفرانسیل چیست و چگونه آنها را به درستی حل کنید، داشته باشید.

در هر صورت، ریاضیات به نوعی برای ما در زندگی مفید خواهد بود. این منطق و توجه را توسعه می دهد که بدون آن همه افراد بدون دست هستند.

بیایید به مثال هایی از حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول خطی با استفاده از روش برنولی نگاه کنیم.

1) y’=3x-y/x

بیایید معادله را به شکل استاندارد بازنویسی کنیم: y’+y/x=3x. در اینجا p(x)=1/x، q(x)=3x.

1) اجازه دهید جایگزین y=uv را معرفی کنیم، که در آن u=u(x) و v=v(x) برخی از توابع جدید x هستند. از این رو y’=(uv)’=u’v+v’u. عبارات به دست آمده را برای y و y به این شرط جایگزین می کنیم: u’v+v’u+uv/x=3x.

2) بیایید اصطلاحات حاوی v را گروه بندی کنیم: v+v’u=3x. (I) اکنون ما نیاز داریم که عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد: u’+u/x=0. ما یک معادله دیفرانسیل جدید با متغیرهای قابل تفکیک برای u و x به دست آورده ایم. u’=du/dx را جایگزین می کنیم و متغیرهای du/dx= - u/x را از هم جدا می کنیم. دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر u≠0 تقسیم می کنیم. ما به معادله ای با متغیرهای جدا شده رسیدیم: du/u= - dx/x. بیایید آن را ادغام کنیم:

از آنجایی که هنگام یافتن u C برابر با صفر می گیریم، به دست می آوریم که ln│u│=-ln│x│، از خاصیت لگاریتم استفاده می کنیم: ln│u│= ln│1/x│بنابراین u=1/x .

3) در رابطه (I) =0 و u=1/x را جایگزین می کنیم. داریم: v’/x=3x. دو طرف معادله حاصل را در x≠0 ضرب می کنیم: v’=3x². می توانید v’=dv/dx را تصور کنید و متغیرها را تقسیم کنید: dv/dx=3x²، از اینجا، با ضرب هر دو طرف در dx، dv=3x²dx را به دست می آوریم، ادغام می کنیم:

در اینجا دیگر C را نادیده نمی گیریم و به v=x³+C می رسیم. (یا می توانید به سادگی هر دو طرف برابری را ادغام کنید: v'=3x²

و بلافاصله پاسخ v=x³+C را دریافت کنید.

4) از آنجایی که y=uv، با جایگزینی عبارات یافت شده به جای u و v، دریافت می کنیم: y=(x³+C)/x. اگر جواب را تبدیل کنیم، به دست می آید: y=x²+C/x.

پاسخ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

معادله خطی به شکل استاندارد. p(x)=1، q(x)=cosx.

1) y=uv، y’=u’v+v’u. جایگزین در شرایط:

u'v+v'u+uv=cosx. اصطلاحات را با v گروه بندی می کنیم: v+v’u=cosx. (II)

2) اکنون ما نیاز داریم که شرط u’+u=0 برآورده شود. معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک u و x به دست آورده ایم. از آنجایی که u’=du/dx، پس du/dx+u=0، از آنجا du/dx=-u. هر دو طرف را در dx ضرب می کنیم و بر u≠0 تقسیم می کنیم: du/u=-dx. بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

3) در رابطه (II) = 0 و را جایگزین می کنیم

بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم:

این انتگرال با استفاده از فرمول ادغام با قطعات پیدا می شود:

4) y=uv، عبارات یافت شده را جایگزین u و v کنید:

بیایید یک کار جالب دیگر را بررسی کنیم.

3) راه حلی برای معادله (x+y)y’=1 پیدا کنید که شرط اولیه y(-1)=0 را برآورده کند.

اگر y را تابعی از x در نظر بگیریم، معادله را نمی توان به شکل استاندارد y’+p(x)y=q(x) نوشت. اما اگر x را تابعی از y در نظر بگیریم، با در نظر گرفتن این واقعیت که y'=1/x'، به دست می آید: (x+y) 1/x'=1، از آنجا x'=x+y، اکنون این معادله را به شکل x'-x=y بازنویسی می کنیم. (III)

ما یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به شکل x’+p(y)=q(y) به دست آوردیم. در اینجا p(y)=-1، q(y)=y. همه استدلال ها کاملاً مشابه هستند. بیایید از طریق آنها را ببینید.

1) جایگزینی x=uv، که در آن u=u(y)، v=v(y). بنابراین x’=u’v+v’u. جایگزین در (III): u’v+v’u-uv=y.

2) اصطلاحات را با v گروه بندی کنید: v+v’u=y. (IV) ما نیاز داریم که عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد: u’-u=0. و این معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است. فقط به یاد داشته باشید که متغیر دوم در اینجا y است نه x. با در نظر گرفتن این واقعیت که u’=du/dy، متغیرها را از هم جدا می کنیم: du/dy=u. دو طرف معادله را در dy ضرب و بر u تقسیم می کنیم: du/u=dy. حالا بیایید ادغام کنیم:

3) در (IV) = 0 و را جایگزین می کنیم

این انتگرال را می توان با استفاده از فرمول ادغام با قطعات نیز یافت

ما جایگزین می کنیم، با استفاده از فرمول یکپارچه سازی قطعات، دریافت می کنیم:

4) از آنجایی که x=uv، پس با جایگزینی عبارات یافت شده برای توابع u و v، دریافت می کنیم:

5) در حل کلی معادله

شرایط اولیه y(-1)=0 را جایگزین می کنیم (یعنی x=-1، y=0):

از این رو راه حل خاص x=-y-1 است. پس از بیان y تا x، به پاسخ نهایی می رسیم: y=-x-1.

پاسخ: y=-x-1.

وظایف خودآزمایی:

1) y'-y=x. در اینجا p(x)=-1، q(x)=x.

1) جایگزین y=uv، y’=u’v+v’u را وارد کنید. با شرط جایگزین کنید: u’v+v’u=x+uv، u’v+v’u-uv=x.

2) اصطلاحات را با v گروه بندی کنید: v+v’u=x (*).

ما نیاز داریم که عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد: u’- u=0yu از این شرط u را پیدا می کنیم: du/dx=u، du/u=dx. بیایید ادغام کنیم:

3) در برابری (*) = 0 و را جایگزین می کنیم

ما به دنبال انتگرال در سمت راست معادله با استفاده از فرمول انتگرال با قطعات خواهیم بود: u=x، du=x’dx=dx.

از اینجا به آن می رسیم

4) از y-uv، بیایید جایگزین کنیم:

2) دو طرف معادله را بر x تقسیم می کنیم: y’-(2/x)y=x. در اینجا p(x)=-2/x، q(x)=x.

1) جایگزینی y=uv، y’=u’v+v’u. در شرایط: xu’v+xv’u-2uv=x² جایگزین کنید.

2) اصطلاحات را با v گروه بندی کنید: v+xv’u=x² (**). حال نیاز داریم که شرط xu’-2u=0 برآورده شود. بنابراین x·du/dx=2u، du/u=2dx/x. بیایید ادغام کنیم.

در این مبحث در مورد روش های حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل y " = P (x) · y = Q (x) صحبت خواهیم کرد. اجازه دهید با روش تغییر یک ثابت دلخواه شروع کنیم و نحوه استفاده از آن را نشان دهیم. روشی برای حل مسئله کوشی بیایید با در نظر گرفتن روشی ادامه دهیم که نشان دادن یک ثابت دلخواه y را به عنوان حاصلضرب دو تابع u (x) و v (x) فرض می‌کند. در این بخش تعداد زیادی مسئله در مورد موضوع ارائه می‌کنیم با تجزیه و تحلیل دقیق راه حل.

در صورتی که اصطلاحات و مفاهیم مورد استفاده در تجزیه و تحلیل موضوع برای شما ناآشنا باشد، توصیه می کنیم به بخش «اصطلاحات و تعاریف اساسی نظریه معادلات دیفرانسیل» مراجعه کنید.

روش تغییر برای یک ثابت دلخواه برای حل LPDE های مرتبه اول

برای اختصار، یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را با علامت اختصاری LNDE و یک معادله دیفرانسیل همگن خطی (LODE) نشان خواهیم داد.

LNDE از شکل y " = P (x) y = Q (x) مربوط به LDE از شکل y " = P (x) y = 0، با Q(x)=0. اگر به معادله دیفرانسیل y " = P (x) y = 0 نگاه کنید، مشخص می شود که ما با یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک روبرو هستیم. می توانیم آن را ادغام کنیم: y " = P (x) y = 0 ⇔ d y y = - P (x) d x, y ≠ 0 ∫ d y y = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y + C 1 = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y = ln C - ∫ P (x) d x , ln = - C 1 , C ≠ 0 ⇔ e ln y = e ln C - ∫ P (x) d x ⇔ y = C e - ∫ P (x) d x

می توان ادعا کرد که مقدار متغیر y = 0 نیز یک راه حل است، زیرا با این مقدار متغیر، معادله y " = P (x) y = 0 تبدیل به یک هویت می شود. این حالت با جواب y = C e مطابقت دارد. - ∫ P (x) d x در مقدار C=0.

معلوم می شود که y = C e - ∫ P (x) d x راه حل کلی LODE است، که در آن با- ثابت دلخواه

y = C · e - ∫ P (x) d x راه حل LOD y " = P (x) · y = 0 است.

برای یافتن یک راه حل کلی برای معادله ناهمگن y " = P (x) y = Q (x)، C را نه یک ثابت، بلکه تابعی از آرگومان x در نظر می گیریم. در واقع، y = C را می گیریم. (x) e - ∫ P (x) d x با حل کلی LNDE.

اجازه دهید y = C (x) e - ∫ P (x) d x را در معادله دیفرانسیل y " = P (x) y = Q (x) جایگزین کنیم. تبدیل به هویت می شود:

y " = P (x) y = Q (x) C x e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

حال اجازه دهید به قانون تمایز محصول بپردازیم. ما گرفتیم:

C " (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

مشتق تابع مختلط e - ∫ P (x) d x " برابر است با e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " .

حال اجازه دهید ویژگی های انتگرال نامعین را به یاد بیاوریم. ما گرفتیم:

e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " = - e - ∫ P (x) d x · P (x)

حالا بیایید انتقال را انجام دهیم:

C " (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x " + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x) C " (x) e - ∫ P (x) d x - P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x) ) C " (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

بنابراین به ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه اول رسیدیم. در حل این معادله تابع را تعریف می کنیم C(x). این به ما امکان می دهد راه حل را برای LPDE مرتبه اول اصلی به صورت زیر بنویسیم:

y = C (x) e - ∫ P (x) d x

خلاصه کنید

روش تغییر یک ثابت دلخواه هنگام حل یک LPDE شامل سه مرحله است:

• یافتن یک راه حل کلی برای LOD مربوطه y " + P (x) · y = 0 به شکل y = C · e - ∫ P (x) d x ;
• تغییر یک ثابت دلخواه C، که شامل جایگزینی آن با یک تابع است C(x);
• جایگزین کردن تابع y = C (x) e - ∫ P (x) d x در معادله دیفرانسیل اصلی، از آنجا می توانیم محاسبه کنیم C(x)و جواب را یادداشت کنید

حالا بیایید این الگوریتم را برای حل مسئله اعمال کنیم.

مثال 1

حل مسئله کوشی y" - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2، y (1) = 3 را بیابید.

راه حل

ما باید یک راه حل خاص برای LNDDE y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 با شرط اولیه y (1) = 3 پیدا کنیم.

در مثال ما P(x) = - 2 x 1 + x 2 و Q(x)=x2+1. بیایید با یافتن یک راه حل کلی برای LOD شروع کنیم. پس از این، روش تغییر یک ثابت دلخواه را اعمال می کنیم و راه حل کلی LPDE را تعیین می کنیم. این به ما امکان می دهد راه حل خاص مورد نظر را پیدا کنیم.

راه حل کلی LOD مربوطه y " - 2 x y 1 + x 2 = 0 خانواده توابع y = C · (x 2 + 1) خواهد بود، که در آن C یک ثابت دلخواه است.

یک ثابت دلخواه y = C (x) · (x 2 + 1) را تغییر می دهیم و این تابع را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:
y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 C x · (x 2 + 1 " - 2 x · C (x) · (x 2 + 1) 1 + x 2 = 1 + x 2 C" ( x) · (x 2 + 1) + C (x) · 2 x - 2 x · C (x) = 1 + x 2 C" (x) = 1،

از آنجا C (x) = ∫ d x = x + C 1، که در آن ج 1- ثابت دلخواه

این بدان معنی است که y = C (x) · (x 2 + 1) = (x + C 1) · (x 2 + 1) راه حل کلی معادله ناهمگن است.

اکنون بیایید شروع به یافتن راه حل خاصی کنیم که شرط اولیه y (1) = 3 را برآورده کند.

از آنجایی که y = (x + C 1) · (x 2 + 1) ، پس y (1) = (1 + C 1) · (1 2 + 1) = 2 · (1 + C 1) . با چرخش به شرایط اولیه، معادله 2 · (1 + C 1) = 3 را به دست می آوریم، از آنجا C 1 = 1 2. بنابراین، راه حل مورد نظر برای مسئله کوشی به شکل y = x + 1 2 · (x 2 + 1) است.

اکنون روش دیگری را برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی y " + P (x) · y = Q (x) در نظر بگیرید.

روش دیگری برای حل LPDE های مرتبه اول

می‌توانیم تابع مجهول را به‌عنوان حاصلضرب y = u ⋅ v نشان دهیم، جایی که u و v- توابع آرگومان ایکس.

ما می توانیم این تابع را با یک LNDE مرتبه اول جایگزین کنیم. ما داریم:

y " + P (x) y = Q (x) (u v) " + P (x) u v = Q (x) u "v + u v" + P (x) u v = Q (x) u "v + u (v " + P (x) v) = Q (x)

اگر چنین v را پیدا کنیم که حل جزئی غیر صفر معادله دیفرانسیل v " + P (x) v = 0 است، آنگاه تومی توان از معادله قابل تفکیک u " · v = Q (x) تعیین کرد.

بیایید این الگوریتم حل را با استفاده از مثال قبلی در نظر بگیریم. این به ما این امکان را می‌دهد تا روی چیز اصلی تمرکز کنیم بدون اینکه حواسمان به جزئیات جزئی پرت شود.

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y" - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 را بیابید.

راه حل

بگذارید y = u ⋅ v، سپس
y " - 2 x y x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ (u v) - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1

ما این را پیدا می کنیم vبه غیر از صفر، به طوری که عبارت داخل پرانتز صفر می شود. به عبارت دیگر، ما یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0 پیدا می کنیم.
v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0 ⇔ d v d x = 2 x · v x 2 + 1 ⇒ d v v = 2 x d x 2 + 1 ⇔ d v v = d (x 2 + 1) x 2 + 1 ∫ d v v = (∫ x 2 + 1) x 2 + 1 ln v + C 1 = ln (x 2 + 1) + C 2

بیایید یک راه حل خاص v = x 2 + 1، مربوط به C 2 - C 1 = 0 در نظر بگیریم.

برای این راه حل خاص ما داریم
u "v + u v" - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ u " (x 2 + 1) + u 0 = x 2 + 1 ⇔ u " = 1 ⇔ u = x +C

بنابراین، راه حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی اصلی y = u v = (x + C) (x 2 + 1) است.

پاسخ ها در هر دو مورد یکسان است. این بدان معنی است که هر دو روش راه حلی که در مقاله ارائه کردیم معادل هستند. این شما هستید که انتخاب کنید از کدام یک برای حل مشکل استفاده کنید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مرتبه اول، داشتن فرم استاندارد $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$، که در آن $P\left(x\right)$ پیوسته است. تابع، همگن خطی نامیده می شود. نام "خطی" با این واقعیت توضیح داده می شود که تابع مجهول $y$ و اولین آن است مشتق$y"$ به صورت خطی، یعنی تا درجه اول در معادله گنجانده شده است. نام "همگن" با این واقعیت توضیح داده می شود که یک صفر در سمت راست معادله وجود دارد.

چنین معادله دیفرانسیل را می توان با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کرد. بیایید آن را به شکل استاندارد متد ارائه کنیم: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$، جایی که $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\ راست)$ و $f_(2)\left(y\right)=y$.

بیایید انتگرال $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه کنیم.

بیایید انتگرال $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right را محاسبه کنیم |$.

اجازه دهید راه حل کلی را به شکل $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$ بنویسیم، جایی که $ \ln \left |C_(1) \right|$ یک ثابت دلخواه است که به شکلی مناسب برای تبدیل‌های بعدی گرفته شده است.

بیایید تبدیل ها را انجام دهیم:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

با استفاده از تعریف لگاریتم، می‌گیریم: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ . این برابری، به نوبه خود، معادل برابری $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ است.

با جایگزینی ثابت دلخواه $C=\pm C_(1) $، جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی را بدست می آوریم: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) دلار.

پس از حل معادله $f_(2) \left(y\right)=y=0$، راه حل های خاصی پیدا می کنیم. با یک بررسی معمول متقاعد می شویم که تابع $y=0$ راه حل ویژه ای از این معادله دیفرانسیل است.

با این حال، همان راه حل را می توان از راه حل کلی $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ بدست آورد و $C=0$ را در آن قرار داد.

بنابراین نتیجه نهایی این است: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $.

روش کلی برای حل یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه اول را می توان به صورت الگوریتم زیر نشان داد:

1. برای حل این معادله ابتدا باید به شکل استاندارد روش $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ ارائه شود، در صورتی که این معادله محقق نشد، باید این معادله دیفرانسیل را با یک روش متفاوت
2. انتگرال $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه می کنیم.
3. جواب کلی را به شکل $y=C\cdot e^(-I) $ می نویسیم و در صورت لزوم تبدیل های ساده سازی می کنیم.

مشکل 1

جواب کلی معادله دیفرانسیل $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ را پیدا کنید.

ما یک معادله همگن خطی مرتبه اول به شکل استاندارد داریم که برای آن $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

ما انتگرال $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ را محاسبه می کنیم.

راه حل کلی به این شکل است: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول

تعریف

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول که می تواند به شکل استاندارد $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ نمایش داده شود، جایی که $P\left(x\right)$ و $ Q\left(x\right)$ - توابع پیوسته شناخته شده، معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی نامیده می شود. نام "ناهمگن" با این واقعیت توضیح داده می شود که سمت راست معادله دیفرانسیل غیر صفر است.

حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی پیچیده را می توان به حل دو معادله دیفرانسیل ساده تر تقلیل داد. برای این کار، تابع مورد نیاز $y$ باید با حاصل ضرب دو تابع کمکی $u$ و $v$ جایگزین شود، یعنی $y=u\cdot v$ را قرار دهید.

ما جایگزین پذیرفته شده را متمایز می کنیم: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. عبارت به دست آمده را با این معادله دیفرانسیل جایگزین می کنیم: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ یا $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ راست] =Q\چپ(x\راست)$.

توجه داشته باشید که اگر $y=u\cdot v$ پذیرفته شود، می توان یکی از توابع کمکی را به صورت دلخواه به عنوان بخشی از محصول $u\cdot v$ انتخاب کرد. اجازه دهید تابع کمکی $v$ را انتخاب کنیم تا عبارت در براکت صفر شود. برای این کار کافی است معادله دیفرانسیل $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ را برای تابع $v$ حل کنید و ساده ترین راه حل خاص را برای آن انتخاب کنید. $v=v\left(x \راست)$، غیر صفر. این معادله دیفرانسیل خطی همگن است و با روشی که در بالا توضیح داده شد حل می شود.

با در نظر گرفتن این واقعیت که اکنون عبارت در پرانتز برابر با صفر است، جواب $v=v\left(x\right)$ را به جای این معادله دیفرانسیل قرار می دهیم و معادله دیفرانسیل دیگری به دست می آوریم، اما اکنون با توجه به به تابع کمکی $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. این معادله دیفرانسیل را می توان به صورت $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ نشان داد، پس از آن مشخص می شود که بلافاصله اجازه می دهد ادغام. برای این معادله دیفرانسیل باید یک جواب کلی به شکل $u=u\left(x,\; C\right)$ پیدا کرد.

اکنون می‌توانیم جواب کلی این معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را به شکل $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ پیدا کنیم.

روش کلی برای حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را می توان به صورت الگوریتم زیر نشان داد:

1. برای حل این معادله، ابتدا باید به شکل استاندارد روش $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ نمایش داده شود، اگر این امر محقق نشد، پس این معادله دیفرانسیل باید با روش دیگری حل شود.
2. انتگرال $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه می کنیم، یک راه حل خاص را به شکل $v\left(x\right)=e^(-I_(1) می نویسیم. ) $، تبدیل های ساده کننده را اجرا کنید و ساده ترین گزینه غیر صفر را برای $v\left(x\right)$ انتخاب کنید.
3. انتگرال $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ را محاسبه می کنیم و بعد از آن عبارت را به شکل $u می نویسیم. \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
4. جواب کلی این معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را به شکل $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ می‌نویسیم و در صورت لزوم تبدیل‌های ساده‌سازی می‌کنیم.

مشکل 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ را پیدا کنید.

ما یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول به شکل استاندارد داریم که برای آن $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ و $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

انتگرال $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

ما یک راه حل خاص را به شکل $v\left(x\right)=e^(-I_(1)) $ می نویسیم و تبدیل های ساده سازی می کنیم: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ راست|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. برای $v\left(x\right)$ ساده ترین گزینه غیر صفر را انتخاب می کنیم: $v\left(x\right)=x$.

انتگرال $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) را محاسبه می کنیم ) \ cdot dx=3\cdot x $.

عبارت $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ را می نویسیم.

در نهایت جواب کلی این معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را به شکل $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ یادداشت می کنیم، یعنی $y=\left( 3\cdot x+C \راست)\cdot x$.