Oppitunti ja esitys aiheesta: "Numerosekvenssit. Geometrinen eteneminen"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusapuvälineet ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa 9. luokalle
Potenssit ja juuret Funktiot ja graafit

Kaverit, tänään tutustumme toisenlaiseen etenemiseen.
Tämän päivän oppitunnin aiheena on geometrinen eteneminen.

Geometrinen eteneminen

Määritelmä. Numeerista sarjaa, jossa jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja jonkin kiinteän luvun tulo, kutsutaan geometriseksi progressioksi.
Määritetään sekvenssimme rekursiivisesti: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
missä b ja q ovat tiettyjä annettuja lukuja. Lukua q kutsutaan etenemisen nimittäjäksi.

Esimerkki. 1,2,4,8,16... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin yksi ja $q=2$.

Esimerkki. 8,8,8,8... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on yhtä kuin kahdeksan,
ja $q=1$.

Esimerkki. 3,-3,3,-3,3... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kolme,
ja $q=-1$.

Geometrisellä progressiolla on monotonisuuden ominaisuuksia.
Jos $b_(1)>0$, $q>1$,
sitten järjestys kasvaa.
Jos $b_(1)>0 $, $0 Sarja merkitään yleensä muodossa: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kuten aritmeettisessa etenemisessä, jos geometrisessa progressiossa alkioiden lukumäärä on äärellinen, niin progressiota kutsutaan äärelliseksi geometriseksi etenemiseksi.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Huomaa, että jos jono on geometrinen progressio, myös termien neliöiden sarja on geometrinen progressio. Toisessa sekvenssissä ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin $b_(1)^2$ ja nimittäjä on yhtä suuri kuin $q^2$.

Kaava geometrisen progression n:nnelle termille

Geometrinen eteneminen voidaan määrittää myös analyyttisessä muodossa. Katsotaanpa, miten tämä tehdään:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Huomaamme helposti kuvion: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Kaavaamme kutsutaan "geometrisen etenemisen n:nnen termin kaavaksi".

Palataan esimerkkeihimme.

Esimerkki. 1,2,4,8,16... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin yksi,
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Esimerkki. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on kuusitoista ja $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Esimerkki. 8,8,8,8... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on kahdeksan ja $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Esimerkki. 3,-3,3,-3,3... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on kolme ja $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Esimerkki. Annettu geometrinen progressio $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Tiedetään, että $b_(1)=6, q=3$. Etsi $b_(5)$.
b) Tiedetään, että $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Etsi n.
c) Tiedetään, että $q=-2, b_(6)=96$. Etsi $b_(1)$.
d) Tiedetään, että $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Etsi q.

Ratkaisu.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, koska $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Esimerkki. Geometrisen progression seitsemännen ja viidennen jäsenen ero on 192, jakson viidennen ja kuudennen jäsenen summa on 192. Etsi tämän etenemisen kymmenes termi.

Ratkaisu.
Tiedämme, että $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiedämme myös: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Sitten:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saimme yhtälöjärjestelmän:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Yhtälöimällä yhtälömme saamme:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saimme kaksi ratkaisua q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Korvaa peräkkäin toinen yhtälö:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ei ratkaisuja.
Saimme sen: $b_(1)=4, q=2$.
Etsitään kymmenes termi: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Äärellisen geometrisen progression summa

Otetaanpa äärellinen geometrinen progressio. Lasketaan, aivan kuten aritmeettiselle progressiolle, sen termien summa.

Olkoon äärellinen geometrinen progressio: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Otetaan käyttöön nimitys sen termien summalle: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Siinä tapauksessa, kun $q=1$. Kaikki geometrisen progression termit ovat yhtä suuria kuin ensimmäinen termi, jolloin on selvää, että $S_(n)=n*b_(1)$.
Tarkastellaan nyt tapausta $q≠1$.
Kerrotaan yllä oleva summa q:lla.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Huomautus:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Olemme saaneet äärellisen geometrisen progression summan kaavan.

Esimerkki.
Etsi geometrisen progression seitsemän ensimmäisen termin summa, jonka ensimmäinen termi on 4 ja nimittäjä 3.

Ratkaisu.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Esimerkki.
Etsi geometrisen etenemisen viides termi, joka tunnetaan: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Ratkaisu.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1) = 1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrisen etenemisen tunnusomainen ominaisuus

Kaverit, geometrinen progressio on annettu. Katsotaanpa sen kolmea peräkkäistä jäsentä: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Tiedämme sen:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Sitten:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jos eteneminen on äärellinen, tämä yhtäläisyys pätee kaikkiin termeihin paitsi ensimmäistä ja viimeistä.
Jos ei ole etukäteen tiedossa, minkä muotoinen sekvenssi on, mutta tiedetään, että: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Sitten voimme turvallisesti sanoa, että tämä on geometrinen eteneminen.

Numerosarja on geometrinen progressio vain, kun kunkin jäsenen neliö on yhtä suuri kuin progression kahden vierekkäisen jäsenen tulo. Älä unohda, että äärelliselle etenemiselle tämä ehto ei täyty ensimmäisellä ja viimeisellä termillä.

Katsotaanpa tätä identiteettiä: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ kutsutaan lukujen a ja b geometriseksi keskiarvoksi.

Geometrisen etenemisen minkä tahansa termin moduuli on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen termin geometrinen keskiarvo.

Esimerkki.
Etsi x sellainen, että $x+2; 2x+2; 3x+3$ olivat geometrisen progression kolme peräkkäistä termiä.

Ratkaisu.
Käytetään ominaisuutta:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Korvataan ratkaisumme peräkkäin alkuperäiseen lausekkeeseen:
Kun $x=2$, saimme sekvenssin: 4;6;9 – geometrinen progressio, jossa $q=1.5$.
Jos $x=-1$, saamme sekvenssin: 1;0;0.
Vastaus: $x=2.$

Ongelmia ratkaista itsenäisesti

1. Etsi geometrisen progression 16;-8;4;-2… kahdeksas ensimmäinen termi.
2. Etsi geometrisen progression 11,22,44… kymmenes termi.
3. Tiedetään, että $b_(1)=5, q=3$. Etsi $b_(7)$.
4. Tiedetään, että $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Etsi n.
5. Laske geometrisen progression 3;12;48… 11 ensimmäisen termin summa.
6. Etsi x sellainen, että $3x+4; 2x+4; x+5$ ovat geometrisen progression kolme peräkkäistä termiä.

Geometrinen progressio on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on nollasta poikkeava ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Geometrisen etenemisen käsite

Geometrinen eteneminen on merkitty b1,b2,b3, …, bn, ….

Geometrisen virheen minkä tahansa termin suhde sen edelliseen termiin on sama luku, eli b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Tämä seuraa suoraan aritmeettisen progression määritelmästä. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi. Yleensä geometrisen progression nimittäjä merkitään kirjaimella q.

Äärettömän geometrisen progression summa |q|:lle<1

Yksi tapa määrittää geometrinen progressio on määrittää sen ensimmäinen termi b1 ja geometrisen virheen q nimittäjä. Esimerkiksi b1=4, q=-2. Nämä kaksi ehtoa määrittelevät geometrisen etenemisen 4, -8, 16, -32, ….

Jos q>0 (q ei ole yhtä kuin 1), niin eteneminen on monotoninen sarja. Esimerkiksi sekvenssi 2, 4,8,16,32, ... on monotonisesti kasvava sekvenssi (b1=2, q=2).

Jos geometrisen virheen nimittäjä on q=1, niin geometrisen etenemisen kaikki termit ovat keskenään yhtä suuria. Tällaisissa tapauksissa etenemisen sanotaan olevan vakiosekvenssi.

Jotta lukujono (bn) olisi geometrinen progressio, on välttämätöntä, että jokainen sen jäsen toisesta alkaen on naapurijäsenten geometrinen keskiarvo. Eli on tarpeen täyttää seuraava yhtälö
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), mille tahansa n>0:lle, jossa n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Laitetaan nyt (Xn) - geometrinen progressio. Geometrisen progression q nimittäjä ja |q|∞).
Jos nyt merkitsemme S:llä äärettömän geometrisen progression summaa, pätee seuraava kaava:
S=x1/(1-q).

Katsotaanpa yksinkertaista esimerkkiä:

Laske äärettömän geometrisen progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … summa.

S:n löytämiseksi käytämme äärettömän aritmeettisen edistyksen summan kaavaa. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Geometrinen progressio on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on nollasta poikkeava ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Geometrinen eteneminen on merkitty b1,b2,b3, …, bn, …

Geometrisen etenemisen ominaisuudet

Geometrisen virheen minkä tahansa termin suhde sen edelliseen termiin on sama luku, eli b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Tämä seuraa suoraan aritmeettisen progression määritelmästä. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi. Yleensä geometrisen progression nimittäjä merkitään kirjaimella q.

Yksi tapa määrittää geometrinen progressio on määrittää sen ensimmäinen termi b1 ja geometrisen virheen q nimittäjä. Esimerkiksi b1=4, q=-2. Nämä kaksi ehtoa määrittelevät geometrisen etenemisen 4, -8, 16, -32, ….

Jos q>0 (q ei ole yhtä kuin 1), niin eteneminen on monotoninen sarja. Esimerkiksi sekvenssi 2, 4,8,16,32, ... on monotonisesti kasvava sekvenssi (b1=2, q=2).

Jos geometrisen virheen nimittäjä on q=1, niin geometrisen etenemisen kaikki termit ovat keskenään yhtä suuria. Tällaisissa tapauksissa etenemisen sanotaan olevan vakiosekvenssi.

Kaava etenemisen n:nnelle termille

Jotta lukujono (bn) olisi geometrinen progressio, on välttämätöntä, että jokainen sen jäsen toisesta alkaen on naapurijäsenten geometrinen keskiarvo. Eli on tarpeen täyttää seuraava yhtälö - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), millä tahansa n>0:lla, jossa n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Geometrisen progression n:nnen termin kaava on:

bn=b1*q^(n-1), missä n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Katsotaanpa yksinkertaista esimerkkiä:

Geometrisessä progressiossa b1=6, q=3, n=8 etsi bn.

Käytetään geometrisen progression n:nnen termin kaavaa.

Oppitunti aiheesta "Rauhattomasti laskeva geometrinen progressio"

Oppitunnin tarkoitus: tutustuttaa opiskelijat uudentyyppiseen sekvenssiin - loputtomasti laskevaan geometriseen etenemiseen.

Tehtävät:

muodostaa alkuperäinen käsitys numeerisen sekvenssin rajasta; tutustutaan toiseen tapaan muuntaa äärettömät jaksolliset murtoluvut tavallisiksi käyttämällä äärettömästi pienenevän geometrisen progression summan kaavaa;

koululaisten persoonallisuuden älyllisten ominaisuuksien, kuten loogisen ajattelun, arvioivien toimien ja yleistämisen, kehittäminen;

edistää aktiivisuutta, keskinäistä apua, kollektiivisuutta ja kiinnostusta aihetta kohtaan.

Laitteet: tietokoneluokka, projektori, valkokangas.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti - uuden aiheen oppiminen.

Tuntien aikana

minä . Org. hetki. Kerro oppitunnin aihe ja tarkoitus.

II . Opiskelijoiden tiedon päivittäminen.1. Kotitehtävien tarkistaminen.

1) Aritmeettiseen ja geometriseen progressioon liittyvien peruskaavojen tarkistus. Kaksi opiskelijaa valmistelee muistiinpanoja kaavoista taululle.

2) Muut opiskelijat tekevät matemaattinen sanelu aiheesta "Summakaavat".

Tehtävät:

№1. Laske aritmeettisen progression viiden ensimmäisen termin summa, jos sen ensimmäinen termi on 6 (1. vaihtoehto), -20 (2. vaihtoehto) ja viides termi on -6 (1. vaihtoehto), 20 (2. vaihtoehto).

№2. Laske aritmeettisen progression viiden ensimmäisen termin summa, jos sen ensimmäinen termi on -20 (1. vaihtoehto), 6 (2. vaihtoehto) ja ero on 10 (1. vaihtoehto), -3 (2. vaihtoehto).

№3. Etsi geometrisen progression viiden ensimmäisen termin summa, jos sen ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin 1 (1. vaihtoehto), -1 (2. vaihtoehto) ja nimittäjä on -2 (1. vaihtoehto), 2 (2. vaihtoehto).

Sanelun lopussa kahden opiskelijan työt tarkistetaan valikoivasti arviointia varten, loput tekevät itsetestin taulun läppälle kirjoitetuilla valmiilla ratkaisuilla.

Ratkaisut:

Tehtävät

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan kaavalla a n = 7 – 4 n. löytö a 10 . (-33)

2. Aritmeettisessa progressiossa a 3 = 7 Ja a 5 = 1 . löytö a 4 . (4)

3. Aritmeettisessa progressiossa a 3 = 7 Ja a 5 = 1 . löytö a 17 . (-35)

4. Aritmeettisessa progressiossa a 3 = 7 Ja a 5 = 1 . löytö S 17 . (-187)

5. Geometriseen etenemiseen
löytää viides termi.

6. Geometriseen etenemiseen
löytö n th jäsen.

7. Eksponentiaalisesti b 3 = 8 Ja b 5 = 2 . löytö b 4 . (4)

8. Eksponentiaalisesti b 3 = 8 Ja b 5 = 2 . löytö b 1 Ja q .

9. Eksponentiaalisesti b 3 = 8 Ja b 5 = 2 . löytö S 5 . (62)

III . Uuden aiheen oppiminen(esittelyn esittely).

Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on 1. Piirretään toinen neliö, jonka sivu on puolet ensimmäisen neliön kokoinen, sitten toinen, jonka sivu on puolet toisesta, sitten seuraava jne. Joka kerta uuden neliön sivu on yhtä suuri kuin puolet edellisestä.

Tuloksena saimme sarjan neliöiden sivuja muodostaen geometrisen progression nimittäjällä .

Ja mikä on erittäin tärkeää, mitä enemmän rakennamme tällaisia ​​neliöitä, sitä pienempi on neliön sivu. Esimerkiksi,

Nuo. Kun luku n kasvaa, etenemisen ehdot lähestyvät nollaa.

Tämän kuvan avulla voit harkita toista sekvenssiä.

Esimerkiksi neliöiden alueiden järjestys:

. Ja taas jos n kasvaa loputtomasti, silloin pinta-ala lähestyy nollaa niin lähelle kuin haluat.

Katsotaanpa toista esimerkkiä. Tasasivuinen kolmio, jonka sivut ovat 1 cm. Muodostetaan seuraava kolmio, jonka kärjet ovat 1. kolmion sivujen keskipisteissä kolmion keskiviivaa koskevan lauseen mukaisesti - 2:n sivu on yhtä suuri kuin puolet ensimmäisen sivusta, kolmannen sivu on yhtä suuri kuin puolet toisen sivusta jne. Jälleen saadaan sarja kolmioiden sivujen pituuksia.

klo
.

Jos tarkastellaan geometrista progressiota negatiivisella nimittäjällä.

Sitten taas kasvavilla määrillä n etenemisen ehdot lähestyvät nollaa.

Kiinnitämme huomiota näiden sekvenssien nimittäjiin. Kaikkialla nimittäjät olivat alle 1 absoluuttisina arvoina.

Voimme päätellä: geometrinen progressio on äärettömästi pienenevä, jos sen nimittäjän moduuli on pienempi kuin 1.

Etutyötä.

Määritelmä:

Geometrisen progression sanotaan olevan äärettömästi pienenevä, jos sen nimittäjän moduuli on pienempi kuin yksi.
.

Määritelmän avulla voit päättää, onko geometrinen eteneminen loputtomasti pienenevä vai ei.

Tehtävä

Onko sarja äärettömästi pienenevä geometrinen progressio, jos se annetaan kaavalla:

;
.

Ratkaisu:

. Me löydämme q .

;
;
;
.

tämä geometrinen eteneminen vähenee loputtomasti.

b) tämä sarja ei ole loputtomasti laskeva geometrinen progressio.

Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on yhtä suuri kuin 1. Jaa se puoliksi, toinen puoliskoista puoliksi jne. Kaikkien tuloksena olevien suorakulmioiden pinta-alat muodostavat äärettömästi pienenevän geometrisen progression:

Kaikkien tällä tavalla saatujen suorakulmioiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin ensimmäisen neliön pinta-ala ja yhtä suuri kuin 1.

Mutta tämän yhtälön vasemmalla puolella on äärettömän määrän termejä summa.

Tarkastellaan ensimmäisen n ehdon summaa.

Geometrisen progression ensimmäisen n:n jäsenen summan kaavan mukaan se on yhtä suuri kuin .

Jos n kasvaa siis rajattomasti

tai
. Siksi
, eli
.

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa sarjassa on raja S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Esimerkiksi etenemiseen
,

Koska

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa löytyy kaavan avulla
.

III . Ymmärtäminen ja lujittaminen(tehtävien suorittaminen).

Tehtävä nro 2. Määritä äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa, jonka ensimmäinen termi on 3 ja toinen termi 0,3.

Ratkaisu:

Tehtävä nro 3. oppikirja, s. 160, nro 433(1)

Etsi loputtomasti pienenevän geometrisen progression summa:

Ratkaisu:

Tehtävä nro 4. Kirjoita ääretön jaksollinen desimaaliluku 0,(5) yhteiseksi murtoluvuksi.

1. menetelmä. Olkoon x=0,(5)= 0,555... / 10 2. menetelmä. 0,(5)=0,555…=

Tehtävä nro 5. oppikirja, s. 162, nro 445(3) (itsenäinen ratkaisu)

Kirjoita ääretön jaksollinen desimaaliluku 0,(12) yhteiseksi murtoluvuksi.

Vastaus: 0,(12)= 4/33.

IV . Yhteenveto.

Mihin sarjaan tutustuit tänään?

Määrittele äärettömästi pienenevä geometrinen progressio.

Kuinka todistaa, että geometrinen progressio pienenee loputtomasti?

Anna kaava äärettömästi pienenevän geometrisen progression summalle.

V . Kotitehtävät.

Matematiikka on mitäihmiset hallitsevat luontoa ja itseään.

Neuvostoliiton matemaatikko, akateemikko A.N. Kolmogorov

Geometrinen eteneminen.

Aritmeettisen progression ongelmien ohella myös geometrisen progression käsitteeseen liittyvät ongelmat ovat yleisiä matematiikan pääsykokeissa. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti sinun on tunnettava geometristen progressioiden ominaisuudet ja oltava hyvät taidot käyttää niitä.

Tämä artikkeli on omistettu geometrisen progression perusominaisuuksien esittelylle. Tässä on myös esimerkkejä tyypillisten ongelmien ratkaisemisesta., lainattu matematiikan pääsykokeiden tehtävistä.

Huomioikaa ensin geometrisen progression perusominaisuudet ja muistetaan tärkeimmät kaavat ja lauseet, liittyy tähän käsitteeseen.

Määritelmä. Numerosarjaa kutsutaan geometriseksi progressioksi, jos jokainen luku toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla. Lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi.

Geometriseen etenemiseenkaavat ovat päteviä

, (1)

Missä . Kaavaa (1) kutsutaan geometrisen etenemisen yleistermin kaavaksi, ja kaava (2) edustaa geometrisen etenemisen pääominaisuutta: progression jokainen termi osuu yhteen sen viereisten ehtojen geometrisen keskiarvon kanssa ja .

Huomautus, että juuri tämän ominaisuuden vuoksi kyseistä etenemistä kutsutaan "geometriseksi".

Yllä olevat kaavat (1) ja (2) yleistetään seuraavasti:

, (3)

Summan laskemiseen ensimmäinen geometrisen progression jäseniäkaava pätee

Jos merkitsemme , niin

Missä . Koska , kaava (6) on kaavan (5) yleistys.

Siinä tapauksessa, kun ja geometrinen eteneminenvähenee loputtomasti. Summan laskemiseenKaikista äärettömästi pienenevän geometrisen progression termeistä käytetään kaavaa

. (7)

Esimerkiksi , kaavan (7) avulla voimme näyttää, Mitä

Missä . Nämä yhtäläisyydet saadaan kaavasta (7) sillä ehdolla, että , (ensimmäinen yhtälö) ja , (toinen yhtälö).

Lause. Jos sitten

Todiste. Jos sitten

Lause on todistettu.

Siirrytään tarkastelemaan esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Geometrinen eteneminen".

Esimerkki 1 Annettu: , ja . Löytö .

Ratkaisu. Jos käytämme kaavaa (5), niin

Vastaus:.

Esimerkki 2. Anna sen olla. Löytö .

Ratkaisu. Koska ja , käytämme kaavoja (5), (6) ja saamme yhtälöjärjestelmän

Jos järjestelmän (9) toinen yhtälö jaetaan ensimmäisellä, sitten tai . Tästä seuraa, että . Tarkastellaan kahta tapausta.

1. Jos, niin järjestelmän (9) ensimmäisestä yhtälöstä saamme.

2. Jos , niin .

Esimerkki 3. Anna , ja . Löytö .

Ratkaisu. Kaavasta (2) seuraa, että tai . Siitä lähtien tai .

Ehdon mukaan. Kuitenkin siksi. Siitä lähtien ja niin tässä meillä on yhtälöjärjestelmä

Jos järjestelmän toinen yhtälö jaetaan ensimmäisellä, niin tai .

Koska yhtälöllä on ainutlaatuinen sopiva juuri. Tässä tapauksessa se seuraa järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä.

Kun otetaan huomioon kaava (7), saadaan.

Vastaus:.

Esimerkki 4. Annettu: ja . Löytö .

Ratkaisu. Siitä lähtien.

Siitä lähtien tai

Kaavan (2) mukaan meillä on . Tässä suhteessa tasa-arvosta (10) saadaan tai .

Kuitenkin ehdolla siis.

Esimerkki 5 On tiedossa, että . Löytö .

Ratkaisu. Lauseen mukaan meillä on kaksi yhtäläisyyttä

Siitä lähtien tai . Koska sitten.

Vastaus:.

Esimerkki 6 Annettu: ja . Löytö .

Ratkaisu. Kun otetaan huomioon kaava (5), saadaan

Siitä lähtien. Siitä lähtien ja sitten .

Esimerkki 7. Anna sen olla. Löytö .

Ratkaisu. Kaavan (1) mukaan voimme kirjoittaa

Siksi meillä on tai . Tiedetään, että ja, siksi ja .

Vastaus:.

Esimerkki 8 Etsi äärettömän pienenevän geometrisen progression nimittäjä, jos

Ja .

Ratkaisu. Kaavasta (7) seuraa Ja . Tästä ja tehtävän ehdoista saadaan yhtälöjärjestelmä

Jos järjestelmän ensimmäinen yhtälö on neliö, ja jaa sitten saatu yhtälö toisella yhtälöllä, sitten saamme

Tai .

Vastaus:.

Esimerkki 9 Etsi kaikki arvot, joille sarja , , on geometrinen progressio.

Ratkaisu. Anna , ja . Kaavan (2) mukaan, joka määrittelee geometrisen progression pääominaisuuden, voidaan kirjoittaa tai .

Tästä saamme toisen asteen yhtälön, joiden juuret ovat Ja .

Tarkastetaan: jos, sitten , ja ; jos , niin ja .

Ensimmäisessä tapauksessa meillä on ja , ja toisessa – ja .

Vastaus: ,.

Esimerkki 10Ratkaise yhtälö

, (11)

missä ja.

Ratkaisu. Yhtälön (11) vasemmalla puolella on äärettömän pienenevän geometrisen progression summa, jossa ja , Jollei: ja .

Kaavasta (7) seuraa, Mitä . Tässä suhteessa yhtälö (11) saa muodon tai . Sopiva juuri toisen asteen yhtälö on

Vastaus:.

Esimerkki 11. P positiivisten lukujen sarjamuodostaa aritmeettisen progression, A – geometrinen eteneminen, mitä tekemistä sillä on . Löytö .

Ratkaisu. Koska aritmeettinen sarja, Tuo (aritmeettisen progression pääominaisuus). Koska, sitten tai . Tämä tarkoittaa, että geometrisella progressiolla on muoto. Kaavan (2) mukaan, sitten kirjoitamme sen ylös.

Siitä lähtien ja sitten . Tässä tapauksessa ilmaisu ottaa muodon tai . Ehdolla, siis yhtälöstä.saamme ainutlaatuisen ratkaisun tarkasteltavaan ongelmaan, eli .

Vastaus:.

Esimerkki 12. Laske summa

. (12)

Ratkaisu. Kerro yhtälön (12) molemmat puolet viidellä ja saa

Jos vähennämme (12) tuloksena olevasta lausekkeesta, Tuo

tai .

Laskemiseksi korvaamme arvot kaavalla (7) ja saamme . Siitä lähtien.

Vastaus:.

Tässä esitetyt ongelmanratkaisuesimerkit ovat hakijoille hyödyllisiä pääsykokeisiin valmistautuessaan. Ongelmanratkaisumenetelmien syvempään tutkimiseen, liittyvät geometriseen etenemiseen, Voit käyttää opetusohjelmia suositellun kirjallisuuden luettelosta.

1. Matematiikan tehtäväkokoelma korkeakouluihin hakijoille / Toim. MI. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: koulun opetussuunnitelman lisäosia. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Täydellinen alkeismatematiikan kurssi ongelmissa ja harjoituksissa. Kirja 2: Numerosarjat ja edistyminen. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Onko sinulla vielä kysyttävää?

Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.