Luento 6. Derivaatojen soveltaminen funktioiden tutkimiseen

Jos toiminto f(x) on derivaatan jokaisessa janan [ A, b], niin sen käyttäytymistä voidaan tutkia derivaatan avulla f"(X).

Katsotaanpa differentiaalilaskennan peruslauseita, jotka ovat johdannaissovellusten taustalla.

Fermatin lause

Lause(Maatila) ( derivaatan yhtäläisyydestä nollaan ). Jos toiminto f(x), vaihteluvälillä (a, b) ja saavuttaa suurimman tai pienimmän arvonsa kohdassa c є ( a, b), niin funktion derivaatta tässä pisteessä on nolla, eli f"(Kanssa) = 0.

Todiste. Anna toiminnon f(x) on erotettavissa välillä ( a, b) ja pisteessä X = Kanssa vie suurimman arvon M klo Kanssa є ( a, b) (Kuva 1), so.

f(Kanssa) ≥ f(x) tai f(x) – f(c) ≤ 0 tai f(s +Δ X) – f(Kanssa) ≤ 0.

Johdannainen f"(x) kohdassa X = Kanssa: .

Jos x> c, Δ X> 0 (eli Δ X→ 0 pisteen oikealla puolella Kanssa), Tuo ja siksi f"(Kanssa) ≤ 0.

Jos x< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 pisteen vasemmalla puolella Kanssa), Tuo , josta se seuraa f"(Kanssa) ≥ 0.

Ehdon mukaan f(x) on erotettavissa pisteessä Kanssa, joten sen raja on x→ Kanssa ei riipu väitteen lähestymistavan suunnasta x asiaan Kanssa, eli .

Saamme järjestelmän, josta se seuraa f"(Kanssa) = 0.

Varalta f(Kanssa) = T(nuo. f(x) ottaa pisteen Kanssa pienin arvo), todistus on samanlainen. Lause on todistettu.

Fermatin lauseen geometrinen merkitys: intervallin sisällä saavutetun suurimman tai pienimmän arvon kohdassa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Tiedosto FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Ukrainan todistus nro 27312

LYHYT TODISTUS FERmatin viimeisestä lauseesta

Fermatin viimeinen lause muotoillaan seuraavasti: Diofantiiniyhtälö (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A n + B n = C n * /1/

Missä n- positiivisella kokonaisluvulla, joka on suurempi kuin kaksi, ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina A , B , KANSSA .

TODISTE

Fermatin viimeisen lauseen muotoilusta seuraa: jos n on positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin kaksi, edellyttäen, että kaksi kolmesta luvusta A , SISÄÄN tai KANSSA- positiiviset kokonaisluvut, yksi näistä luvuista ei ole positiivinen kokonaisluku.

Rakennamme todistuksen aritmeettisen peruslauseen perusteella, jota kutsutaan "ainutlaatuiseksi tekijöiden jakamisen teoreemaksi" tai "yhdistettyjen kokonaislukujen tekijöiden jakamisen ainutlaatuisuuslauseeksi". Parittomat ja parilliset eksponentit ovat mahdollisia n . Harkitse molempia tapauksia.

1. Tapaus yksi: eksponentti n - pariton numero.

Tässä tapauksessa lauseke /1/ muunnetaan tunnettujen kaavojen mukaan seuraavasti:

A n + SISÄÄN n = KANSSA n /2/

me uskomme tuon A Ja B– positiiviset kokonaisluvut.

Numerot A , SISÄÄN Ja KANSSA on oltava keskenään alkulukuja.

Yhtälöstä /2/ seuraa, että annetuille lukuarvoille A Ja B tekijä ( A + B ) n , KANSSA.

Oletetaan, että numero KANSSA - positiivinen kokonaisluku. Hyväksytyt ehdot ja aritmeettisen peruslauseen huomioon ottaen ehdon tulee täyttyä :

KANSSA n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

missä on tekijä Dn D

Yhtälöstä /3/ seuraa:

Yhtälöstä /3/ seuraa myös, että numero [ Cn = A n + Bn ] edellyttäen, että numero KANSSA ( A + B ) n. Tiedetään kuitenkin, että:

A n + Bn < ( A + B ) n /5/

Siten:

- murtoluku, joka on pienempi kuin yksi. /6/

Murtoluku.

n

Parittomille eksponenteille n >2 määrä:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Yhtälön /2/ analyysistä seuraa, että parittomalla eksponentilla n määrä:

KANSSA n = A n + SISÄÄN n = (A+B)

koostuu kahdesta tietystä algebrallisesta tekijästä ja mille tahansa eksponentin arvolle n algebrallinen tekijä pysyy ennallaan ( A + B ).

Siten Fermatin viimeisessä lauseessa ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina parittomille eksponenteille n >2.

2. Tapaus kaksi: eksponentti n - tasaluku .

Fermatin viimeisen lauseen olemus ei muutu, jos kirjoitamme yhtälön /1/ uudelleen seuraavasti:

A n = Cn - Bn /7/

Tässä tapauksessa yhtälö /7/ muunnetaan seuraavasti:

A n = C n - B n = ( KANSSA +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Hyväksymme sen KANSSA Ja SISÄÄN- kokonaislukuja.

Yhtälöstä /8/ seuraa, että annetuille lukuarvoille B Ja C tekijä (C+ B ) on sama arvo mille tahansa eksponentin arvolle n , siksi se on luvun jakaja A .

Oletetaan, että numero A– kokonaisluku. Hyväksytyt ehdot ja aritmeettisen peruslauseen huomioon ottaen ehdon tulee täyttyä :

A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

missä on tekijä Dn on oltava kokonaisluku ja siten luku D on myös oltava kokonaisluku.

Yhtälöstä /9/ seuraa:

/10/

Yhtälöstä /9/ seuraa myös, että numero [ A n = KANSSA n - Bn ] edellyttäen, että numero A– kokonaisluku, jonka on oltava jaollinen luvulla (C+ B ) n. Tiedetään kuitenkin, että:

KANSSA n - Bn < (С+ B ) n /11/

Siten:

- murtoluku, joka on pienempi kuin yksi. /12/

Murtoluku.

Tästä seuraa, että eksponentin parittomalla arvolla n Fermatin viimeisen lauseen yhtälöllä /1/ ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina.

Tasaisille eksponenteille n >2 määrä:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Siten Fermatin viimeisellä lauseella ei ole ratkaisua positiivisilla kokonaisluvuilla ja parillisilla eksponenteilla n >2.

Yleinen johtopäätös seuraa yllä olevasta: Fermatin viimeisen lauseen yhtälöllä /1/ ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina A, B Ja KANSSA edellyttäen, että eksponentti n >2.

LISÄPERUSTEET

Siinä tapauksessa, että eksponentti n – parillinen luku, algebrallinen lauseke ( Cn - Bn ) hajoaa algebrallisiin tekijöihin:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 - B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Annetaan esimerkkejä numeroina.

ESIMERKKI 1: B = 11; C = 35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 673 ∙ 75633 .

ESIMERKKI 2: B = 16; C = 25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Yhtälöiden /13/, /14/, /15/ ja /16/ ja vastaavien numeeristen esimerkkien analyysistä seuraa:

Tietylle eksponentille n , jos se on parillinen luku, numero A n = C n - Bn hajoaa hyvin määritellyksi määräksi hyvin määriteltyjä algebrallisia tekijöitä;

Kaikille eksponenteille n , jos se on parillinen luku, algebrallisessa lausekkeessa ( Cn - Bn ) kertoimia on aina ( C - B ) Ja ( C + B ) ;

Jokainen algebrallinen tekijä vastaa täysin määrättyä numeerista tekijää;

Annetuille numeroille SISÄÄN Ja KANSSA numeeriset tekijät voivat olla alkulukuja tai yhdistettyjä numeerisia tekijöitä;

Jokainen yhdistetty numeerinen tekijä on alkulukujen tulo, jotka puuttuvat osittain tai kokonaan muista yhdistetyistä numeerisista tekijöistä;

Alkulukujen koko komposiittisten numeeristen tekijöiden koostumuksessa kasvaa näiden tekijöiden kasvaessa;

Suurin yhdistelmänumeerinen tekijä, joka vastaa suurinta algebrallista tekijää, sisältää suurimman alkuluvun potenssiin, joka on pienempi kuin eksponentti n(useimmiten ensimmäisessä asteessa).

JOHTOPÄÄTÖKSET: Lisätodisteet tukevat johtopäätöstä, että Fermatin viimeisellä lauseella ei ole ratkaisua positiivisina kokonaislukuina.

mekaniikkainsinööri

Kyselyn "Fermatin lause" suosiosta päätellen lyhyt todiste" tämä matemaattinen ongelma todella kiinnostaa monia ihmisiä. Tämän lauseen esitti ensimmäisen kerran Pierre de Fermat vuonna 1637 aritmeettisen kopion reunalla, jossa hän väitti, että hänellä oli ratkaisu, joka oli liian suuri mahtumaan reunaan.

Ensimmäinen onnistunut todistus julkaistiin vuonna 1995, Andrew Wilesin täydellinen todistus Fermatin lauseesta. Sitä kuvailtiin "upeaksi edistykseksi", ja Wiles sai Abel-palkinnon vuonna 2016. Vaikka Fermatin lauseen todistus kuvattiin suhteellisen lyhyesti, se osoitti myös suuren osan modulaarisuuslauseesta ja avasi uusia lähestymistapoja lukuisiin muihin ongelmiin ja tehokkaita menetelmiä modulaarisuuden nostamiseksi. Nämä saavutukset ovat edistyneet matematiikassa 100 vuodella. Fermatin pienen lauseen todistus ei ole nykyään mikään tavallisuudesta poikkeava.

Ratkaisematon ongelma kiihdytti algebrallisen lukuteorian kehitystä 1800-luvulla ja etsimään todisteita modulaarisuuslauseesta 1900-luvulla. Se on yksi matematiikan historian merkittävimmistä teoreemoista, ja ennen Fermatin viimeisen lauseen täydellistä todistetta jakoa se oli Guinnessin ennätysten kirjassa "vaikeimpana matemaattisena ongelmana", jonka yksi piirre on että sillä on eniten epäonnistuneita todisteita.

Historiallinen viittaus

Pythagoraan yhtälöllä x 2 + y 2 = z 2 on ääretön määrä positiivisia kokonaislukuratkaisuja x:lle, y:lle ja z:lle. Näitä ratkaisuja kutsutaan Pythagoraan kolminaisuuksiksi. Noin 1637 Fermat kirjoitti kirjan marginaaliin, että yleisemmällä yhtälöllä a n + b n = c n ei ollut ratkaisuja luonnollisissa luvuissa, jos n oli kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2. Vaikka Fermat itse väitti löytäneensä ratkaisun ongelmaansa, hän teki niin. älä jätä mitään yksityiskohtia hänen todisteistaan. Sen luojan esittämä alkeistodistus Fermatin lauseesta oli pikemminkin hänen kerskaileva keksintönsä. Suuren ranskalaisen matemaatikon kirja löydettiin 30 vuotta hänen kuolemansa jälkeen. Tämä yhtälö, jota kutsutaan Fermatin viimeiseksi lauseeksi, jäi ratkaisematta matematiikassa kolme ja puoli vuosisataa.

Lauseesta tuli lopulta yksi matematiikan merkittävimmistä ratkaisemattomista ongelmista. Yritykset todistaa tämä sai aikaan merkittävää kehitystä lukuteoriassa, ja ajan myötä Fermatin viimeinen lause tuli tunnetuksi ratkaisemattomana matematiikan ongelmana.

Lyhyt todisteiden historia

Jos n = 4, kuten Fermat itse todisti, riittää todistamaan lause indekseille n, jotka ovat alkulukuja. Kahden seuraavan vuosisadan aikana (1637-1839) olettamus todistettiin vain alkuluvuille 3, 5 ja 7, vaikka Sophie Germain päivitti ja osoitti lähestymistavan, joka soveltui koko alkulukuluokkaan. 1800-luvun puolivälissä Ernst Kummer laajensi tätä ja todisti lauseen kaikille säännöllisille alkuluvuille, jolloin epäsäännölliset alkuluvut analysoitiin yksittäin. Kummerin työhön perustuen ja pitkälle kehitettyä tietokonetutkimusta muut matemaatikot pystyivät laajentamaan ratkaisua lauseeseen, jonka tavoitteena oli kattaa kaikki tärkeimmät eksponentit neljään miljoonaan asti, mutta todisteita kaikille eksponenteille ei vieläkään ollut saatavilla (eli matemaatikot pitivät yleensä ratkaisua lauseeseen mahdotonta, erittäin vaikeaa tai saavuttamatonta nykytiedolla).

Shimuran ja Taniyaman töitä

Vuonna 1955 japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama epäilivät, että elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen välillä oli yhteys, kaksi täysin erilaista matematiikan aluetta. Se tunnettiin tuolloin Taniyama-Shimura-Weil-oletuksena ja (lopulta) modulaarisuuslauseena, ja se pysyi omana puolensa ilman näkyvää yhteyttä Fermatin viimeiseen lauseeseen. Sitä pidettiin laajalti tärkeänä matemaattisena lauseena sinänsä, mutta sitä pidettiin (kuten Fermatin lauseen) mahdoton todistaa. Samaan aikaan Fermatin suuren lauseen todistus (jakomenetelmällä ja monimutkaisten matemaattisten kaavojen avulla) suoritettiin vasta puoli vuosisataa myöhemmin.

Vuonna 1984 Gerhard Frey huomasi ilmeisen yhteyden näiden kahden aiemmin toisiinsa liittymättömän ja ratkaisemattoman ongelman välillä. Ken Ribet julkaisi täydellisen todisteen näiden kahden lauseen läheisestä yhteydestä vuonna 1986, joka rakensi Jean-Pierre Serresin osittaiseen todistukseen, joka todisti kaikki paitsi yhden osan, joka tunnetaan nimellä "epsilon-oletus". Yksinkertaisesti sanottuna nämä Freyn, Serresin ja Riben teokset osoittivat, että jos modulaarisuuslause voitaisiin todistaa ainakin puoliperäiselle elliptisten käyrien luokalle, niin myös Fermatin viimeisen lauseen todistus löydettäisiin ennemmin tai myöhemmin. Mitä tahansa ratkaisua, joka voi olla ristiriidassa Fermatin viimeisen lauseen kanssa, voidaan käyttää myös modulaarisuuslauseen kanssa ristiriidassa. Siksi, jos modulaarisuuslause osoittautui oikeaksi, ei määritelmän mukaan voi olla ratkaisua, joka on ristiriidassa Fermatin viimeisen lauseen kanssa, mikä tarkoittaa, että se olisi pitänyt todistaa pian.

Vaikka molemmat lauseet olivat vaikeita matematiikan ongelmia, joita pidettiin ratkaisemattomina, kahden japanilaisen työ oli ensimmäinen ehdotus siitä, kuinka Fermatin viimeistä lausetta voitaisiin laajentaa ja todistaa kaikille luvuille, ei vain joihinkin. Tutkimusaiheen valinneille tutkijoille oli tärkeää se, että toisin kuin Fermatin viimeinen lause, modulaarisuuslause oli tärkeä aktiivinen tutkimusalue, jolle oli kehitetty todiste, eikä vain historiallinen omituisuus, joten käytetty aika työskentely sen parissa voisi olla perusteltua ammatillisesta näkökulmasta. Yleinen yksimielisyys oli kuitenkin, että Taniyama-Shimura-oletuksen ratkaiseminen ei ollut käytännöllistä.

Fermatin viimeinen lause: Wilesin todiste

Saatuaan tietää, että Ribet oli osoittanut Freyn teorian oikeaksi, englantilainen matemaatikko Andrew Wiles, joka oli lapsuudesta asti ollut kiinnostunut Fermatin viimeisestä lauseesta ja jolla oli kokemusta elliptisten käyrien ja niihin liittyvien kenttien kanssa työskentelystä, päätti yrittää todistaa Taniyama-Shimura-oletuksen keinona todistaa Fermatin viimeisen lauseen. Vuonna 1993, kuusi vuotta tavoitteensa ilmoittamisen jälkeen, työskennellessään salaa lauseen ratkaisemisen ongelman parissa, Wiles onnistui todistamaan asiaan liittyvän olettamuksen, joka puolestaan ​​auttaisi häntä todistamaan Fermatin viimeisen lauseen. Wilesin asiakirja oli kooltaan ja laajuudeltaan valtava.

Virhe löydettiin hänen alkuperäisen artikkelinsa yhdestä osasta vertaisarvioinnin aikana, ja se vaati vielä vuoden yhteistyötä Richard Taylorin kanssa lauseen ratkaisemiseksi yhdessä. Tämän seurauksena Wilesin viimeinen todistus Fermatin viimeisestä lauseesta ei odottanut kauan. Vuonna 1995 se julkaistiin paljon pienemmässä mittakaavassa kuin Wilesin edellinen matemaattinen työ, mikä osoitti selvästi, että hän ei ollut erehtynyt aiemmissa päätelmissään lauseen todistamisen mahdollisuudesta. Wilesin saavutuksista kerrottiin laajalti suosituissa lehdistössä, ja sitä popularisoitiin kirjoissa ja televisio-ohjelmissa. Muut matemaatikot, jotka rakensivat Wilesin työhön vuosina 1996-2001, todistivat loput Taniyama-Shimura-Weilin arvelun osat, jotka on nyt todistettu ja tunnetaan modulaarisuuslauseena. Wiles palkittiin saavutuksestaan ​​ja sai lukuisia palkintoja, mukaan lukien vuoden 2016 Abel-palkinnon.

Wilesin todistus Fermatin viimeisestä lauseesta on elliptisten käyrien modulaarisuuslauseen ratkaisun erikoistapaus. Tämä on kuitenkin tunnetuin tapaus niin laajamittaisesta matemaattisesta operaatiosta. Ribetin lauseen ratkaisemisen ohella brittiläinen matemaatikko sai myös todisteen Fermatin viimeisestä lauseesta. Nykyaikaiset matemaatikot pitivät Fermatin viimeistä lausetta ja modulaarisuuslausetta lähes yleisesti todistamattomina, mutta Andrew Wiles pystyi todistamaan koko tiedemaailmalle, että myös tutkijat voivat erehtyä.

Wiles ilmoitti löydöstään ensimmäisen kerran keskiviikkona 23. kesäkuuta 1993 Cambridgessa pitämässään luennossa "Modulaariset muodot, elliptiset käyrät ja Galois-esitykset". Syyskuussa 1993 kuitenkin todettiin, että hänen laskelmissaan oli virhe. Vuotta myöhemmin, 19. syyskuuta 1994, "työelämänsä tärkeimmäksi hetkeksi" Wiles törmäsi paljastukseen, jonka ansiosta hän pystyi korjaamaan ongelman ratkaisun siihen pisteeseen, että se saattoi tyydyttää matemaattiset perusteet. Yhteisö.

Työn ominaisuudet

Andrew Wilesin todistus Fermatin lauseesta käyttää monia algebrallisen geometrian ja lukuteorian tekniikoita, ja sillä on monia seurauksia näillä matematiikan aloilla. Hän käyttää myös modernin algebrallisen geometrian vakiorakenteita, kuten kaaviokategoriaa ja Iwasawa-teoriaa, sekä muita 1900-luvun menetelmiä, joita Pierre Fermat ei voinut käyttää.

Kaksi todisteita sisältävää artikkelia ovat yhteensä 129 sivua, ja ne on kirjoitettu seitsemän vuoden aikana. John Coates kuvaili tätä löytöä yhdeksi lukuteorian suurimmista saavutuksista, ja John Conway kutsui sitä 1900-luvun tärkeimmäksi matemaattiseksi saavutukseksi. Todistaakseen Fermatin viimeisen lauseen osoittamalla modulaarisuuslauseen puoliperäisten elliptisten käyrien erikoistapaukselle, Wiles kehitti tehokkaita menetelmiä modulaarisuuden nostamiseen ja löysi uusia lähestymistapoja lukuisiin muihin ongelmiin. Fermatin viimeisen lauseen ratkaisemisesta hänet valittiin ritariksi ja hän sai muita palkintoja. Kun ilmoitettiin, että Wiles oli voittanut Abel-palkinnon, Norjan tiedeakatemia kuvaili hänen saavutustaan ​​"ihanaksi ja alkeelliseksi todisteeksi Fermatin viimeisestä lauseesta".

Millainen se oli

Yksi henkilöistä, jotka analysoivat Wilesin alkuperäistä käsikirjoitusta lauseen ratkaisusta, oli Nick Katz. Katselmuksensa aikana hän esitti britille sarjan selventäviä kysymyksiä, jotka pakottivat Wilesin myöntämään, että hänen työssään oli selvästi aukko. Eräässä todistuksen kriittisessä osassa, joka antoi arvion tietyn ryhmän järjestyksestä, oli virhe: Kolyvaginin ja Flachin menetelmän laajentamiseen käytetty Euler-järjestelmä oli epätäydellinen. Virhe ei kuitenkaan tehnyt hänen työstään hyödytöntä - jokainen osa Wilesin työstä oli sinänsä erittäin merkittävä ja innovatiivinen, samoin kuin monet hänen työssään luomistaan ​​kehityssuunnista ja menetelmistä, jotka vaikuttivat vain yhteen osaan käsikirjoitus. Tämä alkuperäinen vuonna 1993 julkaistu teos ei kuitenkaan varsinaisesti tarjonnut todistetta Fermatin viimeisestä lauseesta.

Wiles käytti melkein vuoden yrittäessään löytää uudelleen ratkaisun lauseeseen ensin yksin ja sitten yhteistyössä entisen oppilaansa Richard Taylorin kanssa, mutta kaikki näytti olevan turhaa. Vuoden 1993 loppuun mennessä oli levinnyt huhuja, että Wilesin todiste oli epäonnistunut testauksessa, mutta epäonnistumisen vakavuutta ei tiedetty. Matemaatikot alkoivat painostaa Wilesiä paljastamaan työnsä yksityiskohdat, olipa se valmis vai ei, jotta laajempi matemaatikoiden yhteisö voisi tutkia ja käyttää kaikkea, mitä hän oli saavuttanut. Sen sijaan, että Wiles olisi korjannut virheensä nopeasti, hän havaitsi vain lisää monimutkaisuutta Fermatin viimeisen lauseen todistuksessa ja tajusi lopulta, kuinka vaikeaa se oli.

Wiles kertoo, että aamulla 19. syyskuuta 1994 hän oli luovuttamisen ja luovuttamisen partaalla ja melkein myöntyi siihen tosiasiaan, että hän oli epäonnistunut. Hän oli halukas julkaisemaan keskeneräiset työnsä, jotta muut voisivat rakentaa sen pohjalle ja löytää, missä hän oli mennyt pieleen. Englantilainen matemaatikko päätti antaa itselleen viimeisen mahdollisuuden ja analysoi lauseen viimeisen kerran yrittääkseen ymmärtää tärkeimmät syyt siihen, miksi hänen lähestymistapansa ei toiminut, kun hän yhtäkkiä tajusi, että Kolyvagin-Flac-lähestymistapa ei toimisi ennen kuin hän sisällytti myös todisteet prosessi Iwasawan teoria, mikä saa sen toimimaan.

Lokakuun 6. päivänä Wiles pyysi kolmea kollegansa (mukaan lukien Faltinsia) arvioimaan uutta työtään, ja 24. lokakuuta 1994 hän lähetti kaksi käsikirjoitusta, "Modulaariset elliptiset käyrät ja Fermatin viimeinen lause" ja "Joidenkin Hecken algebroiden renkaan teoreettiset ominaisuudet". ", joista toinen Wiles kirjoitti yhdessä Taylorin kanssa ja väitti, että tietyt ehdot, jotka ovat välttämättömiä pääartikkelin korjatun vaiheen perustelemiseksi, täyttyivät.

Nämä kaksi artikkelia tarkistettiin ja julkaistiin lopulta kokotekstipainoksessa Annals of Mathematics -lehden toukokuussa 1995. Andrew'n uudet laskelmat analysoitiin laajasti ja lopulta hyväksyttiin tiedeyhteisössä. Nämä työt perustivat modulaarisuuslauseen puolisoitaville elliptisille käyrälle, viimeinen askel kohti Fermatin viimeisen lauseen todistamista, 358 vuotta sen luomisen jälkeen.

Suuren ongelman historia

Tämän lauseen ratkaisemista on pidetty matematiikan suurimmana ongelmana vuosisatojen ajan. Vuonna 1816 ja uudelleen vuonna 1850 Ranskan tiedeakatemia tarjosi palkinnon Fermat'n viimeisen lauseen yleisestä todistuksesta. Vuonna 1857 Akatemia myönsi Kummerille 3 000 frangia ja kultamitalin ideaalisten lukujen tutkimuksesta, vaikka hän ei hakenut palkintoa. Brysselin akatemia tarjosi hänelle toisen palkinnon vuonna 1883.

Wolfskehl-palkinto

Vuonna 1908 saksalainen teollisuusmies ja amatöörimatemaatikko Paul Wolfskehl testamentti Göttingenin tiedeakatemialle 100 000 kultamarkkaa (suuri summa siihen aikaan) palkinnoksi Fermatin viimeisen lauseen täydellisestä todistuksesta. Akatemia julkaisi 27. kesäkuuta 1908 yhdeksän palkintosääntöä. Nämä säännöt vaativat muun muassa todisteiden julkaisemista vertaisarvioidussa lehdessä. Palkinto myönnettiin vasta kahden vuoden kuluttua julkaisemisesta. Kilpailun oli määrä päättyä 13. syyskuuta 2007 - noin vuosisata sen alkamisen jälkeen. 27. kesäkuuta 1997 Wiles sai Wolfschelin palkintorahat ja sitten vielä 50 000 dollaria. Maaliskuussa 2016 hän sai Norjan hallitukselta 600 000 euroa osana Abel-palkintoa hänen "hämmästyttävästä todistuksestaan ​​Fermatin viimeisestä lauseesta, joka käytti modulaarisuusoletusta puoliperäisistä elliptisistä käyristä, mikä avaa uuden aikakauden lukuteoriassa". Se oli vaatimattomalle englantilaiselle maailman voitto.

Ennen Wilesin todistetta Fermatin lausetta, kuten aiemmin mainittiin, pidettiin ehdottoman ratkaisemattomana vuosisatojen ajan. Wolfskehlin komitealle esitettiin eri aikoina tuhansia vääriä todisteita, jotka käsittivät noin 10 jalkaa (3 metriä) kirjeenvaihtoa. Pelkästään palkinnon ensimmäisenä olemassaolovuonna (1907-1908) jätettiin 621 hakemusta lauseen ratkaisemiseksi, vaikka 1970-luvulle mennessä määrä oli laskenut noin 3-4 hakemukseen kuukaudessa. Wolfschelin arvioijan F. Schlichtingin mukaan suurin osa todisteista perustui kouluissa opetettuihin alkeellisiin menetelmiin, ja sen esittivät usein "ihmiset, joilla on tekninen tausta mutta epäonnistunut ura". Matematiikan historioitsija Howard Avesin mukaan Fermatin viimeinen lause teki eräänlaisen ennätyksen - se on lause, jolla on eniten virheellisiä todisteita.

Fermat-laakerit menivät japanilaisille

Kuten aiemmin mainittiin, noin 1955 japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama löysivät mahdollisen yhteyden kahden näennäisesti täysin erilaisen matematiikan haaran - elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen - välillä. Heidän tutkimuksensa tuloksena saatu modulaarisuuslause (tunnetaan silloin Taniyama-Shimura-oletuksena) sanoo, että jokainen elliptinen käyrä on modulaarinen, mikä tarkoittaa, että se voidaan yhdistää ainutlaatuiseen modulaariseen muotoon.

Teoria hylättiin alun perin epätodennäköisenä tai erittäin spekulatiivisena, mutta se otettiin vakavammin, kun numeroteoreetikko Andre Weyl löysi todisteita japanilaisten havaintojen tueksi. Tämän seurauksena arvelua kutsuttiin usein Taniyama-Shimura-Weil-arvaukseksi. Siitä tuli osa Langlands-ohjelmaa, joka on luettelo tärkeistä hypoteeseista, jotka vaativat todisteita tulevaisuudessa.

Jopa vakavan huomion jälkeen nykyiset matemaatikot tunnustivat oletuksen erittäin vaikeaksi tai ehkä mahdottomaksi todistaa. Nyt tämä lause odottaa Andrew Wilesiä, joka voisi yllättää koko maailman ratkaisullaan.

Fermatin lause: Perelmanin todistus

Suositusta myytistä huolimatta venäläisellä matemaatikko Grigory Perelmanilla ei kaikesta neroudesta huolimatta ole mitään tekemistä Fermatin lauseen kanssa. Mikä ei kuitenkaan millään tavalla vähennä hänen lukuisia palvelujaan tiedeyhteisölle.

Joten Fermat'n viimeinen lause (jota kutsutaan usein Fermat'n viimeiseksi lauseeksi), jonka loistava ranskalainen matemaatikko Pierre Fermat muotoili vuonna 1637, on luonteeltaan hyvin yksinkertainen ja ymmärrettävä kaikille, joilla on keskiasteen koulutus. Se sanoo, että kaavalla a n:n potenssiin + b potenssiin n = c potenssiin n ei ole luonnollisia (eli ei murtolukuja) ratkaisuja n > 2:lle. Kaikki näyttää yksinkertaiselta ja selkeältä, mutta parhaat matemaatikot ja tavalliset amatöörit kamppailivat ratkaisun etsimisessä yli kolme ja puoli vuosisataa.

Miksi hän on niin kuuluisa? Nyt otamme selvää...



Onko olemassa monia todistettuja, todistamattomia ja vielä todistamattomia lauseita? Asia on tässä, että Fermatin viimeinen lause edustaa suurinta kontrastia muotoilun yksinkertaisuuden ja todistuksen monimutkaisuuden välillä. Fermatin viimeinen lause on uskomattoman vaikea ongelma, ja silti sen muotoilun voi ymmärtää kuka tahansa lukion 5. luokalla oleva, mutta edes jokainen ammattimatemaatikko ei voi ymmärtää todistetta. Ei fysiikassa, kemiassa, biologiassa eikä matematiikassa ole yhtäkään ongelmaa, joka voitaisiin muotoilla niin yksinkertaisesti, mutta joka jäi ratkaisematta niin pitkään. 2. Mistä se koostuu?

Aloitetaan Pythagoran housuista Sanamuoto on todella yksinkertainen - ensi silmäyksellä. Kuten tiedämme lapsuudesta, "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikilta puolilta." Ongelma näyttää niin yksinkertaiselta, koska se perustui matemaattiseen väitteeseen, jonka kaikki tietävät - Pythagoraan lauseeseen: missä tahansa suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin jaloille rakennettujen neliöiden summa.

5-luvulla eKr. Pythagoras perusti Pythagoraan veljeskunnan. Pythagoralaiset tutkivat muun muassa kokonaislukutriplettejä, jotka täyttävät yhtälön x²+y²=z². He osoittivat, että Pythagoraan kolmoiskappaleita on äärettömän monta, ja saivat yleiset kaavat niiden löytämiseksi. He luultavasti yrittivät etsiä C:tä ja korkeampia tutkintoja. Vakuutuneena siitä, että tämä ei toiminut, pythagoralaiset hylkäsivät turhat yritykset. Veljeskunnan jäsenet olivat enemmän filosofeja ja esteettejä kuin matemaatikoita.


Eli on helppo valita joukko numeroita, jotka täyttävät täydellisesti yhtälön x²+y²=z²

Alkaen luvuista 3, 4, 5 - itse asiassa nuorempi opiskelija ymmärtää, että 9 + 16 = 25.

Tai 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hienoa.

Ja niin edelleen. Entä jos otamme samanlaisen yhtälön x³+y³=z³? Ehkä sellaisiakin lukuja on olemassa?




Ja niin edelleen (kuva 1).

Joten käy ilmi, että ne EIVÄT ole. Tästä temppu alkaa. Yksinkertaisuus on ilmeistä, koska on vaikea todistaa jonkin olemassaoloa, vaan päinvastoin sen puuttumista. Kun sinun on todistettava, että ratkaisu on olemassa, voit ja sinun tulee yksinkertaisesti esittää tämä ratkaisu.

Poissaolon todistaminen on vaikeampaa: esimerkiksi joku sanoo: sellaisella ja sellaisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Laitetaanko hänet lätäköön? helppoa: bam - ja tässä se on, ratkaisu! (anna ratkaisu). Ja siinä se, vastustaja on voitettu. Kuinka todistaa poissaolo?

Sano: "En ole löytänyt sellaisia ​​ratkaisuja"? Tai ehkä et näyttänyt hyvältä? Entä jos niitä on olemassa, vain erittäin suuria, erittäin suuria, niin ettei edes supertehokkaassa tietokoneessa ole tarpeeksi voimaa? Tämä on vaikeaa.

Tämä voidaan näyttää visuaalisesti näin: jos otat kaksi sopivan kokoista ruutua ja purat ne yksikköneliöiksi, niin tästä yksikköneliöjoukosta saat kolmannen neliön (kuva 2):


Mutta tehdään sama kolmannen ulottuvuuden kanssa (kuva 3) – se ei toimi. Kuutioita ei ole tarpeeksi tai niitä on ylimääräisiä jäljellä:





Mutta 1600-luvun ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat tutki innokkaasti yleistä yhtälöä x n +y n =z n . Ja lopuksi päätin: n>2:lle ei ole kokonaislukuratkaisuja. Fermatin todiste on peruuttamattomasti menetetty. Käsikirjoitukset palavat! Jäljelle on jäänyt vain hänen huomautuksensa Diophantuksen Aritmetiikassa: "Olen löytänyt todella hämmästyttävän todisteen tästä väitteestä, mutta marginaalit ovat liian kapeat hillitäkseni sitä."

Itse asiassa lausetta ilman todisteita kutsutaan hypoteesiksi. Mutta Fermatilla on maine siitä, ettei hän koskaan tee virheitä. Vaikka hän ei jättänyt todisteita lausunnosta, se vahvistettiin myöhemmin. Lisäksi Fermat todisti väitöskirjansa arvolle n=4. Näin ollen ranskalaisen matemaatikon hypoteesi meni historiaan Fermat'n viimeisenä lauseena.

Fermatin jälkeen sellaiset suuret mielet kuin Leonhard Euler työskentelivät todisteen etsimisessä (vuonna 1770 hän ehdotti ratkaisua arvolle n = 3),

Adrien Legendre ja Johann Dirichlet (nämä tiedemiehet löysivät yhdessä todisteen arvolle n = 5 vuonna 1825), Gabriel Lamé (joka löysi todisteen arvolle n = 7) ja monet muut. Viime vuosisadan 80-luvun puoliväliin mennessä kävi selväksi, että tieteellinen maailma oli matkalla Fermatin viimeisen lauseen lopulliseen ratkaisuun, mutta vasta vuonna 1993 matemaatikot näkivät ja uskoivat, että kolmen vuosisadan eepos etsii todisteita Fermatin viimeinen lause oli käytännössä ohi.

On helppo osoittaa, että riittää todistaa Fermatin lause vain yksinkertaiselle n:lle: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Yhdistelmälle n todistus pysyy voimassa. Mutta alkulukuja on äärettömän monta...

Vuonna 1825 naismatemaatikot, Dirichlet ja Legendre todistivat itsenäisesti lauseen arvolle n=5 käyttämällä Sophie Germainin menetelmää. Vuonna 1839 ranskalainen Gabriel Lame osoitti samalla menetelmällä lauseen totuuden n=7:lle. Vähitellen lause todistettiin melkein kaikille n:lle alle sadalle.


Lopuksi saksalainen matemaatikko Ernst Kummer osoitti loistavassa tutkimuksessa, että lausetta ei yleensä voida todistaa 1800-luvun matematiikan menetelmillä. Ranskan tiedeakatemian palkinto, joka perustettiin vuonna 1847 Fermat'n lauseen todistamiseksi, jäi jakamatta.

Vuonna 1907 varakas saksalainen teollisuusmies Paul Wolfskehl päätti riistää henkensä onnettoman rakkauden vuoksi. Kuten oikea saksalainen, hän asetti itsemurhan päivämäärän ja kellonajan: tarkalleen keskiyöllä. Viimeisenä päivänä hän teki testamentin ja kirjoitti kirjeitä ystäville ja sukulaisille. Asiat loppuivat ennen puoltayötä. Täytyy sanoa, että Paavali oli kiinnostunut matematiikasta. Koska hänellä ei ollut muuta tekemistä, hän meni kirjastoon ja alkoi lukea Kummerin kuuluisaa artikkelia. Yhtäkkiä hänestä tuntui, että Kummer oli tehnyt virheen perusteluissaan. Wolfskel alkoi analysoida tätä artikkelin osaa kynällä käsissään. Keskiyö on kulunut, aamu on tullut. Todistuksessa oleva aukko on täytetty. Ja itsemurhan syy näytti nyt täysin naurettavalta. Paavali repi jäähyväiskirjeensä ja kirjoitti testamenttinsa uudelleen.

Hän kuoli pian luonnollisiin syihin. Perilliset olivat melko yllättyneitä: 100 000 markkaa (yli 1 000 000 nykyistä puntaa) siirrettiin Göttingenin kuninkaallisen tiedeseuran tilille, joka samana vuonna julisti kilpailun Wolfskehl-palkinnosta. 100 000 markkaa myönnettiin henkilölle, joka todisti Fermatin lauseen. Teoreeman kumoamisesta ei myönnetty pfennigiakaan...

Useimmat ammattimatemaatikot pitivät Fermatin viimeisen lauseen todisteiden etsimistä toivottomana tehtävänä ja kieltäytyivät päättäväisesti tuhlaamasta aikaa tällaiseen turhaan harjoitukseen. Mutta amatöörit viihtyivät. Muutama viikko ilmoituksen jälkeen "todisteiden" lumivyöry osui Göttingenin yliopistoon. Professori E.M. Landau, jonka tehtävänä oli analysoida lähetettyjä todisteita, jakoi kortteja opiskelijoilleen:


Rakas. . . . . . . .

Kiitos, että lähetit minulle käsikirjoituksen, jossa on todiste Fermatin viimeisestä lauseesta. Ensimmäinen virhe on sivulla ... rivillä... . Sen vuoksi koko todiste menettää pätevyyden.
Professori E. M. Landau











Vuonna 1963 Paul Cohen, tukeutuen Gödelin löydöksiin, osoitti yhden Hilbertin 23 ongelmasta - jatkumohypoteesin - ratkaisemattomuuden. Entä jos Fermatin viimeinen lause on myös ratkaisematon?! Mutta todelliset Suuren Lauseen fanaatikot eivät olleet pettyneitä. Tietokoneiden tulo antoi matemaatikoille yhtäkkiä uuden todistusmenetelmän. Toisen maailmansodan jälkeen ohjelmoijien ja matemaatikoiden ryhmät osoittivat Fermatin viimeisen lauseen kaikille n:n arvoille 500:aan asti, sitten 1000:aan asti ja myöhemmin 10 000:aan asti.

1980-luvulla Samuel Wagstaff nosti rajan 25 000:een, ja 1990-luvulla matemaatikot julistivat, että Fermatin viimeinen lause oli totta kaikille n:n arvoille 4 miljoonaan asti. Mutta jos vähennät jopa biljoonaa biljoonaa äärettömyydestä, se ei pienene. Tilastot eivät vakuuta matemaatikoita. Suuren lauseen todistaminen merkitsi sen todistamista KAIKILLE n:lle, joka menee äärettömään.




Vuonna 1954 kaksi nuorta japanilaista matemaatikkoystävää alkoivat tutkia modulaarisia muotoja. Nämä lomakkeet luovat numerosarjoja, joista jokaisella on oma sarjansa. Sattumalta Taniyama vertasi näitä sarjoja elliptisten yhtälöiden luomiin sarjoihin. Ne sopivat yhteen! Mutta modulaariset muodot ovat geometrisia objekteja, ja elliptiset yhtälöt ovat algebrallisia. Tällaisten erilaisten esineiden välillä ei ole koskaan löydetty yhteyttä.

Huolellisen testauksen jälkeen ystävät kuitenkin esittivät hypoteesin: jokaisella elliptisellä yhtälöllä on kaksois - modulaarinen muoto ja päinvastoin. Tästä hypoteesista tuli koko matematiikan suunnan perusta, mutta ennen kuin Taniyama-Shimura -hypoteesi todistettiin, koko rakennus saattoi romahtaa milloin tahansa.

Vuonna 1984 Gerhard Frey osoitti, että ratkaisu Fermatin yhtälöön, jos se on olemassa, voidaan sisällyttää johonkin elliptiseen yhtälöön. Kaksi vuotta myöhemmin professori Ken Ribet osoitti, että tällä hypoteettisella yhtälöllä ei voi olla vastinetta modulaarisessa maailmassa. Tästä lähtien Fermatin viimeinen lause liittyi erottamattomasti Taniyama-Shimura-oletuksiin. Todistettuamme, että mikä tahansa elliptinen käyrä on modulaarinen, päätämme, että ei ole olemassa elliptistä yhtälöä, jolla olisi ratkaisu Fermatin yhtälöön, ja Fermatin viimeinen lause todistettaisiin välittömästi. Mutta kolmeenkymmeneen vuoteen ei ollut mahdollista todistaa Taniyama-Shimura-hypoteesia, ja toivoa menestyksestä oli yhä vähemmän.

Vuonna 1963, ollessaan vasta 10-vuotias, Andrew Wiles kiehtoi matematiikkaa. Kun hän oppi suuresta lauseesta, hän tajusi, ettei hän voinut luopua siitä. Koululaisena, opiskelijana ja jatko-opiskelijana hän valmistautui tähän tehtävään.

Saatuaan tietää Ken Ribetin löydöistä Wiles syöksyi päätävarmasti todistamaan Taniyama-Shimura-oletuksen. Hän päätti työskennellä täysin eristyksissä ja salassa. "Ymmärsin, että kaikki mikä liittyy Fermatin viimeiseen lauseeseen, herättää liikaa kiinnostusta... Liian monet katsojat ilmeisesti häiritsevät tavoitteen saavuttamista." Seitsemän vuoden kova työ kannatti; Wiles sai vihdoin todistuksen Taniyama–Shimura-oletuksesta.

Vuonna 1993 englantilainen matemaatikko Andrew Wiles esitteli maailmalle todistuksensa Fermatin viimeisestä lauseesta (Wiles luki sensaatiomaisen artikkelinsa konferenssissa Sir Isaac Newton Institutessa Cambridgessa.), jonka työ kesti yli seitsemän vuotta.







Samalla kun hype jatkui lehdistössä, vakava työ alkoi todisteiden tarkistamiseksi. Jokainen todiste on tutkittava huolellisesti, ennen kuin todisteita voidaan pitää tiukoina ja täsmällisinä. Wiles vietti levoton kesän odottaen palautetta arvioijilta toivoen, että hän voisi voittaa heidän hyväksyntänsä. Asiantuntijat totesivat elokuun lopussa tuomiota riittämättömäksi.

Kävi ilmi, että tämä päätös sisältää törkeän virheen, vaikka se on yleisesti ottaen oikea. Wiles ei antanut periksi, kutsui kuuluisan lukuteorian asiantuntijan Richard Taylorin apuun ja julkaisi jo vuonna 1994 korjatun ja laajennetun todisteen lauseesta. Hämmästyttävintä on, että tämä työ vei peräti 130 (!) sivua matemaattisessa lehdessä “Annals of Mathematics”. Mutta tarina ei myöskään päättynyt tähän - viimeinen piste saavutettiin vasta seuraavana vuonna, 1995, jolloin lopullinen ja "ihanteellinen", matemaattisesti katsottuna, todistuksen versio julkaistiin.

"...puoli minuuttia hänen syntymäpäivänsä juhlaillallisen alkamisen jälkeen esitin Nadyalle täydellisen todisteen käsikirjoituksen" (Andrew Wales). Enkö ole vielä sanonut, että matemaatikot ovat outoja ihmisiä?






Tällä kertaa todisteista ei ollut epäilystäkään. Kaksi artikkelia analysoitiin kaikkein huolellisimmin, ja ne julkaistiin toukokuussa 1995 Annals of Mathematicsissa.

Siitä hetkestä on kulunut paljon aikaa, mutta yhteiskunnassa on edelleen mielipide, että Fermatin viimeinen lause on ratkaisematon. Mutta jopa ne, jotka tietävät löydetystä todistuksesta, jatkavat työtä tähän suuntaan - harvat ovat tyytyväisiä siihen, että Suuri Lause vaatii 130-sivuisen ratkaisun!

Siksi nyt monien matemaatikoiden (enimmäkseen amatöörien, ei ammattitutkijoiden) ponnistelut heitetään etsimään yksinkertaista ja tiivistä todistetta, mutta tämä polku ei todennäköisesti johda mihinkään...

Kun kokonaisluku n on suurempi kuin 2, yhtälöllä x n + y n = z n ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja luonnollisissa luvuissa.

Muistat varmaan kouluajoiltasi Pythagoraan lause: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. Saatat myös muistaa klassisen suorakulmaisen kolmion, jonka sivujen pituus on 3:4:5. Pythagoraan lause näyttää sille tältä:

Tämä on esimerkki yleisen Pythagoraan yhtälön ratkaisemisesta nollasta poikkeavilla kokonaisluvuilla n= 2. Fermatin viimeinen lause (kutsutaan myös "Fermatin viimeiseksi lauseeksi" ja "Fermatin viimeiseksi lauseeksi") on väite, että arvoille n> 2 muodon yhtälöä x n + y n = z n luonnollisissa luvuissa ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja.

Fermat'n viimeisen lauseen historia on erittäin mielenkiintoinen ja opettavainen, eikä vain matemaatikoille. Pierre de Fermat osallistui matematiikan eri alojen kehitykseen, mutta suurin osa hänen tieteellisestä perinnöstään julkaistiin vasta postuumisti. Tosiasia on, että matematiikka oli Fermatille harrastus, ei ammatti. Hän oli kirjeenvaihdossa aikansa johtavien matemaatikoiden kanssa, mutta ei pyrkinyt julkaisemaan töitään. Fermatin tieteelliset kirjoitukset löytyvät pääasiassa yksityisen kirjeenvaihdon ja katkelmien muistiinpanojen muodossa, usein kirjoitettuna eri kirjojen marginaaleihin. Se on marginaaleissa (muinaisen kreikkalaisen Diophantuksen "aritmeettisen" toisen osan. - Huomautus kääntäjä) pian matemaatikon kuoleman jälkeen jälkeläiset löysivät kuuluisan lauseen ja jälkikirjoituksen muotoilun:

« Löysin tästä todella upean todisteen, mutta nämä kentät ovat liian kapeita siihen».

Valitettavasti Fermat ei ilmeisesti koskaan vaivautunut kirjoittamaan löytämäänsä "ihmetodistetta", ja jälkeläiset etsivät sitä tuloksetta yli kolmen vuosisadan ajan. Kaikesta Fermatin hajallaan olevasta tieteellisestä perinnöstä, joka sisältää monia yllättäviä lausuntoja, Suuri Lause kieltäytyi itsepintaisesti ratkomasta.

Se, joka on yrittänyt todistaa Fermatin viimeisen lauseen, on turha! Toinen suuri ranskalainen matemaatikko, René Descartes (1596–1650), kutsui Fermat'a "kerhoilijaksi", ja englantilainen matemaatikko John Wallis (1616-1703) kutsui häntä "helvetin ranskalaiseksi". Fermat itse kuitenkin jätti jälkeensä todistuksen teoreemaansa tapauksesta n= 4. Todisteella n= 3 ratkaisi 1700-luvun suuri sveitsiläis-venäläinen matemaatikko Leonhard Euler (1707–83), minkä jälkeen hän ei löytänyt todisteita n> 4, ehdotti leikkimielisesti, että Fermatin talo tutkittaisiin, jotta löydettäisiin avain kadonneeseen todisteeseen. 1800-luvulla lukuteorian uudet menetelmät mahdollistivat väitteen todistamisen monille kokonaisluvuille 200:n sisällä, mutta jälleen kerran, ei kaikille.

Vuonna 1908 perustettiin 100 000 Saksan markan palkinto tämän ongelman ratkaisemiseksi. Palkintorahaston testamentti saksalainen teollisuusmies Paul Wolfskehl, joka legendan mukaan aikoi tehdä itsemurhan, mutta oli niin ihastunut Fermatin viimeiseen lauseeseen, että hän muutti mielensä kuolemasta. Koneiden ja sitten tietokoneiden lisäämisen myötä arvopalkki n alkoi nousta yhä korkeammalle - 617:ään toisen maailmansodan alkaessa, 4001:een vuonna 1954, 125 000:een vuonna 1976. 1900-luvun lopulla Los Alamosin (New Mexico, USA) sotilaslaboratorioiden tehokkaimmat tietokoneet ohjelmoitiin ratkaisemaan Fermatin ongelma taustalla (samanlainen kuin henkilökohtaisen tietokoneen näytönsäästäjä). Siten oli mahdollista osoittaa, että lause pitää paikkansa uskomattoman suurille arvoille x, y, z Ja n, mutta tämä ei voi olla tiukka todiste, koska jokin seuraavista arvoista n tai luonnollisten lukujen kolmikot voisivat kumota lauseen kokonaisuutena.

Lopulta vuonna 1994 Princetonissa työskentelevä englantilainen matemaatikko Andrew John Wiles (s. 1953) julkaisi todisteen Fermatin viimeisestä lauseesta, jota pidettiin joidenkin muutosten jälkeen kattavana. Todistus kesti yli sata päiväkirjasivua ja perustui korkeamman matematiikan nykyaikaiseen käyttöön, jota ei kehitetty Fermatin aikakaudella. Mitä Fermat sitten tarkoitti jättäessään kirjan marginaaleihin viestin, että hän oli löytänyt todisteen? Suurin osa matemaatikoista, joiden kanssa puhuin tästä aiheesta, huomautti, että vuosisatojen aikana Fermatin viimeisestä lauseesta oli ollut enemmän kuin tarpeeksi vääriä todisteita ja että mitä todennäköisimmin Fermat itse oli löytänyt samanlaisen todisteen, mutta ei tunnistanut virhettä. sen sisällä. On kuitenkin mahdollista, että Fermatin viimeisestä lauseesta löytyy vielä lyhyt ja tyylikäs todiste, jota kukaan ei ole vielä löytänyt. Vain yksi asia voidaan sanoa varmasti: tänään tiedämme varmasti, että lause on totta. Luulen, että useimmat matemaatikot olisivat varauksetta samaa mieltä Andrew Wilesin kanssa, joka huomautti todistuksestaan: "Nyt mieleni on vihdoin rauhallinen."