कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।
विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
- कोई जड़ नहीं है;
- उनकी ठीक एक जड़ है;
- उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।
यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.
विभेदक
मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।
इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:
- अगर डी< 0, корней нет;
- यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
- यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।
कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके सभी संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:
एक कार्य। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:
- एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- एक्स 2 - 6x + 9 = 0।
हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।
विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।
विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।
ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।
वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।
द्विघात समीकरण की जड़ें
अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:
द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र
जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।
D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:
दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।
D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]
अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।
D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:
जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।
अपूर्ण द्विघात समीकरण
ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:
- x2 + 9x = 0;
- x2 - 16 = 0.
यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:
समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।
बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.
आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:
चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल तभी समझ में आती है जब (−c / a ) 0. निष्कर्ष:
- यदि ax 2 + c = 0 के रूप का अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
- अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.
जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।
अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:
उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालनाउत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:
एक कार्य। द्विघात समीकरणों को हल करें:
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 - 9 = 0.
x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।
4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।
लक्ष्य:
- विषय पर ज्ञान और कौशल को व्यवस्थित और सामान्य बनाना: तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों का समाधान।
- कार्यों की एक श्रृंखला को पूरा करके ज्ञान को गहरा करने के लिए, जिनमें से कुछ अपने प्रकार या हल करने की विधि में परिचित नहीं हैं।
- गणित के नए अध्यायों के अध्ययन के माध्यम से गणित में रुचि का निर्माण, समीकरणों के रेखांकन के निर्माण के माध्यम से ग्राफिक संस्कृति की शिक्षा।
पाठ प्रकार: संयुक्त।
उपकरण:ग्राफ प्रोजेक्टर।
दृश्यता:तालिका "विएटा का प्रमेय"।
कक्षाओं के दौरान
1. मानसिक खाता
a) द्विपद x-a द्वारा बहुपद p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 के विभाजन का शेषफल क्या है?
ख) एक घन समीकरण के कितने मूल हो सकते हैं?
ग) हम तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरण को किस सहायता से हल करते हैं?
d) यदि द्विघात समीकरण में b एक सम संख्या है, तो D और x 1 क्या है; x 2
2. स्वतंत्र कार्य (समूहों में)
यदि मूल ज्ञात हों तो समीकरण बनाएं (कार्यों के उत्तर कोडित हैं) "विएटा प्रमेय" का प्रयोग करें
1 समूह
जड़ें: x 1 = 1; एक्स 2 \u003d -2; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = 6
एक समीकरण लिखें:
बी=1 -2-3+6=2; ख = -2
ग=-2-3+6+6-12-18=-23; सी = -23
घ=6-12+36-18=12; घ = -12
ई=1(-2)(-3)6=36
एक्स 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(यह समीकरण तब बोर्ड पर समूह 2 द्वारा हल किया जाता है)
समाधान . हम संख्या 36 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी = ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ...
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 संख्या 1 समीकरण को संतुष्ट करती है, इसलिए =1 समीकरण का मूल है। हॉर्नर की योजना
पी 3 (एक्स) = एक्स 3 -एक्स 2 -24x -36
पी 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
उत्तर: 1; -2; -3; 6 जड़ों का योग 2 (पी)
2 समूह
जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 = एक्स 3 =2; एक्स 4 \u003d 5
एक समीकरण लिखें:
बी=-1+2+2+5-8; बी = -8
सी=2(-1)+4+10-2-5+10=15; सी = 15
डी=-4-10+20-10=-4; घ = 4
ई=2(-1)2*5=-20;ई=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (समूह 3 बोर्ड पर इस समीकरण को हल करता है)
पी = ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20।
पी 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
पी 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
पी 3 (एक्स) \u003d एक्स 3 -9x 2 + 24x -20
पी 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 -7x + 10 \u003d 0 एक्स 1 \u003d 2; एक्स 2 \u003d 5
उत्तर: -1;2;2;5 मूलों का योग 8(P)
3 समूह
जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 = 1; एक्स 3 \u003d -2; एक्स 4 \u003d 3
एक समीकरण लिखें:
बी=-1+1-2+3=1;बी=-1
एस=-1+2-3-2+3-6=-7; एस=-7
डी=2+6-3-6=-1; घ = 1
ई=-1*1*(-2)*3=6
एक्स 4 - एक्स 3- 7x 2 + x + 6 = 0(यह समीकरण बाद में समूह 4 द्वारा बोर्ड पर हल किया गया है)
समाधान। हम संख्या 6 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी = ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
पी 4 (1)=1-1-7+1+6=0
पी 3 (एक्स) = एक्स 3 - 7x -6
पी 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -एक्स -6 = 0; एक्स 1 \u003d -2; एक्स 2 \u003d 3
उत्तर: -1; 1; -2; 3 मूलों का योग 1 (O)
4 समूह
जड़ें: x 1 = -2; एक्स 2 \u003d -2; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = -3
एक समीकरण लिखें:
बी=-2-2-3+3=-4; ख = 4
सी=4+6-6+6-6-9=-5; सी=-5
डी=-12+12+18+18=36; घ = -36
ई=-2*(-2)*(-3)*3=-36; ई=-36
एक्स 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(यह समीकरण तब बोर्ड पर समूह 5 द्वारा हल किया जाता है)
समाधान। हम संख्या -36 . के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं
पी = ± 1; ± 2; ± 3 ...
पी(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
पी 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
पी 3 (एक्स) \u003d एक्स 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
पी 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -9 = 0; एक्स = ± 3
उत्तर: -2; -2; -3; 3 जड़ों का योग-4 (एफ)
5 समूह
जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 \u003d -2; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = -4
एक समीकरण लिखें
एक्स 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(यह समीकरण तब बोर्ड पर छठे समूह द्वारा हल किया जाता है)
समाधान . हम संख्या 24 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी = ± 1; ± 2; ± 3
पी 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
पी 3 (एक्स) \u003d एक्स- 3 + 9एक्स 2 + 26एक्स + 24 \u003d 0
पी 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d ओ
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 + 7x + 12 \u003d 0
उत्तर: -1; -2; -3; -4 योग -10 (आई)
6 समूह
जड़ें: x 1 = 1; एक्स 2 = 1; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = 8
एक समीकरण लिखें
बी=1+1-3+8=7;बी=-7
सी=1 -3+8-3+8-24= -13
डी=-3-24+8-24=-43; घ = 43
एक्स 4 - 7x 3- 13x 2 + 43एक्स - 24 = 0 (यह समीकरण तब बोर्ड पर 1 समूह द्वारा हल किया जाता है)
समाधान . हम संख्या -24 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी 4 (1)=1-7-13+43-24=0
पी 3 (1)=1-6-19+24=0
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
उत्तर: 1; 1; -3; 8 योग 7 (एल)
3. एक पैरामीटर के साथ समीकरणों का समाधान
1. समीकरण x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; यदि जड़ों में से एक है (-1)
उत्तर आरोही क्रम में
आर=पी 3 (-1)=-1+3-एम-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
शर्त के अनुसार x 1 = - 1; डी=1+15=16
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 + 2x-15 \u003d 0
एक्स 2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
उत्तर:- 1;-5; 3
आरोही क्रम में: -5;-1;3। (बी एन एस)
2. बहुपद x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 के सभी मूल ज्ञात कीजिए, यदि द्विपद x-1 और x + 2 में इसके विभाजन के शेषफल बराबर हैं।
समाधान: आर \u003d आर 3 (1) \u003d आर 3 (-2)
पी 3 (1) \u003d 1-3 + ए- 2 ए + 6 \u003d 4-ए
पी 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
एक्स 2 (एक्स -3) -6 (एक्स -3) = 0
(x-3)(x 2-6) = 0
दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि इनमें से कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है, जबकि दूसरा समझ में आता है।
2 समूह. जड़ें: -3; -2; एक; 2;3 समूह. जड़ें: -1; 2; 6; दस;
4 समूह. जड़ें: -3; 2; 2; 5;
5 समूह. जड़ें: -5; -2; 2; चार;
6 समूह. जड़ें: -8; -2; 6; 7.
एक डिग्री के मूल गुणों को याद करें। मान लीजिए a > 0, b > 0, n, m कोई वास्तविक संख्या है। फिर
1) ए एन ए एम = ए एन + एम
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (ए एन) एम = ए एनएम
4) (एबी) एन = ए एन बी एन
5) \(\बाएं(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) ए एन> 1 अगर ए> 1, एन> 0
8) ए एन 1, एन
9) a n > a m , यदि 0
व्यवहार में, y = a x के रूप के फलन अक्सर उपयोग किए जाते हैं, जहाँ a एक दी गई धनात्मक संख्या है, x एक चर है। ऐसे कार्यों को कहा जाता है ठोस. इस नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि घातीय फ़ंक्शन का तर्क घातांक है, और डिग्री का आधार एक दी गई संख्या है।
परिभाषा।एक घातांकीय फलन y = a x के रूप का एक फलन है, जहाँ a एक दी गई संख्या है, a > 0, \(a \neq 1\)
घातांकीय फलन में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1) घातांकीय फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
यह गुण इस तथ्य का अनुसरण करता है कि डिग्री a x जहां a > 0 सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए परिभाषित है।
2) घातांकीय फलन के मानों का समुच्चय सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।
इसे सत्यापित करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि समीकरण a x = b, जहाँ a > 0, \(a \neq 1\), का कोई मूल नहीं है यदि \(b \leq 0\), और किसी भी b > के लिए एक मूल है 0.
3) घातीय फलन y \u003d a x सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर बढ़ रहा है यदि a > 1 और घट रहा हो तो 0 यह डिग्री (8) और (9) के गुणों का अनुसरण करता है
हम घातीय कार्यों के ग्राफ़ का निर्माण करते हैं y \u003d a x के लिए a > 0 और 0 के लिए माना गुणों का उपयोग करते हुए, हम ध्यान दें कि फ़ंक्शन y \u003d a x के लिए a > 0 बिंदु (0; 1) से होकर गुजरता है और स्थित है ऑक्स अक्ष के ऊपर।
यदि x 0 है।
यदि x > 0 और |x| बढ़ता है, ग्राफ तेजी से बढ़ता है।
फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d a x 0 पर यदि x\u003e 0 और बढ़ता है, तो ग्राफ जल्दी से ऑक्स अक्ष (इसे पार किए बिना) तक पहुंचता है। इस प्रकार, x-अक्ष ग्राफ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
यदि x 
घातीय समीकरण
घातांकीय समीकरणों के कई उदाहरणों पर विचार करें, अर्थात्। समीकरण जिसमें अज्ञात घातांक में निहित है। घातांकीय समीकरणों को हल करना अक्सर समीकरण a x = a b को हल करने के लिए नीचे आता है जहां a > 0, \(a\neq 1\), x अज्ञात है। इस समीकरण को घात गुण का उपयोग करके हल किया जाता है: समान आधार वाली घात a > 0, \(a \neq 1\) समान हैं यदि और केवल यदि उनके घातांक समान हों।
समीकरण को हल करें 2 3x 3 x = 576
चूंकि 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, समीकरण को 8 x 3 x \u003d 24 2 के रूप में या 24 x \u003d 24 2 के रूप में लिखा जा सकता है। जहां एक्स \u003d 2.
उत्तर x = 2
समीकरण को हल करें 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
सामान्य कारक 3 x - 2 को बायीं ओर कोष्ठक में रखते हुए, हमें 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25, 3 x - 2 25 \u003d 25,
जहां से 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
उत्तर x = 2
समीकरण को हल करें 3 x = 7 x
चूंकि \(7^x \neq 0 \) , समीकरण को \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां से \(\left(\frac(3)( 7 ) \दाएं) ^x = 1 \), x = 0
उत्तर x = 0
समीकरण को हल करें 9 x - 4 3 x - 45 = 0
3 x \u003d t की जगह, यह समीकरण एक द्विघात समीकरण t 2 - 4t - 45 \u003d 0 में कम हो जाता है। इस समीकरण को हल करते हुए, हम इसकी जड़ें पाते हैं: t 1 \u003d 9, t 2 \u003d -5, जिसमें से 3 एक्स \u003d 9, 3 एक्स \u003d -5।
समीकरण 3 x = 9 का मूल x = 2 है, और समीकरण 3 x = -5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि घातांक फलन ऋणात्मक मान नहीं ले सकता।
उत्तर x = 2
समीकरण हल करें 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, कहाँ से
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 एक्स - 2 23 = 5 एक्स - 2 23
\(\बाएं(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
एक्स - 2 = 0
उत्तर x = 2
समीकरण 3 को हल करें |x - 1| = 3 |x + 3|
चूंकि 3 > 0, \(3 \neq 1\), मूल समीकरण समीकरण के बराबर है |x-1| = |x+3|
इस समीकरण का वर्ग करने पर, हम इसका उपफल (x - 1) 2 = (x + 3) 2 प्राप्त करते हैं, जहाँ से
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
चेक से पता चलता है कि x = -1 मूल समीकरण का मूल है।
उत्तर x = -1
हम आपको एक सुविधाजनक मुफ्त प्रदान करते हैं द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर।समझने योग्य उदाहरणों का उपयोग करके आप जल्दी से प्राप्त कर सकते हैं और समझ सकते हैं कि उन्हें कैसे हल किया जाता है।
उत्पन्न करना द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल करें, पहले समीकरण को सामान्य रूप में लाएं:
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0
तदनुसार फॉर्म फ़ील्ड भरें:
द्विघात समीकरण को कैसे हल करें
| द्विघात समीकरण को कैसे हल करें: | जड़ प्रकार: |
|
1.
द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लाएं: कुल्हाड़ी 2 का सामान्य दृश्य +बीएक्स+सी=0 उदाहरण: 3x - 2x 2 +1=-1 घटाकर -2x 2 +3x+2=0 2.
हम विभेदक डी पाते हैं। 3.
हम समीकरण की जड़ें पाते हैं। |
1.
असली जड़ें। और। x1 x2 के बराबर नहीं है स्थिति तब उत्पन्न होती है जब D>0 और A, 0 के बराबर नहीं होते हैं। 2.
असली जड़ें वही हैं। x1 बराबर x2 3.
दो जटिल जड़ें। x1=d+ei, x2=d-ei, जहां i=-(1) 1/2 5.
समीकरण में अनंत संख्या में समाधान हैं। 6.
समीकरण का कोई हल नहीं है। |
एल्गोरिदम को समेकित करने के लिए, यहां कुछ और हैं द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण उदाहरण.
उदाहरण 1. विभिन्न वास्तविक मूलों वाले एक साधारण द्विघात समीकरण का हल।
एक्स 2 + 3x -10 = 0
इस समीकरण में
ए = 1, बी = 3, सी = -10
डी=बी 2 -4*ए*सी = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
वर्गमूल को 1/2 संख्या के रूप में दर्शाया जाएगा!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
जाँच करने के लिए, आइए स्थानापन्न करें:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
उदाहरण 2. समान वास्तविक मूल वाले द्विघात समीकरण को हल करना।
एक्स 2 - 8x + 16 = 0
ए = 1, बी = -8, सी = 16
डी \u003d के 2 - एसी \u003d 16 - 16 \u003d 0
एक्स=-के/ए=4
स्थानापन्न
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
उदाहरण 3. सम्मिश्र मूलों वाले द्विघात समीकरण का हल।
13x 2 - 4x + 1 = 0
ए = 1, बी = -4, सी = 9
डी \u003d बी 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
विभेदक नकारात्मक है - जड़ें जटिल हैं।
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, जहां मैं -1 . का वर्गमूल हूं
यहाँ वास्तव में द्विघात समीकरणों को हल करने के सभी संभावित मामले हैं।
हम आशा करते हैं कि हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटरआपके लिए बहुत उपयोगी होगा।
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