Kolmion määritelmä

Kolmio on geometrinen kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka on kytketty sarjaan keskenään.

Kolmiolla on kolme sivua ja kolme kulmaa.

Kolmioita on monenlaisia, ja niillä kaikilla on erilaiset ominaisuudet. Luettelemme kolmioiden päätyypit:

1. Monipuolinen(kaikki sivut eripituisia);
2. Tasakylkinen(kaksi sivua ovat yhtä suuret, kaksi kulmaa pohjassa ovat yhtä suuret);
3. Tasasivuinen(kaikki sivut ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret).

Kaikille kolmiotyypeille on kuitenkin yksi yleinen kaava kolmion kehän löytämiseksi - tämä on kolmion kaikkien sivujen pituuksien summa.

Online-laskin

Kolmion kehäkaava

P = a + b + c P = a + b + c P=+b+c

A, b, c a, b, c a, b, c ovat kolmion sivujen pituudet.

Analysoidaan kolmion kehän löytämisen ongelmaa.

Tehtävä

Kolmion sivut: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm Mikä on kolmion ympärysmitta?

Ratkaisu
Käytämme kaavaa kolmion kehän löytämiseksi ja korvaa sen sijaan a a a, bb b Ja c c c niiden numeeriset arvot:
P = a + b + c P = a + b + c P=+b+c
P=28+46+51=125cm P=28+46+51=125\teksti(cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Vastaus:
P = 125 cm. P = 125 \teksti( cm.)P=1 2 5 cm .

Tehtävä

Kolmio on tasasivuinen ja sen sivu on 23 cm Mikä on kolmion ympärysmitta?

Ratkaisu

P = a + b + c P = a + b + c P=+b+c

Mutta ehdon mukaan meillä on tasasivuinen kolmio, eli sen kaikki sivut ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa kaava on seuraavanlainen:

P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3aP=++a =3a

Korvaa kaavan numeerinen arvo ja etsi kolmion ympärysmitta:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cpiste23 = 69\teksti( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Vastaus
P = 69 cm. P = 69 \teksti( cm.)P=6 9 cm .

Tehtävä

Tasakylkisessä kolmiossa sivu b on 14 cm ja kanta a 9 cm. Etsi kolmion ympärysmitta.

Ratkaisu
Käytämme kaavaa kolmion kehän löytämiseen:

P = a + b + c P = a + b + c P=+b+c

Mutta ehdon mukaan meillä on tasakylkinen kolmio, eli sen sivut ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa kaava on seuraavanlainen:

P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2b + aP=+b+b=2b+a

Korvaamme numeeriset arvot kaavaan ja löydämme kolmion kehän:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cpiste 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \teksti( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Vastaus
P = 37 cm. P = 37\teksti( cm.)P=3 7 cm .

Yksi geometrisista perusmuodoista on kolmio. Se muodostuu, kun kolme janaa leikkaavat toisiaan. Nämä janat muodostavat kuvan sivut, ja niiden leikkauspisteitä kutsutaan pisteiksi. Jokaisen geometriakurssia opiskelevan opiskelijan on kyettävä löytämään tämän kuvion ympärysmitta. Hankittu taito on hyödyllinen monille aikuisiässä, esimerkiksi opiskelijalle, insinöörille, rakentajalle,

On olemassa erilaisia ​​tapoja löytää kolmion kehä. Tarvitsemasi kaavan valinta riippuu käytettävissä olevista lähdetiedoista. Tämän arvon kirjoittamiseen matemaattisessa terminologiassa käytetään erityistä nimitystä - P. Mieti, mikä on ympärysmitta, tärkeimmät menetelmät sen laskemiseksi eri tyyppisille kolmiomaisille kuvioille.

Helpoin tapa löytää muodon ympärysmitta on, jos sinulla on tietoja kaikilta puolilta. Tässä tapauksessa käytetään seuraavaa kaavaa:

Kirjain "P" tarkoittaa itse kehän arvoa. "a", "b" ja "c" ovat puolestaan ​​sivujen pituudet.

Kun tiedät kolmen määrän koon, riittää, että saadaan niiden summa, joka on kehä.

Vaihtoehtoinen vaihtoehto

Matemaattisissa tehtävissä kaikki annetut pituudet tunnetaan harvoin. Tällaisissa tapauksissa on suositeltavaa käyttää vaihtoehtoista tapaa halutun arvon löytämiseksi. Kun ehdot määrittävät kahden suoran pituuden sekä niiden välisen kulman, laskenta suoritetaan etsimällä kolmatta suoraa. Tämän luvun löytämiseksi sinun on hankittava neliöjuuri kaavalla:

.

Kehys molemmilla puolilla

Kehyksen laskemiseksi ei tarvitse tietää kaikkia geometrisen kuvan tietoja. Harkitse laskentamenetelmiä kahdelta puolelta.

Tasakylkinen kolmio

Kolmiota kutsutaan tasakylkiseksi, jos sen vähintään kaksi sivua ovat yhtä pitkiä. Niitä kutsutaan lateraaliseksi ja kolmatta puolta kutsutaan pohjaksi. Tasaiset suorat muodostavat kärkikulman. Tasakylkisen kolmion piirre on yhden symmetria-akselin läsnäolo. Axis on pystysuora viiva, joka alkaa yläkulmasta ja päättyy alustan keskelle. Symmetria-akseli sisältää ytimessä seuraavat käsitteet:

• huippukulman puolittaja;
• mediaani pohjaan;
• kolmion korkeus;
• mediaani kohtisuorassa.

Käytä kaavaa määrittääksesi tasakylkisen kolmion kehän.

Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä vain kaksi määrää: pohja ja yhden sivun pituus. Nimitys "2a" tarkoittaa sivun pituuden kertomista kahdella. Tuloksena olevaan kuvaan on lisättävä pohjan arvo - "b".

Poikkeustapauksessa, kun tasakylkisen kolmion kannan pituus on yhtä suuri kuin sen sivuviiva, voidaan käyttää yksinkertaisempaa menetelmää. Se ilmaistaan ​​seuraavassa kaavassa:

Tuloksen saamiseksi riittää kertoa tämä luku kolmella. Tätä kaavaa käytetään säännöllisen kolmion kehän löytämiseen.

Hyödyllinen video: ongelmia kolmion kehällä

Kolmio suorakaiteen muotoinen

Suurin ero suorakulmaisen kolmion ja muiden tämän luokan geometristen muotojen välillä on 90 ° kulman olemassaolo. Tämän perusteella määritetään hahmon tyyppi. Ennen kuin määritetään suorakulmaisen kolmion ympärysmitta, on syytä huomata, että tämä arvo minkä tahansa litteän geometrisen kuvion osalta on kaikkien sivujen summa. Joten tässä tapauksessa helpoin tapa saada tulos selville on laskea yhteen kolme arvoa.

Tieteellisessä terminologiassa niitä puolia, jotka ovat oikean kulman vieressä, kutsutaan "jaloiksi", ja 90 asteen kulman vastakohta on hypotenuusa. Muinainen kreikkalainen tiedemies Pythagoras tutki tämän hahmon ominaisuuksia. Pythagoraan lauseen mukaan hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

.

Tämän lauseen perusteella on johdettu toinen kaava, joka selittää, kuinka kolmion ympärysmitta löydetään kahdella tunnetulla sivulla. Voit laskea kehän jalkojen määritetyllä pituudella seuraavalla menetelmällä.

.

Jotta voit selvittää ympäryksen, jolla on tietoa yhden jalan koosta ja hypotenuusasta, sinun on määritettävä toisen hypotenuusan pituus. Tätä tarkoitusta varten käytetään seuraavia kaavoja:

.

Myös kuvatun tyyppisen hahmon ympärysmitta määritetään ilman tietoja jalkojen mitoista.

Sinun on tiedettävä hypotenuusan pituus sekä sen vieressä oleva kulma. Kun tiedät yhden jalan pituuden, jos sen vieressä on kulma, kuvan ympärysmitta lasketaan kaavalla:

.

P=a+b+c Kolmion kehän selvittäminen: Kaikki tietävät, että kehä on helppo löytää – sinun tarvitsee vain laskea yhteen kolmion kolme sivua. On kuitenkin olemassa useita muita tapoja löytää kolmion sivujen pituuksien summa. Vaihe 1 Ottaen huomioon kolmioon piirretyn ympyrän säde ja sen pinta-ala, etsi kehä kaavalla P=2S/r. Vaihe 2 Jos tiedät kaksi sivun vieressä olevaa kulmaa, esimerkiksi α ja β, ja tämän sivun pituuden, niin ympärysmitan selvittämiseksi käytä kaavaa a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). Vaihe 3 Jos ehto määrittelee vierekkäiset sivut ja niiden välisen kulman β, ota huomioon kosinilause, kun etsit kehää. Sitten P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), missä a^2 ja b^2 ovat vierekkäisten sivujen pituuksien neliöitä. Juuren alla oleva lauseke on kolmannen tuntemattoman puolen pituus ilmaistuna kosinilauseen kautta. Vaihe 4 Tasakylkisen kolmion kehäkaava on muotoa P=2a+b, jossa a ovat sivut ja b sen kanta. Vaihe 5 Laske säännöllisen kolmion ympärysmitta kaavalla P=3a. Vaihe 6 Etsi kehä käyttämällä kolmioon piirrettyjen tai sen ympärille piirrettyjen ympyröiden säteitä. Joten tasasivuiselle kolmiolle muista ja käytä kaavaa P=6r√3=3R√3, jossa r on piirretyn ympyrän säde ja R on rajatun ympyrän säde. Vaihe 7 Käytä tasakylkiselle kolmiolle kaavaa P=2R(2sinα+sinβ), jossa α on kannan kulma ja β on kantaa vastapäätä oleva kulma.

Ennakkotiedot

Minkä tahansa tasaisen geometrisen kuvion ympärysmitta tasossa määritellään sen kaikkien sivujen pituuksien summana. Kolmio ei ole poikkeus tästä. Ensin annamme kolmion käsitteen sekä kolmioiden tyypit sivuista riippuen.

Määritelmä 1

Kutsumme kolmiota geometriseksi kuvioksi, joka koostuu kolmesta segmenteillä yhdistetystä pisteestä (kuva 1).

Määritelmä 2

Määritelmän 1 pisteitä kutsutaan kolmion kärjeksi.

Määritelmä 3

Määritelmän 1 puitteissa olevia segmenttejä kutsutaan kolmion sivuiksi.

Ilmeisesti missä tahansa kolmiossa on 3 kärkeä sekä 3 sivua.

Riippuen sivujen suhteesta toisiinsa, kolmiot jaetaan mittakaavaan, tasakylkisiin ja tasakylkisiin.

Määritelmä 4

Kolmion sanotaan olevan skaalattu, jos mikään sen sivuista ei ole yhtä suuri kuin muut.

Määritelmä 5

Kutsumme kolmiota tasakylkiseksi, jos sen kaksi sivua ovat keskenään yhtä suuret, mutta eivät yhtä suuret kuin kolmas sivu.

Määritelmä 6

Kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi, jos sen kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Näet kaikki näiden kolmioiden tyypit kuvassa 2.

Kuinka löytää skaalautuvan kolmion ympärysmitta?

Olkoon meille skaalaava kolmio, jonka sivujen pituudet ovat $α$, $β$ ja $γ$.

Johtopäätös: Löytääksesi skaalautuvan kolmion kehän laskemalla sen sivujen pituudet yhteen.

Esimerkki 1

Etsi mittakaavakolmion ympärysmitta, joka on yhtä suuri kuin $34$ cm, $12$ cm ja $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Vastaus: $57 katso.

Esimerkki 2

Etsi suorakulmaisen kolmion kehä, jonka jalat ovat $6$ ja $8$ cm.

Ensin selvitetään tämän kolmion hypotenuusien pituus Pythagoraan lauseen avulla. Merkitse se sitten $α$:lla

$α=10$ Skaalaan kolmion kehän laskentasäännön mukaan saamme

$P=10+8+6=24$ cm

Vastaus: $24 katso.

Kuinka löytää tasakylkisen kolmion ympärysmitta?

Annetaan tasakylkinen kolmio, jonka sivujen pituus on $α$ ja kannan pituus on $β$.

Litteän geometrisen hahmon kehän määritelmän mukaan saamme sen

$P=α+α+β=2α+β$

Johtopäätös: Tasakylkisen kolmion ympärysmitan selvittämiseksi lisää sen sivujen pituus kaksi kertaa sen kantaan.

Esimerkki 3

Etsi tasakylkisen kolmion ympärysmitta, jos sen sivut ovat $12$ cm ja kanta on $11$ cm.

Yllä olevasta esimerkistä näemme sen

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Vastaus: 35 dollaria katso.

Esimerkki 4

Etsi tasakylkisen kolmion ympärysmitta, jos sen kantaan vedetty korkeus on $8$ cm ja kanta on $12$ cm.

Harkitse kuvaa ongelman tilanteen mukaan:

Koska kolmio on tasakylkinen, $BD$ on myös mediaani, joten $AD=6$ cm.

Pythagoraan lauseen avulla löydämme kolmiosta $ADB$ sivun. Merkitse se sitten $α$:lla

Tasakylkisen kolmion kehän laskentasäännön mukaan saamme

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Vastaus: 32 dollaria katso.

Kuinka löytää tasasivuisen kolmion ympärysmitta?

Annetaan tasasivuinen kolmio, jonka kaikkien sivujen pituus on $α$.

Litteän geometrisen hahmon kehän määritelmän mukaan saamme sen

$P=α+α+α=3α$

Johtopäätös: Tasasivuisen kolmion kehän löytämiseksi kerrotaan kolmion sivun pituus $3 $:lla.

Esimerkki 5

Etsi tasasivuisen kolmion ympärysmitta, jos sen sivu on $12$ cm.

Yllä olevasta esimerkistä näemme sen

$P=3\cdot 12=36$ cm

Kolmio on yksi geometrisista perusmuodoista, jotka ovat kolme leikkaavaa janaa. Tämä luku oli tiedossa jopa muinaisen Egyptin, antiikin Kreikan ja muinaisen Kiinan tutkijoille, jotka saivat suurimman osan kaavoista ja kaavoista, joita tiedemiehet, insinöörit ja suunnittelijat ovat käyttäneet tähän mennessä.

Kolmion pääkomponentit ovat:

Vertices - segmenttien leikkauspisteet.

Sivut ovat leikkaavia linjasegmenttejä.

Näiden komponenttien perusteella he muotoilevat sellaisia ​​käsitteitä kuin kolmion kehä, sen pinta-ala, piirretyt ja rajatut ympyrät. Koulusta lähtien on tiedetty, että kolmion kehä on sen kaikkien kolmen sivun summan numeerinen lauseke. Samanaikaisesti tämän arvon löytämiseksi on monia kaavoja riippuen siitä, mitä lähtötietoja tutkijalla on tässä tai tuossa tapauksessa.

1. Helpoin tapa löytää kolmion ympärysmitta on, kun sen kaikkien kolmen sivun (x, y, z) numeroarvot tunnetaan, minkä seurauksena:

2. Tasasivuisen kolmion ympärysmitta voidaan löytää, jos muistamme, että tietyllä kuviolla kaikki sivut ovat kuitenkin yhtä suuria, kuten kaikki kulmat. Kun tiedät tämän sivun pituuden, tasasivuisen kolmion ympärysmitta voidaan määrittää kaavalla:

3. Tasakylkisessä kolmiossa, toisin kuin tasakylkisessä kolmiossa, vain kahdella sivulla on sama numeerinen arvo, joten tässä tapauksessa ympärysmitta on yleensä seuraava:

4. Seuraavat menetelmät ovat välttämättömiä tapauksissa, joissa kaikkien sivujen numeeriset arvot eivät ole tiedossa. Esimerkiksi jos tutkimuksessa on tietoa kahdelta sivulta ja niiden välinen kulma tiedetään, niin kolmion ympärysmitta voidaan löytää käyttämällä kolmannen sivun ja tunnetun kulman määritelmää. Tässä tapauksessa tämä kolmas osapuoli löydetään kaavalla:

z = 2x+2y-2xycosp

Tämän perusteella kolmion ympärysmitta on yhtä suuri:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. Siinä tapauksessa, että alun perin annetaan enintään kolmion yhden sivun pituus ja sen kahden viereisen kulman numeroarvot ovat tiedossa, kolmion ympärysmitta voidaan laskea sinilause:

P = x+sinβ x/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. On tapauksia, joissa siihen piirretyn ympyrän tunnettuja parametreja käytetään kolmion kehän selvittämiseen. Tämän kaavan tuntevat useimmat myös koulun penkistä:

P = 2S/r (S on ympyrän pinta-ala, kun taas r on sen säde).

Kaikesta edellä olevasta voidaan nähdä, että kolmion kehän arvo voidaan löytää monin tavoin tutkijan omistamien tietojen perusteella. Tämän arvon löytämiseksi on lisäksi useita erikoistapauksia. Kehä on siis yksi suorakulmaisen kolmion tärkeimmistä määristä ja ominaisuuksista.

Kuten tiedät, tällaista kolmiota kutsutaan kuvioksi, jonka kaksi sivua muodostavat suoran kulman. Suorakulmaisen kolmion ympärysmitta löytyy molempien jalkojen ja hypotenuusan summan numeerisen lausekkeen avulla. Jos tutkija tietää tiedot vain kahdelta puolelta, loput voidaan laskea käyttämällä kuuluisaa Pythagoraan lausetta: z \u003d (x2 + y2), jos molemmat jalat tunnetaan, tai x \u003d (z2 - y2), jos hypotenuusa ja jalka tunnetaan.

Jos hypotenuusan pituus ja yksi sen viereisistä kulmista tiedetään, kaksi muuta sivua löydetään kaavoilla: x \u003d z sinβ, y \u003d z cosβ. Tässä tapauksessa ympärysmitta on:

P= z(kosβ + sinβ +1)

Erikoistapaus on myös säännöllisen (tai tasasivuisen) kolmion kehän laskeminen, eli kuva, jossa kaikki sivut ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Tällaisen kolmion kehän laskeminen tunnetulta puolelta ei ole ongelma, mutta usein tutkija tietää jotain muuta dataa. Joten, jos piirretyn ympyrän säde tunnetaan, säännöllisen kolmion kehä löydetään kaavasta:

Ja jos rajatun ympyrän säteen arvo annetaan, säännöllisen kolmion ympärysmitta löytyy seuraavasti:

Kaavat on opittava ulkoa, jotta niitä voidaan soveltaa menestyksekkäästi käytännössä.