Maksimiarvoa tulee kutsua suurimmaksi määräksi tai suurimmaksi rajaksi, joka voidaan saavuttaa. Minimi on, kuten me kaikki hyvin tiedämme, maksimin vastakohta, ts. se on pienin luku ja pienin raja. Sanat minimi ja maksimi sekä niiden johdannaiset löytyvät sellaisista ilmauksista ja lauseista kuin:

Ota kaikki irti viestinnästä.

Jotta voit oppia runon, sinun on luettava se vähintään 3-4 kertaa.

Eniten hän voi tehdä...

Heillä on ainakin kaksi yhteistä ystävää.

Hän sai korkeimman pistemäärän.

Ota kaikki irti mahdollisuuksistasi!

Tämä on vähimmäisvaatimus, joka sinun on tiedettävä.

Elämisen palkka.

Minimi ilmanpaine.

Minimi/maksimi kylmä ..... vuotta.

Tarvitset tämän työn suorittamiseen vähintään muutaman tunnin.

Sellaiset käsitteet kuin maksimi ja minimi löytyvät myös erityisistä tieteellisistä termeistä. Esimerkiksi matematiikassa on sellainen käsite kuin funktion maksimi ja minimi.

Näin ollen matematiikan maksimi on funktion suurin arvo. Tässä tapauksessa funktion maksimiarvo on suurempi kuin kaikki sen vieressä olevat arvot. Funktion maksimi on sen arvo, kun arvo ensin kasvaa ja sitten alkaa välittömästi pienentyä, kun taas sillä on maksimi kohdassa, jossa funktion kasvu ja lasku siirtyvät toisesta toiseen. Funktion minimi on vastaavasti funktion pienin arvo.

Funktion ensimmäistä derivaatta voidaan pitää positiivisena, jos se nousee, kun suurennamme muuttujaa, niin funktiota voidaan pitää positiivisena. Jos ensimmäinen muuttuja pienenee derivaatan kasvaessa, funktiota tulee pitää negatiivisena.

Derivaata on pääasiallinen differentiaalilaskelmissa käytetty arvo (derivaatan ja differentiaalin tutkimus, jotka auttavat tutkimaan matemaattisia funktioita), se voidaan ymmärtää funktion muutosnopeudena tietyssä pisteessä. Mitä suurempi nopeus, sitä voimakkaammin funktio muuttuu, mitä pienempi, sitä hitaampi (tämä pätee kuitenkin vain, jos funktio on positiivinen). Siten funktion muutosnopeus tietyssä pisteessä määrää sen kaltevuuden ja pullistuman. Muuttuja on määrä, joka voi muuttaa sen arvoa. Sitä merkitään x tai aika.

Muuttujaa voidaan pitää järjestelmän (sekä fyysisen että abstraktin) attribuuttina, joka voi muuttaa sen arvoa. Globaalimmassa mielessä muuttujaksi voidaan kutsua sekä aikaa että lämpötilaa ja yleensä kaikkea elämää (ne voivat muuttua). Muuttujalla on monia arvoja, jotka se voi ottaa. Voimme olettaa, että tämä joukko on muuttuja.

Mitä tulee itse funktioon, sen on vaihdettava positiivisesta negatiiviseksi arvoksi nollan kautta. Siten muuttujan arvolla, joka vastaa funktion maksimiarvoa, sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Tämä funktion ominaisuus mahdollistaa sen, että voidaan määrittää x:n arvot, joilla funktio saavuttaa maksiminsa. Jos kuitenkin suurennamme muuttujaa ja samalla funktio ensin kasvaa ja sitten pienenee, niin funktio, kun muuttuu negatiivisesta arvosta positiiviseen (kulkee nollan kautta), ei saavuta maksimiarvoa, vaan päinvastoin vähimmäisarvo. Vaikka loogisesti tämä voitaisiin ottaa maksimiarvoksi (se on funktion yläosassa).

Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan myös ääripisteiksi.

Niinpä sekä tavallisessa elämässä että matematiikassa maksimi ja minimi ovat kaksi äärimmäistä vastakohtaa, jotka merkitsevät jotain suurinta ja jotain pienintä.

Funktion ääripiste on se piste funktion alueella, jossa funktion arvo saa minimi- tai maksimiarvon. Näissä kohdissa olevia funktioarvoja kutsutaan funktion ääriarvoiksi (minimi ja maksimi)..

Määritelmä. Piste x1 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion maksimipiste , jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 enimmäismäärä.

Määritelmä. Piste x2 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion minimipiste, jos funktion arvo tässä pisteessä on pienempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan pisteessä x2 minimi.

Sanotaanpa pointti x1 - toiminnon maksimipiste f(x) . Sitten välissä asti x1 toiminta lisääntyy, joten funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0 ), ja sen jälkeen x1 toiminto vähenee, joten funktion derivaatta alle nolla ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Oletetaan myös, että kohta x2 - funktion minimipiste f(x) . Sitten välissä asti x2 funktio pienenee ja funktion derivaatta on pienempi kuin nolla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktio kasvaa ja funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0). Tässä tapauksessa myös pisteessä x2 funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Fermatin lause (välttämätön kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Jos kohta x0 - funktion ääripiste f(x), niin tässä vaiheessa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ( f "(x) = 0 ) tai sitä ei ole olemassa.

Määritelmä. Pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat .

Esimerkki 1 Tarkastellaan funktiota.

Pisteessä x= 0 funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, joten piste x= 0 on kriittinen piste. Kuitenkin, kuten funktion kaaviosta voidaan nähdä, se kasvaa koko määritelmäalueella, joten piste x= 0 ei ole tämän funktion ääripiste.

Siten ehdot, että funktion derivaatta pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa, ovat välttämättömiä ehtoja ääripäälle, mutta eivät riittäviä, koska voidaan antaa muita esimerkkejä funktioista, joille nämä ehdot täyttyvät, mutta funktio ei ole ääripäätä vastaavassa pisteessä. Siksi on oltava riittävät viitteet, joiden avulla voidaan arvioida, onko tietyssä kriittisessä pisteessä ääriarvo ja kumpi - maksimi vai minimi.

Lause (ensimmäinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 f(x) , jos funktion derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan tämän pisteen läpi ja jos etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plusiksi", niin minimipiste .

Jos lähellä pistettä x0 , sen vasemmalla ja oikealla puolella derivaatta säilyttää etumerkkinsä, mikä tarkoittaa, että funktio joko vain pienenee tai kasvaa vain jossain pisteen ympäristössä x0 . Tässä tapauksessa pisteessä x0 ei ole ääripäätä.

Niin, määrittääksesi funktion ääripisteet, sinun on tehtävä seuraava :

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Yhdistä derivaatta nollaan ja määritä kriittiset pisteet.
3. Merkitse henkisesti tai paperille kriittiset pisteet numeeriselle akselille ja määritä saaduissa intervalleissa funktion derivaatan merkit. Jos derivaatan etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin kriittinen piste on maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plussiksi", kriittinen piste on minimipiste.
4. Laske funktion arvo ääripisteissä.

Esimerkki 2 Etsi funktion ääripäät .

Ratkaisu. Etsitään funktion derivaatta:

Yhdistä derivaatta nollaan kriittisten pisteiden löytämiseksi:

.

Koska mille tahansa "x":n arvolle nimittäjä ei ole nolla, vertaamme osoittajan nollaan:

On yksi kriittinen kohta x= 3. Määritämme derivaatan etumerkin tämän pisteen rajoittamissa väleissä:

alueella miinus äärettömyydestä 3 - miinusmerkkiin, eli funktio pienenee,

alueella 3 plus äärettömään - plusmerkki, eli funktio kasvaa.

Eli piste x= 3 on minimipiste.

Etsi funktion arvo minimipisteestä:

Siten funktion ääripiste löytyy: (3; 0) , ja se on minimipiste.

Lause (toinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 on funktion ääripiste f(x), jos funktion toinen derivaatta tässä pisteessä ei ole nolla ( f ""(x) ≠ 0 ), lisäksi jos toinen derivaatta on suurempi kuin nolla ( f ""(x) > 0 ), niin maksimipiste, ja jos toinen derivaatta on pienempi kuin nolla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Huomautus 1. Jos jossain vaiheessa x0 sekä ensimmäinen että toinen derivaatta katoavat, niin tässä vaiheessa on mahdotonta arvioida ääripään olemassaoloa toisen riittävän merkin perusteella. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Huomautus 2. Toinen riittävä kriteeri funktion ääripäälle ei myöskään sovellu, kun ensimmäistä derivaattia ei ole paikallaan olevassa pisteessä (silloin toista derivaattia ei myöskään ole). Tässä tapauksessa on myös välttämätöntä käyttää ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Toiminnon ääripään paikallinen luonne

Yllä olevista määritelmistä seuraa, että funktion ääriarvo on luonteeltaan paikallinen - tämä on funktion suurin ja pienin arvo verrattuna lähimpiin arvoihin.

Oletetaan, että harkitset tulojasi yhden vuoden ajanjaksolla. Jos ansaitsit toukokuussa 45 000 ruplaa ja huhtikuussa 42 000 ruplaa ja kesäkuussa 39 000 ruplaa, niin toukokuun tulot ovat ansiofunktion maksimi verrattuna lähimpiin arvoihin. Mutta lokakuussa ansaitsit 71 000 ruplaa, syyskuussa 75 000 ruplaa ja marraskuussa 74 000 ruplaa, joten lokakuun tulot ovat ansiofunktion vähimmäisarvo lähellä oleviin arvoihin verrattuna. Ja voit helposti nähdä, että huhti-touko-kesäkuun arvojen maksimi on pienempi kuin syys-loka-marraskuun minimi.

Yleisesti ottaen funktiolla voi olla useita ääriarvoja intervalleilla, ja voi käydä niin, että mikä tahansa funktion minimi on suurempi kuin mikä tahansa maksimi. Joten yllä olevassa kuvassa näkyvälle funktiolle .

Eli ei pidä ajatella, että funktion maksimi ja minimi ovat vastaavasti sen maksimi- ja minimiarvot koko tarkasteltavana olevalla segmentillä. Maksimipisteessä funktiolla on suurin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, jotka sillä on kaikissa pisteissä riittävän lähellä maksimipistettä, ja minimipisteessä pienin arvo vain noihin arvoihin verrattuna. että sen kaikissa pisteissä on riittävän lähellä minimipistettä.

Siksi voimme tarkentaa yllä annetun funktion ääripistepisteiden käsitettä ja kutsua minimipisteitä paikallisiksi minimipisteiksi ja maksimipisteitä paikallisiksi maksimipisteiksi.

Etsimme yhdessä toiminnon ääripäätä

Esimerkki 3

Ratkaisu Funktio on määritelty ja jatkuva kokonaislukurivillä. Sen johdannainen esiintyy myös koko numerorivillä. Siksi tässä tapauksessa vain ne, joissa ts. toimivat kriittisinä pisteinä. , mistä ja . Kriittiset pisteet ja jaa funktion koko alue kolmeen monotonisuusväliin: . Valitsemme jokaisesta niistä yhden ohjauspisteen ja etsimme derivaatan etumerkin tästä pisteestä.

Välille referenssipiste voi olla : löydämme . Ottaen pisteen väliltä, ​​saamme , ja ottamalla pisteen väliltä, ​​meillä on . Joten, väliajoissa ja , ja välissä . Ekstreemumin ensimmäisen riittävän merkin mukaan pisteessä ei ole ääripäätä (koska derivaatta säilyttää etumerkkinsä välissä ), ja funktiolla on pisteessä minimi (koska derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi ohittaessaan tämän kohdan kautta). Etsi funktion vastaavat arvot: , ja . Intervallissa funktio pienenee, koska tällä välillä , ja välissä se kasvaa, koska tällä välillä.

Kuvaajan rakenteen selventämiseksi etsitään sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Kun saadaan yhtälö, jonka juuret ja eli funktion kuvaajasta löytyy kaksi pistettä (0; 0) ja (4; 0). Rakennamme kaavion käyttämällä kaikkia vastaanotettuja tietoja (katso esimerkin alussa).

Voit käyttää itsetarkistusta laskelmien aikana online-johdannaislaskin .

Esimerkki 4 Etsi funktion ääripiste ja rakenna sen kaavio.

Funktion toimialue on koko lukuviiva pistettä lukuun ottamatta, ts. .

Tutkimuksen lyhentämiseksi voimme käyttää sitä tosiasiaa, että tämä funktio on parillinen, koska . Siksi sen kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen Oy ja tutkimus voidaan suorittaa vain ajanjaksolle .

Johdannan löytäminen ja toiminnon kriittiset kohdat:

1) ;

2) ,

mutta funktio kärsii katkoksen tässä vaiheessa, joten se ei voi olla ääripiste.

Siten annetulla funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ja . Kun otetaan huomioon funktion pariteetti, tarkastetaan vain piste ääripään toisella riittävällä merkillä. Tätä varten löydämme toisen derivaatan ja määritä sen merkki osoitteessa : saamme . Koska ja , Sitten on funktion vähimmäispiste, while .

Saadaksesi täydellisemmän kuvan funktion kaaviosta, selvitetään sen käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla:

(tässä symboli osoittaa halun x nollaan oikealla ja x pysyy positiivisena; tarkoittaa samalla tavalla pyrkimystä x nollaan vasemmalla ja x pysyy negatiivisena). Eli jos , niin . Seuraavaksi löydämme

,

nuo. jos sitten .

Funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä akseleiden kanssa. Kuva on esimerkin alussa.

Voit käyttää itsetarkistusta laskelmien aikana online-johdannaislaskin .

Jatkamme toiminnon ääripäiden etsimistä yhdessä

Esimerkki 8 Etsi funktion ääripää.

Ratkaisu. Etsi funktion toimialue. Koska epätasa-arvon on oltava voimassa, saamme osoitteesta .

Etsitään funktion ensimmäinen derivaatta.

Lause. (välttämätön ehto ääripään olemassaololle) Jos funktio f (x) on differentioituva pisteessä x \u003d x 1 ja piste x 1 on ääripiste, niin funktion derivaatta katoaa tässä pisteessä.

Todiste. Oletetaan, että funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = x 1.

Sitten riittävän pienelle positiiviselle Dх>0 seuraava epäyhtälö on totta:

A-priory:

Nuo. jos Dх®0, mutta Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, sitten f¢(x 1) £0.

Ja tämä on mahdollista vain, jos Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Siinä tapauksessa, että funktiolla f(x) on minimi pisteessä x 2, lause todistetaan samalla tavalla.

Lause on todistettu.

Seuraus. Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Jos funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, tämä ei tarkoita, että funktiolla olisi tässä pisteessä ääriarvo. Puhuva esimerkki tästä on funktio y \u003d x 3, jonka derivaatta pisteessä x \u003d 0 on yhtä suuri kuin nolla, mutta tässä vaiheessa funktiolla on vain taivutus, ei maksimi tai minimi.

Määritelmä. kriittiset kohdat Funktiot ovat pisteitä, joissa funktion derivaatta ei ole olemassa tai on yhtä suuri kuin nolla.

Yllä tarkasteltu lause antaa meille tarvittavat ehdot ääripään olemassaololle, mutta tämä ei riitä.

Esimerkki: f(x) = ôxô Esimerkki: f(x) =

v v

Pisteessä x = 0 funktiolla on minimi, mutta pisteessä x = 0 funktiolla ei ole kumpaakaan

ei ole johdannaista. maksimi, ei minimi, ei

Yleisesti ottaen funktiolla f(x) voi olla ääriarvo pisteissä, joissa derivaatta ei ole olemassa tai se on nolla.

Lause. (Riittävästi edellytykset ääripään olemassaololle)

Olkoon funktio f(x) jatkuva alueella (a, b), joka sisältää kriittisen pisteen x 1 , ja olla differentioituva tämän välin kaikissa pisteissä (paitsi ehkä itse piste x 1).

Jos funktion f¢(x) derivaatta vaihtaa pisteen x 1 kautta vasemmalta oikealle merkin "+":sta "-", niin pisteessä x = x 1 funktiolla f(x) on maksimi, ja jos derivaatan etumerkki muuttuu arvosta "-" arvoon "+" - funktiolla on minimi.

Todiste.

Antaa

Lagrangen lauseen mukaan: f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x - x 1), missä x< e < x 1 .

Sitten: 1) Jos x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Jos x > x 1, niin e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Koska vastaukset ovat samat, voimme sanoa, että f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Vähimmäispisteen lauseen todistus on samanlainen.

Lause on todistettu.

Edellä olevan perusteella on mahdollista kehittää yksi proseduuri segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi:

1) Etsi funktion kriittiset pisteet.

2) Etsi funktion arvot kriittisissä pisteissä.

3) Etsi funktion arvot segmentin päistä.

4) Valitse saaduista arvoista suurin ja pienin.

Funktion tutkiminen ääripäähän käyttäen

korkeamman asteen johdannaiset.

Olkoon f¢(x 1) = 0 pisteessä x = x 1 ja olkoon f¢¢(x 1) jatkuva jossain pisteen x 1 ympäristössä.

Lause. Jos f¢(x 1) = 0, niin funktiolla f(x) pisteessä x = x 1 on maksimi, jos f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Todiste.

Olkoon f¢(x 1) = 0 ja f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Koska f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 x:ssä x 1. Tämä tarkoittaa, että kulkiessaan pisteen x = x 1 läpi derivaatta f¢(x) muuttaa etumerkin "+":sta "-":ksi, ts.

tässä vaiheessa funktiolla f(x) on maksimi.

Funktion minimin tapauksessa lause todistetaan samalla tavalla.

Jos f¢¢(x) = 0, niin kriittisen pisteen luonne on tuntematon. Sen määrittämiseksi tarvitaan lisätutkimuksia.

Käyrän kupera ja koveruus.

Käännepisteet.

Määritelmä. Käyrä on kupera ylös välissä (a, b), jos kaikki sen pisteet ovat tämän välin minkä tahansa tangentin alapuolella. Kutsutaan käyrää, jonka kupera piste on ylöspäin kupera, ja alaspäin kuperaa käyrää kutsutaan kovera.

klo

Kuvassa on esimerkki yllä olevasta määritelmästä.

Lause 1. Jos kaikissa välin (a, b) pisteissä funktion f(x) toinen derivaatta on negatiivinen, käyrä y = f(x) on kupera ylös (kupera).

Todiste. Olkoon x 0 О (a, b). Piirrä käyrän tangentti tässä kohdassa.

Käyräyhtälö: y = f(x);

Tangenttiyhtälö:

Se on todistettava.

Lagrangen lauseen mukaan f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Lagrangen lauseen mukaan

Olkoon x > x 0 sitten x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 ja c - x 0 > 0 ja lisäksi ehdon mukaan

Siksi,.

Anna x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Vastaavasti voidaan todistaa, että jos f¢¢(x) > 0 välillä (a, b), niin käyrä y=f(x) on kovera välillä (a, b).

Lause on todistettu.

Määritelmä. Pistettä, joka erottaa käyrän kuperan osan koverasta osasta, kutsutaan käännekohta.

On selvää, että käännepisteessä tangentti leikkaa käyrän.

Lause 2. Määritetään käyrä yhtälöllä y = f(x). Jos toista derivaatta f¢¢(a) = 0 tai f¢¢(a) ei ole olemassa ja kulkiessaan pisteen x = läpi a f¢¢(x) muuttaa etumerkkiä, käyrän piste abskissalla x = a on käännepiste.

Todiste. 1) Olkoon f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 x > a. Sitten klo

x< a кривая выпукла, а при x >käyrä on kovera, ts. piste x = a on käännepiste.

2) Olkoon f¢¢(x) > 0 x:lle< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - pullistua ylöspäin. Tällöin x = b on käännepiste.

Lause on todistettu.

Asymptootit.

Funktioiden tutkimuksessa käy usein niin, että kun käyrän pisteen x-koordinaatti poistetaan äärettömään, käyrä lähestyy loputtomasti tiettyä suoraa.

Määritelmä. Suora soitto asymptootti käyrä, jos etäisyys käyrän muuttuvasta pisteestä tähän suoraan pyrkii nollaan, kun piste poistetaan äärettömään.

On huomattava, että jokaisella käyrällä ei ole asymptoottia. Asymptootit voivat olla suoria tai vinoja. Asymptoottien esiintymisen funktioiden tutkiminen on erittäin tärkeää, ja sen avulla voit määrittää tarkemmin funktion luonteen ja käyräkaavion käyttäytymisen.

Yleisesti ottaen käyrä, joka lähestyy asymptoottiaan loputtomasti, voi leikata sen, eikä yhdessä pisteessä, kuten alla olevan funktion kaaviossa näkyy . Sen vino asymptootti y = x.

Tarkastellaanpa tarkemmin menetelmiä käyrien asymptoottien löytämiseksi.

Pystysuorat asymptootit.

Asymptootin määritelmästä seuraa, että jos tai tai , niin suora x = a on käyrän y = f(x) asymptootti.

Esimerkiksi funktiolle rivi x = 5 on pystysuora asymptootti.

Viistot asymptootit.

Oletetaan, että käyrällä y = f(x) on vino asymptootti y = kx + b.

Nimetään käyrän ja asymptoottiin nähden kohtisuoran leikkauspiste - M, P - tämän kohtisuoran ja asymptootin leikkauspiste. Asymptootin ja x-akselin välinen kulma merkitään j:llä. X-akseliin nähden kohtisuora MQ leikkaa asymptootin pisteessä N.

Tällöin MQ = y on käyrän pisteen ordinaatti, NQ = on asymptootin pisteen N ordinaatta.

Ehdolla: , РNMP = j, .

Kulma j on vakio eikä yhtä suuri kuin 90 0

Sitten .

Joten suora y = kx + b on käyrän asymptootti. Tämän suoran määrittämiseksi tarkasti on löydettävä tapa laskea kertoimet k ja b.

Tuloksena olevassa lausekkeessa otetaan x pois suluista:

Koska x®¥ siis , koska b = siis vakio .

Sitten , siis,

.

Koska , Tuo , siis,

Huomaa, että vaaka-asymptootit ovat vinojen asymptoottien erikoistapaus k = 0:lle.

Esimerkki. .

1) Pystyasymptootit: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, joten x = 0 on vertikaalinen asymptootti.

2) Viistot asymptootit:

Siten suora y = x + 2 on vino asymptootti.

Piirretään funktio:

Esimerkki. Etsi asymptootteja ja piirrä funktio graafisesti.

Viivat x=3 ja x=-3 ovat käyrän pystysuorat asymptootit.

Etsi vinot asymptootit:

y = 0 on vaakasuuntainen asymptootti.

Esimerkki. Etsi asymptootteja ja piirrä funktio kaaviosta .

Suora x = -2 on käyrän pystysuora asymptootti.

Etsitään vinoja asymptootteja.

Kaiken kaikkiaan suora y = x - 4 on vino asymptootti.

Toimintotutkimussuunnitelma

Funktiotutkimusprosessi koostuu useista vaiheista. Täydellisimmän käsityksen saamiseksi funktion käyttäytymisestä ja sen kaavion luonteesta on löydettävä:

1) Toiminnon laajuus.

Tämä käsite sisältää sekä arvoalueen että funktion laajuuden.

2) Rajapisteet. (Jos niitä on saatavilla).

3) Kasvu- ja laskuvälit.

4) Maksimi- ja minimipisteet.

5) funktion enimmäis- ja minimiarvo sen määritelmäalueella.

6) Kuperuuden ja koveruuden alueet.

7) Käännepisteet (jos sellaisia ​​on).

8) Asymptootit (jos sellaisia ​​on).

9) Kuvaajan rakentaminen.

Käytetään tätä mallia esimerkin kanssa.

Esimerkki. Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio.

Etsi funktion olemassaoloalue. Se on selvää määritelmän alue funktio on alue (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Voidaan puolestaan ​​nähdä, että suorat x = 1, x = -1 ovat vertikaaliset asymptootit kiero.

Arvoalue tämän funktion väli (-¥; ¥).

taukopisteitä funktiot ovat pisteet x=1, x=-1.

Löydämme kriittiset kohdat.

Etsitään funktion derivaatta

Kriittiset pisteet: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Etsitään funktion toinen derivaatta

Määritetään käyrän kuperuus ja koveruus välein.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, käyrä kovera

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, käyrä kovera

< x < ¥, y¢¢ >0, käyrä kovera

Aukkojen löytäminen kasvaa Ja laskeva toimintoja. Tätä varten määritetään funktion derivaatan merkit intervalleilla.

-¥ < x < - , y¢ >0, funktio kasvaa

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, funktio kasvaa

Voidaan nähdä, että piste x = - on piste enimmäismäärä, ja piste x = on piste minimi. Funktioarvot näissä kohdissa ovat -3/2 ja 3/2.

Tietoja pystysuorasta asymptootteja on jo sanottu edellä. Nyt etsitään vinoja asymptootteja.

Joten vino asymptoottiyhtälö on y = x.

Rakennetaan ajoittaa ominaisuudet:

Useiden muuttujien funktiot

Kun tarkastellaan useiden muuttujien funktioita, rajoitamme kahden muuttujan funktioiden yksityiskohtaiseen kuvaukseen, koska kaikki saadut tulokset ovat voimassa mielivaltaisen määrän muuttujia funktioille.

Määritelmä: Jos jokaiselle riippumattomien lukujen (x, y) parille tietystä joukosta on jonkin säännön mukaan määritetty yksi tai useampi muuttujan z arvo, muuttujaa z kutsutaan kahden muuttujan funktioksi.

Määritelmä: Jos numeropari (x, y) vastaa yhtä z:n arvoa, funktiota kutsutaan yksiselitteinen, ja jos useampi kuin yksi, niin - epäselvä.

Määritelmä: Määritelmän laajuus funktio z on joukko pareja (x, y), joille funktio z on olemassa.

Määritelmä: Naapurustopiste M 0 (x 0, y 0) säteen r on joukko pisteitä (x, y), jotka täyttävät ehdon .

Määritelmä: Numero A kutsutaan raja funktio f(x, y) pisteenä M(x, y) pyrkii pisteeseen M 0 (x 0, y 0), jos jokaiselle luvulle e > 0 on sellainen luku r > 0, että missä tahansa pisteessä M (x, y), jolle ehto

ehto on myös totta .

Kirjoita ylös:

Määritelmä: Olkoon piste M 0 (x 0, y 0) funktion f(x, y) aluetta. Sitten kutsutaan funktiota z = f(x, y). jatkuva pisteessä M 0 (x 0, y 0), jos

(1)

lisäksi piste M(x, y) pyrkii mielivaltaisella tavalla pisteeseen M 0 (x 0, y 0).

Jos ehto (1) ei täyty missään vaiheessa, tätä pistettä kutsutaan murtumiskohta funktiot f(x, y). Tämä voi olla seuraavissa tapauksissa:

1) Funktiota z \u003d f (x, y) ei ole määritelty pisteessä M 0 (x 0, y 0).

2) Ei ole rajaa.

3) Tämä raja on olemassa, mutta se ei ole yhtä suuri kuin f(x 0 , y 0).

Omaisuus. Jos funktio f(x, y, …) on määritelty ja jatkuva suljetussa ja

rajatulla alueella D, niin tällä alueella on ainakin yksi piste

N(x 0 , y 0 , …) siten, että epäyhtälö

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

sekä pisteen N 1 (x 01 , y 01 , ...), niin että kaikille muille pisteille epäyhtälö on tosi

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

sitten f(x 0 , y 0 , …) = M – korkein arvo funktiot ja f(x 01 , y 01 , ...) = m - pienin arvo funktiot f(x, y, …) alueella D.

Jatkuva funktio suljetussa ja rajoitetussa alueella D saavuttaa vähintään kerran maksimiarvonsa ja kerran minimiarvonsa.

Omaisuus. Jos funktio f(x, y, …) on määritelty ja jatkuva suljetussa rajoitetussa alueella D, ja M ja m ovat funktion suurin ja pienin arvo tässä toimialueessa, niin missä tahansa pisteessä m О siellä on piste

N 0 (x 0, y 0, …) siten, että f(x 0, y 0, …) = m.

Yksinkertaisesti sanottuna jatkuva funktio ottaa alueella D kaikki väliarvot M:n ja m:n välillä. Tämän ominaisuuden seurauksena voi olla johtopäätös, että jos luvuilla M ja m on eri etumerkit, niin alueella D funktio katoaa ainakin kerran.

Omaisuus. Funktio f(x, y, …), jatkuva suljetussa rajoitetussa alueella D, rajoitettu jos tällä alueella on sellainen luku K, että alueen kaikissa pisteissä epäyhtälö on tosi .

Omaisuus. Jos funktio f(x, y, …) on määritelty ja jatkuva suljetussa rajoittuneessa alueella D, niin se tasaisesti jatkuva tällä alueella, ts. mille tahansa positiiviselle luvulle e on sellainen luku D > 0, että missä tahansa kahdessa pisteessä (x 1 , y 1) ja (x 2 , y 2) alueella, jotka sijaitsevat etäisyydellä D, epäyhtälö

Yllä olevat ominaisuudet ovat samanlaisia ​​kuin yhden muuttujan funktioiden ominaisuudet, jotka ovat jatkuvia intervalleilla. Katso Jatkuva välissä olevien toimintojen ominaisuudet.

Funktioiden derivaatat ja differentiaalit

useita muuttujia.

Määritelmä. Olkoon funktio z = f(x, y) jossain toimialueella. Ota mielivaltainen piste M(x, y) ja aseta inkrementti Dx muuttujaan x. Sitten kutsutaan suuruutta D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) funktion osittainen lisäys x:ssä.

Voidaan kirjoittaa

.

Sitten soitti osittainen johdannainen funktiot z = f(x, y) x:ssä.

Nimitys:

Funktion osittaisderivaata y:n suhteen määritellään samalla tavalla.

geometrinen tunne osittaisderivaata (oletetaan) on pisteessä N 0 (x 0, y 0, z 0) piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti tason y \u003d y 0 pintaleikkaukseen.

Kokonaislisäys ja kokonaisero.

tangenttitaso

Olkoot N ja N 0 annetun pinnan pisteitä. Piirretään suora NN 0 . Tasoa, joka kulkee pisteen N 0 kautta, kutsutaan tangenttitaso pintaan, jos sekantin NN 0 ja tämän tason välinen kulma pyrkii nollaan, kun etäisyys NN 0 pyrkii nollaan.

Määritelmä. normaali pintaan pisteessä N 0 kutsutaan suoraa viivaa, joka kulkee pisteen N 0 kautta kohtisuorassa tämän pinnan tangenttitasoon nähden.

Jossain vaiheessa pinnalla on joko vain yksi tangenttitaso tai sitä ei ole ollenkaan.

Jos pinta saadaan yhtälöllä z \u003d f (x, y), missä f (x, y) on pisteessä M 0 (x 0, y 0) differentioituva funktio, tangenttitaso pisteessä N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) on olemassa ja sillä on yhtälö:

Pinnan normaalin yhtälö tässä vaiheessa on:

geometrinen tunne kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalista f (x, y) pisteessä (x 0, y 0) on tangenttitason (z-koordinaatin) lisäys pintaan siirtymisen aikana pisteestä (x 0, y 0) pisteeseen (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Kuten näet, kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin geometrinen merkitys on spatiaalinen analogi yhden muuttujan funktion differentiaalin geometriselle merkitykselle.

Esimerkki. Etsi tangenttitason ja pinnan normaalin yhtälöt

pisteessä M(1, 1, 1).

Tangenttitason yhtälö:

Normaali yhtälö:

Likimääräiset laskelmat kokonaiseron avulla.

Funktion u kokonaisdifferentiaali on:

Tämän lausekkeen tarkka arvo on 1,049275225687319176.

Korkeamman asteen osittaiset johdannaiset.

Jos funktio f(x, y) on määritelty jossain alueella D, niin sen osittaiset derivaatat ja määritellään myös samassa toimialueessa tai sen osassa.

Kutsumme näitä johdannaisiksi ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat.

Näiden funktioiden johdannaiset ovat toisen asteen osittaiset derivaatat.

Jatkamalla saatujen yhtälöiden differentiointia, saadaan korkeamman asteen osittaiset derivaatat.

Tästä artikkelista lukija oppii, mikä on toiminnallisen arvon ääriarvo, sekä sen käytännön ominaisuuksista. Tällaisen käsitteen tutkiminen on erittäin tärkeää korkeamman matematiikan perusteiden ymmärtämiseksi. Tämä aihe on olennainen kurssin syvemmälle tutkimiselle.

Yhteydessä

Mikä on ääripää?

Koulukurssilla annetaan monia määritelmiä "äärimmäisyyden" käsitteelle. Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa syvin ja selkein käsitys termistä niille, jotka eivät tiedä asiasta. Joten termi ymmärretään, missä määrin toiminnallinen intervalli saa minimi- tai maksimiarvon tietyssä joukossa.

Ekstreemi on sekä funktion minimi- että maksimiarvo samanaikaisesti. On minimipiste ja maksimipiste, eli kaavion argumentin ääriarvot. Tärkeimmät tieteet, joissa tätä käsitettä käytetään:

• tilastot;
• koneen ohjaus;
• ekonometria.

Ääripisteillä on tärkeä rooli tietyn funktion järjestyksen määrittämisessä. Kuvaajan koordinaattijärjestelmä näyttää parhaimmillaan ääriasennon muutoksen toiminnallisuuden muutoksesta riippuen.

Johdannaisen funktion ääriarvo

On myös sellainen asia kuin "johdannainen". On tarpeen määrittää ääripiste. On tärkeää olla sekoittamatta minimi- tai maksimipisteitä suurimpaan ja pienimpään arvoon. Nämä ovat erilaisia ​​käsitteitä, vaikka ne saattavat näyttää samanlaisilta.

Funktion arvo on tärkein tekijä määritettäessä, kuinka maksimipiste löydetään. Johdannaista ei muodosteta arvoista, vaan yksinomaan sen ääriasemasta tavalla tai toisessa.

Itse derivaatta määritetään ääripisteiden tietojen perusteella, ei suurimman tai pienimmän arvon perusteella. Venäläisissä kouluissa näiden kahden käsitteen välistä rajaa ei vedetä selkeästi, mikä vaikuttaa tämän aiheen ymmärtämiseen yleisesti.

Tarkastellaanpa nyt sellaista asiaa kuin "terävä ääripää". Tähän mennessä on olemassa akuutti minimiarvo ja akuutti maksimiarvo. Määritelmä on annettu venäläisen funktion kriittisten pisteiden luokituksen mukaisesti. Ääripisteen käsite on perusta kriittisten pisteiden löytämiselle kaaviosta.

Sellaisen käsitteen määrittelemiseen käytetään Fermatin lausetta. Se on tärkein ääripisteiden tutkimisessa ja antaa selkeän kuvan niiden olemassaolosta muodossa tai toisessa. Äärimmäisyyden varmistamiseksi on tärkeää luoda tietyt edellytykset kaavion pienenemiselle tai nousulle.

Jotta voit vastata tarkasti kysymykseen "miten löytää maksimipiste", sinun on noudatettava näitä säännöksiä:

1. Tarkan määritelmäalueen löytäminen kaaviosta.
2. Hae funktion ja ääripisteen derivaatta.
3. Ratkaise argumentin alueen standardiepäyhtälöt.
4. Pystyy todistamaan missä funktioissa kuvaajan piste on määritelty ja jatkuva.

Huomio! Funktion kriittisen pisteen etsintä on mahdollista vain, jos on olemassa vähintään toisen asteen derivaatta, jonka takaa ääripisteen läsnäolon suuri osuus.

Toiminnan ääripään välttämätön ehto

Jotta ääriarvo olisi olemassa, on tärkeää, että siinä on sekä minimi- että maksimipisteet. Jos tätä sääntöä noudatetaan vain osittain, ääripään olemassaolon ehtoa rikotaan.

Jokainen toiminto missä tahansa asennossa on erotettava, jotta sen uudet merkitykset voidaan tunnistaa. On tärkeää ymmärtää, että tapaus, jossa piste katoaa, ei ole pääperiaate erotettavissa olevan pisteen löytämisessä.

Terävä ääriarvo, kuten myös funktiominimi, on erittäin tärkeä näkökohta matemaattisen ongelman ratkaisemisessa ääriarvoja käyttämällä. Tämän komponentin ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää viitata funktion määrittelyssä oleviin taulukkoarvoihin.

Täydellinen merkityksen tutkiminen

Arvon piirtäminen

1. Arvojen nousu- ja laskupisteiden määrittäminen. 2. Murtopisteiden, ääripisteiden ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden löytäminen. 3. Prosessi kaavion sijainnin muutosten määrittämiseksi. 4. Kuperuuden ja kuperuuden indeksin ja suunnan määrittäminen ottaen huomioon asymptoottien esiintyminen. 5. Yhteenvetotaulukon luominen tutkimuksesta sen koordinaattien määrittämiseksi. 6. Löytää äärimmäisten ja akuuttien pisteiden kasvu- ja laskuvälit. 7. Käyrän kuperuuden ja koveruuden määritys. 8. Tutkimuksen perusteella kaavion rakentaminen mahdollistaa minimi- tai maksimiarvon.

Pääelementti, kun on tarpeen työskennellä ääriarvojen kanssa, on sen kaavion tarkka rakenne. Koulujen opettajat eivät usein kiinnitä mahdollisimman paljon huomiota niin tärkeään näkökohtaan, joka on koulutusprosessin törkeä rikkomus. Kaavio on rakennettu vain funktionaalisten tietojen tutkimuksen tulosten, terävien ääripäiden määrittelyn sekä kaavion pisteiden perusteella. Funktion derivaatan terävät ääripäät näytetään tarkkojen arvojen kuvaajalla käyttämällä standardimenettelyä asymptootien määrittämiseen. Funktion maksimi- ja minimipisteisiin liittyy monimutkaisempi piirtäminen. Tämä johtuu syvemmästä tarpeesta selvittää terävän ääripään ongelma. On myös tarpeen löytää monimutkaisen ja yksinkertaisen funktion derivaatta, koska tämä on yksi tärkeimmistä käsitteistä ääripääongelmassa.

Toiminnallinen ääripää

Yllä olevan arvon löytämiseksi sinun on noudatettava seuraavia sääntöjä:

• määrittää äärimmäisen suhteen tarvittava ehto;
• ottaa huomioon kaavion ääripisteiden riittävä kunto;
• laskea akuutti ääripää.

On myös käsitteitä, kuten heikko minimi ja vahva minimi. Tämä on otettava huomioon määritettäessä ääriarvoa ja sen tarkkaa laskemista. Samaan aikaan terävä toiminnallisuus on kaikkien tarvittavien edellytysten etsiminen ja luominen funktiokaavion kanssa työskentelyyn.

Tarkastellaan funktiota y = f(x), jota tarkastellaan välillä (a, b).

Jos väliin (a, b) kuuluvalle pisteelle x1 on mahdollista määrittää sellainen b-naapuri, että kaikilla x:illä (x1, b) epäyhtälö f(x1) > f(x) täyttyy, niin y1 = kutsutaan f1(x1). toiminto maksimi y = f(x) katso kuva.

Funktion y = f(x) maksimi on merkitty arvolla max f(x). Jos väliin (a, b) kuuluvalle pisteelle x2 on mahdollista määrittää 6-naapuri siten, että kaikille x:lle se kuuluu O(x2, 6), x ei ole yhtä suuri kuin x2, epäyhtälö f(x2)< f(x) , niin y2= f(x2) kutsutaan funktion y-f(x) minimiksi (ks. kuva).

Esimerkki maksimin löytämisestä, katso seuraava video

Ominaisuuden minimi

Funktion y = f(x) minimiä merkitään min f(x). Toisin sanoen, funktion maksimi tai minimi y = f(x) nimeltään sen arvo, joka on suurempi (pienempi) kuin kaikki muut arvot, jotka on otettu pisteistä, jotka ovat riittävän lähellä annettua ja poikkeavat siitä.

Huomautus 1. Ominaisuus maksimi, jonka epäyhtälö määrittää, kutsutaan tiukaksi maksimiksi; ei-tiukka maksimi määritellään epäyhtälöllä f(x1) > = f(x2)

Huomautus 2. niillä on paikallinen luonne (nämä ovat funktion suurimmat ja pienimmät arvot vastaavan pisteen riittävän pienellä alueella); Jonkin funktion yksittäiset minimit voivat olla suurempia kuin saman funktion maksimi

Tämän seurauksena kutsutaan funktion maksimi (minimi). paikallinen maksimi(paikallinen minimi) toisin kuin absoluuttinen maksimi (minimi) - suurin (pienin) arvo funktion alueella.

Funktion maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan ääriarvoksi. . Äärimmäisyydet funktioiden piirtämiseen

Latina ääriarvo tarkoittaa "äärimmäistä" merkitys. Argumentin x arvoa, jossa ääriarvo saavutetaan, kutsutaan ääriarvopisteeksi. Ekstreemin välttämätön ehto ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella.

Lause. Differentioituvan funktion ja sen derivaatan ääripisteessä on nolla.

Lauseen geometrinen merkitys on yksinkertainen: differentioituvan funktion kaavion tangentti vastaavassa pisteessä on yhdensuuntainen x-akselin kanssa