धारा 5 व्यंजक और समीकरण

अनुभाग में आप सीखेंगे:

ü o भाव और उनके सरलीकरण;

ü समानता के गुण क्या हैं;

ü समानता के गुणों के आधार पर समीकरणों को कैसे हल करें;

ü समीकरणों की सहायता से किस प्रकार की समस्याओं का समाधान किया जाता है; लंबवत रेखाएं क्या हैं और उन्हें कैसे बनाया जाए;

ü किन रेखाओं को समानांतर कहा जाता है और उनका निर्माण कैसे किया जाता है;

ü एक समन्वय विमान क्या है;

ü एक विमान पर एक बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित करें;

ü मात्राओं के बीच निर्भरता ग्राफ क्या है और इसे कैसे बनाया जाए;

ü सीखी गई सामग्री को व्यवहार में कैसे लागू करें

§ 30. व्यंजक और उनका सरलीकरण

आप पहले से ही जानते हैं कि शाब्दिक व्यंजक क्या होते हैं और जोड़ और गुणा के नियमों का उपयोग करके उन्हें सरल बनाना जानते हैं। उदाहरण के लिए, 2a (-4 .)बी) = -8 अब . परिणामी व्यंजक में संख्या -8 को व्यंजक का गुणांक कहा जाता है।

क्या अभिव्यक्तिसीडी गुणांक? इसलिए। यह 1 के बराबर है क्योंकिसीडी - 1 सीडी।

याद रखें कि कोष्ठक वाले व्यंजक को बिना कोष्ठक के व्यंजक में बदलने को कोष्ठक विस्तार कहते हैं। उदाहरण के लिए: 5(2x + 4) = 10x + 20।

इस उदाहरण में विपरीत क्रिया सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर करना है।

समान शाब्दिक कारकों वाले शब्दों को समान पद कहा जाता है। उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से निकालकर, समान पद खड़े किए जाते हैं:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y .) )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* वाई-5=

बी एक्स + 7y - 5।

ब्रैकेट विस्तार नियम

1. यदि कोष्ठक के सामने "+" चिन्ह है, तो कोष्ठकों को खोलते समय, कोष्ठक में पदों के चिन्ह संरक्षित रहते हैं;

2. यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह है, तो कोष्ठकों को खोलने पर कोष्ठक में पदों के चिन्ह उलट जाते हैं।

कार्य 1 । अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y )।

समाधान। 1. कोष्ठक से पहले एक "+" चिह्न है, इसलिए, कोष्ठक खोलते समय, सभी शब्दों के संकेत संरक्षित होते हैं:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. कोष्ठक के सामने एक "-" चिह्न है, इसलिए, कोष्ठक के उद्घाटन के दौरान: सभी शब्दों के संकेत उलट जाते हैं:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8।

कोष्ठक खोलने के लिए गुणन के वितरण गुण का उपयोग करें: a(बी + सी) = एबी + एसी यदि a > 0, तो पदों के चिह्नबी और साथ नहीं बदलते। यदि एक< 0, то знаки слагаемых बी और से उलट जाते हैं।

कार्य 2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

समाधान। 1. कोष्ठक e के सामने गुणनखंड 2 धनात्मक है, इसलिए कोष्ठक खोलते समय हम सभी पदों के चिह्न रखते हैं: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16।

2. कोष्ठक के सामने कारक -5 नकारात्मक है, इसलिए, कोष्ठक खोलते समय, हम सभी पदों के संकेतों को विपरीत में बदलते हैं:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x।

और अधिक जानकारी प्राप्त करें

1. शब्द "योग" लैटिन शब्द से आया हैसुम्मा , जिसका अर्थ है "कुल", "कुल"।

2. "प्लस" शब्द लैटिन भाषा से आया हैप्लस, जिसका अर्थ है "अधिक", और शब्द "माइनस" - लैटिन सेघटा, जिसका अर्थ है "कम"। जोड़ और घटाव के संचालन को इंगित करने के लिए "+" और "-" संकेतों का उपयोग किया जाता है। इन संकेतों को चेक वैज्ञानिक जे। विडमैन ने 1489 में "सभी व्यापारियों के लिए एक त्वरित और सुखद खाता" पुस्तक में पेश किया था।(चित्र। 138)।

चावल। 138

मुख्य बातें याद रखें

1. किन शब्दों को समान कहा जाता है? समान पदों का निर्माण कैसे किया जाता है?

2. आप "+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं?

3. आप "-" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं?

4. आप उन कोष्ठकों को कैसे खोलते हैं जिनके आगे धनात्मक गुणनखंड है?

5. आप उन कोष्ठकों को कैसे खोलते हैं जिनके आगे ऋणात्मक गुणनखंड है?

1374"। व्यंजक के गुणांक का नाम बताइए:

1) 12 ए; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-एस.

1375"। उन शब्दों को नाम दें जो केवल गुणांक से भिन्न होते हैं:

1) 10ए + 76-26 + ए; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) बीसी -4 डी - बीसी + 4 डी; 4) 5x + 4y-x + y।

इन शर्तों को क्या कहा जाता है?

1376"। क्या व्यंजक में समान पद हैं:

1) 11ए + 10ए; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 मी + मी; 6) 8k +10k - n?

1377"। क्या अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलकर, कोष्ठक में पदों के संकेतों को बदलना आवश्यक है:

1)4 + (ए + 3बी); 2)-सी +(5-डी); 3) 16-(5मी-8एन)?

1378°. व्यंजक को सरल कीजिए और गुणांक को रेखांकित कीजिए:

1379°. व्यंजक को सरल कीजिए और गुणांक को रेखांकित कीजिए:

1380°. समान शब्दों को कम करें:

1) 4ए - पो + 6ए - 2ए; 4) 10 - 4डी - 12 + 4 डी;

2) 4बी - 5बी + 4 + 5बी; 5) 5ए - 12बी - 7ए + 5बी;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 एन - 12 मीटर -4 एन -3 मीटर।

1381°. समान शब्दों को कम करें:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 बी +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m।

1382°. कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालिए:

1) 1.2 ए +1.2 बी; 3) -3 एन - 1.8 मीटर; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0.5 एस + 5 डी; 4) 1.2 एन - 1.8 मीटर; 6) -8p - 10k - 6t।

1383°. कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालिए:

1) 6ए-12बी; 3) -1.8 एन -3.6 मीटर;

2) -0.2 एस + 1 4 डी; ए) 3p - 0.9k + 2.7t।

1384°. कोष्ठक खोलें और समान पदों को कम करें;

1) 5 + (4ए -4); 4) -(5 सी - डी) + (4 डी + 5 सी);

2) 17x- (4x-5); 5) (एन - एम) - (-2 मीटर - 3 एन);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y)।

1385°. कोष्ठक खोलें और समान पदों को कम करें:

1) 10ए + (4 - 4ए); 3) (एस - 5डी) - (- डी + 5 एस);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n)।

1386°. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. कोष्ठक खोलें:

1) 0.5 (ए + 4); 4) (एन - एम) (-2.4 पी);

2)-एस (2.7-1.2 डी .) ); 5) 3 (-1.5 पी + के - 0.2 .)टी);

3) 1.6 (2n + m); 6) (4.2 पी - 3.5 के -6 टी) (-2 ए)।

1389°. कोष्ठक खोलें:

1) 2.2 (एक्स-4); 3)(4 सी - डी)∙(-0.5 वाई);

2) -2 (1.2 एन - एम); 4) 6- (-पी + 0.3 के - 1.2 टी)।

1390. व्यंजक को सरल कीजिए:

1391. व्यंजक को सरल कीजिए:

1392. समान पदों को कम करें:

1393. समान शब्दों को कम करें:

1394. व्यंजक को सरल कीजिए:

1) 2.8 - (0.5 ए + 4) - 2.5 (2ए - 6);

2) -12 (8 - 2, by) + 4.5 (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 मीटर + 24.8 एन) ∙ (-0.5)-(3.5 मीटर -4.05 मीटर) ∙ 2.

1395. व्यंजक को सरल कीजिए:

1396. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें;

1) 4-(0.2 ए-3) - (5.8 ए-16), अगर ए \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), अगर = -0.8;

एम = 0.25, एन = 5.7।

1397. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) -4∙ (i-2) + 2∙ (6x - 1), यदि x = -0.25;

1398*. समाधान में त्रुटि का पता लगाएं:

1) 5- (ए-2.4) -7 (-ए + 1.2) \u003d 5 ए - 12-7 ए + 8.4 \u003d -2 ए-3.6;

2) -4 (2.3 ए - 6) + 4.2 (-6 - 3.5 ए) \u003d -9.2 ए + 46 + 4.26 - 14.7 ए \u003d -5.5 ए + 8.26।

1399*. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2ab - 3(6(4ए - 1) - 6(6 - 10ए)) + 76;

1400*. सही समानता प्राप्त करने के लिए कोष्ठक व्यवस्थित करें:

1) ए-6-ए + 6 \u003d 2 ए; 2) ए -2 बी -2 ए + बी \u003d 3 ए -3 बी।

1401*. सिद्ध कीजिए कि किसी भी संख्या a और . के लिएबी अगर ए> बी , तो निम्नलिखित समानता रखती है:

1) (ए + बी) + (ए-बी) \u003d 2 ए; 2) (ए + बी) - (ए - बी) \u003d 2 बी।

क्या यह समानता सही होगी यदि: a) a< बी; बी) ए = 6?

1402*. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या a के लिए पूर्ववर्ती और निम्नलिखित संख्याओं का समांतर माध्य a के बराबर होता है।

व्यवहार में लागू करें

1403. तीन लोगों के लिए एक फल मिठाई तैयार करने के लिए, आपको चाहिए: 2 सेब, 1 संतरा, 2 केले और 1 कीवी। मेहमानों के लिए मिठाई तैयार करने के लिए आवश्यक फल की मात्रा निर्धारित करने के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति कैसे करें? मारिन को यह गणना करने में मदद करें कि अगर वह मिलने आती है तो उसे कितने फल खरीदने होंगे: 1) 5 दोस्त; 2) 8 दोस्त।

1404. गणित में होमवर्क पूरा करने के लिए आवश्यक समय निर्धारित करने के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति करें, यदि:

1) समस्याओं को हल करने में एक मिनट का समय लगा; 2) अभिव्यक्तियों का सरलीकरण समस्याओं को हल करने की तुलना में 2 गुना अधिक है। यदि वासिल्को ने 15 मिनट समस्याओं को हल करने में लगाया तो उसने अपना गृहकार्य कितना समय किया?

1405. स्कूल की कैंटीन में दोपहर के भोजन में सलाद, बोर्स्ट, गोभी के रोल और कॉम्पोट होते हैं। सलाद की लागत 20%, बोर्स्ट - 30%, गोभी के रोल - 45%, कॉम्पोट - पूरे भोजन की कुल लागत का 5% है। स्कूल कैफेटेरिया में दोपहर के भोजन का खर्च ज्ञात करने के लिए एक व्यंजक लिखिए। यदि सलाद की कीमत 2 UAH है तो दोपहर के भोजन की लागत कितनी है?

दोहराव कार्य

1406. समीकरण को हल करें:

1407. तान्या ने आइसक्रीम पर खर्च कियासभी उपलब्ध धन, और मिठाई के लिए -बाकी। तान्या के पास कितने पैसे हैं?

अगर मिठाई की कीमत 12 UAH है?

एक तरह के कुछ बीजीय उदाहरण स्कूली बच्चों को डराने में सक्षम हैं। लंबी अभिव्यक्ति न केवल डराती है, बल्कि गणना करना भी बहुत मुश्किल है। आगे क्या होता है और क्या होता है, इसे तुरंत समझने की कोशिश करना, लंबे समय तक भ्रमित न होना। यही कारण है कि गणितज्ञ हमेशा "भयानक" कार्य को यथासंभव सरल बनाने का प्रयास करते हैं और उसके बाद ही इसे हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। अजीब तरह से, इस तरह की चाल प्रक्रिया को बहुत तेज करती है।

सरलीकरण बीजगणित के मूलभूत बिंदुओं में से एक है। यदि सरल कार्यों में इसके बिना करना अभी भी संभव है, तो उदाहरणों की गणना करना अधिक कठिन हो सकता है "बहुत कठिन"। यह वह जगह है जहाँ ये कौशल काम आते हैं! इसके अलावा, जटिल गणितीय ज्ञान की आवश्यकता नहीं है: बस कुछ बुनियादी तकनीकों और सूत्रों को याद रखना और अभ्यास में लाना सीखना पर्याप्त होगा।

गणना की जटिलता के बावजूद, किसी भी अभिव्यक्ति को हल करते समय, यह महत्वपूर्ण है संख्याओं के साथ संचालन के क्रम का पालन करें:

1. कोष्ठक;
2. घातांक;
3. गुणन;
4. विभाजन;
5. योग;
6. घटाव

अंतिम दो बिंदुओं को सुरक्षित रूप से बदला जा सकता है और यह किसी भी तरह से परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा। लेकिन दो पड़ोसी संख्याओं को जोड़ना, जब उनमें से एक के आगे एक गुणन चिह्न होता है, बिल्कुल असंभव है! उत्तर, यदि कोई हो, गलत है। इसलिए, आपको अनुक्रम याद रखने की आवश्यकता है।

ऐसे का उपयोग

ऐसे तत्वों में एक ही क्रम या समान डिग्री के चर के साथ संख्याएं शामिल होती हैं। तथाकथित मुक्त सदस्य भी हैं जिनके पास अज्ञात का पत्र पदनाम नहीं है।

लब्बोलुआब यह है कि कोष्ठक के अभाव में आप जैसे . को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल बना सकते हैं.

कुछ उदाहरण उदाहरण:

• 8x 2 और 3x 2 - दोनों संख्याओं का दूसरा क्रम चर समान है, इसलिए वे समान हैं और जब जोड़ा जाता है, तो वे सरल (8+3)x 2 =11x 2 हो जाते हैं, जबकि घटाते समय, यह (8-3)x निकलता है। 2 = 5x 2;
• 4x 3 और 6x - और यहाँ "x" की एक अलग डिग्री है;
• 2y 7 और 33x 7 - में अलग-अलग चर होते हैं, इसलिए, जैसा कि पिछले मामले में है, वे समान चर से संबंधित नहीं हैं।

एक संख्या फैक्टरिंग

यह छोटी सी गणितीय तरकीब, यदि आप इसका सही तरीके से उपयोग करना सीखते हैं, तो आपको भविष्य में एक से अधिक बार एक कठिन समस्या से निपटने में मदद मिलेगी। और यह समझना आसान है कि "सिस्टम" कैसे काम करता है: एक अपघटन कई तत्वों का एक उत्पाद है, जिसकी गणना मूल मान देती है. इस प्रकार, 20 को 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, या किसी अन्य तरीके से दर्शाया जा सकता है।

एक नोट पर: गुणक हमेशा भाजक के समान होते हैं। इसलिए आपको उन संख्याओं के बीच विस्तार के लिए एक कार्यशील "जोड़ी" की तलाश करने की आवश्यकता है जिससे मूल शेष के बिना विभाज्य हो।

आप इस तरह के ऑपरेशन को मुक्त सदस्यों के साथ और एक चर से जुड़े अंकों के साथ कर सकते हैं। मुख्य बात यह है कि गणना के दौरान उत्तरार्द्ध को खोना नहीं है - यहां तक ​​​​कि अपघटन के बाद, अज्ञात नहीं ले सकता और "कहीं नहीं जाना।" यह कारकों में से एक पर रहता है:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

अभाज्य संख्याएँ जिन्हें केवल स्वयं से विभाजित किया जा सकता है या 1 कभी भी कारक नहीं है - इसका कोई मतलब नहीं है।.

बुनियादी सरलीकरण के तरीके

पहली चीज जो आंख को पकड़ती है:

• कोष्ठक की उपस्थिति;
• भिन्न;
• जड़ें

स्कूली पाठ्यक्रम में बीजीय उदाहरणों को अक्सर इस धारणा के साथ संकलित किया जाता है कि उन्हें खूबसूरती से सरल बनाया जा सकता है।

ब्रैकेट गणना

कोष्ठक के सामने चिन्ह पर पूरा ध्यान दें!गुणन या विभाजन प्रत्येक तत्व के अंदर लागू होता है, और ऋण - मौजूदा "+" या "-" संकेतों को उलट देता है।

कोष्ठक की गणना नियमों के अनुसार या संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार की जाती है, जिसके बाद समान दिए जाते हैं।

अंश में कमी

भिन्नों को कम करेंआसान भी है। वे खुद कभी-कभी "स्वेच्छा से भाग जाते हैं", ऐसे सदस्यों को लाने के साथ संचालन करने लायक है। लेकिन आप इससे पहले भी उदाहरण को सरल बना सकते हैं: अंश और हर पर ध्यान दें. उनमें अक्सर स्पष्ट या छिपे हुए तत्व होते हैं जिन्हें पारस्परिक रूप से कम किया जा सकता है। सच है, अगर पहले मामले में आपको केवल अनावश्यक को हटाने की जरूरत है, तो दूसरे में आपको सरलीकरण के लिए अभिव्यक्ति का हिस्सा लाने के बारे में सोचना होगा। उपयोग की जाने वाली विधियाँ:

• अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की खोज और ब्रैकेटिंग;
• प्रत्येक शीर्ष तत्व को हर से विभाजित करना।

जब कोई व्यंजक या उसका भाग जड़ के नीचे हो, प्राथमिक सरलीकरण समस्या लगभग वैसी ही है जैसी भिन्नों के मामले में होती है। इससे पूरी तरह से छुटकारा पाने के तरीकों की तलाश करना आवश्यक है, या यदि यह संभव नहीं है, तो गणना में हस्तक्षेप करने वाले संकेत को कम करने के लिए। उदाहरण के लिए, विनीत √(3) या √(7) के लिए।

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाने का एक निश्चित तरीका यह है कि इसे अलग करने का प्रयास किया जाए, जिनमें से कुछ संकेत के बाहर हैं। एक उदाहरण उदाहरण: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)।

अन्य छोटी-छोटी तरकीबें और बारीकियाँ:

• यह सरलीकरण ऑपरेशन अंशों के साथ किया जा सकता है, इसे एक पूरे के रूप में और अलग-अलग अंश या हर के रूप में संकेत से निकालकर किया जा सकता है;
• योग या अंतर के एक हिस्से को जड़ से परे तोड़ना और निकालना असंभव है;
• चर के साथ काम करते समय, इसकी डिग्री को ध्यान में रखना सुनिश्चित करें, यह प्रतिपादन की संभावना के लिए रूट के बराबर या एक से अधिक होना चाहिए: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= (x 2 ×x)=x√( x);
• कभी-कभी इसे एक भिन्नात्मक शक्ति तक बढ़ाकर कट्टरपंथी चर से छुटकारा पाने की अनुमति दी जाती है: (y 3)=y 3/2।

शक्ति अभिव्यक्ति सरलीकरण

यदि माइनस या प्लस द्वारा सरल गणना के मामले में, समान लोगों को लाकर उदाहरणों को सरल बनाया जाता है, तो विभिन्न शक्तियों के साथ चर को गुणा या विभाजित करते समय क्या होगा? दो मुख्य बिंदुओं को याद करके उन्हें आसानी से सरल बनाया जा सकता है:

1. यदि चरों के बीच गुणन चिह्न है, तो घातांक जोड़े जाते हैं।
2. जब उन्हें एक दूसरे से विभाजित किया जाता है, तो अंश की घात से समान हर घटाया जाता है।

इस तरह के सरलीकरण के लिए एकमात्र शर्त यह है कि दोनों शब्दों का एक ही आधार हो। स्पष्टता के उदाहरण:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

हम ध्यान दें कि चर के सामने संख्यात्मक मानों के साथ संचालन सामान्य गणितीय नियमों के अनुसार होता है। और यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि "काम" अभिव्यक्ति के शक्ति तत्व समान हैं:

• किसी सदस्य को किसी शक्ति में बढ़ाने का अर्थ है उसे एक निश्चित संख्या से गुणा करना, अर्थात x 2 \u003d x × x;
• विभाजन समान है: यदि आप अंश और हर की डिग्री का विस्तार करते हैं, तो कुछ चर कम हो जाएंगे, जबकि बाकी "इकट्ठे" हो जाएंगे, जो घटाव के बराबर है।

जैसा कि किसी भी व्यवसाय में होता है, बीजीय व्यंजकों को सरल करते समय, न केवल मूल बातों का ज्ञान आवश्यक होता है, बल्कि अभ्यास भी होता है। कुछ पाठों के बाद, उदाहरण जो कभी जटिल लगते थे, बिना किसी कठिनाई के कम हो जाएंगे, छोटे और आसानी से हल किए गए उदाहरणों में बदल जाएंगे।

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि भावों को कैसे सरल बनाया जाता है।

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बीजगणित में जिन विभिन्न व्यंजकों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी के योग महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हुए। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठकों के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में रूपांतरित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा है कि इन भावों के नाम अधूरे लगते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया है ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर गौर करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निकालने पर आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना बीजगणित सीखने की चाबियों में से एक है और सभी गणितज्ञों के लिए एक अत्यंत उपयोगी कौशल है। सरलीकरण आपको एक जटिल या लंबी अभिव्यक्ति को सरल अभिव्यक्ति में कम करने की अनुमति देता है जिसके साथ काम करना आसान है। बुनियादी सरलीकरण कौशल उन लोगों के लिए भी अच्छा है जो गणित के प्रति उत्साही नहीं हैं। कुछ सरल नियमों का पालन करके, कई सबसे सामान्य प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बिना किसी विशेष गणितीय ज्ञान के सरल बनाया जा सकता है।

कदम

महत्वपूर्ण परिभाषाएं

1. समान सदस्य।ये एक ही क्रम के चर वाले सदस्य हैं, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य (वे सदस्य जिनमें कोई चर नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समान शब्दों में एक चर को समान सीमा तक शामिल किया जाता है, कई समान चरों को शामिल किया जाता है, या एक चर को बिल्कुल भी शामिल नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में शर्तों का क्रम मायने नहीं रखता।

   • उदाहरण के लिए, 3x 2 और 4x 2 समान पद हैं क्योंकि उनमें दूसरे क्रम का चर "x" है (द्वितीय घात में)। हालांकि, x और x 2 समान सदस्य नहीं हैं, क्योंकि उनमें विभिन्न ऑर्डर (पहले और दूसरे) के चर "x" होते हैं। इसी तरह, -3yx और 5xz समान सदस्य नहीं हैं क्योंकि उनमें विभिन्न चर होते हैं।

2. गुणनखंडन।यह ऐसी संख्याएँ ज्ञात कर रहा है, जिनका गुणनफल मूल संख्या की ओर जाता है। किसी भी मूल संख्या के कई गुणनखंड हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 12 को कारकों की निम्नलिखित श्रृंखला में विघटित किया जा सकता है: 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4, इसलिए हम कह सकते हैं कि संख्या 1, 2, 3, 4, 6 और 12 कारक हैं संख्या 12. गुणनखंड भाजक के समान हैं, अर्थात वे संख्याएँ जिनसे मूल संख्या विभाज्य है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 20 का गुणनखंड करना चाहते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखें: 4×5.
   • ध्यान दें कि फैक्टरिंग करते समय, चर को ध्यान में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 20x = 4(5x).
   • अभाज्य संख्याओं का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि वे केवल स्वयं से विभाज्य हैं और 1.

3. गलतियों से बचने के लिए संचालन के क्रम को याद रखें और उसका पालन करें।

   • कोष्टक
   • डिग्री
   • गुणा
   • विभाजन
   • योग
   • घटाव

   सदस्यों की तरह कास्टिंग

   1. अभिव्यक्ति लिखिए।सरलतम बीजीय व्यंजक (जिसमें भिन्न, मूल आदि नहीं होते हैं) को कुछ ही चरणों में हल (सरलीकृत) किया जा सकता है।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक को सरल कीजिए 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. समान सदस्यों को परिभाषित करें (समान क्रम के चर वाले सदस्य, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य)।

      • इस व्यंजक में समान पद ज्ञात कीजिए। पद 2x और 4x में एक ही क्रम (प्रथम) का एक चर है। साथ ही, 1 और -3 मुक्त सदस्य हैं (एक चर शामिल नहीं है)। इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति में, पद 2x और 4xसमान हैं, और सदस्य 1 और -3भी समान हैं।

   3. समान सदस्य दें।इसका अर्थ है उन्हें जोड़ना या घटाना और व्यंजक को सरल बनाना।

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. दिए गए पदों को ध्यान में रखते हुए व्यंजक को फिर से लिखिए।आपको कम शब्दों के साथ एक सरल अभिव्यक्ति मिलेगी। नई अभिव्यक्ति मूल के बराबर है।

      • हमारे उदाहरण में: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, अर्थात्, मूल अभिव्यक्ति सरल और काम करने में आसान है।

   5. उस क्रम का निरीक्षण करें जिसमें समान पदों की ढलाई करते समय संचालन किया जाता है।हमारे उदाहरण में, समान शब्दों को लाना आसान था। हालांकि, जटिल अभिव्यक्तियों के मामले में जिसमें सदस्य कोष्ठक में संलग्न हैं और अंश और मूल मौजूद हैं, ऐसे शब्दों को लाना इतना आसान नहीं है। इन मामलों में, संचालन के क्रम का पालन करें।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x पर विचार करें। यहां 3x और 2x को समान पदों के रूप में तुरंत परिभाषित करना और उन्हें उद्धृत करना एक गलती होगी, क्योंकि पहले आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। इसलिए, उनके क्रम में संचालन करें।
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x। अभी, जब व्यंजक में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएं होती हैं, तो आप समान पदों को कास्ट कर सकते हैं।
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • एक्स 2 + 12x + 3

   गुणक को छोटा करना

   1. व्यंजक के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक (gcd) ज्ञात कीजिए। GCD वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे व्यंजक के सभी गुणांक विभाज्य होते हैं।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x 2 + 27x - 3 पर विचार करें। इस मामले में, gcd=3, क्योंकि इस व्यंजक का कोई भी गुणांक 3 से विभाज्य है।

   2. व्यंजक के प्रत्येक पद को gcd से भाग दें।परिणामी शब्दों में मूल व्यंजक की तुलना में छोटे गुणांक होंगे।

      • हमारे उदाहरण में, प्रत्येक व्यंजक पद को 3 से भाग दें।
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • यह अभिव्यक्ति निकला 3x2 + 9x-1. यह मूल अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

   3. मूल व्यंजक को परिणामी व्यंजक के gcd गुणा के गुणनफल के बराबर लिखिए।यही है, परिणामी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करें, और GCD को कोष्ठक से बाहर रखें।

      • हमारे उदाहरण में: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. गुणक को कोष्ठक से निकालकर भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल बनाना।गुणक को कोष्ठक से बाहर क्यों निकालें, जैसा कि पहले किया गया था? फिर, भिन्नात्मक व्यंजकों जैसे जटिल व्यंजकों को सरल बनाने का तरीका जानने के लिए। इस मामले में, गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने से भिन्न (हर से) से छुटकारा पाने में मदद मिल सकती है।

      • उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक व्यंजक (9x 2 + 27x - 3)/3 पर विचार करें। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए कोष्ठकों का प्रयोग करें।
        • गुणनखंड 3 का गुणनखंड करें (जैसा आपने पहले किया था): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • ध्यान दें कि अंश और हर दोनों में अब संख्या 3 है। इसे कम किया जा सकता है, और आपको व्यंजक मिलता है: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • चूँकि कोई भी भिन्न जिसका हर में नंबर 1 होता है, वह अंश के बराबर होता है, मूल भिन्नात्मक व्यंजक को सरल बनाया जाता है: 3x2 + 9x-1.

   अतिरिक्त सरलीकरण तकनीक

4. एक साधारण उदाहरण पर विचार करें: (90)। संख्या 90 को निम्नलिखित कारकों में विघटित किया जा सकता है: 9 और 10, और 9 से, वर्गमूल (3) लें और जड़ के नीचे से 3 निकालें।
   • √(90)
   • (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाना।कुछ भावों में, डिग्री के साथ गुणा या पदों के विभाजन के संचालन होते हैं। एक आधार से पदों के गुणन के मामले में, उनकी डिग्री जोड़ दी जाती हैं; समान आधार वाले पदों को विभाजित करने की स्थिति में, उनकी डिग्री घटा दी जाती है।

   • उदाहरण के लिए, व्यंजक 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) पर विचार करें। गुणा के मामले में, घातांक जोड़ें, और भाग के मामले में, उन्हें घटाएं।
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • पदों को एक डिग्री से गुणा और विभाजित करने के नियम की व्याख्या निम्नलिखित है।
     • पदों को घातों से गुणा करना, पदों को अपने आप से गुणा करने के बराबर है। उदाहरण के लिए, चूँकि x 3 = x × x × x और x 5 = x × x × x × x × x, तो x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × एक्स), या एक्स 8।
     • इसी प्रकार, पदों को शक्तियों से विभाजित करना, पदों को स्वयं से विभाजित करने के बराबर है। x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x)। चूँकि अंश और हर दोनों में समान पदों को कम किया जा सकता है, दो "x" या x 2 का गुणनफल अंश में रहता है।

• किसी व्यंजक की शर्तों के सामने हमेशा चिह्नों (धन या ऋण) से अवगत रहें, क्योंकि बहुत से लोगों को सही चिह्न चुनने में कठिनाई होती है।
• जरूरत पड़ने पर मदद मांगें!
• बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना आसान नहीं है, लेकिन यदि आप इस पर अपना हाथ रखते हैं, तो आप इस कौशल का उपयोग जीवन भर कर सकते हैं।