लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट. ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दी गई दो संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एऔर बी. एकाधिक संख्याओं का सामान्य भाजक (जीसीडी)वह संख्या है जो उनमें से प्रत्येक के लिए भाजक के रूप में कार्य करती है।

संक्षेप में संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बीइस प्रकार लिखा जाता है:

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12.

समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।

उदाहरण:

जीसीडी (7; 9) = 1

संख्याएँ 7 और 9 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्यची स्लैम.

कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका gcd 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी), गुण।

• मुख्य संपत्ति: सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमऔर एनइन संख्याओं के किसी भी सामान्य भाजक से विभाज्य है। उदाहरण: संख्या 12 और 18 के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक 6 है; यह इन संख्याओं के सभी सामान्य भाजक से विभाज्य है: 1, 2, 3, 6।
• परिणाम 1: सामान्य भाजक का समुच्चय एमऔर एनभाजक जीसीडी के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).
• उपफल 2: सामान्य गुणकों का समुच्चय एमऔर एनकई एलसीएम के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

इसका मतलब है, विशेष रूप से, कि एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में कम करने के लिए, इसके अंश और हर को उनके जीसीडी से विभाजित करना आवश्यक है।

• संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमऔर एनउनके सभी रैखिक संयोजनों के सेट के सबसे छोटे सकारात्मक तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

और इसलिए संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं एमऔर एन:

इस अनुपात को कहा जाता है बेज़आउट का अनुपात, और गुणांक तुमऔर वी — बेज़आउट गुणांक. बेज़ाउट गुणांकों की गणना विस्तारित यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा कुशलता से की जाती है। यह कथन प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए सामान्यीकृत है - इसका अर्थ यह है कि सेट द्वारा उत्पन्न समूह का उपसमूह चक्रीय है और एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है: gcd ( ए 1 , ए 2 , … , एक).

सबसे बड़े सामान्य भाजक (gcd) की गणना।

दो संख्याओं की gcd की गणना करने के प्रभावी तरीके हैं यूक्लिड का एल्गोरिथमऔर बायनरीकलन विधि. इसके अलावा, GCD मान ( एम,एन) की गणना आसानी से की जा सकती है यदि संख्याओं का विहित विस्तार ज्ञात हो एमऔर एनप्रमुख कारकों के लिए:

जहां अलग-अलग अभाज्य हैं और और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)। फिर जीसीडी ( एम,एन) और एलसीएम ( एम,एन) सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यदि दो से अधिक संख्याएँ हैं: , उनका GCD निम्न एल्गोरिथम के अनुसार पाया जाता है:

- यह वांछित जीसीडी है।

इसके अलावा, खोजने के लिए महत्तम सामान्य भाजक, आप दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं। फिर केवल उन्हीं गुणनखंडों को अलग-अलग लिखिए जो सभी दी गई संख्याओं में शामिल हैं। फिर हम आपस में लिखी गई संख्याओं को गुणा करते हैं - गुणा का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है .

आइए चरण दर चरण सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना का विश्लेषण करें:

1. संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं। आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए हम संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

2. हम दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करते हैं:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं:

जीसीडी (28; 64) = 2. 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।

जीसीडी लिखने का पहला तरीका:

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2। 2. 3 = 12

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका:

अब GCD सर्च सॉल्यूशन को एक लाइन में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

डी(10) = (1, 2, 5, 10)

डी(15) = (1, 3, 5, 15)

डी(10, 15) = (1, 5)

आइए समस्या का समाधान करें। हमारे पास दो तरह की कुकीज हैं। कुछ चॉकलेट हैं और कुछ सादे हैं। चॉकलेट के 48 टुकड़े हैं, और 36 साधारण हैं। इन कुकीज़ से उपहारों की अधिकतम संभव संख्या बनाना आवश्यक है, और उन सभी का उपयोग किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, आइए इन दोनों संख्याओं में से प्रत्येक के सभी भाजक को लिख लें, क्योंकि ये दोनों संख्याएँ उपहारों की संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।

हम पाते हैं

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

आइए भाजक में से वे उभयनिष्ठ ज्ञात करें जिनमें पहली और दूसरी दोनों संख्याएँ हों।

सामान्य भाजक होंगे: 1, 2, 3, 4, 6, 12।

सभी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 है। इस संख्या को 36 और 48 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है।

परिणाम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी कुकीज़ से 12 उपहार बनाए जा सकते हैं। ऐसे ही एक उपहार में 4 चॉकलेट कुकीज और 3 नियमित कुकीज होंगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना

• वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे दो संख्याएँ a और b शेषफल के बिना विभाज्य हों, इन संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक कहलाती है।

कभी-कभी संक्षिप्त नाम GCD का उपयोग प्रविष्टि को संक्षिप्त करने के लिए किया जाता है।

संख्याओं के कुछ युग्मों में एक उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है कोप्राइम नंबर।उदाहरण के लिए, संख्या 24 और 35. GCD = 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, इन संख्याओं के सभी भाजक को लिखना आवश्यक नहीं है।

आप अन्यथा कर सकते हैं। सबसे पहले, दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें।

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

अब, पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन सभी को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। हमारे मामले में, ये दो ड्यूस हैं।

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

गुणनखंड 2, 2 और 3 रहते हैं। उनका गुणनफल 12 है। यह संख्या 48 और 36 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

इस नियम को तीन, चार, आदि के मामले में बढ़ाया जा सकता है। संख्याएं।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
• 2. इनमें से किसी एक संख्या के प्रसार में सम्मिलित गुणनखंडों में से उन संख्याओं को काट दीजिए जो अन्य संख्याओं के प्रसार में सम्मिलित नहीं हैं।
• 3. शेष कारकों के उत्पाद की गणना करें।

प्राकृतिक संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) और सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) ज्ञात करना।

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) हम इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखते हैं और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 5 जोड़ते हैं। हमें मिलता है: 2*2*3*5*5=300. एनओसी मिला, यानी। यह योग = 300। आयाम को न भूलें और उत्तर लिखें:
उत्तर: माँ प्रत्येक को 300 रूबल देती है।

जीसीडी की परिभाषा:सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)प्राकृतिक संख्याएं एऔर मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या का नाम बताइए सी, जिसके लिए और ए, और बीशेष के बिना विभाजित। वे। सीसबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए और एऔर बीगुणक हैं।

अनुस्मारक:प्राकृत संख्याओं की परिभाषा के दो उपागम हैं

• में प्रयुक्त संख्याएँ: वस्तुओं की गणना (नंबरिंग) (पहली, दूसरी, तीसरी, ...); - स्कूलों में, आमतौर पर.
• वस्तुओं की संख्या का संकेत देना (कोई पोकेमॉन नहीं - शून्य, एक पोकेमॉन, दो पोकेमॉन, ...)।

नकारात्मक और गैर-पूर्णांक (परिमेय, वास्तविक, ...) संख्याएं प्राकृतिक नहीं हैं। कुछ लेखक शून्य को प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में शामिल करते हैं, अन्य नहीं। सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एन

अनुस्मारक:एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एनंबर पर कॉल करें बी,किसको एशेष के बिना विभाजित। प्राकृत संख्या का गुणज बीएक प्राकृतिक संख्या कहा जाता है ए, जिसे से विभाजित किया गया है बीएक ट्रेस के बिना। यदि संख्या बी- संख्या भाजक ए, तब एके गुणक बी. उदाहरण: 2, 4 का भाजक है और 4, 2 का गुणज है। 3, 12 का भाजक है, और 12, 3 का गुणज है।
अनुस्मारक:प्राकृत संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं यदि वे केवल स्वयं से और 1 से शेषफल के बिना विभाज्य हैं। Coprime वे संख्याएँ हैं जिनका केवल एक सार्व भाजक 1 के बराबर है।

सामान्य स्थिति में GCD को कैसे खोजें इसकी परिभाषा: GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) खोजने के लिएकई प्राकृतिक संख्याओं की आवश्यकता है:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें। (इसके लिए प्राइम नंबर चार्ट बहुत मददगार हो सकता है।)
2) इनमें से किसी एक के प्रसार में शामिल कारकों को लिखिए।
3) जो शेष संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं, उन्हें हटा दें।
4) पैराग्राफ 3 में प्राप्त कारकों को गुणा करें)।

कार्य 2 चालू (NOK):नए साल तक, कोल्या पुजाटोव ने शहर में 48 हम्सटर और 36 कॉफी पॉट खरीदे। कक्षा में सबसे ईमानदार लड़की के रूप में फ़ेक्ला डॉर्मिडोंटोवा को इस संपत्ति को शिक्षकों के लिए उपहार सेट की सबसे बड़ी संख्या में विभाजित करने का कार्य दिया गया था। सेट की संख्या क्या है? सेट की संरचना क्या है?

उदाहरण 2.1. जीसीडी खोजने की समस्या को हल करना। चयन द्वारा जीसीडी ढूँढना।
फेसला:प्रत्येक संख्या 48 और 36 उपहारों की संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।
1) भाजक लिखिए 48:48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) भाजक 36: 36, 18, लिखिए। 12 , 9, 6, 3, 2, 1 सबसे बड़ा सामान्य भाजक चुनें। ओप-ला-ला! मिला, यह 12 टुकड़ों के सेट की संख्या है।
3) 48 को 12 से भाग दें, 4 प्राप्त करें, 36 को 12 से भाग दें, 3 प्राप्त करें। आयाम को न भूलें और उत्तर लिखें:
उत्तर आपको 4 हम्सटर के 12 सेट और प्रत्येक सेट में 3 कॉफी पॉट मिलेंगे।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक सीधे उन संख्याओं के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक संख्याओं a और b के गुणनफल के बराबर होता है, जो संख्याओं a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी).

प्रमाण।

रहने दो M, संख्या a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा से, कुछ पूर्णांक k ऐसा है कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएं लिख सकते हैं a=a 1 ·d और b=b 1 ·d, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएं होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b एक से विभाज्य है।

हमें विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण उपफलों को भी लिखने की आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह सच है, क्योंकि एम संख्या ए और बी के किसी भी सामान्य गुणक को समानता एम = एलसीएम (ए, बी) टी द्वारा कुछ पूर्णांक मान टी के लिए परिभाषित किया जाता है।

सहअभाज्य धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

इस तथ्य का औचित्य बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1 इसलिए, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करने के लिए घटाया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है: a 1, a 2, ..., k, m k-1 और k के सामान्य गुणकों के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो a 1 , a 2 , …, a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत की मूल बातें।
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• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।

यह आलेख निम्न से संबंधित है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) ढूँढनादो या अधिक संख्याएँ। सबसे पहले, यूक्लिड एल्गोरिथम पर विचार करें, यह आपको दो संख्याओं के GCD को खोजने की अनुमति देता है। उसके बाद, हम एक ऐसी विधि पर ध्यान देंगे जो हमें संख्याओं के GCD को उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में परिकलित करने की अनुमति देती है। इसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने पर विचार करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के GCD की गणना के उदाहरण भी देंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिड का एल्गोरिदम

ध्यान दें कि यदि हम शुरू से ही अभाज्य संख्याओं की तालिका की ओर मुड़ते, तो हमें पता चलता कि संख्याएँ 661 और 113 अभाज्य हैं, जिससे हम तुरंत कह सकते हैं कि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है।

जवाब:

जीसीडी(661, 113)=1 ।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके GCD ज्ञात करना

जीसीडी को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके पाया जा सकता है। आइए नियम तैयार करें: दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का gcd, a और b के अभाज्य गुणनखंडों में सभी उभयनिष्ठ अभाज्य कारकों के गुणनफल के बराबर है.

आइए हम GCD ज्ञात करने के नियम की व्याख्या करने के लिए एक उदाहरण देते हैं। आइए जानते हैं संख्या 220 और 600 का अभाज्य गुणनखंडों में प्रसार, उनका रूप 220=2 2 5 11 और 600=2 2 2 3 5 5 है। संख्या 220 और 600 के प्रसार में शामिल सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। इसलिए gcd(220, 600)=2 2 5=20 ।

इस प्रकार, यदि हम संख्याओं a और b को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं और उनके सभी सामान्य कारकों का गुणनफल पाते हैं, तो यह संख्या a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक प्राप्त करेगा।

घोषित नियम के अनुसार जीसीडी खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

72 और 96 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

फेसला।

आइए संख्या 72 और 96 का गुणनखंड करें:

अर्थात्, 72=2 2 2 3 3 और 96=2 2 2 2 2 3 । सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 , 2 , 2 और 3 हैं। तो gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 ।

जवाब:

जीसीडी (72, 96) = 24।

इस खंड के निष्कर्ष में, हम देखते हैं कि जीसीडी खोजने के लिए उपरोक्त नियम की वैधता सबसे बड़े सामान्य भाजक की संपत्ति से होती है, जिसमें कहा गया है कि GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), जहाँ m कोई धनात्मक पूर्णांक है।

तीन या अधिक संख्याओं का GCD ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने से दो संख्याओं की gcd को क्रमिक रूप से खोजने के लिए घटाया जा सकता है। इसका जिक्र हमने जीसीडी के गुणों का अध्ययन करते समय किया था। वहां हमने प्रमेय को सूत्रबद्ध और सिद्ध किया: कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक a 1, a 2, …, a k संख्या d k के बराबर है, जो कि gcd(a 1 , a 2)=d 2 की क्रमिक गणना में पाया जाता है। , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k ।

आइए देखें कि उदाहरण के समाधान पर विचार करके कई संख्याओं का GCD खोजने की प्रक्रिया कैसी दिखती है।

उदाहरण।

चार संख्याओं 78 , 294 , 570 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए ।

फेसला।

इस उदाहरण में a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 ।

सबसे पहले, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम पहली दो संख्याओं 78 और 294 में से सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 2 निर्धारित करते हैं। विभाजित करने पर, हमें 294=78 3+60 समानताएँ प्राप्त होती हैं; 78=60 1+18; 60=18 3+6 और 18=6 3 । अत: d 2 =GCD(78, 294)=6 ।

अब गणना करते हैं डी 3 \u003d जीसीडी (डी 2, ए 3) \u003d जीसीडी (6, 570). हम फिर से यूक्लिड एल्गोरिथम लागू करते हैं: 570=6·95 , इसलिए, d 3 =GCD(6, 570)=6 ।

गणना करना बाकी है डी 4 \u003d जीसीडी (डी 3, ए 4) \u003d जीसीडी (6, 36). चूँकि 36 6 से विभाज्य है, तो d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6।

इस प्रकार, दी गई चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 4 =6 है, अर्थात gcd(78, 294, 570, 36)=6 है।

जवाब:

जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6 ।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने से आप तीन या अधिक संख्याओं के GCD की गणना कर सकते हैं। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक दी गई संख्याओं के सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में पाया जाता है।

उदाहरण।

पिछले उदाहरण से संख्याओं के GCD की गणना उनके अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके करें।

फेसला।

हम संख्या 78 , 294 , 570 और 36 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं, हमें 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 .3 मिलता है। दी गई सभी चार संख्याओं के सार्व अभाज्य गुणनखंड संख्या 2 और 3 हैं। इसलिये, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=2 3=6.