4. فرمول شعاع یک دایره، که در مورد یک مستطیل از طریق قطر مربع توضیح داده شده است:

5. فرمول شعاع یک دایره، که در نزدیکی یک مستطیل از طریق قطر یک دایره (محدود شده) توضیح داده شده است:

6. فرمول شعاع یک دایره، که در نزدیکی یک مستطیل از طریق سینوس زاویه ای که در مجاورت قطر قرار دارد، و طول ضلع مقابل این زاویه توضیح داده شده است:

7. فرمول شعاع دایره که در مورد یک مستطیل بر حسب کسینوس زاویه ای که مجاور قطر است و طول ضلع در این زاویه توضیح داده شده است:

8. فرمول شعاع یک دایره که در نزدیکی یک مستطیل از طریق سینوس زاویه حاد بین قطرها و مساحت مستطیل توضیح داده شده است:

زاویه بین ضلع و مورب مستطیل.

فرمول های تعیین زاویه بین ضلع و قطر مستطیل:

1. فرمول تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل از طریق مورب و ضلع:

2. فرمول تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل از طریق زاویه بین قطرها:

زاویه بین قطرهای مستطیل.

فرمول های تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل:

1. فرمول تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل از طریق زاویه بین ضلع و مورب:

β = 2α

2. فرمول تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل از طریق مساحت و قطر.

مستطیلچهار ضلعی است که هر گوشه آن یک زاویه قائمه است.

اثبات

این ویژگی با عملکرد ویژگی 3 متوازی الاضلاع توضیح داده می شود (یعنی \ زاویه A = \ زاویه C ، \ زاویه B = \ زاویه D )

2. اضلاع مقابل برابرند.

AB = CD،\enspace BC = AD

3. اضلاع مقابل موازی هستند.

AB \سی‌دی موازی،\enspace BC \موازی AD

4. اضلاع مجاور بر هم عمود هستند.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. قطرهای مستطیل برابر است.

AC=BD

اثبات

مطابق با دارایی 1مستطیل متوازی الاضلاع است که به معنای AB = CD است.

بنابراین، \ مثلث ABD = \ مثلث DCA در امتداد دو پایه (AB = CD و AD - مفصل).

اگر هر دو شکل - ABC و DCA یکسان باشند، هیپوتنوس BD و AC آنها نیز یکسان هستند.

بنابراین AC = BD.

فقط یک مستطیل از تمام اشکال (فقط از متوازی الاضلاع!) دارای قطرهای برابر است.

این را هم ثابت کنیم.

ABCD یک متوازی الاضلاع است \Rightarrow AB = CD , AC = BD بر اساس شرط. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAدر حال حاضر در سه طرف

معلوم می شود که \ زاویه A = \ زاویه D (مانند گوشه های متوازی الاضلاع). و \ زاویه A = \ زاویه C ، \ زاویه B = \ زاویه D .

ما آن را استنباط می کنیم \ زاویه A = \ زاویه B = \ زاویه C = \ زاویه D. همه آنها 90^(\circ) هستند. کل 360^(\circ) است.

ثابت شده!

6. مربع مورب برابر است با مجموع مربع های دو ضلع مجاور آن.

این ویژگی بر اساس قضیه فیثاغورث معتبر است.

AC^2=AD^2+CD^2

7. مورب مستطیل را به دو مثلث قائم الزاویه یکسان تقسیم می کند.

\مثلث ABC = \مثلث ACD, \enspace \مثلث ABD = \مثلث BCD

8. نقطه تلاقی مورب ها آنها را به دو نیم می کند.

AO=BO=CO=DO

9. نقطه تلاقی مورب ها مرکز مستطیل و دایره محصور شده است.

10. مجموع تمام زوایا 360 درجه است.

\ زاویه ABC + \ زاویه BCD + \ زاویه CDA + \ زاویه DAB = 360^ (\circ)

11. تمام گوشه های مستطیل راست است.

\ زاویه ABC = \ زاویه BCD = \ زاویه CDA = \ زاویه DAB = 90^(\circ)

12. قطر دایره محصور دور مستطیل برابر است با قطر مستطیل.

13. همیشه می توان یک دایره را در اطراف یک مستطیل توصیف کرد.

این ویژگی به این دلیل معتبر است که مجموع زوایای مقابل یک مستطیل 180^(\circ) است.

\ زاویه ABC = \ زاویه CDA = 180 ^ (\circ) ، \ فضای \ زاویه BCD = \ زاویه DAB = 180^(\circ)

14. یک مستطیل می تواند دارای یک دایره محاط باشد و فقط یک دایره در صورتی که طول ضلع آن یکسان باشد (مربع باشد).

مستطیل. از آنجایی که مستطیل دارای دو محور تقارن است، مرکز ثقل آن در محل تقاطع محورهای تقارن قرار دارد، یعنی. در نقطه تلاقی قطرهای مستطیل.

مثلث. مرکز ثقل در نقطه تقاطع میانه های آن قرار دارد. از هندسه معلوم است که وسط یک مثلث در یک نقطه قطع می شود و به نسبت 1:2 از قاعده تقسیم می شود.

یک دایره از آنجایی که دایره دارای دو محور تقارن است، مرکز ثقل آن در محل تلاقی محورهای تقارن است.

نیم دایره. نیم دایره دارای یک محور تقارن است، سپس مرکز ثقل روی این محور قرار دارد. مختصات دیگر مرکز ثقل با فرمول محاسبه می شود: .

بسیاری از عناصر ساختاری از محصولات نورد استاندارد ساخته شده اند - زاویه ها، تیرهای I، کانال ها و غیره. همه ابعاد، و همچنین ویژگی های هندسی پروفیل های نورد، داده های جدولی هستند که می توان آنها را در ادبیات مرجع در جداول مجموعه استاندارد (GOST 8239-89، GOST 8240-89) یافت.

مثال 1 موقعیت مرکز ثقل شکل نشان داده شده در شکل را تعیین کنید.

راه حل:

ما محورهای مختصات را انتخاب می کنیم تا محور Ox در امتداد بعد کلی پایین تر و محور Oy - در امتداد بعد کلی سمت چپ قرار گیرد.

یک شکل پیچیده را به حداقل تعداد ارقام ساده تقسیم می کنیم:

مستطیل 20x10;

مثلث 15x10;

دایره R=3 سانتی متر.

ما مساحت هر شکل ساده، مختصات مرکز ثقل آن را محاسبه می کنیم. نتایج محاسبات در جدول درج شده است

پاسخ: C(14.5; 4.5)

مثال 2 . مختصات مرکز ثقل یک مقطع مرکب متشکل از یک ورق و پروفیل های نورد شده را تعیین کنید.

راه حل.

همانطور که در شکل نشان داده شده است، محورهای مختصات را انتخاب می کنیم.

ارقام را با اعداد نشان می دهیم و داده های لازم را از جدول می نویسیم:

مختصات مرکز ثقل شکل را با استفاده از فرمول ها محاسبه می کنیم:

پاسخ: C(0; 10)

کار آزمایشگاهی شماره 1 "تعیین مرکز ثقل فیگورهای تخت مرکب"

هدف: مرکز ثقل یک شکل مختلط مسطح معین را با روشهای تجربی و تحلیلی تعیین کنید و نتایج آنها را با هم مقایسه کنید.

سفارش کار

شکل مسطح خود را به اندازه، با نشان دادن محورهای مختصات، در دفترچه ها بکشید.

مرکز ثقل را به صورت تحلیلی تعیین کنید.

1. شکل را به حداقل تعداد ارقام بشکنید که مراکز ثقل آن را می دانیم چگونه تعیین کنیم.

   تعداد مناطق و مختصات مرکز ثقل هر شکل را مشخص کنید.

   مختصات مرکز ثقل هر شکل را محاسبه کنید.

   مساحت هر شکل را محاسبه کنید.

   مختصات مرکز ثقل کل شکل را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید (موقعیت مرکز ثقل را در نقاشی شکل قرار دهید):

نصب برای تعیین تجربی مختصات مرکز ثقل توسط سیستم تعلیق شامل یک قفسه عمودی است. 1 (نگاه کنید به شکل) که سوزن به آن وصل شده است 2 . شکل تخت 3 ساخته شده از مقوا، که به راحتی سوراخ می شود. سوراخ ها ولی و AT در نقاطی که به طور تصادفی قرار دارند سوراخ می شوند (ترجیحاً در دورترین فاصله از یکدیگر). یک شکل صاف، ابتدا در یک نقطه، روی یک سوزن آویزان می شود ولی ، و سپس در نقطه AT . با کمک شاقول 4 ، روی همان سوزن ثابت شده است، یک خط عمودی روی شکل با مداد مربوط به خط شاقول کشیده می شود. مرکز گرانش از جانب شکل در محل تقاطع خطوط عمودی ترسیم شده هنگام آویزان کردن شکل در نقاط قرار می گیرد ولی و AT .

اغلب، یک صنعتگر خانگی باید مرکز یک دایره یا یک قسمت گرد را پیدا کند. قبلاً در مورد یکی از راه های حل این مشکل در مقاله نوشتم چگونه مرکز دایره را پیدا کنیماما یک اشکال قابل توجه دارد - لازم است وسط وتر را با دقت پیدا کنید و به طور دقیق عمودی از آن بسازید.

خوشبختانه روش دیگری برای یافتن دقیق مرکز دایره وجود دارد که نیازی به اندازه گیری دقیق ندارد. بر این اصل ساده استوار است که اگر یک مثلث قائم الزاویه در یک دایره محاط شود، هیپوتنوز آن (طولانی ترین ضلع) قطر این دایره یا دایره خواهد بود.

این امر با این واقعیت تأیید می شود که مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است. و کل دایره 360 درجه است. و هر مستطیلی که هیپوتنوز آن برابر با قطر دایره باشد مستطیل خواهد بود. و بالعکس - هر مثلث قائم الزاویه با هیپوتنوز آن نشان دهنده قطر دایره است.

و اگر نقطه تلاقی دو قطر دایره نباشد، مرکز دایره را دقیقاً به ما می دهد؟

به عنوان یک "منبع" زاویه قائمه، گرفتن یک ورق کاغذ نوشتن راحت تر است. در کارخانه های کاغذسازی با دقت بسیار بالایی برش داده می شوند. می توانید از صفحه هر مجله و غیره استفاده کنید.

روی قسمت گرد یک ورق می گذاریم طوری که یکی از گوشه های آن روی دایره یا لبه دایره باشد. و نقاطی را که برگه با لبه های دیگر دایره تماس دارد علامت بزنید. ما این نکات را مشخص می کنیم.

بین نقاط مشخص شده یک خط مستقیم می کشیم. فاصله بین آنها قطر این دایره است. کاغذ اضافی را برش می دهیم و یک خط مستقیم روی قسمت - قطر می کشیم.

کافی است مثلث خود را به موقعیت دیگری ببریم و قطر دیگری از دایره رسم کنیم و بلافاصله در نقطه تلاقی قطرها به مرکز دلخواه دایره خواهیم رسید ...

بنابراین، بدون هیچ اندازه گیری مطلق، می توانیم مرکز هر دایره ای را پیدا کنیم.