Peruskonseptit

Osana kulmien mittaamista käsittelemme tässä osiossa useita geometriseen alkutietoon liittyviä käsitteitä:

• kulma;
• taittamaton ja kehittymätön kulma;
• aste, minuutti ja sekunti;
• aste kulman mitta;
• oikeat, terävät ja tylpät kulmat.

Kulma on geometrinen kuvio, joka koostuu pisteestä (kärkipiste) ja kahdesta siitä lähtevästä säteestä (sivusta). Kulmaa kutsutaan kehittyneeksi, jos molemmat säteet ovat samalla suoralla.

Kulman astemitan ansiosta kulmia voidaan mitata. Kulmien mittaus suoritetaan samalla tavalla kuin segmenttien mittaus. Samoin kuin segmenttien mittauksessa, kulmien mittauksessa käytetään erityistä mittayksikköä. Useimmiten se on tutkinto.

Määritelmä 1

Aste on mittayksikkö. Geometriassa se edustaa kulmaa, johon muita kulmia verrataan. Aste on yhtä suuri kuin $\frac(1)(180)$ suorasta kulmasta.

Nyt voimme määritellä kulman astemitan.

Määritelmä 2

Kulman astemitta on positiivinen luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa aste on asetettu tiettyyn kulmaan.

Kulmien mittaamiseen käytetään astemittaria.

Esimerkki astemitan kirjoittamisesta: $\angle ABC = 150^(\circ)$. Kuvassa tämä merkintä tarkoittaa seuraavaa:

Suullisesti he sanovat tämän: "Kulma ABC on 150 astetta."

Joillakin tutkinnon osilla on omat erityisnimensä. Minuutti on $\frac(1)(60)$ osa astetta, joka on merkitty merkillä $"$. Sekunti on $\frac(1)(60)$ osa minuutista, joka on merkitty $" "$. Esimerkki kulman kirjoittamisesta 75 asteessa, 45 minuutissa ja 28 sekunnissa: $75^(\circ)45"28""$.

Kulmia, joiden astemitat ovat yhtä suuret, kutsutaan yhtäläisiksi. Näin ollen kulmia voidaan verrata sanomalla, että yksi kulma on pienempi kuin toinen tai yksi kulma on suurempi kuin toinen.

Kierretyn kulman määritelmä on annettu edellä. Astemitan käsitettä käyttämällä voimme kuvata kehittyneen ja kehittymättömän kulman eroa. Käänteinen kulma on aina $180^(\circ)$. Kehittämätön kulma on mikä tahansa kulma, joka on pienempi kuin $180^(\circ)$.

On olemassa suorat, terävät ja tylpät kulmat. Suora kulma on yhtä suuri kuin $90^(\circ)$, terävä kulma on pienempi kuin $90^(\circ)$, tylppä kulma on suurempi kuin $90^(\circ)$ ja pienempi kuin $180^(\circ) $.

Kuva 4. Oikea, terävä ja tylpäkulmat. Author24 - opiskelijatyön verkkovaihto

Jokapäiväisessä elämässä on esimerkkejä kulmien mittaamisen ja asteiden ymmärtämisen tarpeesta ja tärkeydestä. Kulmien mittaaminen on tarpeen erilaisissa tutkimuksissa, mukaan lukien tähtitiede määritettäessä taivaankappaleiden sijaintia.

Kokeile harjoittelua varten piirtää vähintään kolme purkamatonta kulmaa ja yksi taittamaton kulma eri tavoilla, mittaa kulmat astelevyllä ja kirjoita tulokset muistiin. Voit asettaa satunnaislukuja ja harjoitella kulmien piirtämisen tarkkuutta astemittarilla jakamalla ne puolittajalla (puolittaja on säde, joka lähtee tietyn kulman kärjestä ja jakaa kulman puoliksi).

Esimerkki ongelmia

Esimerkki 1

Tehtävä. Siellä on piirustus:

Säteet $DE$ ja $DF$ ovat vastaavien kulmien $ADB$ ja $BDC$ puolittajia. Sinun on löydettävä kulma $ADC$, jos $\angle EDF = 75^(\circ)$.

Ratkaisu. Koska kulma $EDF$ sisältää puolet kustakin kulmasta $ADB$ ja $BDC$, voimme päätellä, että $EDF$ on täsmälleen puolet itse kulmasta $ADC$. Saamme yksinkertaiset laskelmat: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Vastaus: $150^(\circ)$.

Otetaan toinen mielenkiintoinen esimerkki.

Esimerkki 2

Tehtävä. Piirustus annetaan.

Kulma $ABC$ on oikea. Kulmat $ABE$, $EBD$ ja $DBC$ ovat yhtä suuret. Sinun on löydettävä puolittajien $ABE$ ja $DBC$ muodostama kulma.

Ratkaisu. Koska $ABC$ on suora kulma, se tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin $90^(\circ)$. Kulma $\angle EBD=90/3=30^(\circ)$. Koska kulmat $ABE$, $EBD$ ja $DBC$ ovat yhtä suuret, mikä tahansa niistä on yhtä suuri kuin $30^(\circ)$. Minkä tahansa näiden kulmien puolittaja jakaa minkä tahansa näistä kulmista kahdeksi kulmaksi, jotka ovat yhtä suuria kuin $15^(\circ)$. Koska kulmien $ABE$ ja $DBC$ kaksi puoliskoa kuuluvat haluttuun kulmaan, voidaan sanoa, että haluttu kulma on $30+15+15=60^(\circ)$.

Vastaus. 60 $^(\circ)$

Tässä artikkelissa olemme käsitelleet täysin kulman astemittauksen ja kulmien mittaamisen.

Kuinka löytää kulman astemitta?

Monille koululaisille geometria on todellinen testi. Yksi geometrisista perusmuodoista on kulma. Tämä käsite tarkoittaa kahta sädettä, jotka ovat peräisin samasta pisteestä. Kulman arvon (magnitudin) mittaamiseen käytetään asteita tai radiaaneja. Opit kuinka löydät kulman astemitan artikkelistamme.

Kulmien tyypit

Oletetaan, että meillä on kulma. Jos laajennamme sitä suoraksi, sen arvo on 180 astetta. Tällaista kulmaa kutsutaan käännetyksi kulmaksi ja 1/180 sen osasta katsotaan asteeksi.

Suoran kulman lisäksi on myös teräviä (alle 90 astetta), tylppäjä (yli 90 astetta) ja suoria kulmia (yhtä kuin 90 astetta). Näitä termejä käytetään kuvaamaan kulman astemitta.

Kulman mittaus

Kulma mitataan astemittarilla. Tämä on erityinen laite, jossa puoliympyrä on jo jaettu 180 osaan. Kiinnitä astelevy kulmaan niin, että yksi kulman sivuista osuu astelevyn pohjaan. Toisen säteen on leikattava astemittarin kaari. Jos näin ei tapahdu, irrota astelevy ja pidennä palkkia viivaimella. Jos kulma "avautuu" kärjen oikealle puolelle, sen arvo luetaan ylemmällä asteikolla, jos vasemmalla - alemmalla.

SI-järjestelmässä on tapana mitata kulman suuruus radiaaneina asteina. Taitettuun kulmaan mahtuu vain 3,14 radiaania, joten tämä arvo on hankala eikä sitä käytetä käytännössä koskaan. Tästä syystä sinun on tiedettävä, kuinka radiaanit muunnetaan asteina. Tähän on olemassa kaava:

• Asteet = radiaanit/π x 180

Esimerkiksi kulma on 1,6 radiaania. Muunna asteina: 1,6/3,14 * 180 = 92

Kulmien ominaisuudet

Nyt tiedät kuinka mitata ja laskea uudelleen kulmien asteet. Mutta ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä myös kulmien ominaisuudet. Tähän mennessä on muotoiltu seuraavat aksioomit:

• Mikä tahansa kulma voidaan ilmaista asteina, jotka ovat suurempia kuin nolla. Kierretyn kulman koko on 360.
• Jos kulma koostuu useista kulmista, sen astemitta on yhtä suuri kuin kaikkien kulmien summa.
• Tietyssä puolitasossa mistä tahansa säteestä on mahdollista rakentaa tietyn arvon kulma, alle 180 astetta, ja vain yksi.
• Tasaisten kulmien arvot ovat samat.
• Jos haluat lisätä kaksi kulmaa, sinun on lisättävä niiden arvot.

Näiden sääntöjen ymmärtäminen ja kulmien mittaamisen tunteminen on avain geometrian menestyksekkääseen oppimiseen.

Kulma on kuvio, joka koostuu pisteestä - kulman kärjestä ja kahdesta eri puoliviivasta, jotka lähtevät tästä pisteestä - kulman sivuista (kuva 14). Jos kulman sivut ovat komplementaarisia puoliviivoja, kulmaa kutsutaan kehittyneeksi kulmaksi.

Kulma osoitetaan joko osoittamalla sen kärki tai osoittamalla sen sivut tai osoittamalla kolme pistettä: kärki ja kaksi pistettä kulman sivuilla. Sana "kulma" korvataan joskus

Kuvan 14 kulmasymboli voidaan merkitä kolmella tavalla:

Säteen c sanotaan kulkevan kulman sivujen välillä, jos se tulee kärjestään ja leikkaa jonkin segmentin kulman sivuilla olevien päiden kanssa.

Kuvassa 15 säde c kulkee kulman sivujen välillä leikkaaessaan segmentin

Suoran kulman tapauksessa mikä tahansa sen kärjestä lähtevä ja sen sivuista erilainen säde kulkee kulman sivujen välillä.

Kulmat mitataan asteina. Jos otat suoran kulman ja jaat sen 180 yhtä suureen kulmaan, kunkin kulman astemitta kutsutaan asteeksi.

Kulman mittauksen perusominaisuudet ilmaistaan ​​seuraavassa aksioomassa:

Jokaisella kulmalla on tietty aste, joka on suurempi kuin nolla. Kääntökulma on 180°. Kulman astemitta on yhtä suuri kuin niiden kulmien astemittojen summa, joihin se on jaettu millä tahansa sen sivujen välistä kulkevalla säteellä.

Tämä tarkoittaa, että jos säde c kulkee kulman sivujen välillä, niin kulma on yhtä suuri kuin kulmien summa

Kulman astemitta löydetään astemittarilla.

Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi. Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi. Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi.

Muotoilkaamme kulmien syrjäyttämisen pääominaisuus.

Mistä tahansa puoliviivasta tiettyyn puolitasoon voit asettaa kulman, jonka astemitta on pienempi kuin 180°, ja vain yksi.

Harkitse puoliviivaa a. Jatketaan se aloituspisteen A ulkopuolelle. Tuloksena oleva suora jakaa tason kahteen puolitasoon. Kuvassa 16 esitetään, kuinka kulmaviivasta ylempään puolitasoon piirretään astemittalla kulma tietyllä 60° asteen mittauksella.

T. 1. 2. Jos yhdelle puolitasolle asetetaan kaksi kulmaa tietystä puoliviivasta, niin pienemmän kulman sivu, joka on eri kuin annettu puoliviiva, kulkee suuremman kulman sivujen välissä.

Antaa olla kulmat irrotettu tietystä puoliviivasta a yhdeksi puolitasolle, ja kulma on pienempi kuin kulma . Lauseen 1. 2 mukaan säde kulkee kulman sivujen välistä (kuva 17).

Kulman puolittaja on säde, joka lähtee sen kärjestä, kulkee sivujen välillä ja jakaa kulman puoliksi. Kuvassa 18 säde on kulman puolittaja

Geometriassa on tasokulman käsite. Tasokulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi erilaista yhdestä pisteestä lähtevää sädettä. Näitä säteitä kutsutaan kulman sivuiksi. On olemassa kaksi tasokulmaa, joilla on tietyt sivut. Niitä kutsutaan ylimääräisiksi. Kuvassa 19 yksi tasokulmista sivuilla a ja on varjostettu.

Luento: Kulman suuruus, kulman astemitta, kulman suuruuden ja ympyrän kaaren pituuden välinen vastaavuus

Kulman mittaus on määrä, jolla säde poikkeaa alkuperäisestä asemastaan.

Kulman mitta voidaan mitata kahdella suurella: asteina ja radiaaneina, mistä johtuu yksiköiden nimi - kulman aste ja radiaanimitta.

Kulman astemitta

Astemitan avulla voidaan arvioida, kuinka monta astetta, minuuttia tai sekuntia on asetettu tiettyyn kulmaan.

Kulmat asteina lasketaan siitä näkökulmasta, että palkin täysi pyörimiskulma on 360°. Puolet 180° kierrosta on suorakulma, neljännes - 90° on suora kulma jne.

Kulman radiaanimitta

Selvitetään nyt mikä on kulman radiaanimitta. Kuten fysiikasta tiedämme, on olemassa lisäyksiköitä. Esimerkiksi lämpötilan mittaamiseksi pääyksikkö on Kelvin ja lisäyksikkö on Celsius. Me käytämme pituuden mittaamiseen metrejä, mutta britit käyttävät jalkoja. Tämä lista jatkuu ja jatkuu. Tarkoitus on, että ymmärrät, että kulman astemitan lisäksi on olemassa radiaanimitta, jolla on myös oikeus olla olemassa.

Kulman radiaanimitan määrittämiseen käytetään ympyrää. Uskotaan, että radiaanimitta on keskikulman kuvaaman ympyrän kaaren pituus.

Muista, että keskikulma on kulma, jonka kärki on ympyrän keskellä ja säteet lepäävät jollain kaarella.

Joten 1 rad:n kulman astemitta on 57,3°. Kulman radiaanimitta kuvataan joko luonnollisilla luvuilla tai käyttämällä lukua π ≈ 3.14.

Geometriassa on kätevämpää käyttää kulman astemitta, mutta trigonometriassa he käyttävät radiaanimitta.

Matematiikka, geometria - nämä tieteet, kuten useimmat muutkin eksaktit tieteet, ovat monille erittäin vaikeita. Ihmisten on vaikea ymmärtää kaavoja ja outoa terminologiaa. Mitä tämän oudon käsityksen alla kätkeytyy?

Määritelmä

Aluksi sinun on harkittava yksinkertaisesti kulman mittaa. Säteen kuva ja suora viiva auttavat tässä. Ensin sinun on piirrettävä esimerkiksi vaakasuora suora viiva. Sitten säde vedetään ensimmäisestä pisteestään, ei yhdensuuntainen suoran kanssa. Siten suoran ja säteen väliin ilmestyy tietty etäisyys, pieni kulma. Kulman mitta on juuri tämän säteen kierron kokoa.

Tämä käsite tarkoittaa tiettyä digitaalista arvoa, joka on suurempi kuin nolla. Se ilmaistaan ​​asteina sekä sen komponentteina eli minuutteina ja sekunteina. Astemitta on se asteiden lukumäärä, joka sopii säteen ja suoran väliseen kulmaan.

Kulmien ominaisuudet

• Ehdottomasti jokaisella kulmalla on tietyn asteen mitta.
• Jos se on täysin käytössä, luku on 180 astetta.
• Astemitan löytämiseksi otetaan huomioon kaikkien säteen rikkomien kulmien summa.
• Millä tahansa säteellä voit luoda puolitason, jossa voit itse asiassa tehdä kulman. Siinä on astemitta, jonka arvo on pienempi kuin 180, ja tällaista kulmaa voi olla vain yksi.

Kuinka selvittää kulman mitta?

Pääsääntöisesti pienin astemitta on 1 aste, joka on 1/180 kiertokulmasta. Joskus et kuitenkaan voi saada niin selkeää kuvaa. Näissä tapauksissa käytetään sekunteja ja minuutteja.

Kun arvo on löydetty, se voidaan muuntaa asteina, jolloin saadaan asteen murto-osa. Joskus käytetään murtolukuja, kuten 80,7 astetta.

On myös tärkeää muistaa keskeiset määrät. Suora kulma on aina 90 astetta. Jos mitta on suurempi, sitä pidetään tylpänä, ja jos pienempi, niin terävänä.