व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? लेकिन कौन सा:

किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और दिए गए बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: स्थिरांक निकालें

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

फेसला:

यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।

समारोह अनुसंधान। इस लेख में, हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनमें कार्यों पर विचार किया जाता है और जिस स्थिति में उनके अध्ययन से संबंधित प्रश्न होते हैं। उन मुख्य सैद्धांतिक बिंदुओं पर विचार करें जिन्हें हल करने के लिए आपको जानने और समझने की आवश्यकता है।

यह गणित में परीक्षा में शामिल कार्यों का एक पूरा समूह है। प्रश्न आमतौर पर किसी दिए गए अंतराल पर अधिकतम (न्यूनतम) के अंक खोजने या किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े (सबसे छोटे) मान को निर्धारित करने के बारे में उठाया जाता है।माना:

- शक्ति और तर्कहीन कार्य।

- तर्कसंगत कार्य।

- कार्यों और निजी का अध्ययन।

- लघुगणकीय कार्य।

- त्रिकोणमितीय कार्य।

यदि आप सीमा के सिद्धांत, एक व्युत्पन्न की अवधारणा, कार्यों के रेखांकन और उसके अध्ययन के लिए एक व्युत्पन्न के गुणों को समझते हैं, तो ऐसी समस्याएं आपको कोई कठिनाई नहीं देंगी और आप उन्हें आसानी से हल कर लेंगे।

नीचे दी गई जानकारी सैद्धांतिक बिंदु हैं, जिन्हें समझने से यह महसूस करना संभव हो जाएगा कि ऐसी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। मैं उन्हें इस तरह से बताने की कोशिश करूंगा कि जो लोग इस विषय को याद करते हैं या खराब अध्ययन करते हैं वे भी बिना किसी कठिनाई के ऐसी समस्याओं को हल कर सकते हैं।

इस समूह की समस्याओं में, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, फ़ंक्शन का न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु या अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान खोजना आवश्यक है।

न्यूनतम और अधिकतम अंक।व्युत्पन्न गुण।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें:

बिंदु A अधिकतम बिंदु है, O से A के अंतराल पर फलन बढ़ता है, A से B के अंतराल पर यह घटता है।

बिंदु बी एक न्यूनतम बिंदु है, ए से बी के अंतराल पर फ़ंक्शन घटता है, बी से सी के अंतराल पर यह बढ़ता है।

इन बिंदुओं (ए और बी) पर, व्युत्पन्न गायब हो जाता है (शून्य के बराबर)।

इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखा अक्ष के समानांतर होती है बैल.

मैं यह जोड़ूंगा कि जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने (और इसके विपरीत, घटने से बढ़ने तक) में बदलता है, उन्हें एक्स्ट्रेमा कहा जाता है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. बढ़ते अंतराल पर अवकलज का धनात्मक चिह्न (n .) होता हैअंतराल से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करते समय, एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है)।

इसलिए, यदि एक निश्चित अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न का सकारात्मक मान होता है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन का ग्राफ बढ़ जाता है।

2. घटते अंतराल पर, व्युत्पन्न का एक ऋणात्मक चिह्न होता है (अंतराल से मान को व्युत्पन्न व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है)।

इसलिए, यदि एक निश्चित अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर अवकलज का ऋणात्मक मान होता है, तो इस अंतराल पर फलन का ग्राफ घटता है।

यह स्पष्ट करने की जरूरत है!

इस प्रकार, व्युत्पन्न की गणना करके और इसे शून्य के बराबर करके, आप ऐसे बिंदु पा सकते हैं जो वास्तविक अक्ष को अंतराल में विभाजित करते हैं।इनमें से प्रत्येक अंतराल पर, आप व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित कर सकते हैं और फिर इसके बढ़ने या घटने के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

* अलग से, उन बिंदुओं के बारे में कहा जाना चाहिए जिन पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, हम एक व्युत्पन्न प्राप्त कर सकते हैं जिसका हर एक निश्चित x पर गायब हो जाता है। यह स्पष्ट है कि ऐसे x के लिए अवकलज मौजूद नहीं है। इसलिए, वृद्धि (कमी) के अंतराल का निर्धारण करते समय इस बिंदु को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए।

उन बिंदुओं पर फलन जहां अवकलज शून्य के बराबर होता है, हमेशा अपना चिह्न नहीं बदलता है। यह एक अलग लेख होगा। यूएसई में ही ऐसे कोई कार्य नहीं होंगे।

किसी फलन के बढ़ते और घटते व्यवहार का अध्ययन करने के लिए उपरोक्त गुण आवश्यक हैं।

निर्दिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आपको और क्या जानने की आवश्यकता है: डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के नियम। इसके बिना कुछ नहीं। यह व्युत्पन्न के विषय में बुनियादी ज्ञान है। आपको प्राथमिक फलनों के अवकलजों को अच्छी तरह से जानना चाहिए।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करनाएफ(जी(एक्स)), समारोह की कल्पना करोजी(एक्स) एक चर है और फिर व्युत्पन्न की गणना करेंएफ’(जी(एक्स)) सारणीबद्ध सूत्रों द्वारा एक चर के साधारण व्युत्पन्न के रूप में। फिर परिणाम को फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करेंजी(एक्स) .

मैक्सिम सेमेनीखिन द्वारा एक जटिल कार्य के बारे में एक वीडियो ट्यूटोरियल देखें:

अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने में समस्या

फ़ंक्शन के अधिकतम (न्यूनतम) अंक खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें एफ’(एक्स).

2. अवकलज के शून्य ज्ञात कीजिए (अवकलज को शून्य से जोड़कर) एफ’(एक्स)=0 और परिणामी समीकरण को हल करें)। हम उन बिंदुओं को भी ढूंढते हैं जहां व्युत्पन्न मौजूद नहीं है(विशेष रूप से, यह भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों से संबंधित है)।

3. हम प्राप्त मूल्यों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं और इन अंतरालों पर व्युत्पन्न के संकेतों को अंतराल से व्युत्पन्न अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके निर्धारित करते हैं।

आउटपुट दो में से एक होगा:

1. अधिकतम बिंदु बिंदु हैजिसमें व्युत्पन्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है।

2. न्यूनतम बिंदु बिंदु हैजिसमें व्युत्पन्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित हो जाता है।

सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करने में समस्या

अंतराल पर कार्य करता है।

एक अन्य प्रकार की समस्या में, किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करना आवश्यक है।

सबसे बड़ा (सबसे छोटा) फ़ंक्शन मान खोजने के लिए एल्गोरिथ्म:

1. निर्धारित करें कि क्या अधिकतम (न्यूनतम) अंक हैं। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न पाते हैं एफ’(एक्स) , फिर हल करें एफ’(एक्स)=0 (पिछले एल्गोरिथम से अंक 1 और 2)।

2. हम निर्धारित करते हैं कि प्राप्त अंक किसी दिए गए अंतराल से संबंधित हैं या नहीं और इसके भीतर पड़े बिंदुओं को लिखते हैं।

3. हम दिए गए अंतराल की सीमाओं और अंतराल (आइटम 2) के भीतर स्थित बिंदुओं (अधिकतम-न्यूनतम) को मूल फ़ंक्शन (व्युत्पन्न में नहीं, बल्कि स्थिति में दिए गए एक में) में प्रतिस्थापित करते हैं।

4. हम फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

5. हम प्राप्त किए गए लोगों में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान चुनते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि कार्य में कौन सा प्रश्न रखा गया था, और फिर उत्तर लिखें।

प्रश्न: किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े (सबसे छोटे) मान को खोजने के कार्यों में, अधिकतम (न्यूनतम) बिंदुओं को देखना क्यों आवश्यक है?

उत्तर सबसे अच्छा सचित्र है, कार्यों द्वारा दिए गए रेखांकन का एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व देखें:

1 और 2 के मामलों में, फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम मान को निर्धारित करने के लिए अंतराल की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है। 3 और 4 के मामलों में, फ़ंक्शन के शून्य (अधिकतम-न्यूनतम अंक) को खोजना आवश्यक है। यदि हम अंतराल की सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं (फ़ंक्शन का शून्य ज्ञात किए बिना), तो हमें गलत उत्तर मिलेगा, यह ग्राफ़ से देखा जा सकता है।

और बात यह है कि हम किसी दिए गए फ़ंक्शन का उपयोग करके यह नहीं देख सकते हैं कि चार्ट अंतराल पर कैसा दिखता है (चाहे वह अंतराल के भीतर अधिकतम या न्यूनतम हो)। इसलिए, बिना किसी असफलता के फ़ंक्शन के शून्य खोजें !!!

अगर समीकरण एफ'(एक्स)=0 इसका कोई हल नहीं होगा, इसका मतलब है कि कोई अधिकतम-न्यूनतम बिंदु नहीं हैं (चित्र 1.2), और निर्धारित कार्य को खोजने के लिए, इस फ़ंक्शन में केवल अंतराल की सीमाओं को प्रतिस्थापित किया जाता है।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु। याद रखें कि उत्तर एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव होना चाहिए। किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करते समय, आपको संख्या e और pi के साथ व्यंजक प्राप्त होंगे, साथ ही मूल के साथ व्यंजक भी प्राप्त होंगे। याद रखें कि आपको उन्हें अंत तक गणना करने की आवश्यकता नहीं है, और यह स्पष्ट है कि इस तरह के भावों का परिणाम उत्तर नहीं होगा। यदि इस तरह के मूल्य की गणना करने की इच्छा है, तो इसे करें (संख्याएं: ई 2.71 पीआई ≈ 3.14)।

मैंने बहुत कुछ लिखा, शायद भ्रमित? विशिष्ट उदाहरणों से, आप देखेंगे कि सब कुछ सरल है।

इसके बाद, मैं आपको एक छोटा सा रहस्य बताना चाहता हूं। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के गुणों को जाने बिना और भेदभाव के नियमों के बिना भी कई कार्यों को हल किया जा सकता है। मैं निश्चित रूप से आपको इन बारीकियों के बारे में बताऊंगा और आपको दिखाऊंगा कि यह कैसे किया जाता है? याद मत करिएं!

लेकिन फिर मैंने सिद्धांत को बिल्कुल क्यों बताया और यह भी कहा कि इसे बिना किसी असफलता के जाना जाना चाहिए। यह सही है - आपको जानने की जरूरत है। यदि आप इसे समझते हैं, तो इस विषय में कोई भी कार्य आपको भ्रमित नहीं करेगा।

वे "ट्रिक्स" जिनके बारे में आप सीखेंगे, विशिष्ट (कुछ) प्रोटोटाइप समस्याओं को हल करने में आपकी मदद करेंगे। सेवाएक अतिरिक्त उपकरण के रूप में, ये तकनीकें, निश्चित रूप से, उपयोग करने के लिए सुविधाजनक हैं। समस्या को 2-3 गुना तेजी से हल किया जा सकता है और भाग सी को हल करने के लिए समय बचा सकता है।

शुभकामनाएं!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

एक चर के एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

परिचय।

ये पद्धतिगत विकास औद्योगिक और सिविल इंजीनियरिंग संकाय के छात्रों के लिए अभिप्रेत है। उन्हें "एक चर के कार्यों के विभेदक कलन" खंड में गणित के पाठ्यक्रम के कार्यक्रम के संबंध में संकलित किया गया है।

घटनाक्रम एक एकल कार्यप्रणाली गाइड का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें शामिल हैं: संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी; इन समाधानों के लिए विस्तृत समाधान और स्पष्टीकरण के साथ "विशिष्ट" कार्य और अभ्यास; नियंत्रण विकल्प।

प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में अतिरिक्त अभ्यास। विकास की ऐसी संरचना उन्हें शिक्षक की न्यूनतम सहायता के साथ अनुभाग की स्वतंत्र महारत के लिए उपयुक्त बनाती है।

§एक। व्युत्पन्न की परिभाषा।

यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ

व्युत्पन्न।

व्युत्पन्न की अवधारणा गणितीय विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। यह 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में उत्पन्न हुई थी। व्युत्पन्न की अवधारणा का गठन ऐतिहासिक रूप से दो समस्याओं से जुड़ा हुआ है: चर गति की गति की समस्या और वक्र के स्पर्शरेखा की समस्या।

इन कार्यों, उनकी विभिन्न सामग्री के बावजूद, एक ही गणितीय ऑपरेशन की ओर ले जाते हैं जो किसी फ़ंक्शन पर किया जाना चाहिए। इस ऑपरेशन को गणित में एक विशेष नाम मिला है। इसे किसी फंक्शन के विभेदीकरण की संक्रिया कहते हैं। भेदभाव ऑपरेशन के परिणाम को व्युत्पन्न कहा जाता है।

तो, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) है
पर
.

व्युत्पन्न को आमतौर पर निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
.

तो परिभाषा के अनुसार

प्रतीकों का उपयोग व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए भी किया जाता है
.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

यदि s=s(t) किसी भौतिक बिंदु की रेखीय गति का नियम है, तो
समय t पर इस बिंदु की गति है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

यदि फलन y=f(x) का एक बिंदु पर अवकलज है , तो बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान
बराबरी
.

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
बिंदु पर =2:

1) आइए एक बिंदु दें =2 वेतन वृद्धि
. नोटिस जो।

2) बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं =2:

3) तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात लिखें:

आइए हम संबंध की सीमा ज्ञात करें
:

.

इस प्रकार,
.

§ 2. कुछ के व्युत्पन्न

सबसे सरल कार्य।

छात्र को सीखने की जरूरत है कि विशिष्ट कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कैसे करें: y=x,y= और सामान्य तौर पर y= .

फलन y=x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

वे। (एक्स)′=1.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यौगिक

रहने दो
तब

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए व्यंजकों में एक पैटर्न को नोटिस करना आसान है
एन = 1,2,3 पर।

इसलिये,

. (1)

यह सूत्र किसी भी वास्तविक n के लिए मान्य है।

विशेष रूप से, सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

;

.

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

.

.

यह फ़ंक्शन प्रपत्र के फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है

पर
.

सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

.

फलनों के व्युत्पन्न y=sin x और y=cos x।

माना y=sinx.

x से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

x→0 के रूप में सीमा तक जाने पर, हमारे पास है

चलो y=cosx ।

x→0 के रूप में सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

;
. (2)

3. भेदभाव के बुनियादी नियम।

भेदभाव के नियमों पर विचार करें।

प्रमेय1 . यदि फलन u=u(x) और v=v(x) दिए गए बिंदु x पर अवकलनीय हैं, तो उनका योग भी इस बिंदु पर अवकलनीय है, और योग का अवकलज व्युत्पन्न पदों के योग के बराबर है: (यू+वी)"=यू"+वी"(3 )

प्रमाण: फलन y=f(x)=u(x)+v(x) पर विचार करें।

तर्क x का इंक्रीमेंट x u=u(x+∆x)-u(x), v=v(x+∆x)-v(x) फंक्शन यू और वी के इंक्रीमेंट से मेल खाता है। तब फ़ंक्शन y बढ़ा दिया जाएगा

y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

इसलिये,

तो, (u+v)"=u"+v"।

प्रमेय2. यदि फलन u=u(x) और v=v(x) दिए गए बिंदु x पर अवकलनीय हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है। इस मामले में, उत्पाद का अवकलज निम्न सूत्र द्वारा पाया जाता है : (यूवी) "= यू" वी + यूवी "। (4)

उपपत्ति: मान लीजिए y=uv, जहाँ u और v x के कुछ अवकलनीय फलन हैं। मान लीजिए x को x से बढ़ा दिया जाता है, तो u को u से बढ़ा दिया जाएगा, v को ∆v से बढ़ा दिया जाएगा, और y को y से बढ़ा दिया जाएगा।

हमारे पास है y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), या

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

इसलिए, y=u∆v+v∆u+∆u∆v।

यहां से

x→0 के रूप में सीमा तक जाने और यह ध्यान में रखते हुए कि u और v ∆x पर निर्भर नहीं हैं, हमारे पास है

प्रमेय 3. दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका हर भाजक के वर्ग के बराबर होता है, और अंश भाजक द्वारा लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद और के उत्पाद के बीच का अंतर होता है भाजक के व्युत्पन्न द्वारा लाभांश, अर्थात।

यदि एक
तब
(5)

प्रमेय 4.स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है, अर्थात। अगर y=C, जहां С=const, फिर y"=0.

प्रमेय 5.अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है, अर्थात्। अगर y=Cu(x), कहा पे =const, फिर y"=Cu"(x)।

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

.

इस फ़ंक्शन का रूप है
, जहां u=x,v=cosx. विभेदन नियम (4) को लागू करने पर, हम पाते हैं

.

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

.

हम सूत्र (5) लागू करते हैं।

यहां
;
.

कार्य।

निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

अनुपात लिखें और सीमा की गणना करें.

जहाँ किया डेरिवेटिव और भेदभाव नियमों की तालिका? एक सीमा के लिए धन्यवाद। यह जादू जैसा लगता है, लेकिन वास्तव में - हाथ की सफाई और कोई धोखाधड़ी नहीं। सबक पर एक व्युत्पन्न क्या है?मैंने विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करना शुरू किया, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मुझे एक रैखिक और द्विघात फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मिले। संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे व्युत्पन्न तालिका, एल्गोरिदम और तकनीकी समाधानों का सम्मान करना:

उदाहरण 1

वास्तव में, एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के एक विशेष मामले को साबित करना आवश्यक है, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है:।

फेसलातकनीकी रूप से दो तरह से औपचारिक। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख्ती से शुरू होती है, और व्युत्पन्न कार्य एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

विचार करना कुछ(विशिष्ट) से संबंधित बिंदु डोमेनएक फ़ंक्शन जिसमें व्युत्पन्न होता है। इस बिंदु पर वेतन वृद्धि सेट करें (बेशक, परे नहींओ/ओ -मैं)और फ़ंक्शन के संबंधित वेतन वृद्धि की रचना करें:

आइए सीमा की गणना करें:

अनिश्चितता 0:0 को एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त किया जाता है जिसे पहली शताब्दी ईसा पूर्व माना जाता है। अंश और हर को आसन्न व्यंजक से गुणा करें :

इस तरह की सीमा को हल करने की तकनीक पर परिचयात्मक पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। कार्यों की सीमा के बारे में.

चूंकि अंतराल के किसी भी बिंदु को चुना जा सकता है, फिर, प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

जवाब

एक बार फिर, आइए लघुगणक पर आनन्दित हों:

उदाहरण 2

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

फेसला: आइए एक ही कार्य को बढ़ावा देने के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। समाधान की शुरुआत में सबस्क्रिप्ट से छुटकारा पाने और पत्र के बजाय पत्र का उपयोग करने का विचार है।

विचार करना स्वेच्छाचारीसे संबंधित बिंदु डोमेनफ़ंक्शन (अंतराल), और इसमें वेतन वृद्धि सेट करें। और यहाँ, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में, आप बिना किसी आरक्षण के कर सकते हैं, क्योंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर भिन्न होता है।

फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

डिजाइन की आसानी उस भ्रम से संतुलित होती है जिसे शुरुआती (और न केवल) अनुभव कर सकते हैं। आखिरकार, हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि "X" अक्षर सीमा में बदल जाता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, संग्रहालय के गलियारे के साथ खुशी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "एक स्थिरांक की तरह" है।

मैं कदम दर कदम अनिश्चितता के उन्मूलन पर टिप्पणी करूंगा:

(1) लघुगणक की संपत्ति का प्रयोग करें .

(2) कोष्ठक में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं।

(3) हर में, हम का लाभ लेने के लिए कृत्रिम रूप से गुणा और "x" से विभाजित करते हैं अद्भुत सीमा , के रूप में करते हुए बहुत छोताअलग दिखना।

जवाब: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:

या संक्षेप में:

मैं स्वतंत्र रूप से दो और सारणीबद्ध सूत्रों का निर्माण करने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 3

इस मामले में, संकलित वेतन वृद्धि एक सामान्य भाजक को कम करने के लिए तुरंत सुविधाजनक है। पाठ के अंत में सत्रीय कार्य का एक अनुमानित नमूना (पहली विधि)।

उदाहरण 3:फेसला : कुछ बिंदु पर विचार करें , समारोह के दायरे से संबंधित . इस बिंदु पर वेतन वृद्धि सेट करें और फ़ंक्शन के संबंधित वेतन वृद्धि की रचना करें:

आइए एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजें :


से के रूप में आप कोई भी बिंदु चुन सकते हैं समारोह का दायरा , तब और
जवाब : व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार

उदाहरण 4

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

और यहाँ सब कुछ कम किया जाना चाहिए अद्भुत सीमा. समाधान दूसरे तरीके से तैयार किया गया है।

इसी तरह, कई अन्य सारणीबद्ध व्युत्पन्न. एक पूरी सूची स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाई जा सकती है, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ का पहला खंड। मुझे पुस्तकों से पुनर्लेखन और विभेदीकरण के नियमों के प्रमाणों में बहुत अधिक लाभ नहीं दिखता - वे भी सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं।

उदाहरण 4:फेसला , स्वामित्व , और इसमें एक वेतन वृद्धि सेट करें

आइए व्युत्पन्न खोजें:

अद्भुत सीमा का उपयोग करना

जवाब : ए-प्राथमिकता

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं , व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए

फेसला: पहली दृश्य शैली का प्रयोग करें। आइए से संबंधित कुछ बिंदु पर विचार करें, आइए इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें। फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह से नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। हम एक बिंदु (संख्या) लेते हैं और उसमें फ़ंक्शन का मान पाते हैं: , वह है, समारोह में के बजाय"x" को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। अब हम एक बहुत विशिष्ट संख्या भी लेते हैं और इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित भी करते हैं के बजाय"एक्स": । हम अंतर लिखते हैं, जबकि यह आवश्यक है पूरी तरह से कोष्ठक करें.

कम्पोज्ड फंक्शन इंक्रीमेंट तुरंत सरल करना फायदेमंद है. किस लिए? आगे की सीमा के समाधान को सुगम और छोटा करें।

हम सूत्रों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और वह सब कुछ कम करते हैं जिसे कम किया जा सकता है:

टर्की जल गया है, भूनने से कोई समस्या नहीं है:

अंततः:

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या को गुणवत्ता के रूप में चुना जा सकता है, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं .

जवाब: ए-प्राथमिकता।

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम व्युत्पन्न का उपयोग कर पाते हैं भेदभाव नियम और टेबल:

पहले से ही सही उत्तर जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए मानसिक रूप से या मसौदे पर समाधान की शुरुआत में प्रस्तावित कार्य को "त्वरित" तरीके से अलग करना बेहतर होता है।

उदाहरण 6

व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह स्वयं का उदाहरण है। परिणाम सतह पर है:

उदाहरण 6:फेसला : कुछ बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , और इसमें तर्क की वृद्धि सेट करें . फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:


आइए व्युत्पन्न की गणना करें:


इस प्रकार:
क्योंकि के रूप में कोई भी वास्तविक संख्या चुनी जा सकती है और
जवाब : ए-प्राथमिकता।

आइए स्टाइल #2 पर वापस जाएं:

उदाहरण 7

आइए तुरंत पता करें कि क्या होना चाहिए। द्वारा एक जटिल कार्य के भेदभाव का नियम:

फेसला: से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की वृद्धि की रचना करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:


(1) प्रयोग करें त्रिकोणमितीय सूत्र .

(2) साइन के तहत हम कोष्ठक खोलते हैं, कोसाइन के तहत हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

(3) ज्या के तहत हम पदों को कम करते हैं, कोज्या के तहत हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं।

(4) साइन की विषमता के कारण, हम "माइनस" निकालते हैं। कोसाइन के तहत, हम इंगित करते हैं कि शब्द .

(5) हम उपयोग करने के लिए हर को कृत्रिम रूप से गुणा करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, हम परिणाम का मुकाबला करते हैं।

जवाब: ए-प्राथमिक

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई सीमा की जटिलता + पैकिंग की थोड़ी मौलिकता पर ही टिकी हुई है। व्यवहार में, डिजाइन के दोनों तरीकों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूं। वे समकक्ष हैं, लेकिन फिर भी, मेरे व्यक्तिपरक प्रभाव में, डमी के लिए "एक्स शून्य" के साथ पहले विकल्प से चिपके रहना अधिक समीचीन है।

उदाहरण 8

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 8:फेसला : एक मनमाना बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , आइए इसमें एक वेतन वृद्धि सेट करें और फ़ंक्शन की वृद्धि करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं और पहली उल्लेखनीय सीमा:

जवाब : ए-प्राथमिकता

आइए समस्या के एक दुर्लभ संस्करण का विश्लेषण करें:

उदाहरण 9

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, नीचे की रेखा क्या होनी चाहिए? संख्या

आइए मानक तरीके से उत्तर की गणना करें:

फेसला: स्पष्टता की दृष्टि से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र इसके बजाय एक विशिष्ट मान पर विचार करता है।

हम बिंदु पर एक वेतन वृद्धि निर्धारित करते हैं और फ़ंक्शन के अनुरूप वेतन वृद्धि की रचना करते हैं:

एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:

हम स्पर्शरेखा के अंतर के लिए एक बहुत ही दुर्लभ सूत्र का उपयोग करते हैं और एक बार फिर समाधान को कम करें पहली अद्भुत सीमा:

जवाब: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार।

कार्य को हल करना इतना मुश्किल नहीं है और "सामान्य शब्दों में" - यह डिजाइन पद्धति के आधार पर या बस को बदलने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, निश्चित रूप से, आपको एक संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न कार्य मिलता है।

उदाहरण 10

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें एक बिंदु पर (जिनमें से एक अनंत हो सकता है), जिसके बारे में मैंने पहले ही सामान्य शब्दों में बात की है व्युत्पन्न के बारे में सैद्धांतिक पाठ.

कुछ टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य ग्राफ़ के "जंक्शन" बिंदुओं पर भी भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, कैटडॉग बिंदु पर एक सामान्य व्युत्पन्न और एक सामान्य स्पर्शरेखा (भुजा) है। वक्र, हाँ द्वारा अवकलनीय ! जो लोग चाहते हैं वे इसे अपने लिए अभी-अभी हल किए गए उदाहरण के मॉडल पर सत्यापित कर सकते हैं।

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पेज बनाने की तारीख: 2017-06-11

नौकरी का प्रकार: 7

स्थिति

रेखा y=3x+2 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा है y=-12x^2+bx-10। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

समाधान दिखाएं

फेसला

चलो x_0 फ़ंक्शन के ग्राफ पर बिंदु का भुज हो y=-12x^2+bx-10 जिसके माध्यम से इस ग्राफ के स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y"(x_0)=-24x_0+b=3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ और दोनों के अंतर्गत आता है स्पर्शरेखा, यानी -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से कम होते हैं, इसलिए x_0=-1, फिर b=3+24x_0=-21.

जवाब

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=-3x+4 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=-x^2+5x-7. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए रेखा की ढलान y=-x^2+5x-7 एक मनमाना बिंदु पर x_0 है y"(x_0)। लेकिन y"=-2x+5, इसलिए y"(x_0)=- 2x_0+5. स्थिति में निर्दिष्ट रेखा y=-3x+4 का कोणीय गुणांक -3 है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान गुणांक होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि =-2x_0 +5=-3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

समाधान दिखाएं

फेसला

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A(-6; 2) और B(-1; 1) से होकर गुजरती है। C(-6; 1) रेखाओं x=-6 और y=1 के प्रतिच्छेदन बिंदु और \alpha कोण ABC द्वारा निरूपित करें (यह चित्र में देखा जा सकता है कि यह तीक्ष्ण है)। तब रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण \pi -\alpha बनाती है।

जैसा कि आप जानते हैं, tg(\pi -\alpha) बिंदु x_0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान होगा। नोटिस जो tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.यहाँ से, कमी सूत्रों द्वारा, हम प्राप्त करते हैं: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=-2x-4 फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा है y=16x^2+bx+12। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा है।

समाधान दिखाएं

फेसला

चलो x_0 समारोह के ग्राफ पर बिंदु की भुज हो y=16x^2+bx+12 जिसके माध्यम से

इस ग्राफ के स्पर्शरेखा है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y "(x_0)=32x_0+b=-2. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के दोनों ग्राफ़ से संबंधित है और टेंगेंट, यानी 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(मामलों)

सिस्टम को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से अधिक होते हैं, इसलिए x_0=1, फिर b=-2-32x_0=-34.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y=6 के समानांतर है।

समाधान दिखाएं

फेसला

रेखा y=6 ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं, जिन पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स-अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम अंक) हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 चरम बिंदु हैं।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=4x-6 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=x^2-4x+9. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन y \u003d x ^ 2-4x + 9 के एक मनमाना बिंदु x_0 पर स्पर्शरेखा का ढलान y "(x_0) है। लेकिन y" \u003d 2x-4, जिसका अर्थ है y "(x_0) \ u003d 2x_0-4। स्थिति में निर्दिष्ट स्पर्शरेखा y \u003d 4x-7 का ढलान 4 के बराबर है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि 2x_0-4 \u003d 4. हमें मिलता है : x_0 \u003d 4.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x_0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है। बिंदु x_0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A(1; 1) और B(5; 4) से होकर गुजरती है। C(5; 1) लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु x=5 और y=1 द्वारा निरूपित करें, और \alpha कोण BAC द्वारा (यह चित्र में देखा जा सकता है कि यह तेज है)। तब रेखा AB, ऑक्स-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण \alpha बनाती है।