Äskettäin opin sellaisista mielenkiintoisista matemaattisen maailman esineistä kuin fraktaalit. Mutta niitä ei ole vain matematiikassa. Ne ympäröivät meitä kaikkialla. Fraktaalit ovat luonnollisia. Puhun tässä artikkelissa siitä, mitä fraktaalit ovat, fraktaalien tyypeistä, esimerkeistä näistä objekteista ja niiden sovelluksista. Aluksi kerron lyhyesti, mikä fraktaali on.
Fraktaali (latinaksi fractus - murskattu, rikki, rikki) on monimutkainen geometrinen hahmo, jolla on samankaltaisuuden ominaisuus, eli se koostuu useista osista, joista jokainen on samanlainen kuin koko hahmo. Laajemmassa merkityksessä fraktaalit ymmärretään euklidisen avaruuden pistejoukkoina, joilla on murto-osa metristä ulottuvuutta (Minkowskin tai Hausdorffin merkityksessä) tai topologisesta poikkeava metrimitta. Esimerkkinä laitan kuvan, joka esittää neljää erilaista fraktaalia.
Kerron teille hieman fraktaalien historiasta. Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat vakiintuneet matemaatikoiden ja ohjelmoijien keskuudessa 80-luvun puolivälistä lähtien. Sanan "fraktaali" loi Benoit Mandelbrot vuonna 1975 viittaamaan epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin, joista hän oli huolissaan. Fraktaaligeometrian synty liittyy yleensä Mandelbrotin kirjan The Fractal Geometry of Nature julkaisuun vuonna 1977. Hänen töissään käytettiin muiden samalla alalla vuosina 1875-1925 työskennelleiden tiedemiesten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) tieteellisiä tuloksia. Mutta vain meidän aikanamme on ollut mahdollista yhdistää heidän työnsä yhdeksi järjestelmäksi.
Fraktaaleista on paljon esimerkkejä, koska, kuten sanoin, ne ympäröivät meitä kaikkialla. Mielestäni jopa koko universumimme on yksi valtava fraktaali. Loppujen lopuksi kaikki siinä, atomin rakenteesta itse universumin rakenteeseen, toistaa tarkasti toisiaan. Mutta tietysti on olemassa tarkempia esimerkkejä fraktaaleista eri alueilta. Esimerkiksi fraktaalit ovat läsnä monimutkaisessa dynamiikassa. He ovat siellä näkyvät luonnollisesti, kun tutkitaan epälineaarista dynaamiset järjestelmät. Tutkituin tapaus on, kun dynaaminen järjestelmä määritellään polynomin tai holomorfin iteraatioilla muuttujakompleksin funktio pinnalla. Jotkut tämän tyyppisistä tunnetuimmista fraktaaleista ovat Julia-sarja, Mandelbrot-sarja ja Newton-altaat. Alla olevat kuvat kuvaavat kutakin yllä olevaa fraktaaleja järjestyksessä.
Toinen esimerkki fraktaaleista on fraktaalikäyrät. On parasta selittää, kuinka fraktaaleja rakennetaan käyttämällä esimerkkiä fraktaalikäyristä. Yksi näistä käyristä on niin kutsuttu Kochin lumihiutale. On olemassa yksinkertainenmenetelmä fraktaalikäyrien saamiseksi tasossa. Määritellään mielivaltainen katkoviiva, jossa on äärellinen määrä linkkejä ja jota kutsutaan generaattoriksi. Seuraavaksi korvaamme jokaisen siinä olevan segmentin generaattorilla (tarkemmin sanottuna generaattorin kaltaisella katkoviivalla). Tuloksena olevassa katkoviivassa korvaamme jokaisen segmentin jälleen generaattorilla. Jatketaan äärettömään, rajassa saadaan fraktaalikäyrä. Alla on Kochin lumihiutale (tai käyrä).
Fraktaalikäyriä on myös valtava valikoima. Tunnetuimmat niistä ovat jo mainittu Kochin lumihiutale sekä Levy-käyrä, Minkowski-käyrä, Lohikäärmeen katkoviiva, Piano-käyrä ja Pythagoraan puu. Luulen, että voit helposti löytää kuvan näistä fraktaaleista ja niiden historiasta Wikipediasta, jos haluat.
Kolmas esimerkki tai fraktaalien tyyppi ovat stokastiset fraktaalit. Tällaisia fraktaaleja ovat mm. Brownin liikkeen liikerata tasossa ja avaruudessa Schramm-Löwner-evoluutioita, erilaisia satunnaistettuja fraktaaleja, eli fraktaaleja, jotka on saatu käyttämällä rekursiivista menettelyä, johon jokaisessa vaiheessa viedään satunnainen parametri.
On myös puhtaasti matemaattisia fraktaaleja. Näitä ovat esimerkiksi Cantor-setti, Menger-sieni, Sierpinskin kolmio ja muut.
Mutta ehkä mielenkiintoisimmat fraktaalit ovat luonnollisia. Luonnolliset fraktaalit ovat luonnon esineitä, joilla on fraktaaliominaisuuksia. Ja tässä lista on jo iso. En luettele kaikkea, koska on luultavasti mahdotonta luetella niitä kaikkia, mutta kerron teille joistakin. Esimerkiksi elävässä luonnossa tällaisia fraktaaleja ovat verenkiertojärjestelmämme ja keuhkot. Ja myös puiden kruunut ja lehdet. Tämä sisältää myös meritähti, merisiilit, korallit, simpukat ja jotkut kasvit, kuten kaali tai parsakaali. Useita tällaisia luonnonfraktaaleja elävästä luonnosta on esitetty selvästi alla.
Jos tarkastellaan elotonta luontoa, siellä on paljon mielenkiintoisempia esimerkkejä kuin elävässä luonnossa. Salama, lumihiutaleet, pilvet, kaikille tutut, kuviot ikkunoissa pakkaspäivinä, kristallit, vuoristot - kaikki nämä ovat esimerkkejä luonnollisista fraktaaleista elottomasta luonnosta.
Tarkastelimme esimerkkejä ja tyyppejä fraktaaleista. Mitä tulee fraktaalien käyttöön, niitä käytetään useilla tiedon aloilla. Fraktaaleja syntyy luonnostaan fysiikassa mallinnettaessa epälineaarisia prosesseja, kuten turbulenttia nestevirtausta, monimutkaisia diffuusio-adsorptioprosesseja, liekkejä, pilviä jne. Fraktaaleja käytetään mallinnettaessa huokoisia materiaaleja esimerkiksi petrokemiassa. Biologiassa niitä käytetään populaatioiden mallintamiseen ja sisäisten elinjärjestelmien (verisuonijärjestelmän) kuvaamiseen. Kochin käyrän luomisen jälkeen ehdotettiin sen käyttämistä rantaviivan pituuden laskennassa. Fraktaaleja käytetään myös aktiivisesti radiotekniikassa, tietotekniikassa ja tietotekniikassa, tietoliikenteessä ja jopa taloustieteessä. Ja tietysti fraktaalinäköä käytetään aktiivisesti modernissa taiteessa ja arkkitehtuurissa. Tässä on yksi esimerkki fraktaalikuvioista:
Ja niin, tällä aion täydentää tarinani sellaisesta epätavallisesta matemaattisesta ilmiöstä kuin fraktaali. Tänään opimme mitä fraktaali on, miten se ilmestyi, fraktaalien tyypeistä ja esimerkkeistä. Puhuin myös niiden sovelluksesta ja esitin joitain fraktaaleja visuaalisesti. Toivottavasti pidit tästä pienestä retkestä hämmästyttävien ja kiehtovien fraktaaliesineiden maailmaan.
Suoritti 7. luokan oppilas Polina Karpyuk
Prioda on luotu itseään vastaavista hahmoista, emme vain huomaa sitä. Tähän galleriaan olemme koonneet kuvia, joissa fraktaalisuus näkyy selvästi.
Ladata:
Esikatselu:
Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com
Dian kuvatekstit:
Fraktaaleja luonnossa Suorittanut: 7. B-luokan oppilas Polina Karpyuk Ohjaaja: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
Oikein katsottuna matematiikka ei heijasta vain totuutta, vaan myös vertaansa vailla olevaa kauneutta. Bertrand Russell
Mitä yhteistä on puulla, merenrannalla, pilvellä tai käsissämme olevilla verisuonilla? Kaikille luetelluille objekteille kuuluu yksi rakenteen ominaisuus: ne ovat itsensäkaltaisia. Oksasta, kuten puunrungosta, ulottuu pienempiä versoja, niistä vielä pienempiä jne., eli oksa on samanlainen kuin koko puu. Verenkiertojärjestelmä on rakenteeltaan samanlainen: valtimoista lähtevät valtimot ja niistä pienimmät kapillaarit, joiden kautta happi pääsee elimiin ja kudoksiin. Amerikkalainen matemaatikko Benoit Mandelbrot kutsui tätä esineiden ominaisuutta fraktaaliseksi ja itse tällaisia esineitä - fraktaaleiksi. Itse sana "fraktaali" on käännetty latinasta "osittaiseksi", "jaettu", "fragmentoitu", ja mitä tulee tämän termin sisältöön, sanamuotoa sellaisenaan ei ole. Se tulkitaan yleensä itsekaltaiseksi kokonaisuudeksi, osaksi kokonaisuutta, joka toistaa rakennettaan mikrotasolla. .
Avaruusvalokuvat Maan maisemista tarjoavat usein erinomaisia esimerkkejä fraktaaleista.
Rannikkoviivat ovat yleensä fraktaalimuotoisia, mutta ne vaihtelevat sen mukaan, missä määrin ne ovat karuja. Tässä esimerkissä esitetään kaksi luonnollisille fraktaaleille ominaista ominaisuutta: Yksittäiset kanavat eivät ole kopioita toisistaan, vaan niillä on samanlaiset kaarevat ääriviivat, ikään kuin ne olisi piirretty samalla kuviolla. Suuret kanavat ovat ulkomuodoltaan samanlaisia kuin pienet ja hyvin pienet kanavat. Jos suurennamme esimerkiksi kuvan vasenta alakulmaa, saamme jotain samanlaista kuin koko kuva
Veden ja maan vuorovaikutus synnyttää fraktaalirakenteita maisemiin - olivatpa ne vuoria, jokia tai rannikkoa.
Luultavasti kaikki tietävät japanilaisen taiteilijan Hokusain maalauksen "Suuri aalto", jossa tsunamiaalto on kuvattu Fujin taustalla. Jos katsot tätä kuvaa tarkasti, huomaat, että piirtäessään aallon harjaa taiteilija käytti fraktaalia, ikään kuin se koostuisi lukuisista saalistavista vesitassuista. Siksi tätä kuvaa käytetään usein kuvituksena kaaosteoriaa ja fraktaaleja käsitteleville kirjoille.
Kun vesi kuluttaa hiekkadyyniä, se toistaa pienessä mittakaavassa, mikä antaa fraktaalimuodon suuremmille maapallon maisemille.
Salamapurkaus on yksi esimerkki luonnollisista fraktaaleista.
Tämä kuva ei havainnollista vain puun latvujen fraktaaliluonnetta, vaan se viittaa toiseen mielenkiintoiseen näkökohtaan: metsä biologisena yhteisönä on myös fraktaali. Yksittäiset puut - suuret ja pienet - toimivat sitten fraktaalin oksina. Ne ovat samanlaisia, mutta eivät toista toisiaan.
Lehtisuonit ovat litteä luonnollinen fraktaali. Jokaisen kasvin ominainen kuvio on ainutlaatuinen, kuten ihmisen käden papillaarikuvio on ainutlaatuinen. Goethe (runoilija ja tiedemies) uskoi, että lehti on kasvin ilmeisin osa, joka heijastaa sen koko morfologiaa.
Saniaiset ovat esimerkki luonnollisista fraktaaleista, jotka ovat hyvin samanlaisia kuin tietokonefraktaalit. Lisäksi ne ovat mielenkiintoisia myös siksi, että saniaiset ovat evoluutionaalisesti vanhimpia kasveja erilaisten sammaleiden ja muiden alempien kasvien ohella.
Tämä on toinen kuuluisa ja erittäin vaikuttava esimerkki luonnollisesta fraktaalista, jolla on matemaattisesti selkeät muodot. On olemassa vähintään kolme tasoa itsestään samankaltaisia nerokkaita pyramideja Romanesco kaali
Maagisen kaunis fraktaali, joka voisi hyvinkin inspiroida jotakuta taiteilijaa. Katso sillä välin tarkemmin: tämä on vain tiukka nippu kaalinlehtiä.
Nämä ovat mielenkiintoisia esimerkkejä fraktaalirakenteesta mineraalimaailmassa. Carbonate Apatite Gold Nugget on hieno aarre, jonka luonto on itse luonut.
Oletko koskaan ajatellut, että ajattelemme kirjaimellisesti fraktaaleilla? Tässä on ajateltavaa - kuka väittäisi, että aivot ovat yksi luonnon hämmästyttävimmistä ja ainutlaatuisimmista luomuksista. Ja käy ilmi, että ulkoisesti sillä on samat fraktaaliominaisuudet kuin ilmakehän pilvissä tai nokkosten juuristossa.
Täällä kaikki on vielä monimutkaisempaa: kaksi erillistä fraktaalipuuta kietoutuvat yhteen - toiselle syötetään laskimoveri ja toiseen hapella rikastettu valtimoveri. Ja kaiken kaikkiaan keuhkot on hämmästyttävän monimutkainen kolmen fraktaalin järjestelmä - yksi hengitystie ja kaksi verenkiertoa.
Verkkokalvo sisältää valoherkkiä soluja, joiden avulla voimme nähdä. Tässä kuvassa ne ovat kellertävänvihreitä. Ne muodostavat verkon (verkkokalvon), mutta tämä verkko on kaoottinen ja fraktaali.
Tämä on sian vatsa. Sen värikuviot näyttävät myös noudattavan fraktaalisääntöjä. Tämä on mielenkiintoinen aihe, ja mikä tärkeintä, sillä on monia sovelluksia, mukaan lukien sotilaallinen merkitys. Millä säännöillä naamiointikuvio tulee tehdä niin, että sen käyttäjä sulautuu luonnollisiin muotoihin - maisemaan ja kasvillisuuteen?
Kiitos huomiostasi!!!
Fraktaaleina tunnetut matemaattiset muodot ovat peräisin maineikkaan tiedemiehen Benoit Mandelbrotin neroudelta. Hän vietti suurimman osan elämästään Yhdysvalloissa, missä hän opetti matematiikkaa Yalen yliopistossa. Vuosina 1977 ja 1982 Mandelbrot julkaisi "fraktaaligeometrian" tai "luonnon geometrian" tutkimiseen omistettuja tieteellisiä teoksia, joissa hän jakoi näennäisesti satunnaiset matemaattiset muodot ainesosiksi, jotka lähemmin tarkasteltuna osoittautuivat toistuviksi - mikä todistaa jonkinlaisen kopiointimallin olemassaolon. Mandelbrotin löydöllä oli merkittäviä myönteisiä seurauksia fysiikan, tähtitieteen ja biologian kehityksessä.
Miten fraktaali toimii?
Fraktaali (latinan sanasta "fractus" - rikki, murskattu, rikki) on monimutkainen geometrinen hahmo, joka koostuu useista äärettömistä osien sarjoista, joista jokainen on samanlainen kuin koko kuvio, ja toistetaan mittakaavan pienentyessä.
Fraktaalin rakenne kaikilla asteikoilla on ei-triviaali. Tässä meidän on selvennettävä, mitä tarkoitetaan. Joten säännölliset luvut, kuten ympyrä, ellipsi tai tasaisen funktion kuvaaja, on järjestetty siten, että kun tarkastellaan säännöllisen hahmon pientä fragmenttia riittävän suuressa mittakaavassa, se on samanlainen kuin suora viiva. Fraktaalien kohdalla mittakaavan lisäys ei johda hahmon rakenteen yksinkertaistamiseen, ja kaikissa mittakaavaissa näemme tasaisen monimutkaisen kuvan.
Luonnossa monilla esineillä on fraktaaliominaisuuksia, esimerkiksi: puiden kruunut, kukkakaali, pilvet, ihmisten ja eläinten verenkierto- ja keuhkorakkulaarit, kiteet, lumihiutaleet, joiden elementit on järjestetty yhdeksi monimutkaiseksi rakenteeksi, rannikot (fraktaalikonsepti sallittu tutkijat mittaamaan Brittein saarten rannikkoa ja muita aiemmin mittaamattomia kohteita).
Katsotaanpa kukkakaalin rakennetta. Jos leikkaat yhden kukan, on selvää, että sama kukkakaali jää käsiisi, vain pienempänä. Voimme jatkaa leikkaamista uudestaan ja uudestaan, jopa mikroskoopin alla - mutta saamme vain pieniä kopioita kukkakaalista. Tässä yksinkertaisimmassa tapauksessa jopa pieni osa fraktaaleja sisältää tietoa koko lopullisesta rakenteesta.
Silmiinpistävä esimerkki fraktaalista luonnossa on "Romanescu", joka tunnetaan myös nimellä "Romanescu-parsakaali" tai "korallikukkakaali". Ensimmäinen maininta tästä eksoottisesta vihanneksesta juontaa juurensa Italiaan 1500-luvulta. Tämän kaalin silmut kasvavat logaritmisessa spiraalissa. 3D-taiteilijat, suunnittelijat ja kokit eivät lakkaa ihailemasta häntä. Lisäksi viimeksi mainitut arvostavat vihannesta erityisesti sen hienostunemman maun (makea ja pähkinäinen, ei rikkimäinen), mitä kaalilla voi olla, ja sen vuoksi, että se on vähemmän murenevaa kuin tavallinen kukkakaali. Lisäksi roomalainen parsakaali sisältää runsaasti C-vitamiinia, antioksidantteja ja karotenoideja.
Fraktaalit digitaalitekniikassa
Fraktaaligeometria on antanut korvaamattoman panoksen uusien teknologioiden kehittämiseen digitaalisen musiikin alalla ja mahdollistanut myös digitaalisten kuvien pakkaamisen. Nykyiset fraktaalikuvan pakkausalgoritmit perustuvat periaatteeseen tallentaa pakattu kuva itse digitaalisen kuvan sijaan. Pakatun kuvan kohdalla pääkuva pysyy kiinteänä pisteenä. Microsoft käytti yhtä tämän algoritmin muunnelmista julkaiseessaan tietosanakirjaansa, mutta syystä tai toisesta tätä ideaa ei käytetty laajalti.
Järjestelmä käyttää IP-osoitteiden määrittämisessä tiedon fraktaalipakkauksen periaatetta verkkosolmujen ”Netsukuku” tiedon kompaktiin tallentamiseen. Jokainen solmu tallentaa 4 kilotavua tietoa naapurisolmujen tilasta. Mikä tahansa uusi solmu muodostaa yhteyden yleiseen Internetiin ilman, että IP-osoitteiden jakelun keskussäätelyä tarvitaan. Voidaan päätellä, että tiedon fraktaalipakkauksen periaate varmistaa koko verkon hajautetun toiminnan ja siksi työ siinä etenee mahdollisimman vakaasti.
Fraktaaleja käytetään laajalti tietokonegrafiikassa - kun rakennetaan kuvia puista, pensaista, merenpinnoista, vuoristomaisemista ja muista luonnon esineistä. Fraktaaligrafiikan ansiosta keksittiin tehokas tapa toteuttaa monimutkaisia ei-euklidisia objekteja, joiden kuvat ovat samankaltaisia kuin luonnolliset: nämä ovat fraktaalikertoimien syntetisointialgoritmeja, jotka mahdollistavat kopioinnin mistä tahansa kuvasta mahdollisimman lähellä kuvaa. alkuperäinen. Mielenkiintoista on, että fraktaalimaalauksen lisäksi on myös fraktaalimusiikkia ja fraktaalianimaatiota. Taiteessa on suunta, joka käsittelee kuvan saamista satunnaisesta fraktaalista - "fraktaalimonotyyppi" tai "stochatypy".
Fraktaaligrafiikan matemaattinen perusta on fraktaaligeometria, jossa alkuperäisistä ”emoobjekteista” periytymisen periaate on perusta ”perillisten kuvien” rakentamismenetelmille. Fraktaaligeometrian ja fraktaaligrafiikan käsitteet ilmestyivät vasta noin 30 vuotta sitten, mutta ne ovat jo vakiintuneet tietokonesuunnittelijoiden ja matemaatikoiden jokapäiväiseen elämään.
Fraktaalitietokonegrafiikan peruskäsitteet ovat:
- Fraktaalikolmio - fraktaalihahmo - fraktaaliobjekti (hierarkia laskevassa järjestyksessä)
- Fraktaaliviiva
- Fraktaalikoostumus
- "emoobjekti" ja "seuraajaobjekti"
Kuinka rakentaa fraktaali?
Fraktaalien luoja on yhtä aikaa taiteilija, valokuvaaja, kuvanveistäjä ja tiedemies-keksijä. Mitkä ovat seuraavat vaiheet piirustuksen luomisessa tyhjästä?
- aseta piirustuksen muoto matemaattisen kaavan avulla
- tutkia prosessin konvergenssia ja muuttaa sen parametreja
- valitse kuvatyyppi
- valitse väripaletti
Fraktaaligrafiikkaeditoreista ja muista graafisista ohjelmista voimme korostaa:
"Taideharrastaja"
"Maalaaja" (ilman tietokonetta yksikään taiteilija ei koskaan saavuta ohjelmoijien määrittämiä ominaisuuksia vain kynän ja siveltimen avulla)
"Adobe Photoshop" (mutta tässä kuvaa ei luoda "tyhjästä", vaan yleensä vain käsitellään)
Luonto on täydellinen luomus, ovat tutkijat vakuuttuneita, jotka löytävät kultaisen leikkauksen mittasuhteet ihmiskehon rakenteesta ja fraktaalihahmot kukkakaalin päässä.
"Luonnon tutkiminen ja tarkkailu synnytti tieteen", kirjoitti Cicero ensimmäisellä vuosisadalla eKr. Myöhemmin, tieteen kehittyessä ja sen etäisyydellä luonnontutkimuksesta, tiedemiehet ovat yllättyneitä havaitessaan sen, mitä esi-isämme tiesivät, mutta joita ei vahvistettu tieteellisillä menetelmillä.
On mielenkiintoista löytää samanlaisia muodostumia mikro- ja makrokosmuksesta, ja voi myös olla inspiroivaa, että tiede pystyy kuvaamaan näiden muodostumien geometriaa. Verenkiertojärjestelmä, joki, salama, puiden oksat... kaikki nämä ovat samanlaisia järjestelmiä, jotka koostuvat erilaisista hiukkasista ja eri mittakaavassa.
"kultaisen suhteen" suhteet
Jopa muinaiset kreikkalaiset ja mahdollisesti egyptiläiset tiesivät "kultaisen leikkauksen" osuuden. Luca Pacioli, renessanssin matemaatikko, kutsui tätä suhdetta "jumalalliseksi suhteeksi". Myöhemmin tiedemiehet havaitsivat, että kultaista leikkausta, joka miellyttää ihmissilmää ja jota usein esiintyy klassisessa arkkitehtuurissa, taiteessa ja jopa runoudessa, löytyy kaikkialta luonnosta.
Kultainen leikkaus on segmentin jakamista kahteen epätasa-arvoiseen osaan, jossa lyhyt osa liittyy pitkään ja pitkä osa koko segmenttiin. Pitkän osan suhde koko segmenttiin on ääretön luku, irrationaalinen murtoluku 0,618..., lyhyen osan suhde on 0,382...
Jos rakennat suorakulmion, jonka sivujen suhde on yhtä suuri kuin "kultaisen suhteen" osuus, ja kirjoitat siihen toisen "kultaisen suorakulmion", toisen siihen ja niin edelleen loputtomasti sisään- ja ulospäin, niin spiraali voi piirretään suorakulmioiden kulmapisteitä pitkin. On mielenkiintoista, että tällainen spiraali osuu yhteen nautilus-kuoren leikkauksen sekä muiden luonnossa olevien spiraalien kanssa.
Kuva: Homk/wikipedia.org
Nautilus-fossiili.
Kuva: Studio-Annika/Photos.com
Nautilus-kuori.
Kuva: Chris 73/en.wikipedia.org
Kultaisen leikkauksen osuuden ihmissilmä näkee kauniina ja harmonisena. Ja suhde 0,618... on yhtä suuri kuin Fibonacci-sarjan edellisen ja seuraavan luvun suhde. Fibonacci-lukuja esiintyy kaikkialla luonnossa: tämä on spiraali, jota pitkin kasvin oksat rajoittuvat varteen, kierre, jota pitkin käpyn suomu kasvaa tai auringonkukan jyvät. Mielenkiintoista on, että vastapäivään ja myötäpäivään pyörivien rivien lukumäärä on vierekkäinen Fibonacci-sarjan numero.
Parsakaalikaalin pää ja oinaan sarvi kiertelee kierteellä... Ja ihmiskehossa itsessään tietysti terve ja mittasuhteiltaan normaalit kultaisen leikkauksen suhteet.
Vitruvian mies. Piirustus Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ovat Fibonacci-sarjan lukuja, joissa jokainen seuraava termi saadaan kahden edellisen summasta. Myös satelliittien kuvaamat kaukaiset spiraaligalaksit pyörivät Fibonacci-spiraaleina.
Spiraaligalaksi.
Valokuva: NASA
Kolme trooppista syklonia.
Valokuva: NASA
DNA-molekyyli on kierretty kaksoiskierteeksi.
Kierretty ihmisen DNA.
Kuva: Zephyris/en.wikipedia.org
Hurrikaani kiertyy spiraalina, hämähäkki kutoo verkkoaan spiraaliksi.
Ristihämähäkin verkko.
Kuva: Vincent de Groot/videgro.net
"Kultainen osuus" näkyy myös perhosen ruumiinrakenteessa, suhteessa sen vartalon rinta- ja vatsaosiin, sekä sudenkorennossa. Ja useimmat munat sopivat, jos ei kultaisen leikkauksen suorakulmioon, niin sen johdannaiseen.
Kuvitus: Adolphe Millot
Fraktaaleja
Muita mielenkiintoisia muotoja, joita voimme nähdä kaikkialla luonnossa, ovat fraktaalit. Fraktaalit ovat osista koostuvia hahmoja, joista jokainen on samanlainen kuin koko hahmo – eikö tämä muistuta sinua kultaisen leikkauksen periaatteesta?
Puut, salama, keuhkoputket ja ihmisen verenkiertoelimet ovat fraktaalimuotoisia, saniaisia ja parsakaalia kutsutaan myös ihanteellisiksi luonnollisiksi fraktaalikuviksi. ”Kaikki on niin monimutkaista, kaikki on niin yksinkertaista” näin luonto toimii, ihmiset huomaavat, kuuntelevat sitä kunnioittavasti.
"Luonto on antanut ihmiselle halun löytää totuus", kirjoitti Cicero, jonka sanoin haluaisin lopettaa artikkelin ensimmäisen osan geometriasta luonnossa.
Parsakaali on täydellinen luonnollinen esimerkki fraktaalista.
Kuva: pdphoto.org
Saniaisen lehdet ovat fraktaalihahmon muotoisia - ne ovat itsensäkaltaisia.
Kuva: Stockbyte/Photos.com
Vihreät fraktaalit: saniaisten lehdet.
Kuva: John Foxx/Photos.com
Suonet kellastuneella lehdellä, fraktaalin muotoisia.
Kuva: Diego Barucco/Photos.com
Halkeamia kivessä: fraktaali makrossa.
Kuva: Bob Beale/Photos.com
Verenkiertojärjestelmän oksat kanin korvissa.
Kuva: Lusoimages/Photos.com
Salamanisku - fraktaali haara.
Kuva: John R. Southern/flickr.com
Valtimoiden haara ihmiskehossa.
Mutkainen joki ja sen oksat.
Kuva: Jupiterimages/Photos.com
Lasille jäädytetyllä jäällä on samanlainen kuvio.
Kuva: Schnobby/en.wikipedia.org
Murattilehti, jossa on haarautuvia suonet - fraktaalimuotoinen.
Kuva: Wojciech Plonka/Photos.com
Kuinka fraktaali löydettiin
Fraktaaleina tunnetut matemaattiset muodot ovat peräisin maineikkaan tiedemiehen Benoit Mandelbrotin neroudelta. Suurimman osan elämästään hän opetti matematiikkaa Yalen yliopistossa Yhdysvalloissa. Vuosina 1977 - 1982 Mandelbrot julkaisi "fraktaaligeometrian" tai "luonnon geometrian" tutkimukselle omistettuja tieteellisiä teoksia, joissa hän hajotti näennäisesti satunnaisia matemaattisia muotoja komponenttielementeiksi, jotka lähemmin tarkasteltuna osoittautuivat toistuviksi - mikä osoitti tietyn mallin olemassaolon kopioimista varten. Mandelbrotin löydöllä oli merkittäviä seurauksia fysiikan, tähtitieteen ja biologian kehityksessä.
Fraktaaleja luonnossa
Luonnossa monilla esineillä on fraktaaliominaisuuksia, esimerkiksi: puiden kruunut, kukkakaali, pilvet, ihmisten ja eläinten verenkierto- ja keuhkorakkulaarit, kiteet, lumihiutaleet, joiden elementit on järjestetty yhdeksi monimutkaiseksi rakenteeksi, rannikot (fraktaalikonsepti sallittu tutkijat mittaamaan Brittein saarten rannikkoa ja muita aiemmin mittaamattomia kohteita).
Katsotaanpa kukkakaalin rakennetta. Jos leikkaat yhden kukan, on selvää, että sama kukkakaali jää käsiisi, vain pienempänä. Voimme jatkaa leikkaamista uudestaan ja uudestaan, jopa mikroskoopin alla - mutta saamme vain pieniä kopioita kukkakaalista. Tässä yksinkertaisimmassa tapauksessa jopa pieni osa fraktaaleja sisältää tietoa koko lopullisesta rakenteesta.
Fraktaalit digitaalitekniikassa
Fraktaaligeometria on antanut korvaamattoman panoksen uusien teknologioiden kehittämiseen digitaalisen musiikin alalla ja mahdollistanut myös digitaalisten kuvien pakkaamisen. Nykyiset fraktaalikuvan pakkausalgoritmit perustuvat periaatteeseen tallentaa pakattu kuva itse digitaalisen kuvan sijaan. Pakatun kuvan kohdalla pääkuva pysyy kiinteänä pisteenä. Microsoft käytti yhtä tämän algoritmin muunnelmista julkaiseessaan tietosanakirjaansa, mutta syystä tai toisesta tätä ideaa ei käytetty laajalti.
Fraktaaligrafiikan matemaattinen perusta on fraktaaligeometria, jossa alkuperäisistä ”emoobjekteista” periytymisen periaate on perusta ”perillisten kuvien” rakentamismenetelmille. Fraktaaligeometrian ja fraktaaligrafiikan käsitteet ilmestyivät vasta noin 30 vuotta sitten, mutta ne ovat jo vakiintuneet tietokonesuunnittelijoiden ja matemaatikoiden jokapäiväiseen elämään.
Fraktaalitietokonegrafiikan peruskäsitteet ovat:
- Fraktaalikolmio - fraktaalihahmo - fraktaaliobjekti (hierarkia laskevassa järjestyksessä)
- Fraktaaliviiva
- Fraktaalikoostumus
- "emoobjekti" ja "seuraajaobjekti"
Aivan kuten vektori- ja kolmiulotteisessa grafiikassa, myös fraktaalikuvien luominen lasketaan matemaattisesti. Suurin ero kahdesta ensimmäisestä grafiikkatyypistä on se, että fraktaalikuva rakennetaan yhtälön tai yhtälöjärjestelmän mukaan – sinun ei tarvitse tallentaa tietokoneen muistiin mitään muuta kuin kaavan suorittaaksesi kaikki laskutoimitukset – ja tämä Matemaattisen laitteen kompaktisuus mahdollisti tämän idean käytön tietokonegrafiikassa. Yksinkertaisesti muuttamalla yhtälön kertoimia saat helposti täysin erilaisen fraktaalikuvan - käyttämällä useita matemaattisia kertoimia, määritetään erittäin monimutkaisten muotojen pinnat ja viivat, jonka avulla voit toteuttaa sommittelutekniikoita, kuten vaaka- ja pystysuorat, symmetria ja epäsymmetria. , diagonaalisuunnat ja paljon muuta.
Kuinka rakentaa fraktaali?
Fraktaalien luoja on yhtä aikaa taiteilija, valokuvaaja, kuvanveistäjä ja tiedemies-keksijä. Mitkä ovat seuraavat vaiheet piirustuksen luomisessa tyhjästä?
- aseta piirustuksen muoto matemaattisen kaavan avulla
- tutkia prosessin konvergenssia ja muuttaa sen parametreja
- valitse kuvatyyppi
- valitse väripaletti
Fraktaaligrafiikkaeditoreista ja muista graafisista ohjelmista voimme korostaa:
- "Taideharrastaja"
- "Maalaaja" (ilman tietokonetta yksikään taiteilija ei koskaan saavuta ohjelmoijien määrittämiä ominaisuuksia vain kynän ja siveltimen avulla)
- "Adobe Photoshop" (mutta tässä kuvaa ei luoda "tyhjästä", vaan yleensä vain käsitellään)
Tarkastellaan mielivaltaisen geometrisen fraktaalikuvion rakennetta. Sen keskellä on yksinkertaisin elementti - tasasivuinen kolmio, joka sai saman nimen: "fraktaali". Sivujen keskisegmentille rakennetaan tasasivuiset kolmiot, joiden sivu on yhtä kuin kolmasosa alkuperäisen fraktaalikolmion sivusta. Samalla periaatteella rakennetaan vielä pienempiä toisen sukupolven seuraajakolmioita - ja niin edelleen loputtomiin. Tuloksena olevaa objektia kutsutaan "fraktaalihahmoksi", jonka sekvensseistä saadaan "fraktaalikoostumus".
Lähde: http://www.iknowit.ru/
Fraktaaleja ja muinaisia mandalaja
Periaatteessa mandala on monimutkaisen rakenteen geometrinen symboli, joka tulkitaan maailmankaikkeuden malliksi, "kosmoksen kartaksi". Tämä on ensimmäinen merkki fraktaalisuudesta!
Ne on brodeerattu kankaalle, maalattu hiekkaan, valmistettu värillisillä jauheilla ja valmistettu metallista, kivestä, puusta. Sen kirkas ja lumoava ulkonäkö tekee siitä kauniin koristeen Intian temppelien lattioihin, seiniin ja kattoihin. Muinaisessa intiaanikielessä "mandala" tarkoittaa maailmankaikkeuden henkisten ja aineellisten energioiden välisen suhteen mystistä kehää tai toisin sanoen elämän kukkaa.
Halusin kirjoittaa erittäin lyhyen katsauksen fraktaalimandaloista, jossa on mahdollisimman vähän kappaleita, mikä osoittaa, että suhde on selvästi olemassa. Yrittäessäni ymmärtää ja yhdistää fraktaaleja ja mandaloja koskevaa tietoa yhdeksi kokonaisuudeksi, minulla oli kuitenkin kvanttihypyn tunne minulle tuntemattomaan tilaan.
Havainnollistan tämän aiheen äärettömyyttä lainauksella: "Tällaisia fraktaalikoostumuksia tai mandalaja voidaan käyttää maalausten, asuin- ja työtilojen sisustuselementtien, puettavien amulettien, videonauhojen, tietokoneohjelmien muodossa..." Yleisesti ottaen fraktaalien tutkimuksen aihe on yksinkertaisesti valtava.
Yksi asia, jonka voin sanoa varmasti, on, että maailma on paljon monimuotoisempi ja rikkaampi kuin huonot käsityksemme siitä.
Fraktaalimeren eläimet
Arvaukseni fraktaalimeren eläimistä eivät olleet perusteettomia. Tässä ensimmäiset edustajat. Mustekala on pohjassa asuva merieläin pääjalkaisten luokkaan.
Tätä kuvaa katsoessani sen ruumiin fraktaalirakenne ja tämän eläimen kahdeksassa lonkerossa olevat imevät tulivat minulle ilmeisiksi. Imevien määrä aikuisen mustekalan lonkeroissa on jopa 2000.
Mielenkiintoinen tosiasia on, että mustekalalla on kolme sydäntä: yksi (pääasiallinen) ajaa sinistä verta koko kehoon ja kaksi muuta - kidukset - työntävät verta kidusten läpi. Jotkut näistä syvänmeren fraktaalityypeistä ovat myrkyllisiä.
Sopeutumalla ja naamioimalla itsensä ympäristöönsä mustekalalla on erittäin hyödyllinen kyky muuttaa väriä.
Mustekaloja pidetään "älykkäimpinä" kaikista selkärangattomista. He oppivat tuntemaan ihmisiä ja tottumaan niihin, jotka ruokkivat heitä. Olisi mielenkiintoista katsoa mustekaloja, joita on helppo kouluttaa, joilla on hyvä muisti ja jotka tunnistavat jopa geometrisia muotoja. Mutta näiden fraktaalieläinten elinikä on lyhyt - enintään 4 vuotta.
Ihminen käyttää tämän elävän fraktaalin ja muiden pääjalkaisten mustetta. Ne ovat taiteilijoiden haluttuja kestävyyden ja kauniin ruskean sävyn vuoksi. Välimerellisessä keittiössä mustekala on B3-, B12-vitamiinien, kaliumin, fosforin ja seleenin lähde. Mutta mielestäni sinun täytyy osata keittää nämä merifraktaalit, jotta voit nauttia niiden syömisestä ruoana.
Muuten, on huomattava, että mustekalat ovat saalistajia. Fraktaalilonkeroillaan ne pitävät saaliista nilviäisten, äyriäisten ja kalojen muodossa. On sääli, jos näin kauniista nilviäisestä tulee näiden merifraktaalien ruokaa. Mielestäni hän on myös tyypillinen merivaltakunnan fraktaalien edustaja.
Tämä on etanoiden sukulainen, gastropod nudibranch mollusk Glaucus, joka tunnetaan myös nimellä Glaucus, joka tunnetaan myös nimellä Glaucus atlanticus, joka tunnetaan myös nimellä Glaucilla marginata. Tämä fraktaali on myös epätavallinen siinä mielessä, että se elää ja liikkuu veden pinnan alla pintajännityksen pitämänä paikallaan. Koska nilviäinen on hermafrodiitti, ja pariutumisen jälkeen molemmat "kumppanit" munivat. Tämä fraktaali löytyy kaikista trooppisen vyöhykkeen valtameristä.
Meren valtakunnan fraktaalit
Jokainen meistä ainakin kerran elämässään piti käsissään simpukkaa ja tutki sitä aidolla lapsellisella mielenkiinnolla.
Yleensä simpukat ovat kaunis matkamuisto, joka muistuttaa matkaa merelle. Kun tarkastellaan tätä selkärangattomien nilviäisten spiraalimuodostusta, ei ole epäilystäkään sen fraktaaliluonteesta.
Me ihmiset olemme jokseenkin näiden pehmeärunkoisten nilviäisten kaltaisia, asumme hyvin varustetuissa betonifraktaalitaloissa, sijoittelemme ja liikuttelemme kehoamme nopeissa autoissa.
Toinen tyypillinen vedenalaisen fraktaalimaailman edustaja on koralli.
Luonnossa tunnetaan yli 3500 korallilajiketta, joiden paletissa on jopa 350 värisävyä.
Koralli on luurankomateriaali korallipolyyppipesäkkeestä, joka kuuluu myös selkärangattomien perheeseen. Niiden valtavat kasaumat muodostavat kokonaisia koralliriuttoja, joiden fraktaalimuodostusmenetelmä on ilmeinen.
Korallia voidaan täysin luottavaisesti kutsua fraktaaliksi meren valtakunnasta.
Ihmiset käyttävät sitä myös matkamuistona tai korujen ja koristeiden raaka-aineena. Mutta fraktaaliluonnon kauneutta ja täydellisyyttä on hyvin vaikea jäljitellä.
Jälleen kerran suorittaessani rituaalin keittiössä veitsellä ja leikkuulaudalla, ja sitten kastamalla veitsen kylmään veteen, olin kyynelissä ja taas keksin kuinka käsitellä kyynelfraktaalia, joka ilmestyy silmieni eteen melkein joka päivä .
Fraktaalisuuden periaate on sama kuin kuuluisalla pesimänukkella - pesiminen. Tästä syystä fraktaalisuutta ei heti huomata. Lisäksi vaalea, yhtenäinen väri ja sen luonnollinen kyky aiheuttaa epämiellyttäviä tuntemuksia eivät edistä universumin tarkkaa havainnointia ja fraktaalimatemaattisten kuvioiden tunnistamista.
Mutta lilanvärinen salaattisipuli sen värin ja kyyneleitä tuottavien fytonsidien puuttumisen vuoksi sai minut ajattelemaan tämän vihanneksen luonnollista fraktaalisuutta. Tietenkin se on yksinkertainen fraktaali, tavallinen halkaisijaltaan erilainen ympyrä, voisi jopa sanoa alkeellisin fraktaali. Mutta ei haittaisi muistaa, että palloa pidetään ihanteellisena geometrisena hahmona universumissamme.
Internetissä on julkaistu monia artikkeleita sipulin hyödyllisistä ominaisuuksista, mutta jotenkin kukaan ei ole yrittänyt tutkia tätä luonnollista näytettä fraktaaliuden näkökulmasta. Voin vain todeta fraktaalin käytön sipulin muodossa keittiössäni.
P.S. Olen jo ostanut vihannesleikkurin fraktaalien pilkkomiseen. Nyt on mietittävä, kuinka fraktaali on sellainen terveellinen vihannes kuin tavallinen valkokaali. Sama pesintäperiaate.
Fraktaalit kansantaiteessa
Tarina maailmankuulusta Matryoshka-lelusta kiinnitti huomioni. Tarkemmin tarkasteltuna voimme varmuudella sanoa, että tämä matkamuistolelu on tyypillinen fraktaali.
Fraktaalisuuden periaate on ilmeinen, kun kaikki puulelun hahmot ovat rivissä, eivätkä ne ole sisäkkäin.
Pieni tutkimukseni tämän lelufraktaalin maailmanmarkkinoille ilmestymisen historiasta osoitti, että tämän kauneuden juuret ovat japanilaisia. Matryoshka-nukkea on aina pidetty alkuperäisenä venäläisenä matkamuistona. Mutta kävi ilmi, että hän oli vanhan viisaan Fukuruman japanilaisen hahmon prototyyppi, joka tuotiin kerran Moskovaan Japanista.
Mutta venäläinen leluteollisuus toi tälle japanilaiselle hahmolle maailmankuulun. Mistä ajatus lelun fraktaalipesäkkeestä syntyi, on minulle henkilökohtaisesti mysteeri. Todennäköisesti tämän lelun kirjoittaja käytti periaatetta pesittää hahmot toistensa sisällä. Ja helpoin tapa sijoittaa on samanlaiset erikokoiset hahmot, ja tämä on jo fraktaali.
Yhtä mielenkiintoinen tutkimuskohde on fraktaalilelun maalaus. Tämä on koristeellinen maalaus - Khokhloma. Khokhloman perinteisiä elementtejä ovat kukkien, marjojen ja oksien yrttikuviot.
Jälleen kaikki merkit fraktaalisuudesta. Loppujen lopuksi sama elementti voidaan toistaa useita kertoja eri versioissa ja suhteissa. Tuloksena on kansanmusiikki fraktaalimaalaus.
Ja jos et yllätä ketään uudenaikaisella tietokonehiirten, kannettavien kansien ja puhelimien maalauksella, niin auton fraktaaliviritys kansantyyliin on jotain uutta autosuunnittelussa. Voidaan vain hämmästyä fraktaalien maailman ilmenemistä elämässämme niin epätavallisella tavalla meille niin arkisissa asioissa.
Fraktaaleja keittiössä
Tyypillinen kasvimaailman fraktaalin edustaja oli keittiön pöydälläni.
Kaikesta rakkaudestani kukkakaalia kohtaan törmäsin aina yksilöihin, joilla oli tasainen pinta ilman näkyviä merkkejä fraktaalisuudesta, eikä edes suuri määrä toistensa sisällä sisäkkäisiä kukintoja antanut minulle syytä nähdä fraktaalia tässä hyödyllisessä kasviksessa.
Mutta tämän nimenomaisen näytteen pinta selkeästi määritellyllä fraktaaligeometrialla ei jättänyt pienintäkään epäilystä tämän tyyppisen kaalin fraktaalialkuperästä.
Toinen käynti hypermarketissa vain vahvisti kaalin fraktaalistatuksen. Valtavan määrän eksoottisten vihannesten joukossa oli kokonainen laatikko fraktaaleja. Se oli Romanescu tai romaaninen parsakaali, kukkakaali.
Osoittautuu, että suunnittelijat ja 3D-taiteilijat ihailevat sen eksoottisia fraktaalimaisia muotoja.
Kaalin silmut kasvavat logaritmisessa spiraalissa. Ensimmäinen maininta Romanescu-kaalista tuli Italiasta 1500-luvulla.
Ja parsakaali ei ole usein vieras ruokavaliossani, vaikka se onkin ravintoaine- ja hivenainepitoisuudeltaan monta kertaa parempi kuin kukkakaali. Mutta sen pinta ja muoto ovat niin yhtenäiset, ettei minulle koskaan tullut mieleen nähdä siinä kasvisfraktaalia.
Fraktaaleja quillingissä
Nähtyäni harjakattoisia käsitöitä quilling-tekniikalla en koskaan menettänyt tunnetta, että ne muistuttaisivat minua jostain. Samojen elementtien toistaminen eri kokoisina on tietysti fraktaallisuuden periaate.
Kun katsoin toisen mestarikurssin quillingistä, ei ollut enää epäilystäkään quillingin fraktaaliluonteesta. Loppujen lopuksi erilaisten elementtien valmistamiseksi quilling-käsityötä varten käytetään erityistä viivainta, jossa on eri halkaisijaltaan olevia ympyröitä. Huolimatta tuotteiden kauneudesta ja ainutlaatuisuudesta, tämä on uskomattoman yksinkertainen tekniikka.
Lähes kaikki quilling-käsityön pääelementit on valmistettu paperista. Jos haluat hankkia ilmaista quilling-paperia, katso kirjahyllyjäsi kotona. Varmasti löydät sieltä pari kirkasta kiiltävää aikakauslehteä.
Quilling-työkalut ovat yksinkertaisia ja edullisia. Kaikki mitä tarvitset amatööriquilling-työhön, löytyy kotipaperitarvikkeistasi.
Ja quillingin historia alkaa 1700-luvulla Euroopassa. Renessanssin aikana ranskalaisten ja italialaisten luostareiden munkit käyttivät quillingiä koristellakseen kirjojen kansia eivätkä olleet edes tietoisia keksimänsä paperinrullaustekniikan fraktaaliluonteesta. Tytöt korkeasta seurasta osallistuivat jopa quilling-kursseihin erityiskouluissa. Näin tämä tekniikka alkoi levitä eri maissa ja mantereilla.
Tätä videoquilling-mestarikurssia ylellisen höyhenpuvun tekemisestä voidaan jopa kutsua "tee-se-itse-fraktaaleiksi". Paperifraktaalien avulla saadaan upeita eksklusiivisia ystävänpäiväkortteja ja monia muita mielenkiintoisia asioita. Loppujen lopuksi fantasia, kuten luonto, on ehtymätön.
Ei ole mikään salaisuus, että japanilaiset ovat elämässään hyvin rajallisia, ja siksi heidän täytyy yrittää parhaansa käyttääkseen sitä tehokkaasti. Takeshi Miyakawa näyttää, kuinka tämä voidaan tehdä sekä tehokkaasti että esteettisesti. Hänen fraktaalikaappinsa vahvistaa, että fraktaalien käyttö suunnittelussa ei ole vain kunnianosoitus muodille, vaan myös harmoninen suunnitteluratkaisu rajallisen tilan olosuhteissa.
Tämä esimerkki fraktaalien käyttämisestä tosielämässä huonekalusuunnittelun yhteydessä osoitti minulle, että fraktaalit eivät ole todellisia vain paperilla matemaattisissa kaavoissa ja tietokoneohjelmissa.
Ja näyttää siltä, että luonto käyttää fraktaalisuuden periaatetta kaikkialla. Sinun tarvitsee vain tarkastella sitä lähemmin, ja se ilmenee kaikessa upeassa runsaudessaan ja olemisen äärettömyydessä.
