Kolmioon piirretty ympyrä

Kolmioon piirretyn ympyrän olemassaolo

Muista määritelmä kulman puolittajat .

Määritelmä 1 .Kulman puolittaja kutsutaan säteeksi, joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan.

Lause 1 (Kulman puolittajan perusominaisuus) . Jokainen kulman puolittajan piste on samalla etäisyydellä kulman sivuista (kuva 1).

Riisi. 1

Todiste D , makaa kulman puolittajallaBAC , Ja DE Ja DF kulman sivuilla (kuva 1).Oikeat kolmiot ADF Ja ADE yhtä suuri , koska niillä on samat terävät kulmatDAF Ja DAE ja hypotenuusa ILMOITUS – yleistä. Siten,

DF = DE,

Q.E.D.

Lause 2 (käänteinen lause 1) . Jos jokin, niin se on kulman puolittajalla (kuva 2).

Riisi. 2

Todiste . Harkitse mielivaltaista kohtaaD , makaa kulman sisälläBAC ja sijaitsevat samalla etäisyydellä kulman sivuista. Poistutaan pisteestäD kohtisuorat DE Ja DF kulman sivuilla (kuva 2).Oikeat kolmiot ADF Ja ADE yhtä suuri , koska heillä on samat jalatDF Ja DE ja hypotenuusa ILMOITUS – yleistä. Siten,

Q.E.D.

Määritelmä 2 . Ympyrä on nimeltään kulmaan piirretty ympyrä , jos se on tämän kulman sivut.

Lause 3 . Jos ympyrä on merkitty kulmaan, etäisyydet kulman kärjestä ympyrän kosketuspisteisiin kulman sivujen kanssa ovat yhtä suuret.

Todiste . Anna pointin D – kulmaan piirretyn ympyrän keskipisteBAC ja pisteet E Ja F – ympyrän kosketuspisteet kulman sivujen kanssa (kuva 3).

Kuva 3

a , b , c - kolmion sivut,
 S -neliö,

r – piirretyn ympyrän säde,
 s - puolikehä

.

Näytä kaavan tulos

a – tasakylkisen kolmion sivusivu , 
 b - pohja, r – piirretty ympyrän säde

a r – piirretty ympyrän säde

Näytä kaavan tulos

,

Missä

,

sitten tasakylkisen kolmion tapauksessa milloin

saamme

mitä vaadittiin.

Lause 7 . Tasa-arvon puolesta

Missä a – tasasivuisen kolmion sivu,r – piirretyn ympyrän säde (kuva 8).

Riisi. 8

Todiste .

,

sitten tasasivuisen kolmion tapauksessa milloin

b = a,

saamme

mitä vaadittiin.

Kommentti . Harjoituksena suosittelen johtamaan tasasivuiseen kolmioon piirretyn ympyrän säteen kaava suoraan, ts. käyttämättä yleisiä kaavoja mielivaltaiseen kolmioon tai tasakylkiseen kolmioon piirrettyjen ympyröiden säteille.

Lause 8 . Suorakulmaiselle kolmiolle pätee seuraava yhtälö:

Missä a , b - suorakulmaisen kolmion jalat, c – hypotenuusa , r – piirretyn ympyrän säde.

Todiste . Harkitse kuvaa 9.

Riisi. 9

Nelikulmasta lähtienCDOF On , jossa on vierekkäiset sivutTEHDÄ Ja OF ovat yhtä suuret, niin tämä suorakulmio on . Siten,

CB = CF = r,

Lauseen 3 mukaan seuraavat yhtälöt ovat tosia:

Siksi, myös ottaen huomioon , saamme

mitä vaadittiin.

Valikoima tehtäviä aiheesta "Kolmioon piirretty ympyrä".

1.

Tasakylkiseen kolmioon piirretty ympyrä jakaa toisen sivusivun kosketuspisteessä kahdeksi segmentiksi, joiden pituudet ovat 5 ja 3 kantaa vastapäätä olevasta kärjestä laskettuna. Etsi kolmion ympärysmitta.

2.

3

Kolmiossa ABC AC=4, BC=3, kulma C on 90º. Etsi piirretyn ympyrän säde.

4.

Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion jalat ovat 2+. Etsi tähän kolmioon piirretyn ympyrän säde.

5.

Tasakylkiseen suorakulmaiseen kolmioon piirretyn ympyrän säde on 2. Etsi tämän kolmion hypotenuusa c. Kirjoita vastaukseesi c(-1).

Esittelemme joukon Unified State Examin ongelmia ratkaisuineen.

Tasakylkiseen suorakulmaiseen kolmioon kirjoitetun ympyrän säde on yhtä suuri kuin . Etsi tämän kolmion hypotenuusa. Ilmoita vastauksessasi.

Kolmio on suorakulmainen ja tasakylkinen. Tämä tarkoittaa, että sen jalat ovat samat. Olkoon jokainen jalka yhtä suuri. Sitten hypotenuusa on.

Kirjoitamme kolmion ABC alueen kahdella tavalla:

Yhdistämällä nämä ilmaukset, saamme sen. Koska, ymmärrämme sen. Sitten.

Vastauksena kirjoita.

Vastaus:.

Tehtävä 2.

1. Vapaassa on kaksi sivua 10cm ja 6cm (AB ja BC). Etsi rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteet
Ongelma ratkaistaan ​​itsenäisesti kommentoimalla.

Ratkaisu:

SISÄÄN.

1) Etsi:
2) Todista:ja etsi CK
3) Etsi: rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteet

Ratkaisu:

Tehtävä 6.

R neliöön piirretyn ympyrän säde on. Etsi tämän neliön ympärille rajatun ympyrän säde.Annettu :

löytö: OS=?
Ratkaisu: Tässä tapauksessa ongelma voidaan ratkaista käyttämällä joko Pythagoraan lausetta tai R:n kaavaa. Toinen tapaus on yksinkertaisempi, koska R:n kaava johdetaan lauseesta.

Tehtävä 7.

Tasakylkiseen suorakulmaiseen kolmioon piirretyn ympyrän säde on 2. Etsi hypotenuusaKanssa tämä kolmio. Ilmoita vastauksessasi.

S on kolmion pinta-ala

Emme tiedä kolmion sivuja tai sen pinta-alaa. Merkitään jalat x:llä, niin hypotenuusa on yhtä suuri:

Kolmion pinta-ala on 0,5x 2 .

Keinot

Joten hypotenuusa on:

Vastaus on kirjoitettava:

Vastaus: 4

Tehtävä 8.

Kolmiossa ABC AC = 4, BC = 3, kulma C vastaa 90 0. Etsi piirretyn ympyrän säde.

Käytetään kolmioon piirretyn ympyrän säteen kaavaa:

missä a, b, c ovat kolmion sivut

S on kolmion pinta-ala

Kaksi puolta tunnetaan (nämä ovat jalat), voimme laskea kolmannen (hypotenuusa) ja voimme myös laskea alueen.

Pythagoraan lauseen mukaan:

Etsitään aluetta:

Täten:

Vastaus: 1

Tehtävä 9.

Tasakylkisen kolmion sivut ovat 5 ja kanta on 6. Etsi piirretyn ympyrän säde.

Käytetään kolmioon piirretyn ympyrän säteen kaavaa:

missä a, b, c ovat kolmion sivut

S on kolmion pinta-ala

Kaikki puolet tunnetaan, lasketaan pinta-ala. Löydämme sen käyttämällä Heronin kaavaa:

Sitten

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Tarkastellaan kolmioon piirrettyä ympyrää (kuva 302). Muista, että sen keskipiste O sijaitsee kolmion sisäkulmien puolittajien leikkauskohdassa. Janat OA, OB, OC, jotka yhdistävät O:n kolmion ABC kärkipisteisiin, jakavat kolmion kolmeen kolmioon:

AOV, VOS, SOA. Jokaisen kolmion korkeus on yhtä suuri kuin säde, ja siksi niiden pinta-alat ilmaistaan ​​muodossa

Koko kolmion S pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden kolmen alueen summa:

missä on kolmion puolikehä. Täältä

Piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin kolmion pinta-alan suhde sen puolikehän.

Saadaksemme kaavan kolmion ympäryssäteelle todistamme seuraavan väitteen.

Lause a: Minkä tahansa kolmion sivu on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän halkaisija kerrottuna vastakkaisen kulman sinillä.

Todiste. Tarkastellaan mielivaltaista kolmiota ABC ja sen ympärille rajattua ympyrää, jonka säde merkitään R:llä (kuva 303). Olkoon A kolmion terävä kulma. Piirretään ympyrän säteet OB, OS ja pudotetaan kohtisuora OK sen keskipisteestä O kolmion sivulle BC. Huomaa, että kolmion kulma a mitataan puolella kaaresta BC, jonka kulma BOC on keskikulma. Tästä on selvää, että. Siksi oikeasta kolmiosta RNS löydämme , tai , joka on mitä meidän piti todistaa.

Annettu kuva. 303 ja perustelut viittaavat kolmion terävän kulman tapaukseen; Todistaminen olisi helppoa suoran ja tylpän kulman tapauksille (lukija tekee tämän itse), mutta voit käyttää sinilausetta (218.3). Koska sen täytyy olla mistä

Sinilause on myös kirjoitettu sisään. muodossa

ja vertailu merkintämuotoon (218.3) antaa

Piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin kolmion kolmen sivun tulon suhde sen nelinkertaiseen pinta-alaan.

Tehtävä. Etsi tasakylkisen kolmion sivut, jos sen sisäympyrällä ja ympyrällä on vastaavasti säteet

Ratkaisu. Kirjoitetaan kaavat, jotka ilmaisevat kolmion piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden säteet:

Tasakylkisen kolmion, jossa on sivu ja kanta, pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla

tai kun murto-osaa vähennetään nollasta poikkeavalla kertoimella, meillä on

joka johtaa toisen asteen yhtälöön suhteessa

Siinä on kaksi ratkaisua:

Korvaamalla sen ilmaisun sijaan missä tahansa yhtälössä R:llä, löydämme lopulta kaksi vastausta ongelmaamme:

Harjoitukset

1. Suoran kulman kärjestä piirretyn suorakulmaisen kolmion korkeus jakamalla hypotenuusan suhteessa Laske kunkin jalan suhde hypotenuusaan.

2. Ympyrän ympärille piirretyn tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat yhtä kuin a ja b. Etsi ympyrän säde.

3. Kaksi ympyrää koskettaa ulkoisesti. Niiden yhteiset tangentit ovat kallistettuja keskiviivaan 30° kulmassa. Tangenttisegmentin pituus tangenttipisteiden välillä on 108 cm. Selvitä ympyröiden säteet.

4. Suorakulmaisen kolmion haarat ovat yhtä suuria kuin a ja b. Etsi kolmion pinta-ala, jonka sivut ovat oikean kulman kärjestä vedetyn annetun kolmion korkeus ja mediaani sekä hypotenuusan segmentti niiden ja hypotenuusan leikkauspisteiden välillä.

5. Kolmion sivut ovat 13, 14, 15. Etsi kummankin projektio kahdelle muulle.

6. Kolmion sivut ja korkeudet tunnetaan Etsi sivut b ja c.

7. Kolmion kaksi sivua ja mediaani tunnetaan.Etsi kolmion kolmas sivu.

8. Annettu kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma a: Laske piirretyn ja rajatun ympyrän säteet.

9. Kolmion a, b, c sivut tunnetaan. Mitkä ovat segmentit, joihin ne jaetaan piirretyn ympyrän ja kolmion sivujen kosketuspisteillä?

Rombi on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Siksi se perii kaikki suunnikkaan ominaisuudet. Nimittäin:

• Rombin diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa.
• Rombin diagonaalit ovat sen sisäkulmien puolittajia.

Ympyrä voidaan kirjoittaa nelikulmioon silloin ja vain, jos vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret.
Siksi ympyrä voidaan kirjoittaa mihin tahansa rommiin. Piirretyn ympyrän keskipiste on sama kuin rombin lävistäjien leikkauspiste.
Rombissa olevan ympyrän säde voidaan ilmaista useilla tavoilla

1 tapa. Piirretyn ympyrän säde rombissa korkeuden läpi

Rombin korkeus on yhtä suuri kuin piirretyn ympyrän halkaisija. Tämä seuraa suorakulmion ominaisuudesta, jonka muodostavat piirretyn ympyrän halkaisija ja rombin korkeus - suorakulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret.

Siksi kaava piirretyn ympyrän säteelle rombissa korkeuden läpi:

Menetelmä 2. Piirretyn ympyrän säde rombissa diagonaalien läpi

Rombin pinta-ala voidaan ilmaista piirretyn ympyrän säteellä
, Missä R- rombin ympärysmitta. Tiedämme, että kehä on nelikulmion kaikkien sivujen summa, meillä on P= 4×a. Sitten
Mutta rombin pinta-ala on myös puolet sen diagonaalien tulosta
Yhdistäen pinta-alakaavojen oikeat puolet saadaan seuraava yhtälö
Tuloksena saamme kaavan, jonka avulla voimme laskea piirretyn ympyrän säteen rombissa diagonaalien läpi

Esimerkki rombukseen piirretyn ympyrän säteen laskemisesta, jos lävistäjät tunnetaan
Etsi rombiini piirretyn ympyrän säde, jos tiedetään, että lävistäjän pituudet ovat 30 cm ja 40 cm
Antaa ABCD-rombi siis A.C. Ja BD sen diagonaalit. AC= 30 cm ,BD= 40 cm
Anna pointin NOIN– on rombilla kirjoitetun kaiverretun kuvan keskus ABCD ympyrä, se on myös sen diagonaalien leikkauspiste jakaen ne kahtia.


koska rombin lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niin kolmio AOB suorakulmainen. Sitten Pythagoraan lauseen mukaan
, korvaa aiemmin saadut arvot kaavaan

AB= 25 cm
Soveltamalla aiemmin johdettua kaavaa rombissa olevan rajatun ympyrän säteelle saadaan

3 tapaa. Piirretyn ympyrän säde rombissa segmenttien m ja n läpi

Piste F– ympyrän kosketuspiste rombin sivuun, joka jakaa sen osiin A.F. Ja B.F.. Antaa AF=m, BF = n.
Piste O– rombin lävistäjien leikkauspiste ja siihen piirretyn ympyrän keskipiste.
Kolmio AOB– suorakaiteen muotoinen, koska rombin lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa.
, koska on ympyrän tangenttipisteen säde. Siten OF– kolmion korkeus AOB hypotenuusaan. Sitten A.F. Ja bf- jalkojen ulokkeet hypotenuusaan.
Korkeus suorakulmaisessa kolmiossa, laskettuna hypotenuusaan, on keskimääräinen verrannollinen jalkojen projektioiden ja hypotenuusan välillä.

Kaava piirretyn ympyrän säteelle osien läpi on yhtä suuri kuin neliöjuuri näiden segmenttien tulosta, johon ympyrän tangenttipiste jakaa rombin sivun