Tutkinto
Määrä c (\displaystyle c) nimeltään n-luvun potenssi a (\displaystyle a), Jos
c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n (\displaystyle c=\underbrace (a\cdot a\cdot ...\cdot a) _(n)).Ominaisuudet:
- (a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\right)^(n)=a^(n)b^(n))
- (a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \over b)\right)^(n)=((a^(n)) \over (b^(n))))
- a n a m = a n + m (\näyttötyyli a^(n)a^(m)=a^(n+m))
- a n a m = a n − m (\displaystyle \left.(a^(n) \over (a^(m)))\oikea.=a^(n-m))
- (a n) m = a n m (\näyttötyyli \vasen(a^(n)\oikea)^(m)=a^(nm))
- tietueella ei ole assosiatiivisuuden (yhdistettävyyden) ominaisuutta, eli yleisessä tapauksessa vasen assosiaatio ei ole sama kuin oikea assosiaatio (a n) m ≠ a (n m) (\näyttötyyli (a^(n))^(m)\neq a^(\left((n^(m))\oikea))), tulos riippuu toimintojen järjestyksestä, esimerkiksi (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^(2))^(3)=4^(3)=64), A 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\left((2^(3))\right))=2^(8)=256). On yleisesti hyväksyttyä, että ennätys a n m (\displaystyle a^(n^(m))) vastaava a (n m) (\displaystyle a^(\left((n^(m))\oikea))), ja sen sijaan (a n) m (\näyttötyyli (a^(n))^(m)) voit kirjoittaa yksinkertaisesti a n m (\displaystyle a^(nm)), käyttämällä edellistä ominaisuutta. Jotkut ohjelmointikielet eivät kuitenkaan noudata tätä sopimusta (katso);
- eksponentiolla ei ole kommutatiivisuuden ominaisuutta: yleisesti ottaen a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), Esimerkiksi, 2 5 = 32 (\displaystyle 2^(5)=32), Mutta 5 2 = 25 (\displaystyle 5^(2)=25).
Todellinen tutkinto
Antaa a ⩾ 0 , r (\displaystyle a\geqslant 0,r)- todelliset luvut ja r (\displaystyle r)- irrationaalinen luku. Määritetään arvo seuraavasti.
Kuten tiedetään, mikä tahansa reaaliluku voidaan approksimoida ylhäältä ja alhaalta kahdella rationaaliluvulla, eli se voidaan valita r (\displaystyle r) rationaalinen intervalli [ p , q ] (\displaystyle) millä tahansa tarkkuudella. Sitten kaikkien vastaavien intervallien yhteinen osa [ a p , a q ] (\displaystyle) koostuu yhdestä pisteestä, jota pidetään pisteenä a r (\displaystyle a^(r)).
Toinen lähestymistapa perustuu sarja- ja logaritmien teoriaan (katso).
Tehostaminen
Integroitu tutkinto
Ensin näytämme kuinka eksponentti lasketaan e z (\displaystyle e^(z)), Missä e- Eulerin numero, z- mielivaltainen kompleksiluku, z = x + y i (\näyttötyyli z=x+yi).
e z = e x e y i = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + i e x sin y. (\displaystyle e^(z)=e^(x)e^(yi)=e^(x)(\cos y+i\sin y)=e^(x)\cos y+ie^(x) \sin y.)Mieti nyt yleistä tapausta, missä a , b (\näyttötyyli a,b) molemmat ovat kompleksilukuja. Helpoin tapa tehdä tämä on kuvitella a (\displaystyle a) eksponentiaalisessa muodossa ja identiteettiä käyttäen a b = e b Ln (a) (\näyttötyyli a^(b)=e^(b\ \operaattorinimi (Ln) (a))), Missä Ln (\näyttötyyli \operaattorinimi (Ln) )- kompleksinen logaritmi:
a b = (re θ i) b = (e Ln (r) + θ i) b = e (Ln (r) + θ i) b. (\displaystyle a^(b)=(re^((\theta )i))^(b)=(e^(\operaattorinimi (Ln) (r)+(\theta )i))^(b)= e^((\operaattorinimi (Ln) (r)+(\theta )i)b).)On pidettävä mielessä, että kompleksinen logaritmi on moniarvoinen funktio, joten yleisesti ottaen kompleksitehoa ei ole määritelty yksiselitteisesti.
Tutkinto funktiona
Koska lauseke käyttää kahta merkkiä ( x (\displaystyle x) Ja y (\displaystyle y)), sitä voidaan pitää yhtenä kolmesta funktiosta:
Hyödyllisiä kaavoja
X y = a y log a x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))
Kahta viimeistä kaavaa käytetään nostamaan positiiviset luvut mielivaltaiseen tehoon elektronisissa laskimissa (mukaan lukien tietokoneohjelmat), joissa ei ole sisäänrakennettua toimintoa x y (\displaystyle x^(y)).
Käyttö suullisessa puheessa
Ennätys a n (\displaystyle a^(n)) yleensä luetaan " a V n (\displaystyle n) aste" tai " a jossain määrin n" Esimerkiksi, 10 4 (\displaystyle 10^(4)) luetaan "kymmenestä neljänteen tehoon" 10 3/2 (\displaystyle 10^(3/2)) lukee "kymmenen kolmen sekunnin (tai: puolentoista) tarkkuudella".
Toiselle ja kolmannelle potenssille on olemassa erityiset nimet: neliöinti ja kuutio, vastaavasti. Esimerkiksi, 10 2 (\displaystyle 10^(2)) luetaan "kymmenen neliönä" 10 3 (\displaystyle 10^(3)) luetaan "kymmenen kuutiona". Tämä terminologia on peräisin antiikin Kreikan matematiikasta. Muinaiset kreikkalaiset muotoilivat algebrallisia rakenteita geometrisen algebran kielellä (Englanti) Venäjän kieli. Erityisesti sanan "kertominen" sijaan he puhuivat alueesta a 3 (\displaystyle a^(3)) - tämä on " a kerrottuna itsestään kolme kertaa”, mikä tarkoittaa, että otetaan kolme tekijää a (\displaystyle a). Tämä ei ole täysin tarkkaa ja voi aiheuttaa epäselvyyttä, koska kertolaskujen määrä on yksi vähemmän: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(kolme kertojaa, mutta kaksi kertolaskua). Usein, kun he sanovat "kuvattu muodossa ja x I V (\displaystyle x^(IV)) vastaavasti . Descartesista lähtien tutkinto merkittiin muodon "kaksikerroksisella" merkinnällä a b (\displaystyle a^(b)).
Tietokoneiden ja tietokoneohjelmien tultua esiin ongelmana syntyi, että tietokoneohjelmien tekstiin on mahdotonta kirjoittaa tutkintoa "kaksikerroksisessa" muodossa. Tässä suhteessa keksittiin erityisiä symboleja osoittamaan eksponentioimisen toimintaa. Ensimmäinen tällainen kuvake oli kaksi tähteä.
Jotkut eksponentiomerkit ohjelmointikielissä ja tietokonejärjestelmissä.
Mene verkkosivustomme youtube-kanavalle pysyäksesi ajan tasalla kaikista uusista videotunneista.
Ensin muistellaan valtuuksien peruskaavat ja niiden ominaisuudet.
Numeron tulo a esiintyy itsestään n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Teho- tai eksponentiaaliyhtälöt– nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potenssiina (tai eksponenteina) ja kanta on luku.
Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:
Tässä esimerkissä luku 6 on kanta; se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai indikaattori.
Annetaan lisää esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
Katsotaanpa nyt kuinka eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan?
Otetaan yksinkertainen yhtälö:
2 x = 2 3
Tämä esimerkki voidaan ratkaista jopa päässäsi. Voidaan nähdä, että x=3. Loppujen lopuksi, jotta vasen ja oikea puoli olisivat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x:n sijaan.
Katsotaan nyt, kuinka tämä päätös virallistetaan:
2 x = 2 3
x = 3
Sellaisen yhtälön ratkaisemiseksi poistimme identtiset perusteet(eli kaksikko) ja kirjoitit muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme vastauksen, jota etsimme.
Tehdään nyt yhteenveto päätöksestämme.
Algoritmi eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarkasta sama onko yhtälöllä kantaa oikealla ja vasemmalla. Jos syyt eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun pohjat ovat muuttuneet samanlaisiksi, rinnastaa astetta ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.
Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä:
Aloitetaan jostain yksinkertaisesta.
Vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat yhtä suuria kuin luku 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.
x+2=4 Saadaan yksinkertaisin yhtälö.
x = 4-2
x=2
Vastaus: x = 2
Seuraavassa esimerkissä voit nähdä, että kantat ovat erilaisia: 3 ja 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Siirrä ensin yhdeksän oikealle puolelle, saamme:
Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 3 2. Käytetään tehokaavaa (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Saamme 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Nyt on selvää, että vasemmalla ja oikealla puolella kantat ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.
3x=2x+16 saadaan yksinkertaisin yhtälö
3x - 2x = 16
x = 16
Vastaus: x = 16.
Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Ensinnäkin tarkastelemme pohjaa, perustaa kaksi ja neljä. Ja meidän on oltava samat. Muunnamme ne neljä kaavalla (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Lisää yhtälöön:
2 2 x 2 4 - 10 2 2 x = 24
Annoimme esimerkin samoista syistä. Mutta muut numerot 10 ja 24 häiritsevät meitä. Mitä niille tehdään? Jos katsot tarkasti, näet, että vasemmalla puolella meillä on 2 2x toistettu, tässä on vastaus - voimme laittaa 2 2x suluista:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Lasketaan suluissa oleva lauseke:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Jaamme koko yhtälön kuudella:
Kuvitellaan 4=2 2:
2 2x = 2 2 kantaa ovat samat, hylkäämme ne ja vertaamme asteet.
2x = 2 on yksinkertaisin yhtälö. Jaa se kahdella ja saa
x = 1
Vastaus: x = 1.
Ratkaistaan yhtälö:
9 x – 12*3 x +27= 0
Muunnetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Kantamme ovat samat, yhtä kuin kolme. Tässä esimerkissä voit nähdä, että kolmella ensimmäisellä on aste kaksi kertaa (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit ratkaista korvausmenetelmä. Korvaamme numeron pienimmällä asteella:
Sitten 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Korvaamme kaikki yhtälön x potenssit t:llä:
t 2 - 12t+27 = 0
Saamme toisen asteen yhtälön. Ratkaisemalla diskriminantin kautta saamme:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t2 = 3
Palataan muuttujaan x.
Ota t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Tuo on,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Yksi juuri löytyi. Etsimme toista t 2:sta:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 = 2; x 2 = 1.
Verkkosivustolla voit kysyä mitä tahansa kysymyksiä APUA PÄÄTÖS -osiossa, me vastaamme sinulle varmasti.
Liity ryhmään
Syötä numero ja aste ja paina sitten =.
^Astetaulukko
Esimerkki: 2 3 =8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tutkinnon ominaisuudet - 2 osaa
Taulukko algebran pääasteista kompaktissa muodossa (kuva, kätevä tulostettavaksi), numeron päällä, asteen sivulla.
y (x) = e x, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin itse funktio.Eksponentti on merkitty , tai .
Numero e
Eksponenttiasteen perusta on numero e. Tämä on irrationaalinen luku. Se on suunnilleen yhtä suuri
e ≈ 2,718281828459045...
Luku e määritetään sekvenssin rajan kautta. Tämä on ns toinen ihana raja:
.
Luku e voidaan esittää myös sarjana:
.
Eksponentiaalinen kaavio
Eksponentiaalinen kuvaaja, y = e x .Kaavio näyttää eksponentiaalin e jossain määrin X.
y (x) = e x
Kaavio osoittaa, että eksponentti kasvaa monotonisesti.
Kaavat
Peruskaavat ovat samat kuin eksponentiaalisella funktiolla, jonka kanta on e.
;
;
;
Eksponentiaalisen funktion ilmaisu mielivaltaisella asteella a eksponentiaalin kautta:
.
Yksityiset arvot
Anna y (x) = e x. Sitten
.
Eksponentin ominaisuudet
Eksponentilla on potenssipohjaisen eksponentiaalifunktion ominaisuudet e > 1 .
Verkkoalue, arvojoukko
Eksponentti y (x) = e x määritelty kaikille x:lle.
Sen määritelmäalue:
- ∞ < x + ∞
.
Sen monet merkitykset:
0
< y < + ∞
.
Äärimmäisyydet, lisääntyvät, vähenevät
Eksponentiaali on monotonisesti kasvava funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Sen tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa.
Käänteinen funktio
Eksponentin käänteisarvo on luonnollinen logaritmi.
;
.
Eksponentin johdannainen
Johdannainen e jossain määrin X yhtä kuin e jossain määrin X
:
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Johtamiskaavat >>>
Integraali
Monimutkaiset luvut
Operaatiot kompleksiluvuilla suoritetaan käyttämällä Eulerin kaavat:
,
missä on kuvitteellinen yksikkö:
.
Lausekkeet hyperbolisten funktioiden kautta
;
;
.
Lausekkeet trigonometristen funktioiden avulla
;
;
;
.
Power-sarjan laajennus
Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.
Tutkintokaavat käytetään monimutkaisten lausekkeiden pelkistys- ja yksinkertaistamisprosessissa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.
Määrä c On n-luvun potenssi a Kun:
Operaatiot asteilla.
1. Kertomalla asteet samalla pohjalla niiden indikaattorit lisätään:
olen·a n = a m + n .
2. Kun asteet jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään:
3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Murto-osan aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:
(a/b) n = an/bn.
5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:
(a m) n = a m n.
Jokainen yllä oleva kaava on totta suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.
Esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operaatiot juurilla.
1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:
2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:
3. Nostettaessa juuria potenssiin, riittää nostaa radikaaliluku tähän potenssiin:
4. Jos lisäät juuren astetta n kerran ja samaan aikaan rakentaa sisään n th potenssi on radikaaliluku, silloin juuren arvo ei muutu:
5. Jos vähennät juuren astetta n irrota juuri samaan aikaan n-radikaaliluvun potenssi, niin juuren arvo ei muutu:
Aste, jossa on negatiivinen eksponentti. Tietyn luvun, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, potenssi määritellään jaettuna saman luvun potenssilla, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:
Kaava olen:a n =a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös kanssa m< n.
Esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Kaavaan olen:a n =a m - n tuli reiluksi, kun m = n, vaaditaan nollaastetta.
Tutkinto nollaindeksillä. Minkä tahansa luvun, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla ja jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.
Esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Aste murtoluvulla. Nostaaksesi todellista numeroa A asteeseen asti m/n, sinun on purettava juuri n aste m- tämän luvun potenssi A.
