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"पायथागॉरियन प्रमेय का पाठ" - पाइथागोरस प्रमेय। चतुर्भुज KMNP के प्रकार का निर्धारण करें। जोश में आना। प्रमेय का परिचय। त्रिभुज के प्रकार का निर्धारण करें: पाठ योजना: ऐतिहासिक विषयांतर। साधारण समस्याओं का समाधान। और 125 फीट लंबी सीढ़ी ढूंढो। समलम्ब चतुर्भुज ABCD की ऊँचाई CF की गणना कीजिए। प्रमाण। चित्र दिखा रहा है। प्रमेय का प्रमाण।

"एक प्रिज्म का आयतन" - एक प्रिज्म की अवधारणा। प्रत्यक्ष प्रिज्म। मूल प्रिज्म का आयतन उत्पाद S · h के बराबर है। सीधे प्रिज्म का आयतन कैसे ज्ञात करें? प्रिज्म को ऊंचाई वाले सीधे त्रिकोणीय प्रिज्म में विभाजित किया जा सकता है। त्रिभुज ABC की ऊँचाई खींचिए। समस्या का समाधान। सबक लक्ष्य। प्रत्यक्ष प्रिज्म प्रमेय को सिद्ध करने के मूल चरण? प्रिज्म आयतन प्रमेय का अध्ययन।

"प्रिज्म पॉलीहेड्रा" - एक पॉलीहेड्रॉन को परिभाषित करें। DABC एक चतुष्फलक है, एक उत्तल बहुफलक है। प्रिज्म का उपयोग। प्रिज्म का उपयोग कहाँ किया जाता है? ABCDMP आठ त्रिभुजों से बना एक अष्टफलक है। ABCDA1B1C1D1 एक समानांतर चतुर्भुज, उत्तल बहुफलक है। उत्तल पॉलीहेड्रॉन। एक बहुफलक की अवधारणा। पॉलीहेड्रॉन A1A2..AnB1B2..Bn एक प्रिज्म है।

"प्रिज्म क्लास 10" - एक प्रिज्म एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके चेहरे समानांतर विमानों में होते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में प्रिज्म का उपयोग। साइड = पीबेड। + h सीधे प्रिज्म के लिए: Sp.p = Pmain. एच + 2समेन। झुका हुआ। सही। सीधा। प्रिज्म। क्षेत्र खोजने के लिए सूत्र। वास्तुकला में प्रिज्म का उपयोग। Sp.p \u003d S साइड + 2 S आधारित।

"पायथागॉरियन प्रमेय का प्रमाण" - ज्यामितीय प्रमाण। पाइथागोरस प्रमेय का अर्थ। पाइथागोरस प्रमेय। यूक्लिड का प्रमाण। "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।" प्रमेय के प्रमाण। प्रमेय का महत्व यह है कि ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे या इसकी सहायता से निकाले जा सकते हैं।

ठोस ज्यामिति के पाठ्यक्रम के लिए स्कूली पाठ्यक्रम में, त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन आमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय निकाय - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समांतर तलों में पड़े 2 समान बहुभुजों द्वारा निभाई जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत हैं, समांतर चतुर्भुज (या आयतें यदि प्रिज्म झुका हुआ नहीं है) के आकार की हैं।

प्रिज्म कैसा दिखता है

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक हेक्साहेड्रोन होता है, जिसके आधार पर 2 वर्ग होते हैं, और पक्ष के चेहरे आयतों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इस ज्यामितीय आकृति का दूसरा नाम एक सीधी समानांतर चतुर्भुज है।

एक चतुर्भुज प्रिज्म को दर्शाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

आप भी तस्वीर में देख सकते हैं सबसे महत्वपूर्ण तत्व जो एक ज्यामितीय निकाय बनाते हैं. उन्हें आमतौर पर कहा जाता है:

कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आप एक खंड की अवधारणा पा सकते हैं। परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक खंड एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के सभी बिंदु हैं जो काटने वाले विमान से संबंधित हैं। खंड लंबवत है (आकृति के किनारों को 90 डिग्री के कोण पर पार करता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, 2 किनारों और आधार के विकर्णों से गुजरते हुए एक विकर्ण खंड पर भी विचार किया जाता है (अधिकतम वर्गों का निर्माण किया जा सकता है 2)।

यदि खंड को इस तरह से खींचा जाता है कि काटने वाला विमान या तो आधारों या साइड चेहरों के समानांतर नहीं होता है, तो परिणाम एक छोटा प्रिज्म होता है।

कम किए गए प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न अनुपातों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लानिमेट्री के पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र के लिए सूत्र को याद करने के लिए पर्याप्त है)।

सतह क्षेत्र और मात्रा

सूत्र का उपयोग करके प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:

वी = स्प्रिम एच

चूँकि एक नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है ए,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:

वी = ए² एच

यदि हम एक घन के बारे में बात कर रहे हैं - समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाला एक नियमित प्रिज्म, तो आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इसके स्वीप की कल्पना करने की आवश्यकता है।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है:

साइड = पॉज़ एच

चूँकि एक वर्ग का परिमाप है पी = 4ए,सूत्र रूप लेता है:

साइड = 4a h

घन के लिए:

साइड = 4a²

प्रिज्म के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ें:

सफुल = साइड + 2Sbase

जैसा कि एक चतुर्भुज नियमित प्रिज्म पर लागू होता है, सूत्र का रूप होता है:

पूर्ण = 4a h + 2a²

घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए:

पूर्ण = 6a²

आयतन या सतह क्षेत्र को जानकर, आप एक ज्यामितीय निकाय के अलग-अलग तत्वों की गणना कर सकते हैं।

प्रिज्म तत्व ढूँढना

अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें वॉल्यूम दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य ज्ञात होता है, जहां आधार के किनारे की लंबाई या ऊंचाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं:

• आधार पक्ष लंबाई: ए = साइड / 4 एच = (वी / एच);
• ऊंचाई या साइड रिब लंबाई: एच = साइड / 4 ए = वी / ए²;
• आधार क्षेत्र: स्प्रिम = वी / एच;
• पार्श्व चेहरा क्षेत्र: पक्ष जीआर = साइड / 4।

यह निर्धारित करने के लिए कि एक विकर्ण खंड का क्षेत्रफल कितना है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक वर्ग के लिए डी = ए√2।इसलिए:

सदियग = आह√2

प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

dprize = (2a² + h²)

यह समझने के लिए कि उपरोक्त अनुपातों को कैसे लागू किया जाए, आप कुछ सरल कार्यों का अभ्यास और समाधान कर सकते हैं।

समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण

गणित में राज्य की अंतिम परीक्षा में आने वाले कुछ कार्य यहां दिए गए हैं।

अभ्यास 1।

रेत को एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आकार के डिब्बे में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊंचाई 10 सेमी है। यदि आप इसे उसी आकार के कंटेनर में ले जाते हैं, लेकिन आधार लंबाई 2 गुना अधिक के साथ रेत का स्तर क्या होगा?

इसे निम्नानुसार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनरों में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं ए. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:

वी₁ = हा² = 10a²

दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2ए, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:

वी₂ = एच(2ए)² = 4ha²

जहां तक ​​कि वी₁ = वी₂, भावों की बराबरी की जा सकती है:

10a² = 4ha²

समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामस्वरूप, रेत का नया स्तर होगा एच = 10 / 4 = 2.5से। मी।

कार्य 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक नियमित प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2। शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह समझना आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।

चूंकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार 6√2 के विकर्ण के साथ एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का मान समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी आधार के बराबर वर्ग का होता है। यह पता चला है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - समान हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।

किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है:

ए = डी / √2 = 6√2 / √2 = 6

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घन के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216

कार्य 3.

कमरे की मरम्मत की जा रही है। यह ज्ञात है कि इसकी मंजिल 9 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक वर्ग के आकार की है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है। अगर 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो एक कमरे की दीवारपैरिंग की सबसे कम लागत क्या है?

चूंकि फर्श और छत वर्ग हैं, अर्थात् नियमित चतुर्भुज हैं, और इसकी दीवारें क्षैतिज सतहों के लंबवत हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक नियमित प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है।

कमरे की लंबाई है ए = √9 = 3एम।

वर्ग वॉलपेपर के साथ कवर किया जाएगा भुजा = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.

इस कमरे के लिए वॉलपेपर की सबसे कम कीमत होगी 50 30 = 1500रूबल।

इस प्रकार, एक आयताकार प्रिज्म के लिए समस्याओं को हल करने के लिए, यह एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करने में सक्षम होने के साथ-साथ आयतन और सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को जानने के लिए पर्याप्त है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रिज्म। समानांतर खात

चश्मेएक बहुफलक कहलाता है जिसके दो फलक बराबर n-gons . होते हैं (मैदान) , समांतर तलों में पड़े हुए हैं, और शेष n फलक समांतर चतुर्भुज हैं (किनारे किनारे) . साइड रिब प्रिज्म पार्श्व फलक का वह भाग है जो आधार से संबंधित नहीं है।

एक प्रिज्म जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं सीधा प्रिज्म (चित्र 1)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत न हों, तो प्रिज्म कहलाता है परोक्ष . सही प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म है जिसका आधार नियमित बहुभुज है।

ऊंचाईप्रिज्म को आधारों के तलों के बीच की दूरी कहते हैं। विकर्ण प्रिज्म एक ऐसा खंड है जो दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं। विकर्ण खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा प्रिज्म का एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होता है, कहलाता है। लंबवत खंड प्रिज्म के पार्श्व किनारे के लंबवत समतल द्वारा प्रिज्म के खंड को कहा जाता है।

पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म सभी पक्षों के चेहरों के क्षेत्रों का योग है। पूर्ण सतह क्षेत्र प्रिज्म के सभी फलकों के क्षेत्रफलों के योग को कहते हैं (अर्थात, भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों और आधारों के क्षेत्रफलों का योग)।

एक मनमाना प्रिज्म के लिए, सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई;

पी

क्यू

एस साइड

एस पूर्ण

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक सीधे प्रिज्म के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई।

समानांतर खातएक प्रिज्म जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज होता है, कहलाता है। एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं सीधे (रेखा चित्र नम्बर 2)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं, तो समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है परोक्ष . एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे समान हों, कहलाते हैं घन।

समांतर चतुर्भुज के फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, कहलाते हैं विलोम . एक शीर्ष से निकलने वाले किनारों की लंबाई कहलाती है मापन समानांतर चतुर्भुज। चूंकि बॉक्स एक प्रिज्म है, इसलिए इसके मुख्य तत्वों को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे उन्हें प्रिज्म के लिए परिभाषित किया जाता है।

प्रमेय।

1. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

2. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में, विकर्ण की लंबाई का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक मनमाना समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई;

पीलंबवत खंड की परिधि है;

क्यू- लंबवत खंड का क्षेत्र;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एचदाहिने समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

(3)

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच- ऊंचाई;

डी- विकर्ण;

ए, बी, सी- एक समानांतर चतुर्भुज की माप।

घन के लिए सही सूत्र हैं:

कहाँ पे एपसली की लंबाई है;

डीघन का विकर्ण है।

उदाहरण 1एक आयताकार घनाभ का विकर्ण 33 dm है, और इसकी माप 2:6:9 से संबंधित है। घनाभ की माप ज्ञात कीजिए।

फेसला।समानांतर चतुर्भुज के आयामों को खोजने के लिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करते हैं, अर्थात। तथ्य यह है कि एक घनाभ के कर्ण का वर्ग उसकी विमाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। द्वारा निरूपित करें कआनुपातिकता का गुणांक। तब समांतर चतुर्भुज के आयाम 2 . के बराबर होंगे क, 6कऔर 9 क. हम समस्या डेटा के लिए सूत्र (3) लिखते हैं:

के लिए इस समीकरण को हल करना क, हम पाते हैं:

इसलिए, समानांतर चतुर्भुज के आयाम 6 डीएम, 18 डीएम और 27 डीएम हैं।

जवाब: 6 डीएम, 18 डीएम, 27 डीएम।

उदाहरण 2एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार 8 सेमी की भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, यदि पार्श्व किनारा आधार की भुजा के बराबर है और आधार से 60º के कोण पर झुका हुआ है।

फेसला . आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 3)।

एक झुके हुए प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा। इस प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 8 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है। आइए इसकी गणना करें:

प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी है। ऊपर से लेकिनऊपरी आधार के 1 हम निचले आधार के तल के लंबवत को कम करते हैं लेकिन 1 डी. इसकी लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई होगी। डी पर विचार करें लेकिन 1 विज्ञापन: चूंकि यह पार्श्व पसली के झुकाव का कोण है लेकिन 1 लेकिनबेस प्लेन के लिए लेकिन 1 लेकिन= 8 सेमी. इस त्रिभुज से हम पाते हैं लेकिन 1 डी:

अब हम सूत्र (1) का उपयोग करके आयतन की गणना करते हैं:

जवाब: 192 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म का पार्श्व किनारा 14 सेमी है। सबसे बड़े विकर्ण खंड का क्षेत्रफल 168 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 4)

सबसे बड़ा विकर्ण खंड एक आयत है आ 1 डीडी 1 , विकर्ण के बाद से विज्ञापननियमित षट्भुज एबीसीडीईएफसबसे बडा। प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधार के किनारे और पार्श्व पसली की लंबाई जानना आवश्यक है।

विकर्ण खंड (आयत) के क्षेत्र को जानने के बाद, हम आधार के विकर्ण का पता लगाते हैं।

तब से

तब से अब= 6 सेमी.

तब आधार का परिमाप है:

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

6 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल है:

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

जवाब:

उदाहरण 4एक समांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है। विकर्ण वर्गों का क्षेत्रफल 300 सेमी 2 और 875 सेमी 2 है। समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

समचतुर्भुज की भुजा को किसके द्वारा निरूपित करें? ए, समचतुर्भुज के विकर्ण डी 1 और डी 2, बॉक्स की ऊंचाई एच. एक सीधे समानांतर चतुर्भुज के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार की परिधि को ऊंचाई से गुणा करना आवश्यक है: (सूत्र (2))। आधार परिधि पी = एबी + बीसी + सीडी + डीए = 4AB = 4a, जैसा ऐ बी सी डी- समचतुर्भुज। एच = एए 1 = एच. उस। ढूंढना होगा एऔर एच.

विकर्ण वर्गों पर विचार करें। आ 1 एसएस 1 - एक आयत, जिसकी एक भुजा समचतुर्भुज का विकर्ण है एसी = डी 1 , दूसरा - पार्श्व किनारा आ 1 = एच, तब

इसी प्रकार अनुभाग के लिए बी बी 1 डीडी 1 हमें मिलता है:

एक समान्तर चतुर्भुज के गुण का इस प्रकार उपयोग करने पर कि विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, हमें वह समानता प्राप्त होती है जो हमें निम्नलिखित प्राप्त होती है।

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल। नमस्ते! इस प्रकाशन में, हम स्टीरियोमेट्री पर कार्यों के एक समूह का विश्लेषण करेंगे। पिंडों के संयोजन पर विचार करें - एक प्रिज्म और एक सिलेंडर। फिलहाल, यह लेख स्टीरियोमेट्री में कार्यों के प्रकारों पर विचार करने से संबंधित लेखों की पूरी श्रृंखला को पूरा करता है।

यदि टास्क बैंक में नए कार्य दिखाई देते हैं, तो निश्चित रूप से, भविष्य में ब्लॉग में अतिरिक्त कार्य होंगे। लेकिन जो पहले से है वह काफी है ताकि आप परीक्षा के भाग के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ सभी समस्याओं को हल करना सीख सकें। आने वाले वर्षों के लिए सामग्री पर्याप्त होगी (गणित में कार्यक्रम स्थिर है)।

प्रस्तुत कार्य प्रिज्म के क्षेत्रफल की गणना से संबंधित हैं। मैं ध्यान देता हूं कि नीचे हम एक सीधे प्रिज्म (और, तदनुसार, एक सीधा सिलेंडर) पर विचार करते हैं।

किसी भी सूत्र को जाने बिना, हम समझते हैं कि प्रिज्म की पार्श्व सतह उसके सभी पार्श्व फलक हैं। एक सीधे प्रिज्म में, पार्श्व फलक आयताकार होते हैं।

ऐसे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी पार्श्व फलकों (अर्थात आयतों) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। यदि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें एक सिलेंडर खुदा हुआ है, तो यह स्पष्ट है कि इस प्रिज्म के सभी चेहरे समान आयत हैं।

औपचारिक रूप से, एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

27064। एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक सिलेंडर के चारों ओर घिरा हुआ है जिसका आधार त्रिज्या और ऊंचाई 1 के बराबर है। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

इस प्रिज्म की पार्श्व सतह क्षेत्रफल में बराबर चार आयतों से बनी है। फलक की ऊँचाई 1 है, प्रिज्म के आधार का किनारा 2 है (ये बेलन की दो त्रिज्याएँ हैं), इसलिए पार्श्व फलक का क्षेत्रफल है:

पार्श्व सतह क्षेत्र:

73023. एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो एक बेलन के चारों ओर परिबद्ध है जिसका आधार त्रिज्या √0.12 है और जिसकी ऊँचाई 3 है।

इस प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन पार्श्व फलकों (आयतों) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। पार्श्व चेहरे के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई और आधार किनारे की लंबाई जानने की जरूरत है। ऊंचाई तीन है। आधार के किनारे की लंबाई ज्ञात कीजिए। प्रक्षेपण पर विचार करें (शीर्ष दृश्य):

हमारे पास एक नियमित त्रिभुज है जिसमें 0.12 त्रिज्या वाला एक वृत्त अंकित है। समकोण त्रिभुज AOC से हम AC ज्ञात कर सकते हैं। और फिर AD (AD=2AC)। स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार:

तो AD \u003d 2AC \u003d 1.2। इस प्रकार, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर है:

27066. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो एक बेलन के चारों ओर परिबद्ध है जिसका आधार त्रिज्या √75 है और जिसकी ऊँचाई 1 है।

वांछित क्षेत्र सभी पक्षों के क्षेत्रों के योग के बराबर है। एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के लिए, पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।

चेहरे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई और आधार किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। ऊंचाई ज्ञात है, यह 1 के बराबर है।

आधार के किनारे की लंबाई ज्ञात कीजिए। प्रक्षेपण पर विचार करें (शीर्ष दृश्य):

हमारे पास एक नियमित षट्भुज है जिसमें त्रिज्या 75 का एक चक्र खुदा हुआ है।

एक समकोण त्रिभुज ABO पर विचार करें। हम पैर OB जानते हैं (यह बेलन की त्रिज्या है)। हम कोण AOB भी निर्धारित कर सकते हैं, यह 300 के बराबर है (त्रिकोण AOC समबाहु है, OB एक समद्विभाजक है)।

आइए एक समकोण त्रिभुज में स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करें:

AC \u003d 2AB, चूंकि OB एक माध्यिका है, अर्थात यह AC को आधे में विभाजित करती है, जिसका अर्थ है AC \u003d 10.

इस प्रकार, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल 1∙10=10 है और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

76485. एक बेलन में अंकित एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार त्रिज्या 8√3 है और जिसकी ऊँचाई 6 है।

तीन समान आकार के चेहरों (आयतों) के निर्दिष्ट प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको प्रिज्म के आधार के किनारे की लंबाई (हम ऊंचाई जानते हैं) जानने की आवश्यकता है। यदि हम प्रक्षेपण (शीर्ष दृश्य) पर विचार करें, तो हमारे पास एक वृत्त में अंकित एक नियमित त्रिभुज है। इस त्रिभुज की भुजा को त्रिज्या के रूप में व्यक्त किया जाता है:

इस संबंध का विवरण। तो यह बराबर होगा

तब पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है: 24∙6=144. और आवश्यक क्षेत्र:

245354. एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म एक बेलन के पास परिबद्ध है जिसका आधार त्रिज्या 2 है। प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 48 है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।