مفاهیم "چند جمله ای" و "فاکتورسازی چند جمله ای" در جبر بسیار رایج است، زیرا برای انجام محاسبات با اعداد بزرگ چند ارزشی باید آنها را بدانید. این مقاله چندین روش تجزیه را شرح می دهد. استفاده از همه آنها بسیار ساده است، فقط باید در هر مورد مناسب را انتخاب کنید.

مفهوم چند جمله ای

چند جمله ای مجموع تک جمله هاست، یعنی عباراتی که فقط شامل عملیات ضرب هستند.

به عنوان مثال، 2 * x * y یک تک جمله است، اما 2 * x * y + 25 یک چند جمله ای است که از 2 تک جمله ای تشکیل شده است: 2 * x * y و 25. به این چند جمله ای ها دو جمله ای می گویند.

گاهی اوقات، برای راحتی حل مثال هایی با مقادیر چند ارزشی، عبارت باید تبدیل شود، به عنوان مثال، به تعداد معینی از عوامل، یعنی اعداد یا عباراتی که بین آنها عملیات ضرب انجام می شود، تجزیه شود. راه های مختلفی برای فاکتورسازی چند جمله ای وجود دارد. ارزش آن را دارد که آنها را از ابتدایی ترین شروع کنیم که حتی در کلاس های ابتدایی نیز استفاده می شود.

گروه بندی (ورود عمومی)

فرمول فاکتورگیری یک چند جمله ای به عوامل با روش گروه بندی به طور کلی به این صورت است:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

لازم است تک جمله ها را طوری گروه بندی کرد که در هر گروه یک عامل مشترک ظاهر شود. در پرانتز اول، این عامل c و در دومی - d است. این باید انجام شود تا سپس آن را از براکت خارج کنید و در نتیجه محاسبات را ساده کنید.

الگوریتم تجزیه در یک مثال خاص

ساده ترین مثال از فاکتورسازی چند جمله ای به عوامل با استفاده از روش گروه بندی در زیر آورده شده است:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

در براکت اول، شما باید شرایط را با فاکتور a، که رایج خواهد بود، و در دومی - با عامل b بگیرید. به علامت های + و - در عبارت تمام شده توجه کنید. علامتی را که در عبارت ابتدایی بود، قبل از تک نام قرار می دهیم. یعنی باید نه با عبارت 25a بلکه با عبارت -25 کار کنید. علامت منفی، همانطور که بود، به عبارت پشت آن چسبیده است و همیشه آن را در محاسبات در نظر می گیرد.

در مرحله بعد، باید فاکتور را که رایج است، از براکت خارج کنید. گروه بندی برای همین است. خارج کردن آن از براکت به معنای نوشتن قبل از براکت (با حذف علامت ضرب) تمام عواملی است که دقیقاً در تمام عبارات داخل پرانتز تکرار می شوند. اگر در پرانتز 2، بلکه 3 یا بیشتر وجود داشته باشد، فاکتور مشترک باید در هر یک از آنها وجود داشته باشد، در غیر این صورت نمی توان آن را از براکت خارج کرد.

در مورد ما، فقط 2 عبارت در پرانتز. ضریب کلی بلافاصله قابل مشاهده است. پرانتز اول a، دومی b است. در اینجا باید به ضرایب دیجیتال توجه کنید. در براکت اول، هر دو ضریب (10 و 25) مضرب 5 هستند. این بدان معنی است که نه تنها a، بلکه 5a نیز می تواند براکت شود. قبل از پرانتز عدد 5a را بنویسید و سپس هر یک از عبارت های داخل پرانتز را بر ضریب مشترکی که برداشته شده تقسیم کنید و همچنین ضریب داخل پرانتز را یادداشت کنید و علامت + و - را فراموش نکنید، با براکت دوم نیز همین کار را انجام دهید. ، 7b را از 14 و 35 مضرب 7 خارج کنید.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

معلوم شد 2 عبارت: 5a (2c - 5) و 7b (2c - 5). هر یک از آنها حاوی یک عامل مشترک است (کل عبارت در پرانتز در اینجا یکسان است، یعنی یک عامل مشترک است): 2c - 5. همچنین باید از براکت خارج شود، یعنی عبارت های 5a و 7b. در براکت دوم باقی بمانید:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

بنابراین بیان کامل این است:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

بنابراین، چند جمله ای 10ac + 14bc - 25a - 35b به 2 عامل تجزیه می شود: (2c - 5) و (5a + 7b). علامت ضرب بین آنها را می توان هنگام نوشتن حذف کرد

گاهی اوقات عباراتی از این نوع وجود دارد: 5a 2 + 50a 3، در اینجا می توانید نه تنها a یا 5a، بلکه حتی 5a 2 را نیز براکت کنید. همیشه باید سعی کنید بزرگترین عامل مشترک ممکن را از براکت خارج کنید. در مورد ما، اگر هر عبارت را بر یک عامل مشترک تقسیم کنیم، به دست می آید:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(هنگام محاسبه ضریب چند توان با پایه های مساوی، پایه حفظ می شود و توان از آن کم می شود). بنابراین، یک در پرانتز باقی می‌ماند (به هیچ وجه فراموش نکنید که یکی از عبارت‌ها را به طور کامل از داخل براکت بنویسید) و ضریب تقسیم: 10a. معلوم می شود که:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

فرمول های مربعی

برای راحتی محاسبات، چندین فرمول استخراج شده است. آنها فرمول های ضرب کاهش یافته نامیده می شوند و اغلب استفاده می شوند. این فرمول ها به فاکتورسازی چند جمله ای های حاوی توان کمک می کنند. این روش قدرتمند دیگری برای فاکتورسازی است. بنابراین در اینجا آنها هستند:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -فرمول که "مربع مجموع" نامیده می شود، زیرا در نتیجه انبساط به یک مربع، مجموع اعداد محصور در پرانتز گرفته می شود، یعنی مقدار این مجموع در خودش 2 برابر می شود که یعنی ضریب است.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - فرمول مربع اختلاف، مشابه فرمول قبلی است. نتیجه یک تفاوت محصور در براکت ها است که در یک توان مربع قرار دارد.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- این فرمول تفاوت مربع ها است، زیرا در ابتدا چند جمله ای از 2 مربع اعداد یا عبارت تشکیل شده است که بین آنها تفریق انجام می شود. این شاید رایج ترین مورد استفاده از این سه مورد باشد.

مثال هایی برای محاسبه با فرمول های مربع

محاسبات روی آنها به سادگی انجام می شود. مثلا:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - از فرمول "مربع مجموع" استفاده کنید.
2. 25x2 مربع 5x است. 20xy دو برابر حاصل ضرب 2*(5x*2y) و 4y 2 مربع 2y است.
3. بنابراین 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).این چند جمله ای به 2 عامل تجزیه می شود (عوامل یکسان هستند بنابراین به صورت یک عبارت با توان مربع نوشته می شود).

عمليات بر اساس فرمول مجذور اختلاف مشابه اينها انجام مي شود. آنچه باقی می ماند تفاوت فرمول مربع هاست. شناسایی و یافتن نمونه‌های این فرمول در میان عبارات دیگر بسیار آسان است. مثلا:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). از 25a 2 \u003d (5a) 2 و 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). از 36x 2 \u003d (6x) 2 و 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). از آنجایی که 169b 2 = (13b) 2

مهم است که هر یک از اصطلاحات مربع برخی از عبارت ها باشد. سپس این چند جمله ای باید با فرمول تفاضل مربع ها فاکتور شود. برای این کار لازم نیست توان دوم بالای عدد باشد. چند جمله‌ای‌های حاوی توان‌های بزرگ وجود دارند، اما هنوز برای این فرمول‌ها مناسب هستند.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

در این مثال، 8 را می توان به صورت (a 4) 2 نشان داد، یعنی مربع یک عبارت خاص. 25 برابر 5 2 و 10a برابر با 4 است - این حاصل ضرب مضاعف عبارت 2*a 4*5 است. یعنی این عبارت علیرغم وجود درجه هایی با توان های بزرگ می تواند به 2 عامل تجزیه شود تا بعداً با آنها کار شود.

فرمول های مکعبی

همین فرمول ها برای فاکتورگیری چند جمله ای های حاوی مکعب وجود دارد. آنها کمی پیچیده تر از آنهایی هستند که مربع دارند:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- این فرمول را مجموع مکعب ها می نامند، زیرا در شکل اولیه آن چند جمله ای مجموع دو عبارت یا عدد محصور در یک مکعب است.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -فرمول یکسان با فرمول قبلی به عنوان تفاوت مکعب ها نشان داده می شود.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - مکعب جمع، در نتیجه محاسبات، مجموع اعداد یا عبارات به دست می آید، در داخل پرانتز قرار می گیرد و در خودش 3 برابر می شود، یعنی در مکعب قرار دارد.
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -فرمول که بر اساس قیاس با فرمول قبلی با تغییر تنها در برخی از نشانه های عملیات ریاضی (به علاوه و منفی) جمع آوری شده است، "مکعب تفاوت" نامیده می شود.

دو فرمول آخر عملاً برای فاکتورگیری چند جمله ای استفاده نمی شوند، زیرا آنها پیچیده هستند، و به ندرت می توان چند جمله ای را یافت که کاملاً با چنین ساختاری مطابقت داشته باشد تا بتوان آنها را مطابق این فرمول ها تجزیه کرد. اما شما هنوز هم باید آنها را بشناسید، زیرا آنها برای اقدامات در جهت مخالف - هنگام باز کردن براکت ها مورد نیاز خواهند بود.

نمونه هایی برای فرمول های مکعبی

به یک مثال توجه کنید: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

ما در اینجا اعداد نسبتاً اول گرفته‌ایم، بنابراین بلافاصله می‌توانید ببینید که 64a 3 (4a) 3 و 8b 3 (2b) 3 است. بنابراین، این چند جمله ای با تفاوت فرمول مکعب ها به 2 عامل منبسط می شود. اعمال بر روی فرمول مجموع مکعب ها با قیاس انجام می شود.

درک این نکته مهم است که همه چند جمله ای ها را نمی توان حداقل به یکی از راه ها تجزیه کرد. اما چنین عباراتی وجود دارند که دارای قدرت های بزرگتر از مربع یا مکعب هستند، اما می توان آنها را به اشکال ضرب اختصاری نیز گسترش داد. به عنوان مثال: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

این مثال حاوی 12 درجه است. اما حتی می توان آن را با استفاده از فرمول مجموع مکعب ها فاکتور گرفت. برای انجام این کار، باید x 12 را به عنوان (x 4) 3 نشان دهید، یعنی به عنوان یک مکعب از یک عبارت. اکنون به جای a، باید آن را در فرمول جایگزین کنید. خوب، عبارت 125y 3 مکعب 5y است. مرحله بعدی نوشتن فرمول و انجام محاسبات است.

در ابتدا یا زمانی که شک دارید، همیشه می توانید با ضرب معکوس بررسی کنید. فقط باید براکت ها را در عبارت حاصل باز کنید و اقداماتی را با عبارات مشابه انجام دهید. این روش برای تمام روش‌های کاهش فهرست شده اعمال می‌شود: هم برای کار با یک عامل مشترک و گروه‌بندی و هم برای عملیات روی فرمول‌های مکعب و توان مربع.

هدف درس:  شکل گیری مهارت های فاکتورگیری چند جمله ای به عوامل به طرق مختلف.  پرورش دقت، پشتکار، پشتکار، توانایی کار دو نفره. تجهیزات: پروژکتور چند رسانه ای، کامپیوتر، مواد آموزشی. طرح درس: 1. لحظه سازمانی; 2. بررسی تکالیف. 3. کار شفاهی; 4. یادگیری مطالب جدید. 5. تربیت بدنی; 6. تلفیق مطالب مورد مطالعه. 7. دوتایی کار کنید. 8. تکلیف; 9. جمع بندی. سیر درس: 1. لحظه سازمانی. دانش آموزان را به درس اختصاص دهید. تعلیم و تربیت شامل مقدار دانش نیست، بلکه شامل درک کامل و به کارگیری ماهرانه همه چیزهایی است که فرد می داند. (جورج هگل) 2. بررسی تکالیف. تجزیه و تحلیل وظایفی که دانش آموزان در حل آنها مشکل داشتند. 3. کار شفاهی.  فاکتورسازی: 1) 2) 3) ; چهار). تطابق بین عبارات ستون چپ و راست برقرار کنید: الف. 1. ب. 2. ج. 3. د. 4. د. 5. .  حل معادلات: 1. 2. 3. 4. یادگیری مطالب جدید. برای فاکتورسازی چند جمله ای ها از پرانتز، گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری استفاده کردیم. گاهی اوقات می توان با استفاده از چندین روش متوالی یک چند جمله ای را فاکتور گرفت. در صورت امکان، باید تغییر را با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز شروع کنید. به منظور حل موفقیت آمیز چنین نمونه هایی، امروز سعی خواهیم کرد برنامه ای برای کاربرد مداوم آنها ایجاد کنیم.

صندوق جایزه 150.000 ₽ 11 سند افتخار مدارک انتشار در رسانه ها

طرح درس درس جبر پایه هفتم

معلم Prilepova O.A.

اهداف درس:

کاربرد روش های مختلف برای فاکتورگیری چند جمله ای را نشان دهید

روش های فاکتورسازی را تکرار کنید و دانش خود را در طول تمرینات تثبیت کنید

توسعه مهارت ها و توانایی های دانش آموزان در استفاده از فرمول های ضرب اختصاری.

تفکر منطقی و علاقه دانش آموزان به موضوع را توسعه دهید.

وظایف:

در جهت توسعه شخصی:

توسعه علاقه به خلاقیت ریاضی و توانایی های ریاضی؛

توسعه ابتکار، فعالیت در حل مسائل ریاضی؛

پرورش توانایی تصمیم گیری مستقل.

در جهت فراسوژه :

شکل گیری روش های کلی فعالیت فکری، مشخصه ریاضیات و اساس فرهنگ شناختی.

استفاده از فناوری ICT؛

در حوزه موضوعی:

تسلط بر دانش و مهارت های ریاضی لازم برای ادامه تحصیل؛

ایجاد توانایی در دانش آموزان برای جست و جوی راه هایی برای فاکتورسازی چند جمله ای و یافتن آنها برای چند جمله ای که فاکتورسازی شده است.

تجهیزات:جزوات، برگه های مسیر با معیارهای ارزیابی،پروژکتور چند رسانه ای، ارائه.

نوع درس:تکرار، تعمیم و نظام مندی مطالب تحت پوشش

اشکال کار:کار به صورت جفتی و گروهی، فردی، جمعی،کار مستقل و جلویی

در طول کلاس ها:

مراحل	طرح		UUD
لحظه سازمان.	تقسیم بندی به گروه ها و زوج ها: دانش آموزان با توجه به معیار زیر همسر انتخاب می کنند: من با این همکلاسی کمترین ارتباط برقرار می کنم. خلق و خوی روانی: شکلک دلخواه خود را انتخاب کنید (حالت در ابتدای درس) و در زیر آن نمره ای را که می خواهید امروز در درس دریافت کنید (SLIDE) نگاه کنید. - خود را در دفتری در حاشیه نمره ای که دوست دارید امروز در درس دریافت کنید قرار دهید. شما نتایج خود را در جدول (SLIDE) علامت گذاری خواهید کرد. برگه مسیر. ورزش جمع مقطع تحصیلی معیارهای ارزیابی: 1. من همه چیز را به درستی و بدون خطا حل کردم - 5 2. هنگام حل، من از 1 تا 2 اشتباه کردم - 4 3. هنگام حل 3 تا 4 اشتباه انجام داد - 3 4. بیش از 4 اشتباه در هنگام حل کردن - 2		رویکردهای نوین تدریس (گفتگو)
بالفعل شدن	کار جمعی. - امروز در درس شما می توانید دانش خود را نشان دهید، در کنترل متقابل و خودکنترلی فعالیت های خود شرکت کنید. مطابقت (SLIDE): در اسلاید بعدی به عبارات توجه کنید، چه چیزی را متوجه می شوید؟ (اسلاید) 15x3y2 + 5x2y خارج کردن ضریب مشترک از پرانتز p 2 + pq - 3 p -3 q روش گروه بندی 16m2 - 4n2 فرمول ضرب مختصر چگونه می توان این اقدامات را در یک کلمه جمع کرد؟ (روش های بسط چند جمله ای ها) بیانیه دانش آموزان از موضوع و هدف درس به عنوان تکلیف یادگیری خودشان (SLIDE). بر این اساس موضوع درس خود را تدوین کرده و هدف گذاری کنیم. سوالات دانش آموزان: موضوع درس را نام ببرید؛ هدف درس را تدوین کنید؛ همه کارت هایی با نام فرمول ها دارند. (دو نفره کار کنید). به همه فرمول ها فرمول بدهید
کاربرد دانش	دوتایی کار کنید. بررسی اسلاید 1. پاسخ صحیح را انتخاب کنید (SLIDE). کارت ها: ورزش پاسخ (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5y-7)2= 25y2+49-70y 25u2-49-70u 25y2+49+70 x2-16y2= (x-4y)(x+4y) (x-16y)(x+16y) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2 + در 2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. یافتن خطاها (SLIDE): شماره کارت بررسی اسلاید 1 جفت: o ( ب- y)2 = ب2 - 4 بy+y2 o 49- c2=(49-ج)(49+s) 2 جفت: o (r- 10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 جفت: o (3y+1)2=9y+6y+1 o ( ب- الف) 2 =ب2- 4بa+a2 4 جفت: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a²	تحصیلات متناسب با ویژگی های سنی
	3. به هر جفت وظایف داده می شود و زمان محدودی برای حل آن (SLIDE) ما روی کارت های پاسخ بررسی می کنیم. 1. مراحل زیر را دنبال کنید: a) (a + 3c) 2; ب) x 2 - 12 x + 36; ج) 4v2-y2. 2. Factorize: a) ; ب)؛ در 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. مقدار عبارت را بیابید: (7 p + 4) 2 -7 p (7 p - 2) در p = 5.		مدیریت و رهبری
	4. کار گروهی. نگاه کنید، اشتباه نکنید (SLIDE). کارت ها بیایید اسلاید را بررسی کنیم. (a+…)²=…+2…s+s² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 متر)=9+…+4 متر مربع (n + 2v)²= n ²+…+4v²		آموزش تفکر انتقادی. مدیریت و رهبری
	5. کار گروهی (مشاوره در مورد راه حل، بحث در مورد وظایف و راه حل های آنها) به هر یک از اعضای گروه وظایفی در سطح A، B، C داده می شود. هر یک از اعضای گروه یک کار عملی را برای خود انتخاب می کند. کارت ها (اسلاید) چک کردن با کارت های پاسخ سطح A 1. فاکتور بگیرید: الف) c 2 - a 2 ; ب) 5x2-45؛ ج) 5a2 + 10av + 5v2؛ د) ax2-4ax + 4a 2. موارد زیر را انجام دهید: a) (x - 3) (x + 3); ب) (x - 3)2; ج) x (x - 4). سطح B 1. ساده کردن: a) (3a + p) (3a-p) + p2; ب) (a + 11) 2 - 20a; ج) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. محاسبه کنید: الف) 962 - 862; ب) 1262 - 742. سطح C 1. معادله را حل کنید: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. معادله را حل کنید: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		آموزش به افراد مستعد و با استعداد
خلاصه درس	- بیایید جمع بندی کنیم، با توجه به نتایج جدول تخمین ها را استخراج خواهیم کرد. نمرات خود را با امتیاز تخمینی خود مقایسه کنید. شکلک را انتخاب کنید که با رتبه شما مطابقت دارد (SLIDE). ج) معلم کار کلاس را ارزیابی می کند (فعالیت، سطح دانش، مهارت ها، خود سازماندهی، کوشش) کار مستقل به صورت تست با چک RESERVE		ارزشیابی برای یادگیری و ارزیابی برای یادگیری
مشق شب	به آموزش فرمول های ضرب اختصاری ادامه دهید.
انعکاس	بچه ها لطفاً به تمثیل گوش کنید: (SLIDE) حکیمی راه می‌رفت و سه نفر با گاری‌هایی با او ملاقات می‌کردند سنگ برای ساخت معبد. حکیم ایستاد و از هر یک پرسید سوال اولی پرسید: - تمام روز را چه کردی؟ و او با پوزخند پاسخ داد که تمام روز سنگ های نفرین شده را حمل کرده است. دومی پرسید: و تمام روز چه کردی؟ ” و او پاسخ داد: من وظیفه خود را با وجدان انجام دادم. و سومی به او لبخند زد، صورتش از شادی و لذت روشن شد و پاسخ داد: «الف من در ساخت معبد شرکت کردم.» معبد شما چیست؟ (دانش) بچه ها! چه کسی از اول شخص کار کرده است؟ (نمایش شکلک ها) (امتیاز 3 یا 2) (SLIDE) چه کسی با حسن نیت کار کرد؟ (امتیاز 4) و چه کسانی در ساخت معبد دانش شرکت کردند؟ (امتیاز 5)		آموزش تفکر انتقادی

• شکل گیری مهارت های به کارگیری روش های مختلف برای فاکتورسازی.
• کمک به آموزش فرهنگ گفتار، دقت ضبط، استقلال.
• شکل گیری مهارت های فعالیت جستجوی جزئی: آگاهی از مشکل، تجزیه و تحلیل، نتیجه گیری.

تجهیزات: کتاب درسی، تخته سیاه، دفترچه یادداشت، کارت وظایف.

نوع درس: درس کاربرد ZUN.

روش تدریس: مسئله ای، جزئی اکتشافی.

شکل سازماندهی فعالیت های آموزشی: گروهی، پیشانی، فردی، کار به صورت جفت.

مدت: 1 درس (45 دقیقه)

طرح درس:

1. سازماندهی شروع درس. (1 دقیقه)
2. بررسی تکالیف (2 دقیقه)
3. بالفعل شدن (5 دقیقه)
4. یادگیری مطالب جدید. (10 دقیقه)
5. ادغام مواد جدید. (15 دقیقه)
6. کنترل و خودآزمایی دانش. (8 دقیقه)
7. خلاصه کردن. (2 دقیقه)
8. مشق شب. (2 دقیقه)

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

سلام بچه ها.

موضوع درس "کاربرد روش های مختلف برای فاکتورسازی" است. امروز ما مهارت های استفاده از روش های مختلف فاکتورسازی را شکل خواهیم داد و یک بار دیگر به سودمندی توانایی تبدیل یک چند جمله ای به فاکتورها متقاعد خواهیم شد.

من آرزو می کنم شما فعالانه در درس کار کنید. (موضوع را در دفتر یادداشت بنویسید).

II. بررسی تکالیف

قبل از شروع درس، دانش آموزان دفترچه هایی را با تکالیف تکمیل شده برای تأیید به دست می دهند. مسائلی که باعث ایجاد مشکلات شده است مورد بحث قرار می گیرد.

III. به روز رسانی دانش پایه

قبل از شروع حل مشکلات، بررسی خواهیم کرد که چقدر برای این کار آماده هستیم. بیایید آنچه را که در مورد موضوع درس می دانیم به یاد بیاوریم.

3.1. نظرسنجی جلو:

الف) عامل چند جمله ای به چه معناست؟
ب) چه روش های اساسی فاکتورگیری چند جمله ای را می شناسید؟
ج) هر چند جمله ای را می توان فاکتور گرفت؟ مثلا؟
د) گاهی اوقات استفاده از فاکتورسازی در چه وظایفی مفید است؟

3.2. خطوطی رسم کنید تا چند جمله ای ها را با روش های فاکتورسازی مربوطه به هم متصل کنید.

3.3. عبارت اشتباه را پیدا کنید:

الف) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

ب) m 2 + 2 دقیقه - n 2 \u003d (m - n) 2

ج) -2pt + p 2 + t 2 = (p - t) 2

د) 25 - 16 s 2 = (5 - 4s) (5 - 4s) (خطاهای b,d)

3.4. ارائه به عنوان محصول:الف) 64x 2 - 1؛ ب) (د - 3) 2 - 36;

3.5. معادله را حل کنید x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. مقدار یک عبارت را پیدا کنید 34 2 – 24 2 (580)

IV. مطالعه مطالب

برای فاکتورسازی چند جمله ای ها از پرانتز، گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری استفاده کردیم.

به نظر شما، آیا شرایطی وجود دارد که بتوان یک چند جمله ای را با استفاده از چندین روش متوالی فاکتور گرفت؟

کار زیر به ما کمک می کند تا پاسخ این سوال را پیدا کنیم:

چند جمله ای را فاکتور بگیرید و مشخص کنید که کدام روش در این مورد استفاده شده است. ( دوتایی با راه حل بعدی روی تخته سیاه کار کنید)

مثال 1. 9x 3 - 36x از 2 روش استفاده کرد:

مثال 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 از 2 روش استفاده کرد:

• گروه بندی؛
• استفاده از فرمول ضرب مختصر

مثال 3. y 3 - 3y 2 + 6y - 18 از 3 روش استفاده کرد:

• گروه بندی؛
• استفاده از فرمول های ضرب مختصر؛
• خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

مثال 4. x 3 + 3x 2 + 2x به 3 روش استفاده شده است:

• خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز
• تبدیل اولیه؛
• گروه بندی.

نتیجه می گیریم: گاهی اوقات می توان با استفاده از چندین روش متوالی یک چند جمله ای را فاکتور گرفت. به منظور حل موفقیت آمیز چنین مثال هایی، امروز بیایید برنامه ای برای به کارگیری مداوم آنها ایجاد کنیم:

1. فاکتور مشترک را از براکت خارج کنید (در صورت وجود).
2. سعی کنید چند جمله ای را با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری فاکتورسازی کنید.
3. سعی کنید از روش گروه بندی استفاده کنید (اگر روش های قبلی به هدف منتهی نشدند).

V. تمرین هایی برای تثبیت موضوع بیان شده

5.1. ترکیبی از روش های مختلف فاکتورسازی به شما امکان می دهد محاسبات حسابی را به راحتی و با ظرافت انجام دهید، معادلات شکل ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) را حل کنید (این گونه معادلات درجه دوم نامیده می شوند، ما آنها را در کلاس 8 مطالعه خواهیم کرد. ).

* معادله را حل کنید: الف) x 2 - 17x + 72 = 0، ب) x 2 + 10x + 21 = 0

نکته: برخی از جمله های چند جمله ای به عبارت های ضروری تجزیه می شود یا با افزودن یک عبارت به آن تکمیل می شود. در حالت دوم، به طوری که چند جمله ای تغییر نمی کند، همان عبارت از آن کم می شود.

(دو دانش آموز به تنهایی معادلات را در یک دفتر حل می کنند. پاسخ: الف) 8; 9; ب) - 1؛ - 5).

تمرین از کتاب درسی شماره 1016 (ج)، 1017 (ج)، ص 186 را کامل کنید.

(دو دانش آموز روی تخته تصمیم می گیرند، بقیه با توجه به گزینه های موجود در دفترچه).

5.2. حل معادلات ( دانش آموزان به صورت جفت کار می کنند و به دنبال آن خودآزمایی می کنند)

شماره 949، ص 177 الف) x 3 - x = 0 ب) 9x - x 3 = 0 ج) x 3 + x 2 = 0 د) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (وظایف فردی برای دانش آموزان آماده تر)

کارت 1	کارت 2	کارت 3
معادله را حل کنید و مجموع ریشه ها را بنویسید x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		معادله را حل کنید و مجموع ریشه ها را بنویسید

x(x+3) +2(3+x) =0 جمع 5- است

مجموع ریشه های این معادله:

مجموع ریشه های معادله:.

VI. کنترل و خودآزمایی دانش.

موضوع مورد بررسی بخشی جدایی ناپذیر از GIA در ریاضیات است. برای کنترل و خودآزمایی دانش در مورد این موضوع، از شما دعوت می شود تا تکالیف تستی را از وظایف آموزشی GIA تکمیل کنید. دایره وار جواب خود را روی سؤالات آزمون بنویسید.

کار انفرادی روی کارت: (دانش آموزان وظایف آزمون GIA را انجام می دهند, + خودآزمایی)

کدام یک از این عبارات به طور یکسان برابر با 4x-10y است 2 (2x-5y) -2 (5y-2x) -10y-4x -10 سال + 4 برابر؟ الف) 1؛ 3؛ ب) همه؛ ج) 1;2;4; ظلم	کدام یک از این عبارات به طور یکسان برابر است - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3y 3 (2a-y) 3u-6a؟ و همه؛ ب) 2; y) 2;3; ج) 1؛ 4	کدام یک از این عبارات به طور یکسان برابر با -6a + 12p است -6 (a-2p) 12r-6a 6 (-a+2p) -6(-p+a) الف) 1؛ اصلا ج) 2; 4; د) 1؛ 3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. الف) (a-1) (3a 2 +5); ب) (a + 1) (3a 2 -5); ج) (a-1) (5-3a 2); ه) (a-1) (3a 2 +5).	به صورت حاصل ضرب چند جمله ای ها بیان کنید 13ah-26x-5av + 10v. ه) (a-2) (13x-5c)؛ ب) (a + 2) (3x-5c)؛ ج) (3a-6)(4x-c); د) (a-2) (5c-3x).	به صورت حاصل ضرب چند جمله ای ها بیان کنید bу-6b-5у 2 +30у. الف) (6-y) (b-5y)؛ ب) (y -6) (b + 5y); ج) (y-6) (b-5y); د) (y -6) (5y - b).
مراحل را دنبال کنید: (5a-c) 2 . الف) 25a 2 + 10ac + s 2؛ ب) 25a 2 + 10ac-c 2; p) 25a 2 -10ac + c 2; د) 25a 2 -5ac + s 2.	موارد زیر را انجام دهید: (5x + 2y) 2. الف) 25x2 + 20xy + 4y 2؛ موفقیت

معلم:بیایید پاسخ ها را بررسی کنیم. کلماتی را که دارید بخوانید. این دقیقاً همان کلماتی است که دانش آموزان کلاس هفتم را در آمادگی برای GIA در کلاس 9 همراهی می کند.

VII. جمع بندی درس

معلم مراحل اصلی درس را مرور می کند، کار دانش آموزان را ارزیابی می کند و دانش آموزان را در تکالیف جهت می دهد.

هشتم. مشق شب: 38، شماره 950 (ص 177)، شماره 1016 (ز)، 1017 (ز)، ص 186.

** مقدار عبارت (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 را در x=100 بیابید.

مقدار این عبارت به انتخاب x بستگی ندارد.

درس تمام شد. از شما برای درس متشکرم و به یاد داشته باشید که دانشی که روزانه دوباره پر نمی شود هر روز کاهش می یابد.

کتاب های مورد استفاده:

1. کتاب درسی "جبر پایه هفتم". یو.ن. ماکاریچف، N.G. Mindyuk و دیگران. S.A. تلیاکوفسکی - م. روشنگری، 2009.
2. مجموعه وظایف آزمون برای کنترل موضوعی و نهایی. جبر 7. آی.ل. گوسوا و دیگران - م. مرکز عقل، 2009.
3. گواهینامه نهایی دولتی (طبق فرم جدید): درجه 9. وظایف آموزشی موضوعی جبر / FIPI نویسنده-تدوین کننده: V.L. کوزنتسوا. - M.: Eksmo، 2010.

بخش ها: ریاضی

نوع درس:

• با توجه به روش انجام - یک درس عملی؛
• برای هدف آموزشی - درسی در کاربرد دانش و مهارت.

هدف:توانایی فاکتورسازی یک چند جمله ای را تشکیل می دهد.

وظایف:

• اموزشی: برای نظام‌بندی، گسترش و تعمیق دانش، مهارت‌های دانش‌آموزان، از روش‌های مختلف فاکتورسازی چند جمله‌ای به عوامل استفاده شود. برای ایجاد توانایی اعمال تجزیه یک چند جمله ای به عوامل با ترکیبی از تکنیک های مختلف. برای پیاده سازی دانش و مهارت در موضوع: "تجزیه چند جمله ای به عوامل" برای تکمیل وظایف در سطح پایه و وظایف با پیچیدگی افزایش یافته.
• آموزشی: توسعه فعالیت ذهنی از طریق حل مشکلات انواع مختلف، یادگیری یافتن و تجزیه و تحلیل منطقی ترین راه های حل، کمک به شکل گیری توانایی تعمیم حقایق مورد مطالعه، بیان روشن و واضح افکار خود.
• آموزشی: توسعه مهارت های کار مستقل و تیمی، مهارت های خودکنترلی.

روش های کار:

• کلامی;
• دیداری؛
• کاربردی.

تجهیزات درسی:وایت برد تعاملی یا محدوده بالای سر، جداول با فرمول ضرب اختصاری، دستورالعمل ها، جزوه برای کار گروهی.

ساختار درس:

1. زمان سازماندهی 1 دقیقه
2. تدوین موضوع، اهداف و مقاصد درس – تمرین. 2 دقیقه
3. بررسی تکالیف 4 دقیقه
4. به روز رسانی دانش و مهارت های پایه دانش آموزان. 12 دقیقه
5. Fizkultminutka. 2 دقیقه
6. دستورالعمل انجام وظایف کارگاه. 2 دقیقه
7. انجام وظایف به صورت گروهی. 15 دقیقه
8. بررسی و بحث در مورد عملکرد وظایف. تحلیل کار 3 دقیقه
9. تنظیم تکالیف. 1 دقیقه
10. تکالیف را رزرو کنید 3 دقیقه

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

معلم آمادگی کلاس و دانش آموزان را برای درس بررسی می کند.

2. تدوين موضوع، اهداف و مقاصد درس – تمرين

• پیام در مورد درس پایانی در مورد موضوع.
• انگیزه فعالیت آموزشی دانش آموزان.
• تدوین هدف و تعیین اهداف درس (همراه با دانش آموزان).

3. بررسی تکالیف

روی تخته نمونه هایی از حل تمرین های تکلیف شماره 943 (الف، ج); شماره 945 (ج، د). نمونه ها توسط دانش آموزان کلاس ساخته شده است. (این دسته از دانش آموزان در درس قبل مشخص شدند، تصمیم خود را در تعطیلات رسمی اعلام کردند). دانش آموزان برای «دفاع» از راه حل ها آماده می شوند.

معلم:

بررسی تکالیف در دفترهای دانش آموز.

از دانش‌آموزان کلاس دعوت می‌کند تا به این سؤال پاسخ دهند: «تکلیف چه مشکلاتی ایجاد کرد؟».

پیشنهاد می کند راه حل خود را با راه حل روی تخته مقایسه کند.

دانش آموزان را در تخته سیاه دعوت می کند تا هنگام بررسی نمونه ها، به سؤالاتی که دانش آموزان در میدانی داشتند پاسخ دهند.

او در مورد پاسخ دانش آموزان نظر می دهد، پاسخ ها را تکمیل می کند، توضیح می دهد (در صورت لزوم).

تکالیف را خلاصه می کند.

دانش آموزان:

ارائه تکالیف به معلم.

نوت بوک ها را (دو به دو) عوض کنید و با هم چک کنید.

به سوالات معلم پاسخ دهید.

محلول خود را با نمونه بررسی کنید.

آنها به عنوان مخالف عمل می کنند، اضافه می کنند، اصلاح می کنند، اگر روش حل در دفترچه با روش روی تخته متفاوت است، روش دیگری را یادداشت می کنند.

توضیحات لازم را از دانش آموزان، از معلم بخواهید.

راه هایی برای بررسی نتایج پیدا کنید.

در ارزیابی کیفیت وظایف در تخته سیاه شرکت کنید.

4. به روز رسانی دانش و مهارت های پایه دانش آموزان

1. کار شفاهی

معلم:

به سوالات پاسخ دهید:

1. فاکتورگیری چند جمله ای به چه معناست؟
2. چند روش تجزیه را می شناسید؟
3. نام آن ها چیست؟
4. رایج ترین چیست؟

2. چند جمله ای ها روی تخته نوشته می شوند:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

معلماز دانش آموزان دعوت می کند تا چند جمله ای های شماره 1-3 را فاکتورسازی کنند:

• گزینه I - با حذف یک عامل مشترک؛
• گزینه II - با استفاده از فرمول های ضرب مختصر.
• نوع III - از طریق گروه بندی.

به یک دانش‌آموز پیشنهاد می‌شود که چند جمله‌ای شماره 4 را فاکتورسازی کند (یک کار فردی با سختی بیشتر، کار در قالب A 4 انجام می‌شود). سپس یک نمونه راه حل برای وظایف شماره 1-3 (انجام شده توسط معلم)، یک راه حل نمونه برای کار شماره 4 (انجام شده توسط دانش آموز) روی تخته ظاهر می شود.

3. گرم کنید

معلم دستورالعمل هایی را برای فاکتورگیری و انتخاب حرف مرتبط با پاسخ صحیح می دهد. با اضافه کردن حروف، نام بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم را دریافت خواهید کرد که سهم بزرگی در توسعه نظریه حل معادلات داشته است. (دکارت)

5. تربیت بدنی دانش آموزان بیانیه ها را می خوانند. اگر گفته درست است، دانش آموزان باید دست خود را بالا ببرند و اگر درست نیست، پشت میز بنشینند. (ضمیمه 2)

6. آموزش نحوه انجام وظایف کارگاه.

در یک تخته سفید تعاملی یا یک پوستر جداگانه، یک جدول با دستورالعمل.

هنگام تجزیه یک چند جمله ای به عوامل، ترتیب زیر باید رعایت شود:

1. فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید (در صورت وجود).

2. از فرمول های ضرب مختصر (در صورت امکان) استفاده کنید.

3. روش گروه بندی را اعمال کنید.

4. نتیجه حاصل از ضرب را بررسی کنید.

معلم:

آموزش را به دانش آموزان ارائه می دهد (با تاکید بر مرحله 4).

اجرای تکالیف کارگاهی را به صورت گروهی ارائه می دهد.

کاربرگ ها را به گروه ها توزیع می کند، ورق هایی با کاغذ کربن برای تکمیل تکالیف در دفترچه ها و تأیید بعدی آنها.

زمان کار در گروه، برای کار در دفترچه را تعیین می کند.

دانش آموزان:

دستورالعمل ها را می خوانند.

معلمان با دقت گوش می دهند.

آنها به صورت گروهی (هر کدام 4-5 نفر) نشسته اند.

برای کار عملی آماده شوید.

7. انجام وظایف به صورت گروهی

کاربرگ هایی با وظایف برای گروه ها. (ضمیمه 3)

معلم:

کار مستقل را در گروه مدیریت می کند.

توانایی دانش آموزان برای کار مستقل، توانایی کار گروهی، کیفیت طراحی کاربرگ را ارزیابی می کند.

دانش آموزان:

وظایف را روی ورق های کاغذ کربنی محصور شده در کتاب کار انجام دهید.

درباره راه حل های منطقی بحث کنید.

یک کاربرگ برای گروه تهیه کنید.

برای دفاع از کار خود آماده شوید.

8. بررسی و بحث در مورد تکلیف

پاسخ ها روی تخته سفید

معلم:

نسخه هایی از تصمیمات را جمع آوری می کند.

کار دانش آموزان را که در کاربرگ ها گزارش می دهند مدیریت می کند.

پیشنهاد می کند که کار خود را ارزیابی کند، پاسخ ها را در دفترچه ها، برگه ها و نمونه های روی تخته مقایسه کند.

معیارهای درجه بندی برای کار، مشارکت در اجرای آن را به یاد می آورد.

در مورد تصمیم گیری یا مسائل خودارزیابی در حال ظهور توضیحاتی ارائه می کند.

اولین نتایج کار عملی و تأمل را خلاصه می کند.

درس را (به همراه دانش آموزان) خلاصه می کند.

می گوید که نتایج نهایی پس از بررسی کپی کارهای انجام شده توسط دانش آموزان خلاصه می شود.

دانش آموزان:

کپی ها را به معلم بدهید.

برگه ها به تخته متصل می شوند.

گزارش عملکرد کار.

انجام خودارزیابی و خودارزیابی عملکرد کاری.

9. تنظیم تکالیف

تکلیف روی تابلو نوشته شده است: شماره 1016 (الف، ب); 1017 (ج، د)؛ شماره 1021 (d, e, f)*

معلم:

پیشنهاد می کند قسمت اجباری تکلیف را در خانه یادداشت کند.

در مورد اجرای آن نظر می دهد.

از دانش آموزان آماده تر دعوت می کند تا شماره 1021 (d, e, f) * را یادداشت کنند.

به شما می گوید برای درس مرور مروری بعدی آماده شوید