Trigonometristen funktioiden arvojen taulukko
Huomautus. Tämä trigonometristen funktioarvojen taulukko käyttää √-merkkiä edustamaan neliöjuurta. Käytä symbolia "/" osoittaaksesi murtoluvun.
Katso myös hyödyllisiä materiaaleja:
varten trigonometrisen funktion arvon määrittäminen, etsi se trigonometrisen funktion osoittavan viivan leikkauspisteestä. Esimerkiksi sini 30 astetta - etsimme saraketta, jonka otsikko on sin (sini) ja löydämme tämän taulukon sarakkeen leikkauskohdan rivin "30 astetta" kanssa, niiden leikkauspisteestä luemme tuloksen - puolikkaan. Samoin löydämme kosini 60 astetta, sini 60 astetta (jälleen kerran sin-sarakkeen ja 60 asteen suoran leikkauspisteestä löydämme arvon sin 60 = √3/2) jne. Muiden "suosittujen" kulmien sinien, kosinien ja tangenttien arvot löytyvät samalla tavalla.
Sini pi, kosini pi, tangentti pi ja muut kulmat radiaaneina
Alla oleva kosinien, sinien ja tangenttien taulukko soveltuu myös sellaisten trigonometristen funktioiden arvon löytämiseen, joiden argumentti on radiaaneina annettuna. Käytä tätä varten toista kulma-arvojen saraketta. Tämän ansiosta voit muuntaa suosittujen kulmien arvon asteina radiaaneiksi. Etsitään esimerkiksi ensimmäiseltä riviltä 60 asteen kulma ja luetaan sen arvo radiaaneina sen alta. 60 astetta on yhtä suuri kuin π/3 radiaania.
Luku pi ilmaisee yksiselitteisesti kehän riippuvuuden kulman astemittasta. Siten pi radiaanit ovat 180 astetta.
Mikä tahansa pi:nä (radiaaneina) ilmaistu luku voidaan helposti muuntaa asteina korvaamalla pi (π) luvulla 180.
Esimerkkejä:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
siis pi:n sini on sama kuin 180 asteen sini ja se on yhtä suuri kuin nolla.
2. Kosini pi.
cos π = cos 180 = -1
siis pi:n kosini on sama kuin 180 asteen kosini ja se on yhtä kuin miinus yksi.
3. Tangentti pi
tg π = tg 180 = 0
siis tangentti pi on sama kuin tangentti 180 astetta ja se on yhtä suuri kuin nolla.
Taulukko sini-, kosini- ja tangenttiarvoista kulmille 0 - 360 astetta (yhteiset arvot)
kulman α arvo (astetta) |
kulman α arvo (pi:n kautta) |
synti (sinus) |
cos (kosini) |
tg (tangentti) |
ctg (kotangentti) |
sek (sekantti) |
cosec (kosekantti) |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jos trigonometristen funktioiden arvotaulukossa on funktion arvon sijasta viiva (tangentti (tg) 90 astetta, kotangentti (ctg) 180 astetta), niin kulman astemitan tietylle arvolle funktio sillä ei ole tiettyä arvoa. Jos viivaa ei ole, solu on tyhjä, mikä tarkoittaa, että emme ole vielä syöttäneet vaadittua arvoa. Olemme kiinnostuneita siitä, mihin kyselyihin käyttäjät tulevat ja täydennämme taulukkoa uusilla arvoilla huolimatta siitä, että nykyiset tiedot yleisimpien kulma-arvojen kosinien, sinien ja tangenttien arvoista ovat riittävät ratkaisemaan useimmat ongelmia.
Taulukko trigonometristen funktioiden sin, cos, tg arvoista suosituimmille kulmille
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 astetta
(numeeriset arvot "Bradis-taulukoiden mukaan")
kulman α arvo (astetta) | kulman α arvo radiaaneina | synti (sini) | cos (kosinus) | tg (tangentti) | ctg (kotangentti) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
45 |
0,7071 |
||||
0,7660 |
|||||
60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
7π/18 |
Sinien (sin), kosinien (cos), tangenttien (tg), kotangenttien (ctg) arvotaulukot ovat tehokas ja hyödyllinen työkalu, joka auttaa ratkaisemaan monia sekä teoreettisia että sovellettavia ongelmia. Tässä artikkelissa tarjoamme taulukon trigonometristen perusfunktioiden (sinit, kosinit, tangentit ja kotangentit) kulmille 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 astetta (0, π 6, π 3, π 2,... . , 2 π radiaania). Näkyviin tulee myös erilliset Bradis-taulukot sineille ja kosineille, tangenteille ja kotangenteille sekä selitys, kuinka niitä käytetään trigonometristen perusfunktioiden arvojen löytämiseen.
Taulukko trigonometrisista perusfunktioista kulmille 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 astetta
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien perusteella voit löytää näiden funktioiden arvot kulmille 0 ja 90 astetta
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nolla kotangenttia ei ole määritelty,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, yhdeksänkymmenen asteen tangenttia ei ole määritelty.
Geometrian kurssin sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvot määritellään suorakulmaisen kolmion sivujen suhteeksi, jonka kulmat ovat 30, 60 ja 90 astetta sekä 45, 45 ja 90 astetta.
Trigonometristen funktioiden määrittely suorakulmaisen kolmion terävälle kulmille
Sinus- vastakkaisen puolen suhde hypotenuusaan.
Kosini- viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Tangentti- vastakkaisen puolen suhde viereiseen sivuun.
Kotangentti- viereisen sivun suhde vastakkaiseen sivuun.
Määritelmien mukaisesti funktioiden arvot löytyvät:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , tg 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , tg 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Laitetaan nämä arvot taulukkoon ja kutsutaan sitä sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perusarvojen taulukoksi.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
tg α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | määrittelemätön |
c t g α | määrittelemätön | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Yksi trigonometristen funktioiden tärkeistä ominaisuuksista on jaksollisuus. Tämän ominaisuuden perusteella tätä taulukkoa voidaan laajentaa pelkistyskaavojen avulla. Alla on laajennettu taulukko tärkeimpien trigonometristen funktioiden arvoista kulmille 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 astetta (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radiaania).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
tg α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin jaksollisuus mahdollistaa tämän taulukon laajentamisen mielivaltaisen suuriin kulmaarvoihin. Taulukkoon kerättyjä arvoja käytetään useimmiten tehtävien ratkaisemisessa, joten ne kannattaa muistaa.
Kuinka käyttää trigonometristen funktioiden perusarvojen taulukkoa
Sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvotaulukon käyttöperiaate on selkeä intuitiivisella tasolla. Rivin ja sarakkeen leikkauspiste antaa funktion arvon tietyssä kulmassa.
Esimerkki. Kuinka käyttää sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien taulukkoa
Meidän on selvitettävä, mitä sin 7 π 6 on yhtä suuri
Löydämme taulukosta sarakkeen, jonka viimeisen solun arvo on 7 π 6 radiaania - sama kuin 210 astetta. Sitten valitsemme termin taulukosta, jossa sinien arvot esitetään. Rivin ja sarakkeen risteyksestä löydämme halutun arvon:
sin 7 π 6 = - 1 2
Bradis pöydät
Bradis-taulukon avulla voit laskea sinin, kosinin, tangentin tai kotangentin arvon 4 desimaalin tarkkuudella ilman tietokonetekniikkaa. Tämä on eräänlainen korvaaminen tekniselle laskimelle.
Viite
Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - Neuvostoliiton matemaatikko-opettaja, vuodesta 1954 Neuvostoliiton pedagogisten tieteiden akatemian vastaava jäsen. Bradisin kehittämät nelinumeroisten logaritmien ja luonnollisten trigonometristen suureiden taulukot julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1921.
Ensin esittelemme Bradis-taulukon sineille ja kosineille. Sen avulla voit laskea melko tarkasti näiden funktioiden likimääräiset arvot kulmille, jotka sisältävät kokonaislukumäärän asteita ja minuutteja. Taulukon vasemmanpuoleisin sarake edustaa asteita ja ylin rivi minuutteja. Huomaa, että kaikki Bradis-taulukon kulma-arvot ovat kuuden minuutin kerrannaisia.
Bradis-pöytä sineille ja kosineille
synti | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
synti | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Sellaisten kulmien sinien ja kosinien arvojen löytämiseksi, joita ei ole esitetty taulukossa, on käytettävä korjauksia.
Nyt esittelemme Bradis-taulukon tangenteille ja kotangenteille. Se sisältää kulmien tangenttien arvot 0 - 76 astetta ja kulmien kotangentit 14 - 90 astetta.
Bradis-taulukko tangentille ja kotangentille
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Kuinka käyttää Bradis-pöytiä
Harkitse Bradis-taulukkoa sineille ja kosineille. Kaikki poskionteloihin liittyvä on ylhäällä ja vasemmalla. Jos tarvitsemme kosineja, katso oikeaa puolta taulukon alareunasta.
Löytääksesi kulman sinin arvot, sinun on löydettävä tarvittavan määrän asteita sisältävän rivin leikkauspiste vasemmanpuoleisesta solusta ja vaaditun määrän minuutteja sisältävän sarakkeen leikkauspiste yläsolusta.
Jos tarkka kulma-arvo ei ole Bradis-taulukossa, turvaudumme korjauksiin. Yhden, kahden ja kolmen minuutin korjaukset on annettu taulukon oikeanpuoleisissa sarakkeissa. Sellaisen kulman sinin arvon selvittämiseksi, jota ei ole taulukossa, etsimme sitä lähinnä olevan arvon. Tämän jälkeen lisäämme tai vähennämme kulmien välistä eroa vastaava korjaus.
Jos etsimme kulman siniä, joka on suurempi kuin 90 astetta, meidän on ensin käytettävä pelkistyskaavoja ja vasta sitten Bradis-taulukkoa.
Esimerkki. Kuinka käyttää Bradis-pöytää
Oletetaan, että meidän on löydettävä kulman 17 ° 44 " sini. Selvitetään taulukon avulla, mikä sini 17 ° 42 " on yhtä suuri, ja lisätään sen arvoon kahden minuutin korjaus:
17°44" - 17°42" = 2" (tarvittava korjaus) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046
Periaate työskennellä kosinien, tangenttien ja kotangenttien kanssa on samanlainen. On kuitenkin tärkeää muistaa muutosten merkki.
Tärkeä!
Sinien arvoja laskettaessa korjauksella on positiivinen etumerkki, ja kosineja laskettaessa korjaus on otettava negatiivisella etumerkillä.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on koordinaattien alkupisteessä, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselikoordinaattia ja akselikoordinaattia. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Tätä varten meidän on muistettava harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.
Mitä kolmio on yhtä suuri? Oikein. Lisäksi tiedämme, että se on yksikköympyrän säde, mikä tarkoittaa . Korvataan tämä arvo kosinin kaavaan. Tässä on mitä tapahtuu:
Mitä kolmio on yhtä suuri? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:
Joten voitko kertoa mitkä koordinaatit ympyrään kuuluvalla pisteellä on? No ei mitenkään? Mitä jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Ja mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinaatit! Eli piste.
Mitkä sitten ovat ja ovat yhtä suuria? Se on oikein, käytetään vastaavia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, että a.
Entä jos kulma on suurempi? Esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännytään jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mitkä ovat kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet pätevät mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn arvon kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria suuntaan tai suuntaan? No tietysti voit! Ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee siis yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.
Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täyttä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla oleva kuva esittää kulmaa. Sama kuva vastaa nurkkaa jne. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)
Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitkä arvot ovat:
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko sinulla vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
Tästä määritämme tiettyjä kulmamittoja vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:
Ei ole olemassa;
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:
Älä pelkää, nyt näytämme sinulle yhden esimerkin melko helppo muistaa vastaavat arvot:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulmamitalle () sekä kulman tangentin arvo. Kun tiedät nämä arvot, on melko yksinkertaista palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat kaikki arvot taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?
No tietysti voit! Otetaan se ulos yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.
Esimerkiksi tässä on ympyrä edessämme:
Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
Sitten meillä on se pistekoordinaatiksi.
Samaa logiikkaa käyttäen löydämme pisteen y-koordinaattiarvon. Täten,
Joten yleensä pisteiden koordinaatit määritetään kaavoilla:
Ympyrän keskipisteen koordinaatit,
Ympyrän säde,
Vektorin säteen kiertokulma.
Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä:
No, kokeillaanko näitä kaavoja harjoittelemalla pisteiden etsimistä ympyrästä?
1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
4. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
5. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?
Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai opi ratkaisemaan ne), niin opit löytämään ne!
1.
Sen voi huomata. Mutta me tiedämme, mikä vastaa lähtökohdan täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:
2. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi huomata. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täyttä kierrosta. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:
Sini ja kosini ovat taulukon arvoja. Muistamme niiden merkitykset ja saamme:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
3. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi huomata. Kuvataan kyseistä esimerkkiä kuvassa:
Säde muodostaa kulmat, jotka ovat yhtä suuria kuin akseli ja sen kanssa. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukon arvot ovat yhtä suuret ja olemme päättäneet, että kosini saa tässä negatiivisen arvon ja sini positiivisen arvon, meillä on:
Tällaisia esimerkkejä käsitellään tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
4.
Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan)
Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:
Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:
Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä
Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme
Ympyrän säde (ehdon mukaan)
Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan).
Korvataan kaikki arvot kaavaan ja saadaan:
ja - taulukon arvot. Muistetaan ja korvataan ne kaavalla:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde viereiseen (läheiseen) sivuun.
Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) puolen ja vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde.
Etsi kulma sinin mukaan
Joten meillä on mahdollisuus laskea minkä tahansa kulman sini 0 - 90° e kahdella desimaalilla. Ei tarvita valmiita pöytää; likimääräisiä laskelmia varten voimme aina tehdä sen itse, jos haluamme.
Mutta trigonometristen ongelmien ratkaisemiseksi sinun on voitava tehdä päinvastoin - laskea kulmat annetusta sinistä. Tämä on myös helppoa. Oletetaan, että sinun on löydettävä kulma, jonka sini on 0,38. Koska tämä sini on pienempi kuin 0,5, haluttu kulma on alle 30°. Mutta se on suurempi kuin 15°, koska sin 15°, tiedämme, on yhtä suuri kuin 0,26. Löytääksemme tämän kulman, joka on välillä 15 ja 30°, toimimme edellä selitetyllä tavalla:
Haluttu kulma on siis noin 22,5°. Toinen esimerkki: etsi kulma, jonka sini on 0,62.
Vaadittu kulma on noin 38,6°.
Lopuksi kolmas esimerkki: etsi kulma, jonka sini on 0,91.
Koska tämä sini on välillä 0,71 - 1, haluttu kulma on välillä 45° - 90°. Päällä: kuva 91 Aurinko on kulman L sini, jos VA= 1. Tietäen aurinko, kulman sini on helppo löytää SISÄÄN:
Etsitään nyt kulma SISÄÄN, jonka sini on 0,42; Tämän jälkeen on helppo löytää kulma A, joka on 90° - SISÄÄN.
Koska 0,42 on välillä 0,26 ja 0,5, niin kulma SISÄÄN on 15° ja 30° välillä, se määritellään seuraavasti:
Ja siksi kulma A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
Olemme nyt täysin valmiita ratkaisemaan trigonometrisiä ongelmia, koska voimme löytää sinejä kulmista ja kulmia sinistä kenttätarkoituksiin riittävällä tarkkuudella.
Mutta riittääkö sini tähän? Emmekö tarvitse muita trigonometrisiä funktioita - kosini, tangentti jne.? Näytämme nyt useilla esimerkeillä, että yksinkertaistetulla trigonometriallamme pärjäämme täysin pelkällä sinillä.
Esimerkkejä:
\(\sin(30^°)=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\sin\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\sin2=0,909…\)
Argumentti ja merkitys
Terävän kulman sini
Terävän kulman sini voidaan määrittää käyttämällä suorakulmaista kolmiota - se on yhtä suuri kuin vastakkaisen sivun suhde hypotenuusaan.
Esimerkki :
1) Olkoon kulma annettu ja sinun on määritettävä tämän kulman sini.
2) Täydennetään mikä tahansa suorakulmainen kolmio tällä kulmalla.
3) Mitattuamme tarvittavat sivut voimme laskea \(sinA\).
Luvun sini
Numeroympyrän avulla voit määrittää minkä tahansa luvun sinin, mutta yleensä löydät lukujen sinin, jotka liittyvät jotenkin seuraaviin: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Esimerkiksi luvulle \(\frac(π)(6)\) - sini on yhtä suuri kuin \(0,5\). Ja luvulle \(-\)\(\frac(3π)(4)\) se on yhtä suuri kuin \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (noin \ (-0 ,71\)).
Muiden käytännössä usein tavattujen lukujen sini, katso.
Siniarvo on aina välillä \(-1\) - \(1\). Lisäksi se voidaan laskea täysin mille tahansa kulmille ja numeroille.
Sini mistä tahansa kulmasta
Yksikköympyrän ansiosta on mahdollista määrittää ei vain terävän kulman, vaan myös tylpän, negatiivisen ja jopa suurempia kuin \(360°\) (täysi kierros) trigonometriset funktiot. Kuinka tämä tehdään, on helpompi nähdä kerran kuin kuulla \(100\) kertaa, joten katso kuvaa.
Nyt selitys: meidän on määriteltävä \(sin∠KOA\) astemitalla \(150°\). Yhdistämällä pointtia NOIN ympyrän keskipisteen ja sivun kanssa OK– \(x\)-akselilla. Siirrä tämän jälkeen sivuun \(150°\) vastapäivään. Sitten pisteen ordinaatat A näyttää meille \(\sin∠KOA\).
Jos olemme kiinnostuneita kulmasta, jossa on astemitta, esimerkiksi \(-60°\) (kulma KOV), teemme samoin, mutta asetamme \(60°\) myötäpäivään.
Ja lopuksi, kulma on suurempi kuin \(360°\) (kulma CBS) - kaikki on samanlaista kuin tyhmä, vasta myötäpäivään täyden kierroksen jälkeen siirrymme toiselle ympyrälle ja "saamme asteiden puutteen". Tarkemmin sanottuna meidän tapauksessamme kulma \(405°\) piirretään muodossa \(360° + 45°\).
On helppo arvata, että esimerkiksi \(960°\) kulman piirtämiseksi sinun on tehtävä kaksi käännöstä (\(360°+360°+240°\)) ja kulmaa varten \(2640 °\) - kokonaiset seitsemän.
Kuten voit korvata, sekä luvun sini että mielivaltaisen kulman sini määritellään lähes identtisesti. Vain tapa, jolla piste löytyy ympyrästä, muuttuu.
Suhde muihin trigonometrisiin funktioihin:
Funktio \(y=\sinx\)
Jos piirrämme kulmat radiaaneina \(x\)-akselille ja näitä kulmia vastaavat siniarvot \(y\)-akselille, saadaan seuraava kaavio:
Tätä kuvaajaa kutsutaan siniaaltoksi ja sillä on seuraavat ominaisuudet:
Määritelmäalue on mikä tahansa x:n arvo: \(D(\sinx)=R\)
- arvoalue – \(-1\) - \(1\) mukaan lukien: \(E(\sinx)=[-1;1]\)
- pariton: \(\sin(-x)=-\sinx\)
- jaksollinen jaksolla \(2π\): \(\sin(x+2π)=\sinx\)
- leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa:
abskissa-akseli: \((πn;0)\), missä \(n ϵ Z\)
Y-akseli: \((0;0)\)
- merkin pysyvyysvälit:
funktio on positiivinen aikaväleillä: \((2πn;π+2πn)\), missä \(n ϵ Z\)
funktio on negatiivinen aikaväleillä: \((π+2πn;2π+2πn)\), missä \(n ϵ Z\)
- lisäys- ja laskuvälit:
funktio kasvaa aikaväleillä: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\ ), jossa \(n ϵ Z\)
funktio pienenee aikaväleillä: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\) , jossa \(n ϵ Z\)
- toiminnon maksimi- ja minimiarvot:
funktiolla on maksimiarvo \(y=1\) pisteissä \(x=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), missä \(n ϵ Z\)
funktiolla on minimiarvo \(y=-1\) pisteissä \(x=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), missä \(n ϵ Z\) .